2020_2021学年高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课时素养评价含

平面向量数量积的物理背景及其含义
(20分钟35分)
1.对于向量a,b,c和实数λ,下列命题中为真命题的是( )
A.若a·b=0,则a=0或b=0
B.若λa=0,则λ=0或a=0
C.若a2=b2,则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,则b=c
【解析】选B.A错,当a与b的夹角为时,a·b=0;C错,a2=b2即|a|=|b|;D错,数量积不能约分;
只有B对.
2. 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,则·= ( )
A.-16
B.-8
C.8
D.16
【解析】选D.设∠CAB=θ,所以AB=.
·=||||cos θ=×4cos θ=16.
【补偿训练】
在△ABC中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足=2,则·(+)等于( ) A.- B.- C. D.
【解析】选A.由题意,结合图形有·(+)=·2=·=-=-=-.
3.若非零向量a,b满足|a|=|b|,·b=0,则a与b的夹角为( )
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【解析】选C.因为·b=a·b+b·b=0,
所以a·b=-|b|2.设a与b的夹角为θ,
则cos θ===-,故θ=120°.
4.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=k a-4b,c与d垂直,则k的值为( )
A.-6
B.6
C.3
D.-3
【解析】选 B.因为c⊥d,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(k a-4b)=0,所以
2k a2-8a·b+3k a·b-12b2=0,
所以2k=12,所以k=6.
5.(2020·平顶山高一检测)已知|a|=4,|b|=6,且a·b=12,则向量a在向量b的方向上的投影
为.
【解析】设a与b的夹角为θ,
因为a·b=|a||b|cos θ=12,
又|b|=6,所以|a|cos θ=2,
即a在b方向上的投影为2.
答案:2
6.已知非零向量a,b满足|a|=1,(a-b)·(a+b)=,且a·b=.
(1)求向量a,b的夹角θ.(2)求|a-b|.
【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=,
所以a2-b2=,即|a|2-|b|2=.
又|a|=1,所以|b|=.
因为a·b=,所以|a|·|b|cos θ=,
所以cos θ=,所以向量a,b的夹角θ为45°.
(2)因为|a-b|2=(a-b)2
=|a|2-2|a||b|cos θ+|b|2=,所以|a-b|=.
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.点O是△ABC所在平面上的一点,且满足·=·=·,则点O是△ABC的( )
A.重心
B. 垂心
C. 内心
D. 外心
【解析】选B.因为·=·,所以·(-)=0,即·=0,所以⊥,同理⊥,⊥,所以O是△ABC的垂心.
2.如图,e1,e2为互相垂直的两个单位向量,则|a+b|= ( )
A.20
B.
C.2
D.
【解析】选C.由题意,知a=-e1-e2,b=-e1-e2,所以a+b=-2e1-4e2,
所以|a+b|=
===2.
3.(2020·潍坊高一检测)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=3,AC=2,若D为BC的中点,E为AD的中
点,则·= ( )
A.-
B.-
C.
D.-
【解析】选A.根据题意,=(+)=-+=-+(-)=-+,
所以·=·
=-·+=-×3×2×+×4=-.
4.在△ABC中,∠C=90°,||=6,点P满足|CP|=2,则·的最大值为( )
A.9
B.16
C.18
D.25
【解析】选B.取AB的中点D,连接CD,因为∠C=90°,AB=6,所以|CD|=|AB|=3.设与的
夹角为α,则·=(+)·(+)
=+·(+)+·=+·(+)=22+·2=4+2·
=4+2||·||cos α=4+2×2×3cos α=4+12cos α,
所以当α=0°时,·的最大值为16.
【补偿训练】
在△ABC中,已知·=,||=3,||=3,M,N分别是BC边上的三等分点(M靠近B,N
靠近C),则·的值是( ) A. B. C.6 D.7
【解析】选B.方法一:因为·=,||=3,
||=3,所以·=||||cos∠BAC=3×3cos∠BAC=,所以cos∠BAC=.因为
∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=,所以△ABC是等边三角形,即||=3.
因为M,N分别是BC边上的三等分点,
所以=+=+,=+=+=-,
所以·=·
=·-·+·-||2,
因为·=,·=3×3×cos 120°=-,·=3×3cos 60°=,
所以·=-×+×-1=.
方法二:=+
=+=+,=+=+(-)
=+,·=++·=(32+32)+×=4+=.
5.任意四边形ABCD内有一点O满足+++=0,则O点的位置是( )
A.对角线的交点
B.对边中点连线的交点
C.BD的中点
D.AC的中点
【解析】选B.如图,分别取四边形ABCD各边的中点E,F,G,H.
所以+=2,+=2;
因为+++=0,所以2+2=0⇒=-,即O是EG的中点,同理O是FH的中点,所以点O为两组对边中点连线的交点.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知圆O是△ABC的外接圆,M是BC的中点,AB=4,AC=2,则·= .
【解析】因为M是BC的中点,
所以=,又O是△ABC的外接圆圆心,所以·=||||cos∠BAO=||2=8,同理,
所以·=||2=2,
所以·=·
=·+·=4+1=5.
答案:5
7.(2020·鞍山高一检测)已知平面向量α,β,|α|=1,|β|=2,α⊥(α-2β),则|2α+β|的值是.
【解析】|α|=1,|β|=2,由α⊥(α-2β),
知α·(α-2β)=0,2α·β=1,
所以|2α+β|2=4α2+4α·β+β2=4+2+4=10,
故|2α+β|=.
答案:
8.已知|a|=3,|b|=4,且(a-2b)·(2a+b)≥4,则a与b的夹角θ的取值范围是.
【解析】(a-2b)·(2a+b)=2a2+a·b-4a·b-2b2=
2×9-3|a||b|cosθ-2×16=-14-3×3×4cos θ≥4,所以cos θ≤-,
又θ∈[0,π],所以θ∈.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.设两个向量e1,e2满足|e1|=2,|e2|=1,e1,e2的夹角为60°,若向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角为钝角,求实数t的取值范围.
【解析】当夹角为π时,也有(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,但此时夹角不是钝角.
设2t e1+7e2=λ(e1+t e2),λ<0,则
所以由向量2t e1+7e2与e1+t e2的夹角θ为钝角,得cos θ=<0,
所以(2t e1+7e2)·(e1+t e2)<0,
化简得2t2+15t+7<0.解得-7<t<-.所以所求实数t的取值范围是∪.
【补偿训练】
已知两个向量a,b满足|a|=2,|b|=3,a,b的夹角为60°,若向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
【解析】由题意得a·b=|a||b|cos 60°=2×3×=3,
又(a+λb)·(λa+b)=λa2+(λ2+1)a·b+λb2,
而向量a+λb与λa+b的夹角为锐角,
所以λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
又|a|2=4,|b|2=9,a·b=3,
所以3λ2+13λ+3>0,解得λ>或λ<.但是当λ=1时,向量a+λb与λa+b 共线,其夹角不是锐角,故λ的取值范围是∪∪(1,+∞).
10.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b方向上的投影为-1.
(1)求a与b的夹角θ.(2)求(a-2b)·b.
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
【解析】(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.
又a在b方向上的投影为|a|cos θ=-1,
所以cos θ=-=-,因为θ∈[0,π],
所以θ=.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,
所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2
=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=.
1.(2019·江苏高考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若·=6·,则的值是.
【解析】如图,过点D作DF∥CE,交AB于点F,由BE=2EA,D为BC的中点,知BF=FE=EA,AO=OD.
6·=3·(-)=(+)·(-)=(+)·=
==·-+=·,
得=,即||=||,故=.
答案:
2. 如图,在直角△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问:与的夹角取何值时,·最大?并求出这个最大值.
【解析】设与的夹角为θ,
则·=(-)·(-)
=·-·-·+·
=-a2-·+·=-a2-·(-)
=-a2+·=-a2+a2cos θ.
故当cos θ=1,即θ=0°(与方向相同)时,·最大,其最大值为0.。