高一数学下学期期末考试试题理含解析 2

智才艺州攀枝花市创界学校第三二零二零—二零二壹高一数学下学期
期末考试试题理〔含解析〕
本卷须知：
本套试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.考试时间是是120分钟，总分值是150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上答题，在试题卷上答题无效.交卷时只交答题卡。

第一卷
一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每个小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕
1.某地区中生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为理解该地区中生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取4%的学生进展调查，那么样本容量和抽取的高中生近视人数分别为() A.400，40 B.200，10
C.400，80
D.200，20
【答案】A 【解析】 【分析】
由扇形图能得到总数，利用抽样比较能求出样本容量；由分层抽样和条形图能求出抽取的高中生近视人数. 【详解】用分层抽样的方法抽取4%的学生进展调查， 样本容量为：(350045002000)4%400++⨯=， 抽取的高中生近视人数为：20004%50%40⨯⨯=， 应选A.
【点睛】该题考察的是有关概率统计的问题，涉及到的知识点有扇形图与条形图的应用，以及分层抽样的性质，注意对根底知识的灵敏应用，属于简单题目. 2.
{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，那么其公差d =
A.23
-
B.13
-
C.
13
D.
23
【答案】D 【解析】
()10110570S a a =+⨯=，解得14a =，那么1012
1013
a a d -=
=-，应选D 。

(2,1)-的圆,被直线10x y --=截得的弦长为，那么这个圆的方程是〔〕
A.2
2(2)(1)2x y -++= B.2
2(2)(1)4x y -++= C.22(2)
(1)8x y -++=
D.2
2(2)
(1)16x y -++=
【答案】B 【解析】 【分析】
设出圆的方程，求出圆心到直线的间隔，利用圆心到直线的间隔、半径和半弦长满足勾股定理，求得圆的半径，即可求得圆的方程，得到答案． 【详解】由题意，设圆的方程为2
22(2)
(1)x y r -++=，
那么圆心到直线10x y --=的间隔为d =
=
又由被直线10x y -
-=截得的弦长为2224r =+=，
所以所求圆的方程为2
2(2)(1)4x y -++=，
应选B ．
【点睛】此题主要考察了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，合理利用圆心到直线的间隔、半径和半弦长满足勾股定理是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．
11
0b a <<，那么以下不等式不成立．．．的是() A.
11
a b a
>-
B.a b <
C.
a b
>
D.22a b >
【答案】A 【解析】 【分析】
由题得a ＜b ＜0，再利用作差比较法判断每一个选项的正误得解. 【详解】由题得a ＜b ＜0，
对于选项A,11
a b a -
-=110,()
b a a b a b a <∴<--，所以选项A 错误.
对于选项B,显然正确. 对于选项C,
0a b a b b a -=-+=->，所以a b
>，所以选项C 正确.
对于选项D,2
222()()0,a b a b a b a b -=+->∴>，所以选项D 正确.
故答案为：A
【点睛】(1)此题主要考察不等式的根本性质和实数大小的比较，意在考察学生对这些知识的掌握程度和分析推理才能.(2)比差的一般步骤是：作差→变形〔配方、因式分解、通分等〕→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形〔配方、因式分解、通分等〕→与1比→下结论.假设两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.
5.假设圆锥的母线长是8，底面周长为6π，那么其体积是()
【答案】C 【解析】 【分析】
圆锥的底面周长，求出底面半径，然后求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】∵圆锥的底面周长为6π， ∴圆锥的底面半径r=3； 双∵圆锥的母线长l=8，
圆锥的高
所以圆锥的体积V=2
13
r h π 应选：C ．
【点睛】此题考察圆锥的几何性质，解题关键空间问题平面化，在轴截面中明确各量的关系. 6.
(2,1),(0,5)A C -，那么AC 的垂直平分线所在直线方程为〔〕
A.250x y +-=
B.250x y +-=
C.250x y -+=
D.250x y -
+=
【答案】A
【分析】
首先根据题中所给的两个点的坐标，应用中点坐标公式求得线段的中点坐标，利用两点斜率坐标公式求得
51
202
AC k -=
=+，利用两直线垂直时斜率的关系，求得其垂直平分线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，化简求得结果. 【详解】因为()()2,1,0,5A C -，所以其中点坐标是(1,3)-，又51
202
AC k -=
=+， 所以
AC 的垂直平分线所在直线方程为1
3(1)2
y x -=-+，
即250x y +-=，应选A.
【点睛】该题考察的是有关线段的垂直平分线的方程的问题，在解题的过程中，需要明确线段的垂直平分线的关键点一是垂直，二是平分，利用相关公式求得结果.
a,b ①存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面；②存在分别经过直线a 和b 的两个平行平面；③
经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线b ；④经过直线a 有且只有一个平面平行于直线b ，其中正确的个数有〔〕 A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】C 【解析】
对于①：可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断①正确 对于②：可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断②正确 对于③：当这两条直线不是异面垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断③错误
对于④：假设过直线a 有两个平面α、β与直线b 平行，那么面α、β相交于直线a ，过直线b 做一平面γ与面α、β相交于两条直线m 、n ，那么直线m 、n 相交于一点，且都与直线b 平行，这与“过直线外一点有且只有一条直线与直线平行〞矛盾，所以假设不成立，所以④正确 应选：C ．
x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，那么由该观测的数据算得的线性回归方
程可能是 A.0.4.3ˆ2y
x =+ B.2 2.4ˆy
x =- C.
9ˆ2.5y
x =-+ D.
0.3 4.4ˆy
x =-+
【解析】 试题分析：因为与
正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心
，故排除
选项B ；应选A ． 考点：线性回归直线.
n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．4505S a ==，，那么
A.2
122
n S n n =
- B.
310n a n =- C.228n
S n n
=-
D.25n
a n =-
【答案】D 【解析】 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意列出方程组，求得1,a d 的值，进而利用公式，求得,n n a S ，即可得到答案．
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，
由4505S a ==，，可得11
46040a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得13
2a d =-⎧⎨=⎩，
所以3(1)225n
a n n =-+-⨯=-，2(1)
(3)242
n n n S n n n -=⨯-+
⨯=-， 应选D ．
【点睛】此题主要考察了等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，其中解答中根据题意求得得出数列的首项和公式是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题． 10.以下结论中错误的选项是〔〕 A.假设0ab >，那么2b a
a b
+≥ B.函数
1cos 0cos 2
y x x x π
=+
<<（）
的最小值为2 C.函数
22x x y -=+的最小值为2
D.假设01x <<，那么函数
1
ln 2ln x x
+
≤- 【答案】B
【分析】
根据均值不等式成立的条件逐项分析即可.
【详解】对于A ，由0ab >知，
0,0b a a b >>，所以22b a b a a b a b
+≥⋅=，应选项A 本身正确；对于B ，
11
cos 2cos 2cos cos y x x x x
=+
≥⋅=，但由于1cos cos x x =
在02x π<<时不可能成立，所以
不等式中的“=〞实际上取不到，应选项B 本身错误；对于C ，因为222222x x x x y --=+≥⋅=，当
且仅当22x x -=，即0x =时，等号成立，应选项C 本身正确；对于D ，由01x <<知，ln 0x <，所以
lnx+
()()111ln 2ln ln ln ln x x x x x ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
=--+-≤--⋅-
⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭
⎣
⎦=-2，应选项D 本身正确.应选B.
【点睛】此题主要考察了均值不等式及不等式取等号的条件，属于中档题.
11.a ＞0，x ，y 满足约束条件1
{3(3)
x x y y a x ≥+
≤≥-,假设z=2x+y 的最小值为1，那么a= A. B.
C.1
D.2
【答案】B 【解析】
画出不等式组表示的平面区域如右图所示：
当目的函数z=2x+y 表示的直线经过点A 时，z 获得最小值，而点A 的坐标为〔1，2a -〕，所以
221a -=，解得1
2
a =
，应选B. 【考点定位】本小题考察线性规划的根底知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考.
12.平面α过正方体ABCD －1111D C B A 的顶点A ，α∥平面11CB D ，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面11ABB A ＝n ，那么m ，n 所成角的正弦值为()
32 3 D.
13
【答案】A
【分析】 延长
11
B A 至2A ，使
2111
A A
B A =，延长
11
D A 至
3
A ，使
3111
A A D A =，连接
23
,AA AA ，
2311,,A A A B A D .先证明m∥23A A ，再证明m 、n 所成的角为60°，即得m ，n
【详解】如图，延长
11
B A 至2A ，使
2111A A B A =，延长11
D A 至
3A ，使3111
A A D A =，连接
23,AA AA ，2311,,A A A B A D .易证211311||||,||||AA A B D C AA A D B C .
∴平面
23AA A ∥平面11CB D ，即平面23AA A 为平面α.
于是m∥23A A ，直线2AA 即为直线n.
显然有
2AA ＝3AA ＝23A A ，于是m 、n 所成的角为60°，
所以m ，n 所成角的正弦值为
2
. 应选：A.
【点睛】此题主要考察异面直线所成角的计算和空间位置关系的证明，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.
二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将准确之答案写在答题卡相应的横线上.〕
13.在边长为2的正△ABC 所在平面内，以A AB ，AC 于D ，E.假设在△ABC
内任丢一粒豆子，那么豆子落在扇形ADE 内的概率是________．
【解析】 【分析】
此题考察的知识点是几何概型的意义，我们由三角形ABC 的边长为2不难求出三角形ABC 的面积，又由扇形的半径为
3
，我们也可以求出扇形的面积，代入几何概型的计算公式即可求出答案．
【详解】
由题意知，在△ABC 中，BC 边上的高AO 正好为，∴DE 与边CB 相切，如图．
S 扇形＝×
×
×＝
，
S △ABC ＝×2×2×＝，∴P＝＝
.
【点睛】此题考察面积型几何概型概率的求法，属根底题.
S n 为等比数列{a n }的前n 项和．假设21
4613
a a a ==，，那么S 5
=____________． 【答案】
121
3
. 【解析】 【分析】
此题根据条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了根底知识、根本计算才能的考察． 【详解】设等比数列的公比为q ，由21
461,3a a a ==，所以32511
(),33
q q =又0q ≠， 所以3,q =所以
55
151
(13)
(1)12131133
a q S q --===
--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的根本要求．此题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，局部考生易出现运算错误． 15.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .假设π
6,2,3
b a
c B ===
，那么ABC △的面积为__________. 【答案】63【解析】 【分析】
此题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，此题属于常见题目，难度不大，注重了根底知识、根本方法、数学式子的变形及运算求解才能的考察．
【详解】由余弦定理得2
222cos b a c ac B =+-，
所以2
221
(2)2262
c c c c +-⨯⨯⨯
=， 即2
12c =
解得c c ==-
所以2a
c ==，
【点睛】此题涉及正数方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或者是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的根底上，准确记忆公式，细心计算．
l
：30mx y m ++-=与圆2212x y +=交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与y 轴交于C ，D
两点，假设||AB =，那么||CD =__________．
【答案】4 【解析】 【分析】
由题，根据垂径定理求得圆心到直线的间隔，可得m 的值，既而求得CD 的长可得答案. 【详解】
因为
AB =
r =，所以圆心()0,0
到直线30mx y m ++=的
间隔
为
3=，那么
由
3=，解
得m =，代入直线
l
的方程，
得
3
y x =
+，所以直线
l
的倾斜角为
30︒
，由平面几何知识知在梯形
ABDC
中，
4cos30AB CD =
=︒
．
故答案为4
【点睛】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的根本思想方法〔即几何问题代数化〕，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联络得非常严密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．
三、解答题〔本大题一一共6道题，其中17题10分，其余每一小题12分，一共计70分，请将准确之答案写在答题卡相应的区域内.〕
C 的圆心为()1,1，直线40x y +-=与圆C 相切．
()1求圆C 的HY 方程；
()2假设直线l 过点()2,3，且被圆C 所截得弦长为2，求直线l 的方程．
【答案】(1)2
2(1)
(1)2x y -+-=.
(2):3460l x y -+=；3460x y -+=或者2x =．
【解析】 【分析】
〔1〕结合点到直线间隔公式，计算半径，建立圆方程，即可。

〔2〕结合点到直线间隔公式，计算斜率k ，建立直线方程，即可。

【详解】〔1
〕该圆心到直线间隔为d =
=HY 方程为
〔2
〕结合题意，可以计算出该圆心到直线间隔1d ==，圆心坐标为()1,1
该直线过点
()2,3，
斜率存在时，可设出该直线方程为230kx y k -
-+=，结合点到直线间隔公式
1=，解得3
4
k =
， 斜率不存在时，直线为2x =也满足条件，故直线方程为
【点睛】本道题考察了点到直线间隔公式，关键抓住圆心到直线间隔，建立方程，计算，属于中档题。

18.在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为,,a b c .2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.
〔Ⅰ〕求cos B 的值； 〔Ⅱ〕求sin 26B π⎛
⎫
+
⎪⎝⎭
的值. 【答案】(Ⅰ)14
-
；
(Ⅱ)716
-
.
【解析】 【分析】
(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到,,a b c 的比例关系，然后利用余弦定理可得cos B 的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得sin 2,cos 2B B 的值，然后利用两角和的正弦公式可得sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭
的值.
【详解】(Ⅰ)在ABC △中，由正弦定理sin sin b c
B C
=
得sin sin b C c B =，
又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =.
又因为2b c a +=，得到43b
a =
，23
c a =. 由余弦定理可得222
cos 2a c b B ac +-=
2224161992423
a a a a a +-==-⋅⋅.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得sin 4
B
==
，
从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8
B
B B =-=-
.
故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫
+
=+=-⨯= ⎪
⎝
⎭. 【点睛】此题主要考察同角三角函数的根本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等根底知识.考察计算求解才能. 19.
数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1
434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.
〔1〕证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； 〔2〕求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】〔1〕见解析；〔2〕1
122n
n a n
，112
2n
n
b n。

【解析】 【分析】
(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进展相加和相减即可推导出数
列
{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以
及数列
{}n n a b -的通项公式即可得出结果。

【详解】(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b ，111a b -=，
所以1
144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ，即1112
n n n n
a b a b ，
所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为
1
2
的等比数列，112
n n n a b ， 因为1
1443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ，
所以1
1
2n
n n n a b a b ，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n
a b n 。

(2)由(1)可知，112
n n n
a b ，21n n
a b n ，
所以1
112
2
2n
n
n n n n
a a
b a b n
，11122
2n
n n n n n
b a b a b n。

【点睛】此题考察了数列的相关性质，主要考察了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者者等比数列一定要结合等差数列或者者等比数列的定义，考察推理才能，考察化归与转化思想，是中档题。

20.如图，在侧棱垂直于底面三棱柱
111ABC A B C -中，3AC =，5AB =，4BC =，14AA =，点
D 是AB 的中点.
〔1〕求证：1AC BC ⊥；
〔2〕求证：
11//AC CDB 平面 〔3〕求三棱锥
1AC BC ⊥的体积.
【答案】〔1〕证明：在中，由勾股定理得
为直角三角形，即
．又
面
，
，
，
面，； 〔2〕证明：设
交
于点
，那么
为
的中点，连接
，那么
为
的中位线，
那么在中，∥，又面，那么∥面；
(3).
【解析】
试题分析：〔1〕由勾股定理得
，由面得到，从而得到面
，故1AC BC ⊥；〔2〕连接
交于点，那么
为的中位线，得到∥，从而得到
∥面
；〔3〕过
作
垂足为
，
面
，面
积法求
，求出三角形的面积，代入体积公式进展运算. 试题解析：〔1〕证明：在中，由勾股定理得
为直角三角形，即．
又
面
，
，
，
面，.
〔2〕证明：设交于点，那么为的中点，连接，那么为的中位线，
那么在中，∥
，又
面，那么
∥面
．
〔3〕在中过作垂足为， 由面⊥面
知，
面
，
．
而
，
，
.
考点：直线与平面平行的断定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
21.近年来,经济快速开展,跻身新一线城行列,备受全国瞩目．无论是内的井字形快速交通网,还是辐射全国的米字形高铁路网,的交通优势在同级别的城内无能出其右．为了调查民对出行的满意程度,研究人员随机抽取了1000名民进展调查,并将满意程度以分数的形式统计成如下的频率分布直方图,其中4a b =． 〔I 〕求,a b 的值；
〔Ⅱ〕求被调查的民的满意程度的平均数,众数,中位数； 〔Ⅲ〕假设按照分层抽样从[)50,60,[)60,70中随机抽取8人,再从这8人中随机抽取2人,求至少有1人
的分数在
[)50,60的概率．
【答案】(Ⅰ)0.024,0.006a
b ==(Ⅱ)平均数7,众数74,中位数75；(Ш)()1328
P A =
【解析】 【分析】
〔I 〕根据频率之和为1列方程，结合4a b =求出,a b 的值.〔II 〕利用各组中点值乘以频率然后相加，求得平均数.利用中位数是面积之和为0.5的地方，列式求得中位数.以频率分布直方图最高一组的中点作为中位数.〔III 〕先计算出从
[)50,60,[)60,70中分别抽取2人和6人，再利用列举法和古典概型概率计算公
式，计算出所求的概率.
【详解】解：(I)依题意得(0.0080.0270.035)101a b ++++⨯=,所以0.03a b +=,
又4a b =,所以0.024,0.006a
b ==．
(Ⅱ)平均数为550.08650.24750.35850.27950.0674.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 中位数为
0.50.080.24
7075.140.035
--+
≈
众数为
7080
752
+= (Ш)依题意,知分数在[)50,60的民抽取了2人,记为,a b ,分数在[)60,70的民抽取了6人,记为
1,2,3,4,5,6,
所以从这8人中随机抽取2人所有的情况为：
()()()()()()()()()()()()(),,,1,,2,,3,,4,,5,,6,,1,,2,,3,,4,,5,,6a b a a a a a a b b b b b b , ()()()()()()()()()()()()()()()
1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,6一共28种, 其中满足条件的为
()()()()()()()()()()(),,,1,,2,,3,,4,,5,,6,,1,,2,,3,,4a b a a a a a a b b b b ,()(),5,,6b b 一共
13种,设“至少有1人的分数在
[)50,60〞的事件为A ,那么()1328
P A =
【点睛】本小题主要考察求解频率分布直方图上的未知数，考察利用频率分布直方图估计平均数、中位数和众数的方法，考察利用古典概型求概率.属于中档题. 22.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin
sin 2
A C
a b A +=． 〔1〕求B ；
〔2〕假设ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1)3
B
π
=
;(2). 【解析】 【分析】
(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3
B π
=
.(2)
根据三角形面积公式1
sin 2
ABC
S
ac B =
⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABC
S 关于C 的函数，由于
ABC △是锐角三角形，所以利用三个内角都小于
2
π
来计算C 的定义域，最后求解()ABC
S C 的值域.
【详解】(1)根据题意sin
sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2
A C
A B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2
A C
B +=。

0<B π<，02A
C π+<<因为故2A C B +=或者者2A C
B π++=，而根据题意A B
C π++=，故
2A C B π++=不成立，所以2
A C
B +=，又因为A B
C π++=，代入得3B =π，所以3
B π
=
.
(2)因为ABC △是锐角三角形，由〔1〕知3
B π
=
，A B C π++=得到
2
3
A C π+=，
故022032C C πππ⎧
<<⎪⎪⎨
⎪<-<⎪⎩
，解得
6
2
C π
π
<<
.
又应用正弦定理
sin sin a c
A C
=
，1c =，
由三角形面积公式有：
222sin(
)111sin 3sin sin sin 222sin 4sin ABC
C a A S
ac B c B c B c C C
π
-=⋅=⋅=⋅=
22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-==⋅-=+.
又因
,tan 6
2
C C π
π
<<
>
318tan C <+<
ABC
S <<
.
故ABC
S
的取值范围是(
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【点睛】这道题考察了三角函数的根底知识，和正弦定理或者者余弦定理的使用〔此题也可以用余弦定理求解〕，最后考察ABC △是锐角三角形这个条件的利用。

考察的很全面，是一道很好的考题.。