2018年大一轮数学(文)高考复习(人教)专题测试三平面向量Word版含答案

专题测试三 平面向量 (时间90分钟，满分100分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．给出下列命题：
①零向量的长度为零，方向是任意的； ②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB →与向量BA →
相等；
④若非零向量AB →与CD →
是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线． 其中正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．①③
D ．①④
解析：选A.本题考查向量的基本概念．根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，
单位向量的模相等，但方向可以不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；AB →
与BA →
互为相反向量，故③错误；方向相同或相反的向量为共线向量，由于AB →与CD →
无公共点，所以A ，B ，
C ，
D 四点不一定共线，故④错误．
2．在△ABC 中，AB →＝c ，AC →＝b .若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →
＝( ) A. 23b －13c B.53c －23b C.23b ＋1
3
c D.13b ＋23
c 解析：选C.因为BD →＝2DC →，所以AD →－AB →＝2(AC →－AD →)，得3AD →＝AB →＋2AC →＝c ＋2b ，即AD →＝13c ＋
2
3
b .
3．设向量a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝( ) A ．(－15,12) B ．－11 C ．－1
D ．－3
解析：选D.本题考查向量数量积的坐标运算．依题意知，a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，∴a ＋2b ＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)．∵c ＝(3,2)，∴(a ＋2b )·c ＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.
4．在锐角三角形ABC 中，已知|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →
的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4
D ．－4
解析：选A.由题意得12·AB ·AC ·sin A ＝3，即12×4×1×sin A ＝3，故sin A ＝3
2.因为
A 为锐角，所以A ＝60°，所以A
B →·A
C →＝|AB →|·|AC →
|·cos A ＝4×1×cos 60°＝2. 5．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.16 B ．－16
C.17
D ．－17
解析：选D.由已知条件可得λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．因为向量λa ＋b 与a －2b 垂直，所以(λa ＋b )·(a －2b )＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－1
7
.
6．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →
＝( ) A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD →
C ．－12AB →＋12A
D →
D.12AB →－12
AD → 解析：选D.因为点E 是CD 的中点，所以EC →＝12
AB →.
因为点F 是BC 的中点，所以CF →＝12CB →＝－12AD →
.所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－12
AD →.
7．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( ) A.π
6 B.π3 C.π2
D.2π3
解析：选B.∵p ∥q ，∴(a ＋c )(c －a )＝b (b －a )，
即b 2＋a 2－c 2
＝ab .由余弦定理得cos C ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3
.
8．已知非零向量a ，b ，使得|a －b |＝|a |＋|b |成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a ∥b B ．a ＋2b ＝0 C.
a |a |＝b
|b |
D ．a ＝b
解析：选B.|a －b |＝|a |＋|b |成立，其充要条件是向量a ，b 共线且方向相反．当a ＋2b ＝0时，a ＝－2b ，|a －b |＝|a |＋|b |成立；反之，不成立．
9．定义：|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a·b ＝－6，则|a ×b |＝( ) A ．－8 B ．8 C ．－8或8
D ．6
解析：选B.由题意知a·b ＝2×5cos θ＝－6，解得cos θ＝－3
5.由0≤θ≤π，得sin θ
＝45.所以|a ×b |＝|a |·|b |·sin θ＝2×5×4
5
＝8. 10．已知O 为平面上的一个定点，A ，B ，C 是该平面上不共线的三点，若(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →
)＝0，则△ABC 是( ) A ．以AB 为斜边的直角三角形 B ．以BC 为斜边的直角三角形 C ．以BC 为底边的等腰三角形 D ．以AB 为底边的等腰三角形
解析：选C.本题考查平面向量的数量积及应用．由题意知(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝CB →·(AB →
＋AC →)＝0.如图所示，取点D 为线段BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →
，所以AD ⊥BC ，即AD 是BC 的中垂线，所以AB ＝AC ，即△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形．
11．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a·b ＝－1
2，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值
等于( ) A ．2 B. 3 C. 2
D ．1
解析：选A.∵|a |＝|b |＝1，a·b ＝－1
2，∴向量a ，b 的夹角为120°.如图所示，设OA →＝a ，
OB →
＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →
＝b －c ，∠AOB ＝120°，所以∠ACB ＝60°，∴∠AOB ＋∠ACB ＝180°，∴A ，O ，B ，C 四点共圆，不妨设为圆M . ∵AB →＝b －a ，∴AB →
2＝a 2－2a·b ＋b 2
＝3，
∴|AB →|＝3，由正弦定理可得△AOB 的外接圆即圆M 的直径2R ＝|AB →
|sin ∠AOB
＝2，∴当|OC →|为圆
M 的直径时，|c |取得最大值2.
12．给出下列命题：
①对于任意两个向量a ，b ，均有|a |－|b |＜|a |＋|b |； ②对于任意两个向量a ，b ，a －b 与b －a 是相反向量； ③在△ABC 中，AB →＋BC →－AC →
＝0；
④在四边形ABCD 中，(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →
)＝0； ⑤在△ABC 中，AB →－AC →＝BC →
.
以上命题中所有真命题的序号是( ) A ．①②③ B ．②④⑤ C ．②③④
D ．②③
解析：选D.①中，当b ＝0时，|a |－|b |＝|a |＋|b |，∴该命题不是真命题；②中，∵(a －b )＋(b －a )＝a ＋(－b )＋b ＋(－a )＝(a －a )＋(b －b )＝0，∴该命题是真命题；③中，∵AB →＋BC →
－AC →＝AC →－AC →＝0，∴该命题是真命题；④中，∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＋DA →＝CA →，∴(AB →＋BC →)－(CD →＋DA →)＝AC →－CA →＝AC →＋AC →≠0，∴该命题不是真命题；⑤中，∵AB →－AC →＝AB →＋CA →＝CB →≠BC →
，∴该命题不是真命题．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．) 13．已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan 2α＝________. 解析：∵a ∥b ，∴3cos α－4sin α＝0，∴tan α＝3
4，
∴tan 2α＝2tan α1－tan 2
α＝2×341－⎝ ⎛⎭
⎪⎫342＝24
7
.
答案：247
14．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n
＝________.
解析：由已知条件可得m a ＋n b ＝(2m,3m )＋(－n,2n )＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵m a ＋n b 与a －2b 共线，∴2m －n 4＝3m ＋2n －1，即n －2m ＝12m ＋8n ，∴m
n ＝－
1
2
. 答案：－1
2
15．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →
的值是________．
解析：因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·⎝ ⎛⎭⎪
⎫
AD →－3
4AB →＝|AD →|2
－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，又|AB →|＝8，|AD →|＝5，所以AD →·AB →＝22.
答案：22
16．已知向量a 与向量b 的夹角为120°，若(a ＋b )⊥(a －2b )，且|a |＝2，则b 在a 上的投影为________．
解析：本题考查平面向量数量积的几何意义．
因为向量b 与向量a 的夹角为120°，所以b 在a 上的投影为|b |cos 120°＝－1
2|b |，问题转
化为求|b |.因为(a ＋b )⊥(a －2b )⇔(a ＋b )·(a －2b )＝0⇔2|b |2
－|b |－4＝0，故|b |＝33＋14(负值舍去)．所以b 在a 上的投影为－33＋1
8. 答案：－
33＋1
8
三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求a 与b 的夹角θ；
(2)若c ＝t a ＋(1－t )b ，且b·c ＝0，求t 及|c |. 解：(1)由(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，得a ·b ＝－6，
∴cos θ＝a·b |a ||b |＝－64×3＝－1
2
.
又0≤θ≤π，∴θ＝2π
3.
(2)∵b·c ＝b ·＝t a·b ＋(1－t )b 2
＝－15t ＋9＝0，∴t ＝3
5
，
∴|c |2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35a ＋25b 2＝10825
，∴|c |＝635.
18．(本小题满分10分)设向量m ＝(cos α，1)，n ＝(sin α，2)，且m ∥n ，其中α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2.
(1)求sin α；
(2)若sin(α－β)＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos β.
解：(1)∵m ∥n ，∴2cos α＝sin α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2
α＋14sin 2α＝1，
∴sin 2
α＝45
.
∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＞0，∴sin α＝255.
(2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2＜α－β＜π2. ∵sin(α－β)＝35，∴cos(α－β)＝4
5.
又sin α＝255，∴cos α＝5
5.
∴cos β＝cos
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝55×45＋255×35＝25
5
.。