高考数学压轴专题最新备战高考《不等式》真题汇编含答案解析

数学《不等式》复习知识要点
一、选择题
1．已知ABC V 外接圆的半径2R =，且2
23cos sin 2
A
A =.则ABC V 周长的取值范围为（ ） A ．(23,4]
B ．(4,43]
C ．(43,423]+
D ．(423,63]+
【答案】C 【解析】 【分析】 由2
23cos
sin 2
A A =及倍角公式可得23A π=，2sin 23a R A ==，再由余弦定理可
得2212b c bc =++，再利用基本不等式及三角形两边之和大于第三边求出b c +的取值范围即可得到答案. 【详解】 由题意，2
32cos 1sin 123A A -=-，即3
cos sin 13
A A -=-，可化为 23sin 33A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3
sin 3A π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，因为0A π<<，所以33A ππ-=， 即23
A π
=
，2sin 23a R A ==，设ABC V 的内角A ，B ，C ，的对边分别为a ，b ，
c ，由余弦定理得，2212b c bc =++，因为222b c bc +≥（当且仅当b c =时取“=”），
所
以22123b c bc bc =++≥，即4bc ≤，又因为2
2
2
12()b c bc b c bc =++=+-，所以
2()124bc b c =+-≤，故4b c +≤，则423a b c ++≤+，又因为b c a +>，所以 243a b c a ++>=，即43423a b c <+++≤.故ABC V 周长的取值范围为 (43,423]+.
故选：C 【点睛】
本题考查利用余弦定理求三角形周长的取值范围，涉及到辅助角公式、基本不等式求最值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
2．若直线过点
，则
的最小值等于（ ）
A ．5
B ．
C ．6
D ．
【答案】C
【解析】∵直线过点，∴，∴
，
∵
，∴
，
，
，
当且仅当
时，等号成立，故选C.
点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
3．某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B 两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如下表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为( )
甲 乙 每天原料的可用总量 A(吨) 3 2 12 B(吨)
1
2
8
A ．12万元
B ．16万元
C ．17万元
D ．18万元
【答案】D 【解析】 【分析】
根据条件列可行域与目标函数，结合图象确定最大值取法，即得结果. 【详解】
设每天甲、乙产品的产量分别为x 吨、y 吨由已知可得3212,28,0,0,
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩
目标函数34z x y =+，作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，
可得目标函数在点P 处取得最大值，由28,
3212,
x y x y +=⎧⎨+=⎩得()2,3P ，则
max 324318z =⨯+⨯=（万元）.选D.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
4．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80
C ．90
D ．120
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
52x x ⎛ ⎝展开式的通项为：()()35552
155221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛=⋅=⋅⋅-⋅ ⎝， 取2r =得到2x 项的系数为：()2
2
5252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
5．设变量,x y 满足约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
，则目标函数5z x y =+的最大值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】D 【解析】 【分析】
由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组得到最优解的坐标，代入目标函数得到答案. 【详解】
根据约束条件0211x y x y x y -≥⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
画出可行域如图：目标函数z ＝5x +y 可化为y ＝-5x +z ，
即表示斜率为-5，截距为z 的动直线，由图可知，
当直线5z x y =+过点()1,0A 时，纵截距最大，即z 最大， 由21
1x y x y +=⎧⎨
+=⎩
得A （1，0）
∴目标函数z ＝5x +y 的最小值为z ＝5 故选D
【点睛】
本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
6．已知实数x ，y 满足不等式||2x y +≥，则2
2x y +最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．22
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
先去掉绝对值，画出不等式所表示的范围，再根据2
2x y +表示圆心在原点的圆求解其最小
圆的半径的平方，即可求解. 【详解】 由题意，可得
当0y ≥时，2x y +≥ （2）当0y <时，2x y -≥
如图所示，画出的图形，可得不等式表示的就是阴影部分的图形， 又由2
2x
y +最小值即为原点到直线的垂线段的长度的平方，
又由22
22211d -==+，所以24d =，
即2
2x
y +最小值为4.
故选：B .
【点睛】
本题主要考查了线性规划的知识，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及计算能力.
7．已知集合{}
0lg 2lg3P x x =<<，2
12Q x x ⎧
⎫=>⎨⎬-⎩⎭
，则P Q I 为( )
A ．()0,2
B ．()1,9
C ．()1,4
D ．()1,2
【答案】D 【解析】 【分析】
集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】
解：{}
19P x x =<<，{}
02Q x x =<<；
()1,2P Q ∴⋂=.
故选：D. 【点睛】
本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 简单对数不等式问题的求解策略：
(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．
(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．
分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0.
8．已知x，y满足约束条件
1,
22,
326,
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
，若22
x y z
+≥恒成立，则实数z的最大值为
（）
A．
2
2
B．
25 C．
1
2
D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件所表示的平面区域，根据22
x y+的几何意义，结合平面区域求得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，即可求解．
【详解】
由题意，画出约束条件
1
22
326
x y
x y
x y
+≥
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪+≤
⎩
所表示的平面区域，如图所示，
要使得22
x y z
+≥恒成立，只需()
22
min
z x y
≥+，
因为22
x y+表示原点到可行域内点的距离的平方，
结合平面区域，可得原点到直线10
x y
+-=的距离的平方最小，
其中最小值距离为
22
12
11
d
-
==
+
，则2
1
2
d=，即
1
2
z≤
所以数z的最大值
1
2
．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划的应用，其中解答中正确作出约束条件所表示的平面区域，结合22
x y+的几何意义求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及计算能力．
9．变量,x y 满足约束条件1
{2
314
y x y x y ≥--≥+≤，若使z ax y =+取得最大值的最优解不唯一，则
实数a 的取值集合是（ ） A ．{3,0}- B ．{3,1}-
C ．{0,1}
D ．{3,0,1}-
【答案】B 【解析】
若0a =，结合图形可知不合题设，故排除答案A ，C ，D ，应选答案B ．
10．已知函数()2
f x ax bx =+，满足()()241f f -≥≥，()12f -≤，则()2f 的最大
值为（ ） A ．12 B ．13
C ．14
D ．15
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件可得,a b 满足的不等式2242a b a b a b -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，作出不等式组所表示的平面区域，又
()242f a b =+，利用线性规划即可求出()2f 的最大值．
【详解】
由已知得2242a b a b a b -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，可得(),P a b 的表示的平面区域如图：
可求出()3,1A ，()2,2B ，()0,2C -， 目标函数()242z f a b ==+，可化为1
22
b a z =-+，当直线过点A 时，max 14z =. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查求线性约束条件下的最值计算，关键是根据,a b 满足的不等式作出可行域，并将目标函数()242z f a b ==+变形为1
22
b a z =-+
进行平移，找到截距的最大值．
11．设m ，n 为正数，且2m n +=，则1312
n m n ++++的最小值为（ ） A ．
32
B ．
53 C ．
74
D ．
95
【答案】D 【解析】 【分析】
根据2m n +=，化简135112(1)(2)
n m n m n ++=++++⋅+，根据均值不等式，即可求得答案； 【详解】 当2m n +=时，
Q
131111212
n m n m n ++=++++++
35
11(1)(2)(1)(2)
m n m n m n ++=
+=++⋅++⋅+
Q 2
1225(1)(2)24m n m n +++⎛⎫+⋅+≤= ⎪⎝⎭
，
当且仅当12m n +=+时，即31
22
m n =
=，取等号， ∴
139
125n m n ++≥++. 故选：D 【点睛】
本题主要考查了根据均值不等式求最值，解题关键是灵活使用均值不等式，注意要验证等号的是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
12．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断. 【详解】
22x y +≥Q 且224x y
+≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ， 等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ， 等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤，
反过来，当1
2,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件. 故选:C 【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
13．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．2
B ．
12 C ．-2 D ．12
- 【答案】A
【解析】
【分析】
由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果.
【详解】
由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：
当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =.
故选：A .
【点睛】 本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.
14．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q
+的最小值为（ ） A ．2
B ．52
C ．94
D ．4 【答案】C 【解析】
【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到
11p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，
所以有()4E X np ==，
()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14q p +
=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 559214444
4q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭， 当且仅当423
q p ==时取得等号． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
15．若两个正实数x ，y 满足142x y +=，且不等式2m 4
y x m +<-有解，则实数m 的取值范围是 ( )
A ．(1,2)-
B ．(,2)(1,)-∞-+∞U
C ．()2,1-
D ．(,1)(2,)-∞-+∞U 【答案】D
【解析】
【分析】
将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m 的取值范围.
【详解】 若不等式24y x m m +<-有解，即2()4
min y m m x ->+即可， 142x y +=Q ，1212x y
∴+=， 则
121221112121124422482y y x y x x x y y x ⎛⎫⎛⎫+
=++=+++≥+=+=+⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当
28x y y x =，即2216y x =，即4y x =时取等号，此时1x =，4y =， 即()24
min y x +=， 则由22m m ->得220m m -->，即()()120m m +->，
得2m >或1m <-，
即实数m 的取值范围是()(),12,-∞-⋃+∞，
故选D ．
本题主要考查基本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决本题的关键．
16．已知M 、N 是不等式组1,1,10,
6
x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则
||MN 的最大值是（ ）
A ．17 B
．342 C ．32 D ．172
【答案】A
【解析】
【分析】
先作可行域，再根据图象确定MN 的最大值取法，并求结果.
【详解】
作可行域，为图中四边形ABCD 及其内部，由图象得A(1,1),B(2,1),C(3.5,2.5),D(1,5)四点共圆，BD 为直径，所以MN 的最大值为BD=21417+=,选A.
【点睛】
线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
17．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B
【分析】 由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+= (
)212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
18．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1- 【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.
【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
19．若x 、y 满足约束条件4200x y x y y +≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，目标函数z ax y =+取得最大值时的最优解仅
为(1,3)，则a 的取值范围为（ ）
A ．(1,1)-
B ．(0,1)
C ．(,1)(1,)-∞⋃+∞
D ．(1,0]-
【答案】A
【解析】
【分析】
结合不等式组，绘制可行域，判定目标函数可能的位置，计算参数范围，即可．
【详解】
结合不等式组，绘制可行域，得到：
目标函数转化为y ax z =-+，当0a -≥时，则<1a -，此时a 的范围为(]1,0-
当0a -<时，则1a ->-，此时a 的范围为()0,1，综上所述，a 的范围为()1,1-，故选A ．
【点睛】
本道题考查了线性规划问题，根据最值计算参数，关键明白目标函数在坐标轴上可能的位置，难度偏难．
20．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞
B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞ 【答案】C
【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4a x x ≤+
对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4[4,5]x x
+∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.。