抛物线常用性质总结

抛物线常用性质总结(总2页)
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结论一：若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦（过焦点的弦），且11(,)A x y ，
22(,)B x y ，则：2
124
p x x =，212y y p =-。

结论二：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：112=AF BF p
+ 。

结论三：（1）若AB 是抛物线22(0)y px p =>的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则
22sin P
AB α
=
（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线
对称轴的弦）最短。

结论四：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

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证明结论二：
例：已知直线AB 是过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，求证：
11AF BF
+为定值。

证明：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义知：12
p AF x =+
，22
p
BF x =+
，又AF +BF =AB ，所以1x +2x =AB -p ，且由结论一知：2
124
p x x =。

则：2
12121211()()()2224
AF BF AB AB p p
p p
AF
BF
AF BF
x x x x x x ++==
=⋅+++++ =
22
2()424
AB
p p p p
AB p =
+-+（常数
证明：结论四：
已知AB 是抛物线22(0)y px p =>的过焦点F 的弦，求证：（1）以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

(2)分别过A 、B 做准线的垂线，垂足为M 、N ，求证：以MN 为直径的圆与直线AB 相切。

证明：(1)设AB 的中点为Q,过A 、Q 、B 向准线l 作垂线， B
A
M
N
Q
P y x
O F
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垂足分别为M 、P 、N ，连结AP 、BP 。

由抛物线定义：AM AF =，BN BF =，
∴111
()()222QP AM BN AF BF AB =+=+=，
∴以AB 为直径为圆与准线l 相切
（2）作图如（1），取MN 中点P ，连结PF 、MF 、NF ，
∵AM AF =，AM ∥OF ，∴∠AMF=∠AFM ，∠AMF=
∴∠AFM=∠MFO 。

同理，∠BFN=∠NFO ，
∴∠MFN=
1
2
（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO ）=90°， ∴1
2
MP NP FP MN ===，
∴∠PFM=∠FMP
∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP ⊥AB
B。