青海省平安县第一高级中学2016届高三4月月考文数试题 含解析

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）
1。

i 是虚数单位，52i
i
=-（ ）
A ．12i +
B ．12i --
C ．12i -
D ．12i -+ 【答案】D 【解析】
试题分析：由题意得,()()()
52512222i i i i i i i +==-+--+,故选D ．
考点：复数的运算．
2。

设集合{}20A x x =+=，集合{}2
40
B x x =-=，则A
B =( ）
A ．{}2-
B ．{}2
C ．{}2,2-
D ．∅ 【答案】A
考点：集合交集的运算．
3.为了得到函数()cos 21y x =+的图象，只需将函数cos 2y x =的图象上所有的点（ ）
A ．向左平移12
个单位长度 B ．向右平移1
2
个单位长度
C ．向左平移1 个单位长度
D ．向右平移
1个单位长度
【答案】A 【解析】
试题分析：由题意得，函数()1cos 21cos[2()]2
y x x =+=+，所以价格函数函数
cos 2y x =的图象上所有的点向左平移
12
个单位长度，可得()cos 21y x =+的
图象，故选A ．
考点：三角函数的图象变换． 4。

等差数列{}n
a 中，2
343,9a
a a =+=,则16a a 的值为（ ）
A ．14
B ．18
C ．21
D ．27 【答案】A
考点:
等差数列的通项公式的应用．
5。

一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是( ） A ．π B ．34π+ C ．4π+
D ．24π+
【答案】B 【解析】
试题分析:由三视图可知，原几何体为圆锥的一半，(沿轴截面切开），由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，所以其表面积为
211
21222123422
S πππ=⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=+，故选
B ．
考点：几何体的三视图及其几何体的表面积的计算．
【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用,着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中，根据给定的三视图得到原几何体为底面半径为1，母线长为为2的半个圆柱是解答的关键． 6.设m 、n 是两条不同直线，,αβ两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A ．,m n αβ且αβ，则m
n
B ．,m n αβ⊥⊥且αβ⊥,则m n ⊥
C ．,,m n m n αβ⊥⊂⊥则αβ⊥
D ．,,,,m n m n ααββ⊂⊂则αβ
【答案】B
考
点：空间中线面位置的判定与证明． 7.已知M 是ABC ∆内的一点，且2
3,30AB AC BAC =∠=︒，若,,MBC MCA MAB ∆∆∆的
面积分别为1,,2
x y ，则14x
y
+的最小值为( ）
A ．20
B ．18
C ．16
D ．9 【答案】B 【解析】
试题分析：由已知得
cos 234
AB AC b BAC bc •=∠==，所以
11
sin 22
ABC S x y bc A ∆=++= 1
2x y ⇒+=
，而1414442()()2(5)2(52)18y x y x x y x y x y x y x y
+=+⨯+=++≥+⋅=，故选B ．
考点：基本不等式在最值中的应用． 8。

函数cos y x x =+的大致图像是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】B
考点：函数的图象及函数的性质．
9.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是（）
A．0.42B．0.28C．0.3
D．0.7
【答案】C
【解析】
试题分析：因为口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球从中摸出1个球，在口袋中模球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的,摸出黑球是摸出红球或摸出白球的概率为0.28，因为摸出黑
球是摸出红球获摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率为
10.420.280.3P =--=，故选
C ．
考点：互斥事件与对立事件的概率．
10。

某程序框图如图所示，则输出的n 值是( ） A ．21 B ．22 C ．23
D ．24
【答案】C
考
点：程序框图的计算与输出．
11。

已知二次曲线22
14x y m
+=，则当[]2,1m ∈--时，该曲线的离心率e 的取
值范围是（ ） A ．23⎣⎦
B ．26⎣⎦
C ．56⎣⎦
D ．36⎣⎦
【答案】C
【解析】
试题分析：因为二次曲线
22
14x y m
+=,[]2,1m ∈--，所以[]22,1,2a b =∈，所以[]2225,6c a b =+∈
，所以双曲线的离心率为22c e a =∈⎣⎦
，故选C ．
考点：双曲线的标准方程及其简单的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质、离心率的取值范围的计算，注重考查了学生的推理与运算能力，其中熟记双曲线的几何性质和关系式2
22c
a b =+是解答问题的关键，属
于中档试题，本题的解答中，通过双曲线的方程,求出a 的值和b 的取值范围,进而得到c 的取值范围，即可求解双曲线的离心率的范围． 12.给出定义：若112
2
m x m -<≤+(其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近
的整数,记作{}x ，即{}x m =在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四
个命题:①1122
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭
;②()3.40.4f =-;③1144f f ⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
；④()y f x =的定义域是R ,
值域是11,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
，则其中真命题的序号是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．②④
D ．③④ 【答案】B
考
点：函数的定义域与值域；函数的性质的判定与证明．
【方法点晴】本题主要考查了函数的定义域与直线的求解及函数的基本性质的判定与证明，着重考查了新定义的理解与运用，体现学生分析问题、解答问题的能力，本题的解答中,在理解新定义的基础上,求出{}111{},3.4,{},{}2
4
4
-对应的整数，进而利用函数(){}f x x x =-进行判断，
同时对于④中的函数的值域1[0,]2
，此时可作出选择．
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13。

已知函数()2
1
2
log y x
ax a =-+在区间()2,+∞上是减函数，
则实数a 的取值范围是 ． 【答案】4a ≤ 【解析】
试题分析：令2
t x
ax a =-+，则有函数()f x 在区间()2,+∞上是减函数，可
得函数t 在区间()2,+∞上是增函数,且(2)0t >,所以2
2(2)420
a
t a ⎧≤⎪⎨⎪=->⎩,解得4a ≤，
所以实数a 的取值范围是4a ≤． 考点:复合函数的单调性的应用． 14。

过抛物线2
4y
x =的焦点作一条直线交抛物线于,A B 两点，
若线段AB 的中点M 的横坐标为2, 则AB 等于 ． 【答案】6 【解析】
试题分析:由抛物线2
4y
x =得2p =，设1122(,),(,)A x y B x y ，因为线段AB 的中点
M
的横坐标为2，所以12224
x x +=⨯=，因为直线
AB
过焦点,所以
12426AB x x P =++=+=。

考点:抛物线的定义及标准方程的应用．
15. 设0
a 为单位向量,①若a 为平面内的某个向量，则0
a a
a =；②若0
a 与
a 平行,则0a a a =;
③若0
a 与a 平行且1a =，则0
a a =。

上述命题中，假命题个数
是 ． 【答案】3
考
点：平行向量与共线向量．
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的基本概念及其应用问题，
着重考查了平行向量与共线向量的应用的概念，解答时要准确把握平面向量的基本概念是解答此类问题的关键,属于中档试题，本题的解答中若0
a 与a 平行时，0
a 与a 方向有两种情况，一是同向、二是方
向，当反向时，得到关系0a a a =-是进一步判定的关键．
16.已知函数
()()244,1,ln 43,1
x x f x g x x x x x -≤⎧==⎨-+>⎩，则函数()()y f x g x =-的零点个数
为 ． 【答案】3
考点：函数的图象与函数的零点个数的判断．
【方法点晴】本题主要考查了函数图象的应用及函数的零点的个数判断问题,着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，体现了学生灵活应用函数图象解决问题的能力,属于中档试题，本题的解答中，把函数()()y f x g x =-的零点问题,转化为函数()f x 与函数()g x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象，借助数形结合法求解．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17。

(本小题满分12分） 已知数列{}n
a 与{}n
b ，若1
3a
=且对任意整数n 满足12n n a a +-=，数列{}n b 的
前n 项和2n
n S
n a =+.
(1）求数列{}{},n
n
a b 的通项公式; （2）求数列11n n b b +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前n 项和n T 。

【答案】（1）21n a n =+，()()
4,121,2n n b n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩；（2）()612023n n -+．
（2）
1n =时，11211
20
T b b =
=
， 当2n ≥时，()()111111212322123n n b b n n n n +⎛⎫
==- ⎪++++⎝⎭
, 所以1111111120257792123n
T
n n ⎛⎫=
+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪
++⎝⎭()
1
1612010152023n n n n --=+=++
1n =仍然适合上式.
综上,()
1161
2010152023n
n n T n n --=
+=
++。

……………………………………………12分
考点：等差数列的通项公式及数列n
a 与n
S 关系的应用；数列求和．
18。

（本小题满分12分）
在长方体111
1
ABCD A BC D -中，2AB BC ==，过1
A 、1
C 、B 三点的平面截去长
方体的一个角后,得
如图所示的几何体11
1
ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10。

（1）求棱1
A A 的长;
（2)若11
AC 的中点为1
O ，求异面直线1
BO 与1
1
A D 所成角的余弦值.
【答案】（1)3;（2）
11
11
．
考点:异面直线所成的角的求解;棱柱的结构特征．
19.(本小题满分12分）
某小组共有A、B、C、D、E五位同学,他们的身高（单位：米) 以及体重指标（单位：千克/2米）如
下表所示：
A B C D E
身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82
体重
指标19.225.118.523.320.9
（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；
（2）从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[)
18,5,23,9中的概率.
【答案】（1）12；（2)310
．
考点:
古典概型及其概率的计算． 20。

(本小题满分12分)
已知椭圆：()22
2210y x a b a b +=>>2
，焦点()()1
2
0,,0,F c F c -过1
F 的
直线交椭圆于,M N
两点，且2
F MN ∆的周长为4.
（1）求椭圆方程;
（2)与y 轴不重合的直线l 与y 轴交于点()()0,0P m m ≠，与椭圆C 交于相异两点,A B 且AP PB λ=，
若4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围。

【答案】（1）2
221y
x +=；(2）111,,122m ⎛
⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭．
（2)
设:l y kx m =+与椭圆C 的交点为()()1
1
2
2
,,,A x y B x y ,将y kx m =+代入2
221y
x +=，
得()()2
22222210,4220k
x kmx m k m +++-=∴∆=-+>①.
212122221
,22
km m x x x x k k --+==++………………………………………………………
……6分
,4,3AP PB OA OB OP AP PB λλ=+=∴=，
2
122122
2,3x x x x x x ∴+=-=-，……………………………………………………8分
消去2
x 得
()
2
22
121222
21340,34022km m x x x x k k ⎛⎫--⎛⎫
++=∴+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭。

……………………………9分 即2
2
224220k m
m k +--=，当21
4
m =
时，22224220k m m k +--<， ……………10分
22
22
122,441m m k m -∴≠=-由①得22
22k m >-，解得111,,122m ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭.……………12分
考点：椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的定义、标准方程及其简单的几何性质，直线与圆锥曲线综合应用,着重考查了转化与化归的思想及推理、运算能力，其中直线与圆锥曲线的综合题是高考的一个重点题型，属于中档试题，本题的解答中直线与椭圆方程,得到关于x 的一元二次方程,根据AP PB λ=和
4OA OB OP λ+=的运算,再利用韦达定理即可求解实数m 的取值范围．
21。

（本小题满分12分） 已知函数()()2
2x
f x e ax b x
x =+++，
曲线()y f x =经过点()0,1P ,且在点P 处的切线为
:41l y x =+.
(1）求a 、b 的值;
（2）若存在实数k ,使得[]2,1x ∈--时，()()2
21f x x k x k ≥+++恒成立,求k 的取
值范围.
【答案】（1）1,1a b ==；（2）321,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
．
考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程；导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程、导数在函数的最值、不等式的恒成立中的应用，着重考查了转化与化归的思想的应用，其中构造新函数是解得大关键,试题难度较
大,属于难题,本题的解答中，把不等式恒成立,转化为()
121
x e x k x +≥+恒成立,
通过构造新函数()g x ，求解函数()g x 的最大值，即可求解．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲 如图,AB 是
O 的直径,,C F 为O 上的点,CA 是BAF ∠的角平分线，过点C
作CD AF ⊥交AF
的延长线于D 点，CM AB ⊥，垂足为点M 。

(1）求证:DC 是O 的切线； （2）求证:AM
MB DF DA =.
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．
考点：与圆有关的证明;圆的切线定理的应用．
23.(本小题满分10分）选修4—4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系xoy有相同长度单位，以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴. 已知直线l的参数
方程为
1
2
2
(
3
x t
t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
为参数)，曲线C的极坐标方程为2sin8cos
ρθθ
=.
（1）求C的直角坐标方程;
（2）设直线直线l与曲线C交于,A B两点，求弦长AB。

【答案】（1）2
8y
x =；
（2）32
3
． 考
点：直线的参数方程;简单曲线的极坐标方程． 24。

（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲 已知函数()1f x x x a =-+-.
（1）若1a =-，解不等式()3f x ≥； （2）如果(),2x R f x ∀∈≥,求a 的取值范围.
【答案】（1）33,,22
⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢
⎝
⎦
⎣⎭
；（2）(][),13,-∞-⋃+∞． 【解析】
试题分析：（1）求出1a =-时的()f x ，对x 讨论，当1x ≤-时，当11x -<<时，当1x ≥时，去掉绝对值,解不等式，最后求并集即可；（2)运用绝对值不等式的性质，可得()f x 的最小值为1a -，由不等式恒成立的思想可求得12a -≥，即可得出a 的取值范围． 试题解析：（1) 当1a =-时，()11f x x x =-++。

由()3f x ≥得113x x -++≥.
当1x ≤-时，不等式可化为113x x -++≥，即23x -≥,其解集为3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝
⎦
.
学必求其心得，业必贵于专精
当11
x x
-++≥，不可能成立，其解集为∅。

-<<时，不等式化为113
x
考点：绝对值不等式的求解；不等式的恒成立问题．。