2021年高考数学一轮复习 第二章 不等式 第10课 基本不等式 文(含解析)

2021年高考数学一轮复习第二章不等式第10课基本不等式文（含解
析）
1．基本不等式：
①基本不等式成立的条件：．②等号成立的条件：当且仅当时取等号．2．常用的不等式
①．②．③．
3．最值定理:若，则由可得如下结论：
①若积（定值），则和有最小值．②若和（定值），则积有最大值．
应用例析
1．直接用公式求最值
例1. （1）(xx烟台质检)若，则的最小值为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，∴，当且仅当，即时，取等号．
变式：若，则的最小值为
【答案】8
【解析】∵，∴，当且仅当，即时，取等号．的最小值为8
（2）已知，求的最大值
【解析】，当且仅当时取得等号
所以的最大值为1
（3）若，求的最大值
，，，所以
当且仅当即时取得等号，所以的最大值为
2.凑出积为常数
例2. 已知，求的最小值
【解析】∵ ，∴，∴，
当且仅当，即时，取得最小值．
变式：1.已知，则的最小值为
【解析】∵ ，∴，
∴，
当且仅当，即时，取得最小值．
2.已知，则的最 值为
【解析】∵ ，∴，∴，
当且仅当，即时，取等号
所以，
故的最大值为
3.条件最值
例3. 已知，且，求的最小值
【解析】∵，且，
∴，
当且仅当，即时，取等号，
∴的最小值为．
变式：已知，且，求的最小值并求取最小值时与的值
【解析】∵，且，∴
∴1272773(3)()()333333
y x x y x y x y x y ++=++=++≥+=， 当且仅当，即 时，取等号，
∴的最小值为
4.基本不等式与指数、对数等相结合
例4.（1） 若,则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】∵,∴，
∴，∴．
（2）已知，且，那么的取值范围是．【答案】
【解析】
111
22
222
11
22
log log log
1log log()()
22
x y xy
x y
+
=⋅≤==，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
例5．(xx越秀质检)已知，则的最小值是（）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴4a b
+≥=，
当且仅当，即时，等号成立．
5．基本不等式的实际应用问题
例6．(xx中山质检）某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其它成本，即销售每套丛书的利润售价供货价格．问：
（1）每套丛书售价定为100元时，书商能获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
【解析】（1）每套丛书售价定为100元时，销售量为万套，
此时每套供货价格为元，
书商所获得的总利润为万元．
答：书商能获得的总利润是万元．
（2）每套丛书售价定为元时，
由，解得，依题意，
单套丛书利润，
∴，
∵，∴，
由
100
(150)21020
150
x
x
-+≥=⨯=
-
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时，．
答：每套丛书售价定为元时，单套丛书的利润最大．
第10课 基本不等式作业题
1．(xx·临沂一模)已知a >0，b >0，“a ＋b ＝2” 是“ab ≤1”的 ( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
2．(xx·常州质检)已知f (x )＝x ＋1x
－2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4
【答案】C
3．(xx·长沙质检)若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23
【答案】D
4．(xx·福州质检)已知函数f (x )＝2x 满足f (m )·f (n )＝2，则mn 的最大值为( ) A.12 B.14 C.16 D.18
【答案】B
5．(xx·佛山一模)设二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c (x ∈R)的值域为[0，＋∞)，则1c ＋9a
的最小值为( )
A ．3 B.92
C ．5
D ．7 【答案】A
6．已知函数f (x )＝4x ＋a x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.
【答案】36
7．若对任意x ＞0，
x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________． 【答案】
8．(xx·商丘模拟)若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y
的最小值为__________．
【答案】6
9. 围建一个面积为368 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，
其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口(如图所示)，已知旧墙的维修费用为180元/m，新墙的造价为460元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
10．(xx·苏北四市联考)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米．已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元．
(1)若该写字楼共x层，总开发费用为y万元，求函数y＝f(x)的表达式；(总开发费用＝总建筑费用＋购地费用)
(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低，该写字楼应建为多少层？
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