欧拉四平方和恒等式

欧拉四平方和恒等式[编辑]
欧拉四平方和恒等式说明，如果两个数都能表示为四个平方数的和，则这两个数的积也能表示为四个平方数的和。

等式为：
欧拉在1748年5月4日寄给哥德巴赫的一封信中提到了这个恒等式。

[1][2]它可以用基本的代数来证明，在任何交换环中都成立。

如果a s和b s是实数，有一个更加简洁的证明：这个等式表达了两个四元数的积的绝对值就是它们绝对值的积的事实，就像婆罗摩笈多-斐波那契恒等式与复数的关系一样。

拉格朗日用这个恒等式来证明四平方和定理。

婆罗摩笈多－斐波那契恒等式[编辑]
婆罗摩笈多-斐波那契恒等式是以下的恒等式：
这个恒等式说明了如果有两个数都能表示为两个平方数的和，则这两个数的积也可以表示为两个平方数的和。

例如，
(1)和(2)都可以用展开多项式的方法来证实。

(2)可以通过把(1)中的b换成−b来得出。

这个等式在整数环和有理数环中都成立。

更一般地，在任何的交换环中都成立。

它在数论中有很多应用，例如费马平方和定理说明任何被4除余1的素数都能表示为两个平方数的和，则根据婆罗摩笈多-斐波那契恒等式，任何两个被4除余1的素数的积也都能表示为两个平方数的和。

而若将与互换位置，即可得
由于
两边平方，得
根据绝对值的定义，
且
而且
所以，这个等式就是说
李善兰恒等式[编辑]
李善兰恒等式为组合数学中的一个恒等式，由中国清代数学家李善兰于1859年在《垛积比类》一书中首次提出，因此得名。

有幂级数[1]和概率[2]两种证明方法。

表达式[编辑]
其中。