2019届高考数学一轮复习 第二章 函数与基本初等函数层级快练14 文

层级快练(十四)
1．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为( ) A ．y ＝360(1.041.012)x －1
B ．y ＝360×1.04x
C ．y ＝360×1.04x
1.012
D ．y ＝360(1.041.012
)x
答案 D
解析 设该乡镇现在人口量为M ，则该乡镇现在一年的粮食总产量为360M ，1年后，该乡镇粮食总产量为360M(1＋4%)，人口量为M(1＋1.2%)，则人均占有粮食产量为360M （1＋4%）
M （1＋1.2%），
2年后，人均占有粮食产量为360M （1＋4%）
2
M （1＋1.2%）2，…，经过x 年后，人均占有粮食产量为
360M （1＋4%）x
M （1＋1.2%）x ，即所求解析式为y ＝360(
1.041.012
)x
. 2．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( ) A ．x ＝60t B ．x ＝60t ＋50
C ．x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧60t ，（0≤t≤2.5），150－50t ，（t>3.5）
D ．x ＝⎩⎪⎨⎪
⎧60t ，（0≤t≤2.5），150，（2.5<t≤3.5），150－50（t －3.5），（3.5<t≤6.5）
答案 D
3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3)( ) A ．2015年 B ．2011年 C ．2010年 D ．2008年
答案 B
解析 设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a·(1＋9%)x
＝4a.∴x＝2lg2lg1.09
≈16.
4．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( ) A ．略有盈利
B ．略有亏损
C ．没有盈利也没有亏损
D ．无法判断盈亏情况
答案 B
解析 设该股民购进股票的资金为a ，则交易结束后，所剩资金为：a(1＋10%)n ·(1－10%)n
＝a·(1－0.01)n ＝a·0.99n
<a.
5．某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4 000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是( ) A ．2.4元 B ．3元 C ．2.8元 D ．3.2元
答案 B
解析 设每本定价x 元(x≥2)，销售总收入是y 元，则y ＝(5×104－x －20.2×4×103
)·x
＝104·x(9－2x)≥9×104
.
∴2x 2
－9x ＋9≤0⇒32
≤x ≤3，故选B.
6．(2018·皖南八校联考)某购物网站在2017年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
答案 C
解析 为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3张．
7．现有某种细胞100个，其中占总数1
2的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细
胞，按这种规律发展下去，当细胞总数超过1010
个时，所需时间至少为(参考数据：lg3＝0.477，lg2＝0.301)( ) A ．44小时 B ．45小时 C ．46小时 D ．47小时
答案 C
解析 1小时后，细胞总数为12×100＋12×100×2＝32×100；2小时后，细胞总数为12×3
2×100
＋12×32×100×2＝94×100；3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝27
8×100；4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100；可见，细胞总数y 与时间x(小
时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x (x∈N *)．由100×(32)x >1010
，得(32)x >108，两边取以10
为底的对数，得xlg 32>8，∴x>8lg3－lg2.∵8lg3－lg2＝8
0.477－0.301≈45.45，∴x>45.45，
∴至少经过46小时，细胞总数超过1010
个．
8．2016年翼装飞行世界锦标赛在张家界举行，下图反映了在空中高速飞行的某翼人从某时刻开始15分钟内的速度v(x)与时间x 的关系，若定义“速度差函数”u(x)为时间段[0，x]内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图像是( )
答案 D
解析 据题意函数在[6，10]和[12，15]两个区间上都是常数，故选D.
9．一个容器装有细沙a cm 3
，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝ae
－bt
(cm 3
)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过
________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案 16
解析 当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝ae －8b
＝1
2
a ， ∴e
－8b
＝1
2
，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，
即y ＝ae －bt
＝18
a. e
－bt
＝18
＝(e －8b )3＝e －24b
，则t ＝24，所以再经过16 min. 10．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116
)t －a
(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________________．
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧10t ，0≤t ≤0.1，（116
）t －0.1，t>0.1 (2)0.6
解析 (1)设y ＝kt ，由图像知y ＝kt 过点(0.1，1)，则 1＝k×0.1，k ＝10，∴y ＝10t(0≤t≤0.1)．
由y ＝⎝ ⎛⎭
⎪
⎫116t －a 过点(0.1，1)，得1＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫1160.1－a ，解得
a ＝0.1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1
(t>0.1)．
(2)由⎝ ⎛⎭
⎪⎫116t －0.1≤0.25＝1
4
，得t≥0.6.
故至少需经过0.6小时学生才能回到教室．
11．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x ，3x(吨)． (1)求y 关于x 的函数；
(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费．
答案 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x≤4
5
，
20.4x －4.8， 45<x≤4
3，24x －9.6， x>43
(2)甲户用水量为7.5吨，付费17.70元； 乙户用水量为4.5吨，付费8.70元
解析 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x)＝14.4x ；
当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x>4时，y ＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.
当乙的用水量超过4吨，即3x>4时，
y ＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.
所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x≤4
5
，
20.4x －4.8， 45<x≤4
3，24x －9.6， x>43
.
(2)由于y ＝f(x)在各段区间上均单调递增； 当x∈[0，45]时，y ≤f(4
5)<26.4；
当x∈(45，43]时，y ≤f(4
3
)<26.4；
当x∈(4
3，＋∞)时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.
所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，
付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．
12．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点T(t ，0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．
(1)当t ＝4时，求s 的值；
(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由． 答案 (1)24 (2)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3
2t 2， t∈[0，10]，
30t －150， t ∈（10，20]，－t 2
＋70t －550， t ∈（20，35]
(3)沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城
解析 (1)由图像可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝1
2
×4×12＝24.
(2)当0≤t≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32
t 2
；
当10<t≤20时，s ＝1
2
×10×30＋30(t －10)＝30t －150；
当20<t≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t－20)＝－t 2
＋70t
－550.
综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t∈[0，10]，
30t －150， t ∈（10，20]，－t 2
＋70t －550， t ∈（20，35].
(3)∵t∈[0，10]时，s max ＝32×102
＝150<650，
t ∈(10，20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， ∴当t∈(20，35]时，令－t 2
＋70t －550＝650， 解得t 1＝30，t 2＝40.
∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．
13．一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的1
4
，已
知到今年为止，森林剩余面积为原来的22
. (1)求每年砍伐面积的百分比；
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？ 答案 (1)1－(1
2
)110 (2)5 (3)15
解析 (1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝12a ，即(1－x)10
＝12，
解得x ＝1－(12)110.故每年砍伐面积的百分比为1－(1
2)1
10.
(2)设经过m 年剩余面积为原来的
22，则a(1－x)m
＝22
a ， 即(12)m 10＝(12)1
2，m 10＝1
2，解得m ＝5. 故到今年为止，已砍伐了5年． (3)设从今年开始，最多还能砍伐n 年， 则n 年后剩余面积为22
a(1－x)n
. 令
22a(1－x)n ≥14a ，即(1－x)n
≥24
， (12)n 10≥(12)32，n 10≤3
2，解得n≤15. 故今后最多还能砍伐15年．
1．(2015·北京)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升 D ．12升
答案 B
解析 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600
－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.
2．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( ) A ．x>22% B ．x<22% C ．x ＝22% D ．以上都不对
答案 B
3．为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按照一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应该是x 的一次函数，下表给出了两套符合条件的课桌椅的高度：
现有一把高为________．(填“配套”或“不配套”) 答案 配套
解析 设一次函数为y ＝ax ＋b ，将给出条件的两套课桌椅的高度代入，得⎩⎪⎨
⎪⎧40a ＋b ＝75，
37a ＋b ＝70.2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1.6，
b ＝11，所以y ＝1.6x ＋11.当x ＝42时，y ＝78.2，故是配套的．
4．某驾驶员喝了m 升酒后，血液中的酒精含量f(x)(毫克/毫升)随时间x(小时)变化的规律近似满足表达式f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2
（0≤x≤1），35·（13）x
（x>1）.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02毫克/毫升．此驾驶员至少要过________小时后才能开车(不足1小时部分算1小时，结果精确到1小时)． 答案 4
解析 当0≤x≤1时，5
x －2
≤0.02，即x －2≤log 50.02，x ≤2＋log 50.02∉[0，1]，此时x 无
解；当x>1时，35·(13)x ≤0.02，即31－x
≤0.1，1－x≤log 30.1，x ≥1－log 30.1，得x≥3.10.
所以此驾驶员至少要过4小时后才能开车．
5．一类产品按质量共分为10个档次，最低档次产品每件利润8元，每提高一个档次每件利润增加2元，一天的工时可以生产最低档次产品60件，提高一个档次将减少3件，求生产何种档次的产品获利最大？ 答案 生产第9档次的产品获利最大 解析 将产品从低到高依次分为10个档次．
设生产第x 档次的产品(1≤x≤10，x ∈N )，利润为y 元， 则y ＝[60－3(x －1)][8＋2(x －1)]＝(63－3x)(6＋2x) ＝6(21－x)(3＋x)≤6[（21－x ）＋（3＋x ）2]2
＝6×144＝864.
当且仅当21－x ＝3＋x ，即x ＝9时取等号．
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