江西省赣州市高三数学上学期期末考试 文
2022届江西省赣州市高三上学期期末数学(文)试题(解析)
2022届江西省赣州市高三上学期期末数学（文）试题一、单选题1．复数2（i为虚数单位）的共轭复数是1iA．1i【答案】CB．1i C．1i D．1i【分析】先化简复数为代数形式，再根据共轭复数概念求解.【详解】因为21i,所以其共轭复数是1i，选C.1i【点睛】本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基本题.x2．已知集合A x21，B x x11，则A B（）A．x x0C．{x|x0或x2}【答案】A【分析】化简集合A,B即得解.【详解】解：，B．x x0D．B x x11{x|x11或x11}={x|x2或x0}，所以A B x x0.故选：A3．某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行001，002，…，599，600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）A．457【答案】D【分析】从表中第5行第6列开始向右读取数据，求得前6个编号，由此得到结果.【详解】解：从表中第5行第6列开始向右读取数据，得到的前6个编号分别是：253，313，457，007，328，072，则得到的第6个样本编号是072．故选：D．B．328C．253D．0724．已知等比数列a n的各项均为正数，且a 1a69，则log 3a1log 3a2log 3a6（）A ．6【答案】A【分析】将所求式子利用对数运算法则和等比数列性质可化为log 3a 1a6，代入求得结果.【详解】∵等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 69，3B ．9C ．27D ．81log 3a1log 3a2l og 3a6lo g 3a 1a2故选：A.a6log 3a 1a6log 393631x 25．已知双曲线C 的一条渐近线方程为y x ，且与椭圆y 21有公共焦点，则双26曲线C 的标准方程为（）x 2y 2A ．163x 2C ．y214y 2x 2B ．163x 2D ．y142【答案】Cx 2y 2【分析】由题意设双曲线方程为221(a 0,b 0)，则a 2a b 22b 1，求出a,b 的值，a b 61从而可得双曲线方程x 2y 2【详解】由题意设双曲线方程为221(a 0,b 0)，a b 1x 2因为双曲线C 的一条渐近线方程为y x ，且与椭圆y 21有公共焦点，26b 1a 2所以a 2，解得，b 122a b 61x 2所以双曲线C 的标准方程为y 21，4故选：C6．已知实数a 满足0log 21a3，则直线y x a 与圆x 1y 22有公共点的2概率为（）A ．【答案】D【分析】解对数不等式得7a 0，再根据直线与圆的位置关系得3a 1，最后根271B ．74C ．73D ．7据几何概型求解即可.【详解】解：因为log210log21a3log28，所以，即7a0，2因为直线y x a与圆x1y22有公共点，所以1a22，解得3a1，32所以直线y x a与圆x1y22有公共点的概率为7故选：Dsin sin217．若，则tan2（）3cos cos()23 A．43B．44C．34D．3【答案】C【分析】对已知式子化简求出tan的值，再利用正切的二倍角公式可求出结果sin sin21【详解】由，得3cos cos()2sin cos1，sin cos3由此式可知cos0，所以1tan11，得tan，tan132212tan24，所以tan21tan21134故选：C8．已知函数y a x12a0,a1的图像恒过的定点A，且A点在直线11的最小值为（）m n1mx y n0m,n0上，则A．4【答案】DB．3C．2D．1【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出m n14，再利用“1”的妙用即可得解.【详解】解：函数y a x12(a0,a1)中，由x10可得x1，y3，即函数的图象恒过定点A(1,3)，若点A在直线mx y n0m,n0上，即有m n14，于是得111111n1m1n1m(m n+1)()(2(22)1，m n14m n+14m n14m n1当且仅当m2，n=1时取“=”，所以m2，n=1时，故选：D9．铸于明嘉靖十二年的泰山岱庙铁塔，造型质朴雄伟，原有十三级，抗日战争中被日军飞机炸毁，现仅存三级，它的底座是近似圆形的，如图1．我国古代工匠已经知道，将长方体砖块以某个固定的角度相接就可砌出近似圆形的建筑，现存铁塔的底座是用10块一样的长方体砖块砌成的近似圆形的墙面，每块长方体砖块底面较长的边长为1个单位，相邻两块砖之间的夹角固定为36°，如图2，则此近似圆形墙面内部所能容纳最大圆的半径是（）11的最小值为1.m n+1A．2tan18B．12tan18C．5D．5【答案】BABAOB【分析】如图所示，由即可解出结果．tan22r【详解】如图，设O为内切圆的圆心r为内切圆的半径．由AOB36．AB1，tanAOB AB11，得tan18，解得r．22r2r2tan18故选：B10．在下列五个命题中，其中正确的个数为（）①命题“x R，都有x2x10”的否定为“x R，有x2x10”；②已知a k 1,42k ，b4,1，若a 与b 夹角为锐角，则k 的取值范围是k0；③“11”成立的一个充分不必要条件是“0x 1”；x④已知l 是一条直线，，是两个不同的平面，若l，l ，则∥.⑤函数y 2sin 2x 的图像向左平移个单位后所得函数解析式为y 2sin2x .33A ．4【答案】C【分析】对于①：由全称命题的否定直接判断；对于②：取特殊值k 17直接否定结论；9B ．3C ．2D ．11对于③：用定义法判断“1”成立的一个充分不必要条件是“0x 1”成立；x对于④：利用线面垂直的性质定理即可证明；对于⑤：由图像的相位变化直接求解.【详解】对于①：命题“x R ，都有x 2x 10”的否定为“x R ，有x 2x 10”，故①错误；对于②：当k “对于③：1782时，ak 1,42k,，b 4,1，此时a //b .故②错误；99911”等价于“0x 1”.因为“0x 1”“0x 1”，但是“0x 1”不能x 1推出“0x 1”，所以“1”成立的一个充分不必要条件是“0x 1”成立，故③正确；x对于④：由线面垂直的性质定理，因为l ，l ，所以∥.故④正确；对于⑤：函数y 2sin 2x 的图像向左平移个单位后所得函数解析式为33y2sin 2x.故⑤错误.3故选：C11．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为6，则过A ，C ，D 1三点的平面与该正方体内切球截面的面积为（）A ．3π【答案】BD 1三点的平面PFQ ，C ，【分析】作出正方体中过A ，且P、F、Q 分别是AD 1、AC 、D 1C B ．6πC ．9πD ．12π的中点，可得FP =FQ =PQ32，则过A ，C ，D 1三点的截面为球内过这三点的截面圆，求出截面圆的半径可得答案.【详解】D 1三点的平面PFQ 与正方体切于P、F、Q ，C ，如图正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，过A ，且P、F、Q 分别是AD 1、AC 、D 1C 的中点，正方体内切球为O ，连接OP 、OQ 、OF ，则OP 、OQ 、OF 互相垂直，且OP =OQ =OF3，所以FP =FQ =PQ32，则过A ，C ，D 1三点的截面为球内过这三点的截面圆，PF 326，其面积为截面圆的半径为R 2sin603故选：B.626.12．已知f x 是定义在R 上的奇函数，且当x0,时，都有不等式f xxf x 0215b2fa 4f 4成立，若，2，c log 19f 315log 31，则a ，b ，c 的大小关系3是（）A ．a b c C ．ba c【答案】A【分析】根据条件构造函数g(x)数单调性的性质进行比较即可．【详解】当x (0,)时不等式f(x)xf (x)0成立，(f(x)f (x)x f(x))0，xx 2B ．a c b D ．a b cf(x)，求函数的导数，判断函数的单调性，结合函xg(x)f(x)在(0,)上是减函数．x15则a 4f(4)15f(4)41515g(4)，b2f(152)2f(2)2g(2)，222c log19f(log1331f()12g(1)3)2f()，1222又函数y f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)12f(x)是定义在R上的偶函数，x12则g()g()，415154101161102521，22g(x)在(0,)上是减函数，g(4)g(1521)g()，22则a b c，故选：A．二、填空题13．已知向量a(1,k),b(k2,1)，若(a2b)b，则k___________.【答案】2或33或2【分析】以向量垂直充要条件解之即可求得参数k的值.【详解】由a(1,k),b(k2,1)，可得a2b=(52k,k2)由(a2b)b，得k252k k20，解之得k2或k3故答案为：2或314．设曲线y121x在点A1,处的切线与曲线y xlnx在点P处的切线互相平行，则22点P的坐标为___________.【答案】1,0【分析】分别求出y案.【详解】设P(x,y)，因为y所以曲线y12x的导数为y x，212x，y xlnx的导数，结合导数的几何意义及切线平行可得答2121x在点A1,处的切线的斜率为1，22因为y xlnx的导数为y1lnx，曲线y xlnx在点P处的切线斜率为所以1lnx1，解得x1，代入y xlnx可得y0，故P(1,0).故答案为：1,0.，15．B ，C 在E 上，O 是坐标原点，抛物线E ：y 24x 的焦点为F ，点A ，若点F 为ABC2S 3.则S 12S 2S 2，S 32___________.△OFB ，△OFC 的面积分别为S 1，的重心，OFA ，【答案】3【分析】设出点A 、B 、C 三点坐标,根据F 为△ABC 的重心,可得三点横坐标的关系,求222出S 1S2S 3的表达式，最后根据每点的横坐标、纵坐标关系即可求出答案.222【详解】设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),所以有y 14x 1,y24x 2,y 34x 3,x1x2x3y1y 2y3,抛物线的焦点坐标为F (1,0),△ABC 的重心坐标为,33由题意可知：x1x 2x31,即x 1x2x33，3222111S S2S3OF y1OF y2O F y3222212212y 1y 22y 32x 1x 2x 3,4222所以S 1S2S3x1x2x33.故答案为：3.16．已知a ，b ，c 分别为ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，b 9，且1accosBa2b2bc ，O 是ABC 内一点，且满足为OA OB OC0，BAO45，3则OA =___________.【答案】4【分析】利用余弦定理求得cosA 的值，再根据平方关系求得sinA 的值，由题意知O 为ABC 的重心，且SABOS ABC，利用三角形的面积公式求出|OA |的值．122【详解】解：ABC 中，accosB abbc ，3a 2c 2b 21a2b2bc ，由余弦定理可得ac2ac32b 2c 2a 2bc ，32bc b c a 13cosA，2bc2bc322213sinA22；3b 9，BAO45，且OAOB OC0，O为ABC的重心，且S121132ABO1S3ABC，如图所示；则c|OA|sin45cbsin BAC，解得|OA|4．故答案为：4．三、解答题17．近年来，赣州市坚持把传承弘扬红色基因作为文艺作品创作的主方向，深入挖掘赣南红色文化资源，每年策划一批红色题材的创作选题，推出一批精品力作.2021年，在中国共产党建党一百周年之际，从众多作品中选取了100件进行会展，被选取作品的创作者的年龄（单位：岁）集中在20,80内，根据统计，得到频率分布直方图（如图）.(1)根据频率分布直方图，求年龄在60,70的人数以及这100位创作者年龄的中位数（精确到0.1）；(2)从这100位创作者中采用分层抽样的方法选出20位参加交流会，再从前三组中选出2人的作品整理入册，求这2人中至多有1人的年龄在40,50的概率.【答案】(1)25人，中位数是56.74(2)5【分析】（1）先求出年龄在60,70的频率，再求人数；判断出中位数落在第四组，设为x，列方程即可求得.（2）利用分层抽样，计算出前三组共有6人，利用古典概型的概率计算公式即可求得.(1)由图可知，年龄在60,70的频率为1100.0050.0100.0150.0300.0150.250所以年龄在60,70的人数为1000.25025（人），所以前三组的频率和为100.0050.0100.0150.300，前四组的频率和为100.0050.0100.0150.0300.600所以中位数落在第四组，设为x，因此有x500.200即x56.7 100.300所以中位数是56.7.(2)依题意按照分层抽样，年龄在20,30的人数为20100.0051（人），记为A;年龄在30,40的人数为20100.0102（人）,记为a、b；年龄在40,50的人数为20100.0153（人），记为1、2、3.所以前三组共有6人，从6人中任意抽取2人的基本事件：Aa,Ab,A1,A2,A3,ab,a1,a2,a3,b1,b2,b3,12,13,23，共15个，其中至多有1人来自40,50的基本事件有：Aa,Ab,A1,A2,A3,ab,a1,a2,a3,b1,b2,b3共12个，故至多有1人来自40,50的概率为P 124.155218．已知正项数列an 的前n项和为Sn，且满足4Snan2an，a13.(1)求数列an 的通项公式an；(2)已知bn1，求数列bn的前n项和Tn. 2an1*【答案】(1)an2n n N(2)Tnn2n1【分析】（1）利用n2时anSnSn1可得答案；（2）利用裂项相消求和可得答案.(1)2当n2时，4Sn1an12an1，22∴4an4Sn4Sn1an2anan12an1，整理得2anan1anan1anan1anan1，22因为an0，∴anan12n2,n N，*2当n1时，4S1a12a1，解得：a10或a12，因为an0，∴a12，所以an是以a12为首项，以d2为公差的等差数列，*即an22n12n n N.(2)由（1）得bn14n21111，2n12n122n12n11111111所以Tnb1b2bn1，23352n12n111n∴Tn1.22n12n119．N分别是DC，BC的中点，边长为2的正方形ABCD中，点M，现将ABN，△ADM 分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P.(1)证明：平面APN 平面PMN ；(2)求多面体APCMN的体积.【答案】(1)证明见解析；4(2).9【分析】（1）证明AP 平面PMN ，原题即得证；（2）设h 为点P 到底面AMN 的距离，利用V A PMNVP AMN求出h ，利用锥体的体积公式求解.(1)证明：在正方形ABCD 中有AB BC ，ADDC∴AP PM ，APPN ，又PM所以AP 平面PMN ，而AP平面APN ，所以平面APN 平面PMN.(2)解：易知AM AN5，PMPN1，∴S △PMN∴S △AMNS正方形S△ABNS△ADM S△CMN41112PNP ,PM ,PN平面PMN ,132211由VA PMNVP AMN得S △PMNPAS △AMNh （其中h 为点P 到底面AMN 的距离）33132即2h ，∴h .223124因此该多面体的体积V2.339y 2x 220．已知点M 是椭圆C ：221a b0上一点，F 1，F 2分别为椭圆C 的上、下a b 焦点，F 1F24，当F 1MF290，△F 1MF 2的面积为5.(1)求椭圆C 的方程：(2)设过点F 2的直线l 和椭圆C 交于两点A ，B ，是否存在直线l ，使得OAF 2与△OBF 1（O是坐标原点）的面积比值为5：7.若存在，求出直线l 的方程：若不存在，说明理由.y 2x 2【答案】(1)195(2)存在，y15x 215△F 1MF 2的面积可求出a,b ，【分析】（1）根据焦距可求出c,再根据F 1MF 290以及即得椭圆方程；（2）设直线方程并和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，根据OAF 2与△OBF 1的5面积比值为5：7，得到相关等式x 1x 2，联立根与系数的关系式化简，即可得到结7论.(1)由F 1F 242cc 2,由S △F 1MF21MF 1MF25MF1MF210,22216,F 1MF21MF 290,故MF ∴MF 1MF22MF 1MF22MF1MF236,22∴MF 1MF262aa 3,∴b 2a 2c 25，y 2x 2即椭圆的标准方程为1.95(2)假设满足条件的直线l 存在，当直线l 的斜率不存在时，不合题意，不妨设直线l ：y kx 2，A x 1,y 1，B x 2,y 2，显然x 1x 20，y kx 222联立y 2x 2，得5k 9x 20kx 250，15920kxx1125k 29所以，25x x2125k 29因为5即x1x 2（3），7，SOBF 1S △OAF 2x x5111，c x 2，得S △OBF1x2x272由（1），（3），得x270k（4），5k 29115，k1515将（1）（4）代入（3）得k 2所以直线l 的方程为y15x 2，15故存在直线l ，使得OAF 2与△OBF 1的面积比值为5：7.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系，涉及到椭圆中的三角形面积问题，解答时一般思路是要将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，再将该关系式代入到相关等式中化简，其中计算量大,多是关于字母参数的运算，要求计算准确，需要细心和耐心.2x 21．已知函数f xx ax 1e e 2.71828.(1)当a 1时，求函数f x 的极值；x (2)若不等式f xf xxe a 1在x0,上恒成立，求实数a 的最大整数.【答案】(1)极大值为f 1(2)23，极小值为f 01e【分析】（1）求出f x ，令f x 0、f x 0可得函数的单调性和极值；x e x 1（2）由x a e a 10在x0,恒成立，转化为ax 在x 0,恒成e 1x e x e x x 2x e x 1立，设g x x ，则g x ，则利用导数判断出g x 的单调性和最2e 1e x 1值可得答案.(1)2x 当a 1时f x x x 1e ，x2x2x 所以f x 2x 1e x x 1e x x e ，由f x 0得x1或x0；由f x 0得1x 0；即f x 在,1和0,上单调递增，在所以f x 的极大值为f 1(2)2x 由于f xx 2a x 1a e ，2x 2x x原不等式可化为x ax 1e x 2a x 1a e x e a 1，1,0上单调递减；3，极小值为f 01.ex 整理得x a e a 10在x 0,恒成立，x e x 1所以ax 在x 0,恒成立，e 1设g xx e 1，则g x x e 1x e x e x x 2e x 12，x x 令h x e x 2，则h x e 1x 0，所以h x 在x 0,上为增函数，2又h 1e 30，h 2e 40，所以存在唯一实数x 01,2使得h x0，当x 0,x 0时g x0，g x 在x 0,x 0上为减函数，当x x 0,时g x 0，g x 在xx 0,上为增函数，∴g xmin∴g xx 0e x 01x x ，而h x0e 0x20即e 0x2，g xx 0e 1x 0x 021x12,3，x 21因此实数a 的最大整数为2.【点睛】本题考查了求函数极值和恒成立求参数的问题，对于恒成立求参数的问题，可以分离参数构造函数，通过导数研究函数的单调性、极值、最值来处理，考查了学生分析问题、解决问题的能力.1x mm22．曲线C 的参数方程为（m 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为1ymm极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 2.3(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)已知点M (4,0)，若直线l 与曲线C 交于P ，Q 两点，求【答案】(1)x 2y 24，x 3y 40(2)3311的值.|MP ||MQ |【分析】（1）消去参数m ，即可得到曲线C 的普通方程，再根据极坐标与直角坐标互化公式即可得到直线l 的直角坐标方程；（2）根据题意求出直线l 的标准式参数方程，再根据t 的几何意义即可求出．(1)1x mm由消去m 得曲线C 的普通方程为x 2y 24；ym1m13cos2cos sin ∵，∴2；322∴(cos 3sin )40，∴x 3y 40，即是直线l 的直角坐标方程．(2)直线l:x3y 40过点M (4,0)，则直线l 的倾斜角为150，3x 4t2则可设直线l 的参数方程为（t 为参数），1yt 2令P ，Q 两点对应的参数为t1,t 2，3x 4t122把代入x 2y 24，得t 43t 120，2y 1t 2∴t 1t2830,t 1t2240，∴t10,t20，∴1111t 1t 2833.|MP ||MQ |t1t2t 1t224323．已知函数f(x)|x 1||2x m |(m R ).(1)当m1时，求f(x)2的解集；(2)若f(x)|x 1|的解集包含[1,2]，求实数m 的取值范围.2【答案】(1),03(2)[2,4]【分析】（1）分类讨论去绝对值即可得到f(x)2的解集；（2）把题给条件f(x)|x 1|的解集包含[1,2]，转化为当x [1,2]时不等式f(x)|x 1|恒成立，分离参数法解决恒成立问题即可解决.(1)当m 1时，f(x)|x 1||2x 1|2.12①当x时，f(x)1x 2x 13x 2，∴x，32∴21x，321x 1时，f(x)1x 2x 1x 22，∴x 0，2②当1∴x 0.2③当x 1时，f(x)x 12x 13x 2，∴x 2综上，不等式f(x)2的解集为,032，∴不等式无解，3(2)由题意可知当x[1,2]时不等式f(x)|x1|恒成立，∴当x[1,2]时，f(x)x1|2x m|x1恒成立，∴当x[1,2]时，|2x m|2恒成立，∴当x[1,2]时，22x m2恒成立，∴当x[1,2]时，2x2m2x2恒成立，又当x[1,2]时，2x22，2x24∴2m4，即m[2,4].。
2020届江西省赣州市2017级高三上学期期末考试数学(文)试卷及解析
2020届江西省赣州市2017级高三上学期期末考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)1.已知集合{}2|230A x x x =--≥,{|22}B x N x =∈-<<,则()R A B =（ ）A. {}|12x x -<<B. {}|23x x -<<C. {}1,0,1-D. {}0,1 【答案】D【解析】由题可知,解一元二次方程2230x x --≥ 可求出集合A ,然后可求出A R ,再与B 取交集即可. 【详解】因为2230x x --≥.所以：1x ≤- 或3x ≥ 所以{}13A x x x 或=≤-≥,得{}13R A x x =-<<.又因为 {}{|22}0,1B x N x =∈-<<=.所以 (){}0,1R A B ⋂=. 故选:D.2.在复平面中,复数34i z i =-的共轭复数z 所对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】C 【解析】由复数代数形式的除法运算化简复数z ,求出z ,得到对应点坐标,即可得所在象限. 【详解】因为复数()()()344334343425i i i i z i i i +-+===--+. 得432525z i =-+ 所以432525z i =--z 的对应点为43,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭,位于第三象限. 故选:C.3.下图是相关变量,x y 的散点图,现对这两个变量进行线性相关分析,方案一：根据图中所有数据,得到线性回归方程：11ˆyb x a =+,相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,32),根据剩下数据,得到线性回归方程：22ˆyb x a =+,相关系数为2r ；则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<<【答案】A【解析】 由散点图可判断正负相关,得出12,r r 为正,再结合剔除点前后的回归直线,即可比较出12,r r .【详解】由散点图分布图可知,变量x 和y 成正相关,所以1201,01r r <<<< ,在剔除点(10,32)之后,且可看出回归直线22ˆyb x a =+的线性相关程度更强,2r 更接近1. 所以1201r r <<< .故选:A.【点睛】本题主要考查散点图的正负相关以及变量的相关性,相关系数r 的意义：①当散点分布呈正相关,0r >；负相关,0r <；②0||1,||r r <<越接近1,说明两个变量越具有线性相关关系,即线性关系越强.4.若3log 0.20.232,3,log 0.2a b c ===,则下列结论正确的是（ ）A. c b a >>B. b a c >>。
江西省赣州市高三上学期期末考试——数学文数学文
又时，满足（不检验，应扣1分）
所以………………………………………………………………………………5分
（方法2）因为数列是各项均不为的等差数列，
所以 ……………………………2分
又
所以 …………………………5分
所以………………………………………………………………………………6分
即在上有解，也即在上有解，
所以，得，
故所求实数的取值范围是………………………………………………………4分
（2）因为
因为 ……………………………………………………5分
令，设的两根为和，则
因为为函数的极大值点，，所以，………………6分
所以 ，则…………………………………………7分
因为 ，…8分
令 ，，
所以 ……………………………………………………………9分
从这名学生中随机抽取人，共有： ，
， ，
， ，共21种情况…………………9分
而恰好有人为组学生的，，，，，，，， 共有12种…………………11分
所以恰好有1人为组学生的概率为……………………………………………12分
19．解：（1）如图甲所示，因为是等腰梯形的高，，
所以，
因为，，可得，……………………………2分
所以不论为何值时，直线与圆都有两个交点……………………………………5分
（注：也可证明圆心到直线的距离小于半径；或直线过定点在圆的内部）
（2）设，则，
由（1）得 ………………………………………6分
特别地，令，则
此时，直线与x轴的交点为…………8分
若直线与x轴交于一个定点，则定点只能为，
以下证明直线与轴交于定点，
江西省赣州市2020届高三上学期期末考试数学(文)试题 PDF版含答案
赣州市2019～20202学年度第一学期高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分题序123456789101112答案D C A B A C B D B C D C12．解：构造函数()1x g x e --=，则()10x g x e -'-+'=>，∴函数()g x 在R 上单调递增．又∵()11x f x e -->，()11g =，∴原不等式等价于()()1g x g >，∴原不等式的解集为()1+∞，．.二、填空题13.12；14.2-；15.6；16.14π.16．（解法一）:因为2,3PC BC PB ===，所以PC BC ⊥，同理AB BC ⊥当平面PCB ⊥平面ACB 时，三棱锥P ABC -的体积取最大值．知,PCA PBA ∆∆是以PA 为公共斜边的直角三角形，PA ，取PA 的中点O ,得2OA OB OC OP ====,知点O 即为三棱锥P ABC -外接球的球心，此时三棱锥P ABC -的外接球直径2R PA ==，则外接球的表面积为14π．（解法二）：结合常见几何体鳖臑，将三棱锥补形成长方体，则PA 恰为长方体体对角线即外接球直径．一、解答题17．解：（1）设数列{}n a 公比为q ，因为12a ，2321a +，354a 成等差数列，所以13252324a a a +=+，即251240q q -+=……………………………………………2分得2q =或25q =………………………………………………………………………………3分因为1q >，所以2q =………………………………………………………………………4分所以1222n n n a -=⨯=…………………………………………………………………………6分（2）因为2123log ()n n a a a a b =⋅⋅⋅⋅ ，得(1)2n n n b +=…………………………………8分2112((1)1n c n n n n =-++=…………………………………………………………………9分∴1111112[(1)()...()]2(1)22311n T n n n =-+-++-=-++21n n =+……………………12分18．解：（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1,0.2,0.2,0.3,0.15,0.05……………………………………………………2分0.1170+0.2190+0.2210+0.3230+0.15250+0.05270=217x =⨯⨯⨯⨯⨯⨯……………4分190x s -≈，∵187190<∴该生属于“体能不达标”的学生……………………………6分（2）由题意，跳远距离在[)[)[)160,180,180,200,200,220的人数分别为12人、24人、24人按分层抽样抽取5人，则[)160,180抽1人，[)180,200抽2人，[)200,220抽2人…7分设[)160,180抽出的人编号为a ，[)180,200抽出的人编号为,b c ，[)200,220抽出的人编号为,d e从中选两人，()()()(),,,,,,,,a b a c a d a e ()()()()()(),,,,,,,,,,,b c b d b e c d c e d e ，共有10种情况…………………………………………………………………………………8分记选出的两人中恰有一人跳远距离在[)200,220为事件A ，满足条件的基本事件有6种，分别为()()()()()(),,,,,,,,,,,a d a e b d b e c d c e …………………………………………10分∴()63105P A ==……………………………………………………………………………12分19．解：（1）证明：由题意，易得2BE CE BC ===，∴222BE CE BC +=即BE CE ⊥…………………………………………………………2分又∵平面PBE ⊥平面BCDE ，交线为BE ∴CE ⊥平面PBE∴CE PB ⊥……………………………………………………………………………………4分又∵PB PE ⊥∴PB ⊥平面PEC …………………………………………………………6分（2）取BE 中点O ，连接PO ∵PB PE =∴,2PO BE PO ⊥=………………………………………………………7分又∵平面PBE ⊥平面BCDE ，交线为BE ∴PO ⊥平面BCDE ………………………8分∵M 为PB 的中点，N 为PC 的中点∴1111112221244432224M CDN M PCD B PCD P BCD V V V V ----====⨯⨯⨯⨯⨯…………12分20．解：（1）2222213122a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪⎨==⎪⎪=-⎪⎩解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩………………………………………………2分∴椭圆方程为22142x y +=……………………………………………………………………4分（2）当0k =时，24,4PF MN a PF OF c MN ======……………………5分当0k ≠时，直线l方程为(y k x =-，假设,M N 两点坐标分别为()()1122,,,x y x y ，把直线l 代入椭圆方程2224x y +=中得：()222221440k x x k +-+-=，显然0∆>恒成立2212122244,2121k x x x x k k -+==++ (7)分()2122412+1k MN x k +=-==………………………8分则线段MN中点坐标为222,2121k k ⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭，线段MN的中垂线方程为22212121y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪ ⎪++⎝⎭，即21221y x k k =-++令0y =，则2221P x k =+，)22121k PF k +==+………………………10分∴24PF MN =………………………………………………………………………………11分综上所述，24PFMN =（定值）……………………………………………………………12分21．解：（1）∵()()12x f x x m e nx '=-+-，()f x 在1x =处的切线方程为y ex e=-∴()()101f f e =⎧⎪⎨'=⎪⎩∴()()1022m e n m e n e --=⎧⎪⎨--=⎪⎩……………………………………………………2分解得10m n =⎧⎨=⎩……………………………………………………………………………………4分（2）解法1：∵()()1e x f x x =-，由()3f x ax -≥∴()1e 3311e x x x a xx x -+⎛⎫=+- ⎪⎝⎭≤………………………………………………………5分令31()1e x g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()22221e 33111e x x x x g x x x x x -+-⎛⎫'=-+-+= ⎪⎝⎭令()2()1e 3x h x x x =-+-，则()()2e 0x h x x x '=+>()h x 在()0+∞，上单调递增，()21e 30,(2)3e 30h h =-<=->∴()01,2x ∃∈，使得()00h x =，即()0200130x x x e -+-=∴02003e 1x x x =-+……………………………………………………………………………8分()g x 在()00,x 上递减，在()0+x ∞，上递增()()0002min 000000131331e 1x x g x g x x x x x x x ⎛⎫-==+-=+ ⎪-+⎝⎭02000033111x x x x x ==-++-，∵()01,2x ∈∴001522x x <+<，0013112x x <+-<∴()min 23g x <<……………………………………………………………………………10分∵a ∈Z ，∴整数a 的最大值为2……………………………………………………………12分解法2：令()()()31e 3xg x f x ax x ax =-+=--+()e x g x x a '=-显然()g x '在()0+∞，上递增……………………………………………5分当0a ≤时，()g 0x '>,()g x 在()0+∞，上递增，()()020g x g >=>，合题意当0a >时，()00g a '=-<，则()00,x ∃∈+∞,()00g x '=，即00x x e a=()g x 在()00x ，上递减，在()0+x ∞，上递增………………………………………………6分()()()()000000min 013130x a g x g x x e ax x ax x ==--+=-⋅-+≥即()200013a x x x -+≤，而20010x x -+>恒成立∴02000033=111x a x x x x -++-≤………………………………………………………………8分∵00x >，0012x x +≥，∴3a ≤.又∵a ∈Z .若3a =，()()()1e 3x g x x =-⋅-，()01,ln 3x ∃∈，使得()00g x <，不合题意舍去.若2a =，1e 2022g ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，()1e 2>0g '=-.01,12x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，()00g x '=()g x 在()00x ，上递减，在()0+x ∞，上递增001522x x <+<，0032<311x x <+-………………………………………………………10分∴2a ≤，合题意∴整数a 的最大值为2………………………………………………………………………2分22.解：（1）曲线1C 的普通方程为2100x y +-=………………………………………2分曲线2C的极坐标方程为ρ=()223+sin 48ρθ=曲线2C 的普通方程为223448x y +=，即2211612x y +=……………………………………5分（2）设点()4cos ,P αα……………………………………………………………6分则点P 到直线2100x y +-=的距离为d ==……………………………………8分当sin =16π⎛⎫α+ ⎪⎝⎭，即=3πα时PM取最小值5，此时点P 坐标为()2,3………………………………………………………………………10分23.解：（1）()211f x x x =-++()311212132x x x x x x ⎧⎪--⎪⎪⎛⎫=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≥……………………………2分∴132x x -⎧⎨-⎩≤≥或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩≥或1232x x ⎧⎪⎨⎪⎩≥≥∴1x -≤或10x -<≤或23x ≥∴不等式的解集为(]2,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭………………………………………………………5分（2）由()311()212132x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪⎛⎫=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩≤≥可知min 13()22f x f m ⎛⎫=== ⎪⎝⎭……………………………………………………………7分∴323a b +=，0,0a b >>∴()23123194326633a b a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(1663++≥8=∴当且仅当94323a b b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即当13,24a b ==时23a b +的最小值为8………………………………………………10分。
江西省赣州市高三数学上学期期末考试试题 文
赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高三数学（文科）试题（考试时间120分钟. 共150分）第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每一小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1.复数2i1i--的共轭复数是 A.3i 2+ B.1i 2- C.3i2- D.3i 2--2.{}2|450A x x x =--≤，{}|||2B x x =≤，则()R A B I ð= A.[]2,5 B.(2,5] C.[]1,2- D.[)1,2-3.函数1()ln(21)f x x =+的定义域是A.1(,)2-+∞B.1(,0)(0,)2-+∞U C.1[,)2-+∞ D.[)0,+∞4.已知向量a r ，b r 的夹角为120o，且||2a =r ，||1b =r ， 2a b +=r rC.7D.2 5.已知函数2π()12cos ()4f x x =-+，下列说法正确的是A.()f x 是最小正周期为π的奇函数B.()f x 是最小正周期为π的偶函数C.()f x 是最小正周期为π2的偶函数 D.()f x 是最小正周期为π2的奇函数 6.已知双曲线C ：22221y x a b-=的焦距为点()1,2P 在双曲线C 的渐近线上，则双曲线C 的方程为A.221205y x -= B.221520y x -= C.22110025y x -= D .22125100y x -= 7.已知命题13:1,log 0p x x ∀<<都有，命题:q x ∃∈R ，使得22xx ≥成立，则下列命题是真命题的是A.p q ∨B.()()p q ⌝∧⌝C.()p q ∨⌝D.p q ∧ 8.A.31s =B.17s =C.11s =D.14s =9.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画 出的是一个三棱锥的左视图和俯视图，则该 三棱锥的主视图可能是10.在直角坐标系中，函数xx x f 1sin )(-=的图像可能是11.在锐角ABC △中，角C B A ,,所对的边分别为a bc ，，，若22sin 3A =，2a =， cos +cos =2cos cB bC a B ，则b 的值为A.26B.324 C.334 D.36412.设定义在R 上的偶函数()y f x =，满足对任意t ∈R 都有()(2)f t f t =-，且[0,1]x ∈ 时，()2()ln e f x x =-+，则(2016)f 的值等于A.ln(e 1)-+B.ln(4e)-+C.1-D.1ln(e )4-+第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡上中的横线上.13.已知在等比数列{}n a 中，前n 项和2nn S t =+，则数列的通项公式n a = .14.若,x y 满足不等式组22010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，2z x y =-，则z 的最大值是 .A BC D左视图 俯视图频率615051504150315021501150[185,195)[175,185)[165,175)[155,165)频数挂果个数区间PM DA15.函数()22sin 2f x x x ωω=()0ω>的一条对称轴为直线π8x =，则()f x 的最小正周期为 .16.已知()f x 是定义在R 上且周期为4的函数，在区间[]2,2-上，2(20)()2(02)1mx x f x nx x x + -≤<⎧⎪=-⎨ ≤≤⎪+⎩，其中,m n ∈R ，若(1)(3)f f =，则m n += . 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17.(本小题满分12分)已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若320a =，3428S S =+. （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设*1(N )1n n b n S =∈-，12n n T b b b =++⋅⋅⋅+，求n T .18.(本小题满分12分)为了解某地脐橙种植情况，调研小组在该地某脐橙种植园中随机抽出30棵，每棵挂果情况如下（单位：个）：157 161 170 180 181 172 162 157 191 182 181 173 174 165 158 164 159 159 168 169 176 178 158 169 176 187 184 175 169 175 （1）完成频数分布表，并作出频率分布直方图（2）如果挂果在175个以上（包括175）定义 为“高产”， 挂果在175个以下（不包括175）定义为“非高产”．用分层抽样的方法从“高产” 和“非高产”中抽取5棵，再从这5棵中选2棵， 那么至少有一棵是“高产”的概率是多少?19.(本小题满分12分)如图所示，四棱椎P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，NB CO DTMAPBA PBC ∠=∠（1）证明：PB AC ⊥（2）若2PB AB ==，60ABC PBD ∠=∠=o，M 为PB 中点，求四面体M ABC -的体积.20.(本小题满分12分)如图，已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，离心率为e ，且椭圆C 过点(2,)2bE e ，以AE 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l （直线l 不过原点）与椭圆C 交于P 、Q 两点，且OPQ ∆的面积1OPQ S ∆=，求线段PQ 的中点N 的轨迹方程. 21.(本小题满分12分)已知函数()()ln f x x ax a =-∈R（1）当3a =时，判断函数()()2g x x f x =+的单调性；（2）若0a >，函数()f x 在1x =的切线l 也是曲线222890x y x y ++-+=的切线，求实数a 的值，并写出直线l 的方程； （3）若1a =，证明()ln 12x f x x >+. 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题做答．注意：只能做选定的题目．如果多做，则按所做的第一题记分．做答时请写清题号．22.(本小题满分10分)选修41-：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，C 是半径OB 的中点，D 是OB 延长线上一点，且BD OB =， 直线MD 与圆O 相交于点,M T （不与,A B 重合），DN 与圆O 相切于点N ，连结,,MC MB OT（1）求证：DT DCDO DM=； （2）若40BMC ∠=o,，试求DOT ∠的大小．23.(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是2π4cos()103ρρθ---=．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是cos ()sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B两点，且||AB =，求直线的倾斜角α的值．24.(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲已知a b 、为正实数，若对任意()0,x ∈+∞，不等式()21a b x x +-≤ 恒成立.（1）求11a b+的最小值； （2）试判断点()1,1P -与椭圆22221x y a b+=的位置关系，并说明理由.赣州市2015～2016学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题21099[185,195)[175,185)[165,175)[155,165)频数挂果个数区间6150515041503150215011501～5.CBBDA ； 6～10.CADAB ； 11～12. DC.二、填空题13.12n -； 14.2； 15.()843k k 2π∈+Z ； 16.8.三、解答题17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，由3428S S =+得：14a =………………………………………………………………2分 由31220a a d =+=，所以8d =………………………………………………………4分 故数列{}n a 的通项公式为：()1184n a a n d n =+-=-………………………………6分（2）由（1）可得24n S n =………………………………………………………………8分()()211111()41212122121n b n n n n n ===---+-+…………………………………9分 11111111(1)(1)2335212122121n n T n n n n =-+-++-=-=-+++L …………………12分 18.解：（1）……………………………………………3分………………………………………6分（2 每棵被抽中的概率是51306=，所以选中的“高产”有11226⨯=棵…………………7分 “非高产”有11836⨯=棵…………………………………………………………………8分 用事件12A A 、表示被选中的“高产”，N OPM DCBA 则其对立事件123B B B 、、表示被选中的“非高产”，共有12(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、13(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、23(,)A B 、12(,)B B 、13(,)B B 、23(,)B B 共10种情况……………………………………………………………9分 其中至少有一棵是“高产”的有12(,)A A 、11(,)A B 、12(,)A B 、13(,)A B 、21(,)A B 、22(,)A B 、 23(,)A B 共7种………………………………………………………………………………10分所以至少有一棵是“高产”的概率：710P =…………………………………………………12分19.证明：（1）连接AC BD 、，设它们相交于点O ，连接PO ，则O 为AC 中点……1分因为AB BC =，PBA PBC ∠=∠，PB PB =，所以ABP CBP ∆≅∆，所以PA PC =……………………………………………………3分PO AC ⊥又易知AC BD ⊥，AC ⊥平面PBD ………………………………………5分所以PB AC ⊥………………………………………………………………………………6分 （2）由已知可知ABC ∆是等边三角形，2AC BC ==所以212sin 602ABC S ∆=⨯=o 7分 过点M 作MN BD ⊥，垂足为点N ，由（1）知NM AC ⊥，故MN ABCD ⊥平面…………9分在Rt MBN ∆中，sin 602MN MB ==o……………………………10分四面体M ABC -的体积111332ABC V S MN ∆=⨯==………………………12分 20.解：（1）连接EF ，则EF FA ⊥，所以2F x c e ==，解得2a =………………1分故点E 的坐标为(,)2b c ，代入椭圆方程22221x y a b +=，得2222()212b cb+=………………2分解得c =1b =………………………………………………………………………4分故椭圆C 的方程为2214x y +=……………………………………………………………5分 （2）设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(14)8440k x kmx m +++-=所以122814kmx x k +=-+，21224414m x x k -⋅=+…………………………………………7分而12214PQ x x k=-=+ 原点O 到直线l的距离为d =…………………………………………………8分所以112OPQS PQ d ∆=⋅⋅==…………………………………9分所以2214m k =+，即22(142)0k m +-=，即22142k m +=设(,)N x y ，则12242214x x km k x k m +-===-+，①12212142y y m y k m+===+② 由①，②消去m 得221122x y +=………………………………………………………10分 当直线l 的斜率不存在时，设点00(,)P x y ，则00001|||2|2OPQ S x y x y ∆==， 又220014x y +=，解得0x =11分 所以线段PQ的中点()N因此N 的轨迹方程为221122x y +=………………………………………………………12分 21.解：（1）当3a =时，2()ln 3g x x x x =+-，()2121()12312()23x x x x g x x x x x ---+'=+-==………………………………2分 当()1(0,)1,2x ∈+∞和时，()0g x '>，当1,12x ∈（）时，()0g x '<……………4分故()g x 在()1(0,)1,2+∞和上是增加的，在1,12（） 上是减少的……………………5分（2）因为1()f x a x'=-，所以(1)1f a '=-，又(1)f a =-Q 故切线l 的方程为()()11y a a x +=--，即()1+10a x y -+=……………………6分 由222890x y x y ++-+=变形得()()22148x y ++-=，它表示以点()1,4-为圆心，半径长为=，解得2a =（负值已舍去）……………………7分此时直线l 的方程是10y x ++=……………………………………………………8分 （3）因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是增加的，在()1,+∞上是减少的， ()()max 1ln111f x f ==-=-，所以()min ||1f x =…………………………………9分设()G x =ln 12x x +，则()'21ln xG x x-=， 故()G x 在()0,e 上是增加的，在(),e +∞ 上是减少的……………………………10分 故()()max 1112G x G e e ==+<， 故()()min max ||G x f x <………………………………………………………………11分 所以()ln 12x f x x >+对任意()0,x ∈+∞恒成立…………………………………12分 22.证明：（1）因MD 与圆O 相交于点T ，由切割线定理2DN DT DM =⋅，2DN DB DA =⋅…………………………………2分 得DA DB DM DT ⋅=⋅…………………………………………………………………3分 设半径()0OB r r =>，因BD OB =，且2rBC OC ==， 则233DB DA r r r ⋅=⋅=，23232rDO DC r r ⋅=⋅=………………………………3分 所以DT DM DO DC ⋅=⋅………………………………………………………………4分 所以DT DCDO DM=…………………………………………………………………………5分 （2）由（1）可知，DC DO DM DT ⋅=⋅，且CDM TDO ∠=∠………………7分 故DTO ∆∽CM D ∆，所以DOT DMC ∠=∠………………………………………8分 根据圆周角定理得，2DOT DMB ∠=∠，则40BMC DMB ∠=∠=o……………9分80DOT ∴∠=o …………………………………………………………………………10分 23.解：（1）由2π4cos()103ρρθ---=得圆C的方程为22(1)(5x y -+-=……………………………………………4分（2）将cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩代入圆的方程得22(cos 1)(sin )5t t αα-+=…………5分化简得22cos 40t t α--=……………………………………………………………6分 设A B 、两点对应的参数分别为12t t 、,则12122cos 4t t t t α+=⎧⎨=-⎩………………………7分所以12||||AB t t =-===8分所以24cos2α=,cos 2α=±,π3π44αα==或…………………………………10分 24.解：（1）因为()21a b x x +-≤，0x >，所以1a b x x+≤+……………………1分 因为12x x+≥，所以2a b +≤…………………………………………………………3分 11112()24b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+≥++=++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以112a b +≥……………………5分所以11a b+的最小值为2…………………………………………………………………6分 （2）因为222211112()()1222a b a b ++≥≥=………………………………………………7分 所以22112a b+≥……………………………………………………………………………8分即()22221121a b -+≥>，所以点()1,1P -在椭圆22221x y a b +=的外部……………………10分。
2020-2021学年江西省赣州市高三(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|y＝lg（x+3）}，B＝{x|x≥2}R（A∪B）＝（）A．{x|x＞﹣3}B．{x|x＜﹣3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）已知复数z＝（a∈R）是纯虚数，则|z|的值为（）A．1B．2C．D．﹣13．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（x i，y i）（i＝1，2，⋅⋅⋅，8），其回归直线方程是＝﹣4x+11+x2+⋅⋅⋅+x8＝2，y1+y2+⋅⋅⋅+y8＝﹣32，则实数a的值为（）A．﹣5B．﹣24C．5D．﹣34．（5分）如图，正方形的边长为a，以A，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点（）A．2﹣B．2C．D．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a4﹣a2＝3，则S11＝（）A．30B．33C．36D．666．（5分）已知函数f（x）的图像向左平移个单位后（x）＝cos2x的图像，则函数f（x）（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z7．（5分）已知函数y＝log a（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）恒过定点A，则过点B（1，1）（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x﹣2）2+（y+2）2＝108．（5分）已知，，，则a，b，c的大小为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a9．（5分）设定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣4），则不等式的解集是（）A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）C．（﹣4，0）∪（0，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）10．（5分）我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为（）A．B．C．D．11．（5分）如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的体积为（）A．B．C．D．20π12．（5分）若F1，F2是双曲线与椭圆的共同焦点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知向量，，若，则m＝1111．14．（5分）若曲线y＝xlnx+1在x＝1处的切线与直线2ax﹣（a﹣1）y+3＝0垂直，则a ＝11111111111111．15．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，若存在（x，y），使得不等式x﹣2y﹣t≥0成立，则实数t的最大值为111．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝2，前n项和为S n，且S n+S n+1＝2n+1﹣1（n∈N*），则S11＝11111．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（2c﹣b）cos A．（1）求A；（2）已知b＝3，若且||＝18．（12分）如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径（1）证明：平面ADE⊥平面ADC；（2）若AB＝2，AC＝1，∠EAB＝45°19．（12分）2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，并得到如图的频率分布直方图．1～100101～1000年级名次是否近视近视4030不近视1020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，对抽取的100名学生名次在1～100名和101～1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，至少有1人的年级名次在1～100名的概率．P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879，其中n＝a+b+c+d．20．（12分）已知函数，其中k为常数，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）若k＝e2，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（1，2）上单调21．（12分）如图，已知抛物线M：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过焦点F作直线交抛物线于A，在A，B两点处的切线相交于N，B两点作准线的垂线，垂足分别为C （1）求证：点N在定直线上；（2）是否存在点N，使得△BDN的面积是△ACN的面积和△ABN的面积的等差中项，若存在，若不存在，请说明理由．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数），x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣a|，g（x）＝|x+（1）若a＝1，解不等式f（x）≥4；（2）如果任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．2020-2021学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知R为实数集，集合A＝{x|y＝lg（x+3）}，B＝{x|x≥2}R（A∪B）＝（）A．{x|x＞﹣3}B．{x|x＜﹣3}C．{x|x≤﹣3}D．{x|2≤x＜3}【分析】分别求出集合A和B，由此能求出A∪B，从而能求出∁R（A∪B）．【解答】解：∵R为实数集，A＝{x|y＝lg（x+3）}＝{x|x＞﹣3}，∴A∪B＝{x|x＞﹣6}，∴∁R（A∪B）＝{x|x≤﹣3}．故选：C．【点评】本题考查补集、并集的求法，考查补集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．（5分）已知复数z＝（a∈R）是纯虚数，则|z|的值为（）A．1B．2C．D．﹣1【分析】化简z，求出z的模即可．【解答】解：z＝＝＝＝+i，若z是纯虚数，则a+3＝0，故z＝i，|z|＝1，故选：A．【点评】本题考查了复数的运算，考查有关定义，是基础题．3．（5分）对具有线性相关关系的变量x，y，有一组观测数据（x i，y i）（i＝1，2，⋅⋅⋅，8），其回归直线方程是＝﹣4x+11+x2+⋅⋅⋅+x8＝2，y1+y2+⋅⋅⋅+y8＝﹣32，则实数a的值为（）A．﹣5B．﹣24C．5D．﹣3【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程，即可求得值．【解答】解：由x1+x2+⋅⋅⋅+x5＝2，y1+y4+⋅⋅⋅+y8＝﹣32，得，，可得样本点的中心为（），代入，得﹣4＝﹣8×，解得．故选：D．【点评】本题考查线性回归方程，明确回归直线恒过样本点的中心是关键，是基础题．4．（5分）如图，正方形的边长为a，以A，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点（）A．2﹣B．2C．D．【分析】将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率．【解答】解：如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形，则阴影部分面积：S'＝2×＝，正方形面积：S＝a3，∴所求概率p＝＝﹣1，故选：D．【点评】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题．5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a4﹣a2＝3，则S11＝（）A．30B．33C．36D．66【分析】由已知结合等差数列的通项公式可求a6，然后结合等差数列的性质及求和公式可求．【解答】解：等差数列{a n}中，2a4﹣a7＝2（a1+4d）﹣（a1+d）＝3，故a2+5d＝a6＝6，则S11＝＝11a3＝33，故选：B．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．6．（5分）已知函数f（x）的图像向左平移个单位后（x）＝cos2x的图像，则函数f（x）（）A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈Z【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，得出结论．【解答】解：∵函数f（x）的图像向左平移个单位后，故f（x）＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）．令4kπ﹣π≤2x﹣≤8kπ≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，故选：C．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于基础题．7．（5分）已知函数y＝log a（x﹣1）+2（a＞0，a≠1）恒过定点A，则过点B（1，1）（）A．（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝2C．（x+1）2+（y﹣2）2＝5D．（x﹣2）2+（y+2）2＝10【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，先求出圆的半径，可得圆的标准方程．【解答】解：对于函数y＝log a（x﹣1）+2（a＞4，a≠1），求得x＝2，可得它的图象恒过定点A（6，2），1）且以A点为圆心的圆的半径为AB＝＝，过点B（1，1）且以A点为圆心的圆的方程为1（x﹣6）2+（y﹣2）8＝2，故选：B．【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，求圆的标准方程，属于中档题．8．（5分）已知，，，则a，b，c的大小为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞a＞c D．b＞c＞a【分析】可得出，，，然后即可得出a＞1，，c＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．【解答】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴a＞8，0＜b＜1，∴a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，三角函数的求值，考查了计算能力，属于基础题．9．（5分）设定义域为R的奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣4），则不等式的解集是（）A．（﹣4，0）∪（4，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（0，4）C．（﹣4，0）∪（0，4）D．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）【分析】根据题意，由奇函数的性质分析可得f（x）在区间（﹣∞，0）上递增，结合f （﹣4）＝0，分析可得在（﹣∞，﹣4）上，f（x）＜0，在（﹣4，0）上，f（x）＞0，结合函数的奇偶性可得在（0，4）上，f（x）＜0，在（4，+∞）上，f（x）＞0，而，即为，⇔或，分析即可得答案．【解答】根据题意，f（x）是奇函数，+∞）上是增函数，0）上递增，则在（﹣∞，﹣4）上，在（﹣2，f（x）＞0，又由f（x）是定义域为R的奇函数，得f（4）＝0，3）上，在（4，f（x）＞0．，即为，⇔或，则有x∈（0，8）或（﹣4，即不等式1，4）U（0．故选：C．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，体现了转化的数学思想，而f（x）＞0与f（x）＜0的解集，是解题的关键．10．（5分）我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，叫做面度制．在面度制下，角θ的面度数为（）A．B．C．D．【分析】设角θ所在的扇形的半径为r，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得＝，解得θ＝，即可求解cosθ的值．【解答】解：设角θ所在的扇形的半径为r，则由题意，可得＝，可得cosθ＝cos＝﹣．故选：B．【点评】本题主要考查了扇形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．11．（5分）如图是某四面体ABCD水平放置时的三视图（图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD外接球的体积为（）A．B．C．D．20π【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出三棱锥的外接球的半径，最后求出球的体积．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；如图所示：所以外接球的半径R＝，故．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体与外接球的关系，球的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12．（5分）若F1，F2是双曲线与椭圆的共同焦点，且△PF1F2为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【分析】求得椭圆的焦点，设P为第一象限内的点，由题意可得|PF2|＝|F1F2|＝2c＝6，结合椭圆的定义求得|PF1|，再由双曲线的定义、a，b，c的关系和渐近线方程，可得所求．【解答】解：椭圆的焦点为F1（0，5），F2（0，﹣2），设双曲线的半焦距为c，则c＝3，a2+b3＝9，设P为第一象限内的点，由题意可得|PF2|＝|F2F2|＝2c＝6，又|PF2|+|PF1|＝10，可得|PF5|＝10﹣6＝4，所以|PF4|﹣|PF1|＝2a＝3，即a＝1，则b＝＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故选：B．【点评】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13．（5分）已知向量，，若，则m＝0或1．【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得结果．【解答】解：∵向量，，，∴•（++•＝m2+8+（﹣2m+m﹣1）＝2，∴m＝0，或1m＝1，故答案为：2或1．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14．（5分）若曲线y＝xlnx+1在x＝1处的切线与直线2ax﹣（a﹣1）y+3＝0垂直，则a＝．【分析】求得y＝xlnx+1的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，解方程可得所求值．【解答】解：y＝xlnx+1的导数为y′＝1+lnx，可得曲线y＝xlnx+8在x＝1处的切线的斜率为1+ln4＝1，又切线与直线2ax﹣（a﹣8）y+3＝0垂直，可得，解得a＝，给答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，以及两直线垂直的条件，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15．（5分）已知不等式组表示的平面区域为D，若存在（x，y），使得不等式x﹣2y﹣t≥0成立，则实数t的最大值为﹣1．【分析】由约束条件作出可行域，令z＝x﹣2y，利用线性规划求其最大值，即可求得t的范围，进一步得到t的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，令z＝x﹣6y，得y＝，当直线y＝，4）点时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4﹣2×1＝﹣2．若存在（x，y）∈D，则t≤z max＝﹣1，即实数t的最大值为﹣1．故答案为：﹣6．【点评】本题考查利用线性规划求解z＝ax+by的最值的问题，考查数形结合思想，是中档题．16．（5分）已知数列{a n}的首项a1＝2，前n项和为S n，且S n+S n+1＝2n+1﹣1（n∈N*），则S11＝1366．【分析】当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1，将已知递推式中的n换为n﹣1，再作差，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：a1＝2，且S n+S n+6＝2n+1﹣6（n∈N*），可得n≥2时，S n﹣1+S n＝8n﹣1，又S n+S n+1＝2n+1﹣1，两式相减可得a n+a n+5＝2n，n≥2，则S11＝a2+（a2+a3）+（a7+a5）+（a6+a4）+…+（a10+a11）＝2+4+16+64+…+210＝2+＝1366，故答案为：1366．【点评】本题考查数列的递推式的运用，以及等比数列的求和公式，考查转化思想和运算能力，属于中档题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（2c﹣b）cos A．（1）求A；（2）已知b＝3，若且||＝【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可求cos A，进而可求A；（2）由已知结合向量数量积的性质可求AM，然后结合余弦定理可求c，再由三角形的面积公式可求．【解答】解（1）因为a cos B＝（2c﹣b）cos A，由正弦定理得sin A cos B＝（2sin C﹣sin B）cos A，即sin A cos B+sin B cos A＝3sin C cos A，所以sin C＝2sin C cos A，因为在△ABC中sin C≠0，所以，因为0＜A＜π，所以；（2）由两边平方得，因为b＝3，，所以，解得c＝8或c＝﹣4（舍去），所以△ABC的面积为．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18．（12分）如图，一简单组合体的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径（1）证明：平面ADE⊥平面ADC；（2）若AB＝2，AC＝1，∠EAB＝45°【分析】（1）证明BC⊥AC，结合BC⊥DC，推出BC⊥面ADC，证明ED⊥面ADC，然后证明面ADE⊥面ADC．（2）组合体转化为四棱锥，求解底面面积与高，即可得到几何体的体积．【解答】（1）证明：因为△ABC内接于圆O且AB为直径，所以BC⊥AC，在矩形BCDE中有BC⊥DC，且AC∩DC＝C，所以BC⊥面ADC，而BC∥ED，所以ED⊥面ADC，ED⊂面ADE，因此面ADE⊥面ADC．（2）解：由题知EB⊥BC，面BCDE⊥面ABC，所以EB⊥面ABC，所以EB⊥AB．又因为∠EAB＝45°，所以EB＝AB＝2，同理AC⊥面BCDE，在Rt△ABC 中，所以矩形BCDE 的面积为，因此该简单组合体的体积．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，是中档题．19．（12分）2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，并得到如图的频率分布直方图．1～100101～1000年级名次是否近视近视4030不近视1020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，对抽取的100名学生名次在1～100名和101～1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，至少有1人的年级名次在1～100名的概率．P（K2≥k）0.100.050.0250.0100.005 k 2.706 3.841 5.024 6.6357.879，其中n＝a+b+c+d．【分析】（1）先求得前四组的频数和，再由等比数列的性质可得一、二和四组的频数，然后根据中位数的性质，求解即可；（2）由参考公式计算K2，并与附表对照，即可得出结论；（3）随机抽取的6人中年级名次在1～100名和101～1000名的分别有2人和4人，再结合组合数与古典概型，即可得解．【解答】解：（1）由图可知，第三组和第六组的频数均为100×0.8×8.2＝16人，所以前四组的频数和为100﹣（24+16）＝60人，而前四组的频数依次成等比数列，故第一组的频数为4人，第二组的频数为4人，所以中位数落在第四组，设为x，因为第四组的频率/组距为＝1.6，解得x＝4.7375≈8.74，所以中位数是4.74．（2）因为≈4.762＞3.841，因此能在犯错的概率不超过8.05的前提下认为视力与学习成绩有关系．（3）依题意，随机抽取的6人中年级名次在1～100名和101～1000名的分别有4人和4人，从6人中任意抽取7人的基本事件共＝15个，至少有4人来自于1～100名的基本事件有+＝9个，所以至少有3人的年级名次在1～100名的概率为．【点评】本题考查频率分布直方图的数字特征、独立性检验、古典概型和组合数的应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．20．（12分）已知函数，其中k为常数，e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）若k＝e2，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）在区间（1，2）上单调【分析】（1）求出导函数，得到极值点，利用函数的单调性，转化求解函数的极值即可．（2）利用，x∈（1，2），函数f（x）在区间（1，2）上单调，f'（x）≥0或f'（x）≤0在区间（1，2）上恒成立，转化求解k的范围即可．【解答】解：（1），即，当k＝e6时，令f'（x）≥0得0＜x≤2或x≥2，即f（x）在（0，8]和[2，在（1，所以f（x）的极小值为f（2）＝﹣e7ln2，极大值为f（1）＝e﹣e2．（2）由于，x∈（1，因为函数f（x）在区间（2，2）上单调，所以f'（x）≥0或f'（x）≤5在区间（1，2）上恒成立，即e x﹣k≥8或e x﹣k≤0在区间（1，4）上恒成立，因此k≤e或k≥e2．所以k的取值范围为（﹣∞，e]∪[e2，+∞）．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．（12分）如图，已知抛物线M：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），过焦点F作直线交抛物线于A，在A，B两点处的切线相交于N，B两点作准线的垂线，垂足分别为C（1）求证：点N在定直线上；（2）是否存在点N，使得△BDN的面积是△ACN的面积和△ABN的面积的等差中项，若存在，若不存在，请说明理由．【分析】（1）先由已知求出抛物线的方程，设出直线AB的方程，并与抛物线方程联立，写出韦达定理，然后利用导数求出直线AN的斜率，由此求出直线AN的方程，同理求出直线BN的方程，联立直线AN，BN的方程，求出点N的坐标，即可证明；（2）利用已知关系得出若存在点N满足题意，则2S△BDN＝S△ACN+S△ABN，即2BF＝AF+AB，由此得出点A，B的横坐标的关系，再由（1）的韦达定理，即可求出点N的坐标．【解答】解（1）证明：由题知p＝2，所以抛物线M的方程为：x2＝4y，设直线AB的方程为：y＝kx+1，A（x1，y7），B（x2，y2），联立方程，消去y整理可得x3﹣4kx﹣4＝4，所以，对求导得，所以直线AN的斜率为，所以直线即直线AN的方程为：y＝同理直线BN：y＝…②联立①和②得，所以点N的坐标为（2k，﹣1）；（2）由（1）知点N为CD的中点，取AB的中点E，则，由题知AC+BD＝AB，所以AB＝2EN，所以，而，，若存在点N满足题意，则2S△BDN＝S△ACN+S△ABN，即5BF＝AF+AB，所以2（x2﹣6）＝0﹣x1+x6﹣x1即x2＝﹣2x1③又因为④将③代入④解得，由（1）知N（2k，﹣1）即，经检验，存在．【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到证明点在定直线的问题以及等差数列的性质，考查了学生的分析问题的能力以及运算能力，属于中档题．（二）选考题（共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知过点P（m，0）的直线l的参数方程是（t为参数），x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l和曲线C交于A，B两点，且|P A|•|PB|＝1【分析】（1）直线l的参数方程是（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，即ρ2＝2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程；（2）设点P（m，0），把直线l的参数方程（t为参数）代入圆C的方程：，△＞0，解得m范围．可得|P A|•|PB|＝|t1t2|，解出即可得出．【解答】解：（1）由得x﹣m＝y即x﹣y﹣m＝0，由ρ＝2cosθ得ρ2＝2ρcosθ，则曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x，即x3﹣2x+y2＝2；（2）方法一：把代入x2﹣3x+y2＝0，得，由得．设点A，B对应的参数分别为t1，t8，则，因为，所以m2﹣2m＝±2．当m2﹣2m＝4时，且（舍）．当m3﹣2m＝﹣1时，m＝4．所以综上m＝1；方法二：由得2x2﹣（2+2m）x+m2＝7．由△＝（2+2m）2﹣8m2＞7得．设点A（x1，y3），B（x2，y2），则，．因为，所以，所以．当m2﹣7m＝1时，且（舍）．当m2﹣2m＝﹣8时，m＝1．综上m＝1．【点评】本题考查了直线参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|+|2x﹣a|，g（x）＝|x+（1）若a＝1，解不等式f（x）≥4；（2）如果任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），求实数a的取值范围．【分析】（1）将a＝1代入f（x）中，根据f（x）≥4，利用零点分段法解不等式即可；（2）由任意x1∈R，都存在x2∈R，使得f（x1）＝g（x2），可得{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，再由f（x）≥|a+1|，g（x）≥4，得到关于a的不等式，然后求出a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝|2x+7|+|2x﹣1|＝．∵f（x）≥4，∴当时，∴x≤﹣1；当时，显然不成立；当时，2x≥4，∴f（x）≥4的解集为（﹣∞，﹣7]∪[1．（2）由任意x1∈R，都存在x3∈R，使得f（x1）＝g（x2），可得{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，又∵f（x）＝|6x+1|+|2x﹣a|≥|6x+1﹣（2x﹣a）|＝|7+a|，，当且仅当x＝±3取等号，∴|1+a|≥4，∴a≤﹣3或a≥3，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣5]∪[2．【点评】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
江西省赣州市高三数学上学期期末考试 文
赣州市2013—2014学年第一学期期末考试高三文科数学试卷一、选择题：（每小题只有一个正确答案，每小题5分，10小题，共计50分）1．设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,3,5}A =,集合{3,4}B =，则()U C A B =（ ）A ．{}4 B ．{3,4} C ．{2,3,4} D ．{3}2．若复数(1-i )(a +i )是实数(i 是虚数单位)，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2 3．直线01)12(=+-+y m m x 和直线033=++m y x 垂直，则实数m 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．2 D ．1或04．一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体的体积是（ ）A ．253πB ．343πC ．1633π+D ．16123π+5．已知某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图（如图所示），则甲、乙两人得分的中位数之和是（ ） A ．62B ．63C ．64D ．656．若{}n a 为等差数列,n S 是其前n 项和,且S 13 =263π,则tan 7a 的值为( )。
A．．．7．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，||52a b +=， 则||b =（ ）A．5 D ．258．阅读如图所示的程序框图，输出的结果S 的值为（ ）A ．0 BCD ．9．下列有关命题的叙述错误的是 （ ）A ．对于命题22:,10,10P x R x x P x ∃∈++<⌝∀∈++≥则为:x R,xB ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“2x >”是2"320"x x -+>的充分不必要条件D ．命题“若2320,1x x x -+==则”的逆否命题为“若21,320x x x ≠-+≠则”10．已知[]x 表示不超过实数x 的最大整数，()[]g x x =为取整数，0x 是函数2()ln f x x x=-的零点，则0()g x 等于（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2二、填空题：（每小题5分，5小题，共计25分）11．某校共有1200名学生，现采用按性别分层抽样的方法抽取一个容量为200的样本进行健康状况调查，若抽到的男生 比女生多10人，则该校男生人数为 。
江西省赣州市六校2021届高三数学上学期期末联考试题 文 新人教A版
2021学年度第一学期期末联考高三数学试题（文科）选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知复数满足i Z i 213+=，则Z 等于( )A ．i --2B ．i +-2C ．i +2D ．i -22、定义集合A 、B 的一种运算：{}B x A x x x x x B A ∈∈⋅==*2121,,其中，若{}2,1=A ，{1,2}B =，则A B *中的所有元素数字之和为A ．7B ．9C ．5D ． 63、甲、乙两名同学在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名同学这项测试成绩的标准差，则有( )A ．1212,x x s s ><B ．1212,x x s s =<C ．1212,x x s s ==D ．1212,x x s s =>4、已知函数2()f x x bx c =++，其中04b ≤≤，04c ≤≤，记函数()f x 满足条件：12)2(≤f 为事件A ，则事件A 发生的概率为（ ） A.14 B.21 C. 38D. 435、在ABC ∆中，D 是BC 的中点，AD=3，点P 在AD 上且满足,3AP AD =则=+⋅)(PC PB DA （ ）A ．6B ．6-C ．-12D ． 126、某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积是（ ）A. π524+B.π-24C.()π1524-+D. ()π1520-+7、已知π4cos sin 365αα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，且⎪⎭⎫ ⎝⎛∈3,0πα则⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα125sin 的是（ ）A ．235-B ．235C ．1027 D ．1527 8、阅读右侧程序框图，输出的结果s 的值为（ ）A.0B.23C.3D.23-9、已知双曲线C 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，它的左、右焦点分别21,F F ，左右顶点为21,A A ，过焦点2F 先作其渐近线的垂线，垂足为P ，再作与x 轴垂直的直线与曲线C 交于点R Q ,，若1212,,QF A A PF 依次成等差数列，则离心率e=（ ）A 、2B 、5C 、2或5D 、215+ 10、如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴正方向滚动.设顶点(),P x y 的轨迹方程是()x f y =，设()y f x =在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域为S,则直线t x =从40==t t 到所匀速移动扫过区域S 的面积D 与t 的函数图象大致为（ ）．A B C D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
江西省赣州市高三(上)期末数学试卷(文科)
（1）讨论函数 f（x）的极值；
4
1
푔(푛) ‒ 푔(푚) 푛 ‒ 푚
（2）当 x＝1 是函数 f（x）的极值点时，令g(x) = f(x) - 푥，设 0＜m＜n，比较
2
与푛 + 푚
的大小，并说明理由．
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修 4-4：坐标系与参数方 程]
5
2021-2021 学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1．（5 分）（2016•天津一模）设全集 U＝{x∈N|x≤6}，A＝{1，3，5}，B＝{4，5，6}，则（∁UA）∩B 等 于（ ）
【解答】解：∵S5
=
5(푎1 + 2
푎5)
=
5a3＝25，∴a3＝5，
a1+2d＝5 ①∵a5＝9，∴a1+4d＝9②
由①②得：a1＝1，d＝2， 8×7
∴S8＝8×1 + 2 × 2＝64．
故选：D．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前 n 项和，是基础题．
{ 5．（5 分）（2021 秋•赣州期末）已知函数f(x) =
1．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且tanA + tanB = 푐표푠퐴 ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 a+c＝4，求 b 的取值范围．
2．（12 分）2014 年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按 进服务区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高 速公路的车速（km/h）分成六段：[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90）后 得到如图的频率分布直方图．
2021届江西省赣州市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)
2021届江西省赣州市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．已知R 为实数集，集合{}lg(3)A x y x ==+，{}2B x x =≥，则()A B ⋃=R（ ）A ．{}3x x <- B ．{}3x x >-C ．{}3x x ≤-D ．{}32x x -<≤【答案】C【分析】首先求出{}3A x x =>-，然后求出A B ，即可得答案.【详解】{}3A x x =>-，{|2}B x x =≥， 所以{}3A B x x ⋃=>-， 则(){}|3RA B x x ⋃=≤-，故选：C 2．已知复数i()1ia z a +=∈+R 是纯虚数，则z 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．12D ．-1【答案】A【分析】根据复数除法运算化简z ，根据纯虚数定义求得a ，再求模长. 【详解】()()()()11121122a i i a i a az i i i i +-++-===+++-是纯虚数， 102102a a +⎧=⎪⎪∴⎨-⎪≠⎪⎩，解得：1a =-，所以z i ，1z =.故选：A.3．对具有线性相关关系的变量x ，y ，有一组观测数据(),(1,2,,8)i i x y i =⋅⋅⋅，其回归直线方程是4y x a =-+，且1282x x x ++⋅⋅⋅+=，12832y y y ++⋅⋅⋅+=-，则实数a 的值为（ ） A ．-5 B ．-24C ．5D ．-3【答案】D【分析】根据题意求出x 、y ，由回归直线方程过样本中心点求出a 的值． 【详解】解：根据题意知，1282x x x ++⋯+=，12832y y y ++⋯+=-，∴11284x =⨯=， ()13248y =⨯-=-，∴回归直线4y x a =-+过样本中心点1(,4)4-，∴1444a -=-⨯+，即实数3a =-． 故选：D ．4．如图，正方形的边长为a ，以,A C 为圆心，正方形边长为半径分别作圆，在正方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．22π-B ．23π-C ．13π- D ．12π- 【答案】D【分析】将阴影部分拆分成两个小弓形，从而可求解出阴影部分面积，根据几何概型求得所求概率. 【详解】如图所示：阴影部分可拆分为两个小弓形 则阴影部分面积：22221112422S a a a a ππ⎛⎫'=⨯-=- ⎪⎝⎭ 正方形面积：2S a =∴所求概率12S P S π'==- 本题正确选项：D【点睛】本题考查利用几何概型求解概率问题，属于基础题.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4223a a -=，则11S =（ ） A ．30 B ．33C ．36D ．66【答案】B【分析】利用等差数列的性质求出6a 的值，再利用等差中项的性质结合等差数列求和公式可求得11S 的值. 【详解】2642a a a ，所以，42623a a a -==，因此，()111611611112111133322a a a S a +⨯====⨯=.故选：B.6．已知函数()f x 的图像向左平移6π个单位后，得到函数()cos2g x x =的图像，则函数()f x 的单调递增区间为（ ）A ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ B ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈C ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈D ．2,36k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【答案】C【分析】首先根据三角函数的平移变换得到()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再求其单调增区间即可.【详解】()cos 2cos 263f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2223k x k ππππ-+≤-≤，k Z ∈，解得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，所以函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦k Z ∈.故选：C7．已知函数log (1)2(0,1)a y x a a =-+>≠恒过定点A ，则过点(1,1)B 且以A 点为圆心的圆的方程为（ ） A ．22(1)(2)1x y -+-= B ．22(2)(2)2x y -+-= C ．22(1)(2)5x y ++-=D ．22(2)(2)10x y -++=【答案】B【分析】先由对数函数的性质求出点A ()2,2，根据题意求出AB 即为半径，由此得出答案.【详解】函数log (1)2a y x =-+，当2x =时，2y = 所以函数log (1)2(0,1)a y x a a =-+>≠恒过定点A ()2,2AB ==所以过点(1,1)B 且以A 点为圆心的圆的方程为22(2)(2)2x y -+-= 故选：B 8．己知sin 62a π=，27tan 6b π⎛⎫= ⎪⎝⎭，311log cos 6c π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【分析】将,,a b c 化简计算即可比较大小.【详解】由sin 162221a π==>=，2227tan ta 1633n 6b ππ⎛⎫⎛⎛=== ⎝⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭3311log coslog 602c π⎛⎫== ⎪⎝<⎭，所以a b c >> 故选：A9．设定义域为R 的奇函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(4)0f -=，则不等式()()0f x f x x-->的解集是（ ）A ．(4,0)(4,)-⋃+∞B ．(,4)(0,4)-∞-⋃C ．(4,0)(0,4)-⋃D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞【答案】C【分析】根据题中条件，分别讨论0x <，0x >两种情况，结合函数单调性与奇偶性，即可求出结果.【详解】函数()f x 为奇函数，则()()f x f x -=- 若0x <，则()2()()0f x f x f x x x---=>等价于()0f x >，因为()40f -=，()f x 在(0,)+∞上为增函数， 则()f x 在(),0-∞上为增函数， 所以由()0f x >得40x -<<； 若0x >，则()2()()0f x f x f x x x---=>等价于()0f x <，由题知()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以由()0f x <得04x <<；.综上，()()0f x f x x-->的解集为(4,0)(0,4)-⋃.故选：C.10．我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制.在面度制下，角θ的面度数为3π，则角θ的余弦值为（ ） A． B ．12-C ．12D【答案】B【分析】利用扇形面积公式，根据面度数定义，求角θ.【详解】由面度数的定义可知22123r r θπ⋅=，即23πθ=，21cos cos 32πθ==-.故选：B11．如图是某四面体ABCD 水平放置时的三视图，图中网格纸的小正方形的边长为1，则四面体ABCD 外接球的体积为（ ）A ．5003πB ．1003πC ．1256πD ．20π【答案】C【分析】画出直观图，判断出四面体ABCD 外接球球心的位置并计算出半径，由此计算出外接球的体积.【详解】画出几何体的直观图如下图所示四面体ABCD :由三视图可知AD ⊥平面ABC ，AC BC ⊥， 所以AD BC ⊥，AD AC ⊥， 由于ACAD A =，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC BD ⊥，所以三角形ACD 和三角形BCD 都是直角三角形， 故四面体ABCD 外接球的球心为CD 的中点O ，22345CD =+=，所以外接球的半径为52r =， 所以外接球的体积为3441251253386r πππ=⨯=. 故选：C12．若1F ，2F 是双曲线22221(0,0)y xa b a b-=>>与椭圆2251162x y +=的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且12PF F △为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A ．y =±B ．4y x =±C ．3y x =±D ．7y x =±【答案】B【分析】由题意可得双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，由12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==,从而可求得1221064PF a PF =-=-=，再利用双曲线的定义可求得在双曲线中1a =，b =，进而可求出双曲线的渐近线方程【详解】解：因为椭圆2251162x y +=的焦点坐标为(0,3)，所以双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>中223,9c a b =+=，设点P 为两曲线在第一象限的交点，由于在椭圆中，12PF F △为等腰三角形，所以2126PF F F ==, 所以1221064PF a PF =-=-=，在双曲线中，212642a PF PF =-=-=，所以1a =，代入229a b +=，得b =，所以该双曲线的渐近线方程为4a y x x x b =±==±， 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆、双曲线的定义的应用，解题的关键由12PF F △为等腰三角形和椭圆的定义求出21,PF PF 的值，属于中档题二、填空题13．已知向量(,1)a m =-，(2,1)b m =--+，若()a a b ⊥+，则m =______. 【答案】0或1【分析】先求出()2,a b m m +=--，再由条件可得()()()()210a a b m m m ⋅+=-+-⨯-=，从而可解得答案.【详解】由(,1)a m =-，(2,1)b m =--+，则()2,a b m m +=-- 因为()a a b ⊥+，所以()()()()210a a b m m m ⋅+=-+-⨯-= 即20m m -=，解得1m =或0m = 故答案为：0或114．若曲线ln 1y x x =+在1x =处的切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直，则a =______. 【答案】13； 【分析】求出()'f x 及(1)f '，利用切线与直线垂直斜率乘积等于-1可得答案.【详解】由题意得，()ln 1f x x '=+，所以(1)1f '=， 因为切线与直线2(1)30ax a y --+=垂直， 所以10a -≠，且2111aa ⨯=--，解得13a =. 故答案为：13． 15．已知不等式032060x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩表示的平面区域为D ，若存在(,)x y D ∈，使得不等式20x y t --≥成立，则实数t 的最大值为______.【答案】-1；【分析】先画出可行域D ，由20x y t --=得22x ty =-，作出直线2x y =，向上平移过点A 时，t 取最大值，求出点A 坐标，代入2t x y =-中可得答案 【详解】解：不等式组表示的平面区域为D 如图所示， 由20x y t --=得22x ty =-，作出直线2x y =，向上平移过点A 时，t 取最大值，由0320x y x y -=⎧⎨--=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即(1,1)A ， 所以max 1211t =-⨯=-， 故答案为：1-16．已知数列{}n a 的首项12a =，前n 项和为n S ，且()1*121n n n S S n +++=-∈N ，则11S =______.【答案】1366或写成6423+. 【分析】根据题意，令n=n -1可得()-1212nn n S S n +=-≥，与原式相减，可得()122n n n a a n ++=≥，对n 赋值，利用等比数列前n 项和公式，即可求得答案.【详解】因为()1*121n n n S S n +++=-∈N ，所以()-1212nn n S S n +=-≥，两式相减可得()-1+11122==22=n n n n n n n n a a S S ++-+≥-，所以2468102345678910112,2,2,2,2a a a a a a a a a a +=+=+=+=+=， 所以24681012101111222222a a a a S ++⋅⋅⋅++=+=++++=()5225622124(14)422213661233⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦+=+==--. 故答案为：1366或写成6423+.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos (2)cos a B c b A =-. （1）求A ；（2）已知3b =，若2AB AC AM +=且13AM =，求ABC 的面积.【答案】（1）3A π=；（2. 【分析】（ 1）根据正弦定理以及和差角公式求解即可；（ 2）将2AB AC AM +=两边平方，计算得6c =，再求解面积即可. 【详解】（1）因为cos (2)cos a B c b A =-， 由正弦定理得sin cos (2sin sin )cos A B C B A =-， 即sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=， 所以sin 2sin cos C C A =， 因为在ABC 中sin 0C ≠， 所以1cos 2A =， 因为0A π<<， 所以3A π=.（2）由2AB AC AM +=两边平方得22224AB AC AB AC AM ++⋅=， 因为3b =，132AM =，所以221923422c c ⎛++⨯⨯⨯=⨯ ⎝⎭， 解得1c =或4c =-（舍去），所以ABC 的面积为1312S =⨯⨯=. 【点睛】解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.18．如图，一简单组合体的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，矩形BCDE所在的平面垂直于圆O 所在的平面.（1）证明：平面ADE ⊥平面ADC ；（2）若2AB =，1AC =，45EAB ∠=︒，试求该简单组合体的体积. 【答案】（1）证明见解析；（223【分析】（1）由题意可得BC AC ⊥，BC DC ⊥，由线面垂直的判定定理可得BC ⊥面ADC ，再由//BC ED ，可得ED ⊥面ADC ，根据面面垂直的判定定理即可证明.（2）根据面面垂直的性质定理可得EB AB ⊥，且AC ⊥面BCDE ，根据锥体的体积公式即可求解.【详解】解 （1）证明：因为ABC 内接于圆O 且AB 为直径 所以BC AC ⊥在矩形BCDE 中有BC DC ⊥且AC 与DC 相交于点C 所以BC ⊥面ADC 而//BC ED 所以ED ⊥面ADC 因此面ADE ⊥面ADC （2）解：由题知EB BC ⊥，面BCDE ⊥面ABC 且面BCDE ⋂面ABC BC = 所以EB ⊥面ABC 所以EB AB ⊥. 又因为45EAB ∠=︒， 所以2EB AB == 同理AC ⊥面BCDE ，在Rt ABC △中22213BC =-=BCDE 的面积为3因此该简单组合体的体积12323133V =⨯⨯=19．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方图.年级名次 是否近视 1~100 101~1000近视 40 30 不近视1020（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽取的100名学生名次在1~100名和101~1000名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中任取2人，至少有1人的年级名次在1~100名的概率.()2P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k2.7063.8415.0246.6357.87922()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）4.74；（2）能；（3）35. 【分析】（1）根据题中所给的频率分布直方图中对应的数据，可以求得第三组、第六组、第五组的频数以及前四组的频数和，结合前四组的频数成等比数列，得出相应的数据，利用中位数的特征，两边各占一半，求得结果；（2）利用题中所给的列联表，求得2K 的值，与表中所给的临界值比较，得到结论； （3）根据题意，求出满足条件的基本事件数和总的基本事件数，利用古典概型概率公式求解即可.【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为1000.80.216⨯⨯=人 第五组的频数为100 1.20.224⨯⨯=人 所以前四组的频数和为()100241660-+=人 而前四组的频数依次成等比数列故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人 所以中位数落在第四组，设为x ， 因此有4.650(4816)0.232x --++=（或1.6( 4.6)0.22x -=） 解得 4.7375x = 所以中位数是4.74（2）因为22100(40203010)50507030K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯ 所以21004.76221K =≈ 所以2 3.841K >因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在1~100名和101~1000名的分别有2人和4人从6人中任意抽取2人的基本事件共15个 至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个 所以至少有1人的年级名次在1~100名的概率为93155P ==. 【点睛】方法点睛：该题考查的是有关概率与统计的问题，解题方法如下： （1）根据频率分布直方图中所给的数据求相应的量，利用中位数的定义求得结果； （2）利用公式求得2K 的值，结合临界值得到结果；（3）利用古典概型概率公式求得概率.20．已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中k 为常数， 2.71828e =…为自然对数的底数.（1）若2e k =，求函数()f x 的极值；（2）若函数()f x 在区间(1,2)上单调，求k 的取值范围. 【答案】（1）极小值为2ln 2e -极大值为2e e -；（2）)2(,],e e ⎡-∞+∞⎣.【分析】（1）利用导数求解函数的极值即可。
2019-2020学年江西省赣州市高三(上)期末数学试卷(文科)
2019-2020学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--…，{|22}B x N x =∈-<<，则()(R A B =I ð ) A ．{|12}x x -<<B ．{|23}x x -<<C ．{1-，0，1}D ．{0，1}2．（5分）在复平面内，复数(34iz i i=-为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）如图是相关变量x ，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析， 方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：11ˆyb x a =+，相关系数为1r ； 方案二：剔除点(10,32)，根据剩下数据，得到线性回归方程：22ˆyb x a =+，相关系数为2r ；则( )A ．1201r r <<<B ．2101r r <<<C ．1210r r -<<<D ．2110r r -<<<4．（5分）若3log 0.20.232,3,log 0.2a b c ===，则下列结论正确的是( ) A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>5．（5分）已知双曲线222:4(0)y C x a a-=>的一条渐近线经过圆22:2440P x y x y +--+=的圆心，则C 的离心率为( ) A ．5 B ．5 C ．10 D ．10 6．（5分）函数()(22)sin x x f x x -=-的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24(1)n n S a =+，则35a a g 的值为( ) A ．15B ．45C ．49D ．648．（5分）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，为了得到函数2cos()y x ω=的图象，只需将函数()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位9．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的3S =，则输入k 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．1310．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，23b =且222)S a c b =+-，则ABC ∆的面积S 的最大值为( ) A．B．6+C．6+D．9+11．（5分）已知点1(1,)2P -和抛物线2:2C x y =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若PA PB ⊥u u u r u u u r，则直线斜率k 为( ) A ．4B ．3C ．2D ．112．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()1f x f x '-<，f （1）2=，则不等式1()1x f x e -->的解集为( ) A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）函数2()3f x lnx x=+在1x =处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为 ． 14．（5分）在边长为2的等边三角形ABC 中，3BC BD =u u u r u u u r ，E 为线段AC 中点，则BE AD =u u u r u u u r g ． 15．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件0,2,0x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩g…„…，则|3412|z x y =--的最小值等于 ．16．（5分）在三棱锥P ABC -中，3,2AB PC AC PB BC =====，当三棱锥P ABC -的体积取最大值时，其外接球的表面积为 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）已知{}n a 是公比大于1的等比数列，12a =，且123352,1,24a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2122232log log log log n n b a a a a =+++⋯+，记1n nc b =，求数列{}n c 的前n 项和为n T ． 18．（12分）某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图．若立定跳远成绩落在区间(,)x s x s -+的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中,x s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得27s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160，180)，[180，200)，[200，220)中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在[200，220)的概率．19．（12分）在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 为AD 的中点，如图1，将ABE ∆沿BE 折起，使得点A 到达点P 的位置（如图2)，且平面PBE ⊥平面BCDE （1）证明：PB ⊥平面PEC ；（2）若M 为PB 的中点，N 为PC 的中点，求三棱锥M CDN -的体积．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>，F为椭圆C 的右焦点，6D 为椭圆上一点，C 的离心率22e =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究||||PF MN 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．21．（12分）已知函数2()()(,)x f x x m e nx m n R =--∈在1x =处的切线方程为y ex e =-． （1）求m ，n 的值；（2）当0x >时，()3f x ax -…恒成立，求整数a 的最大值．（二）选考题请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为102(x tt y t=+⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为233sin ρθ=+（1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）若点M 与点P 分别为曲线1C ，2C 动点，求||PM 的最小值及此时点P 的坐标． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-++． （1）解不等式()2f x …；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 为正实数，且322a b m +=，求23a b+的最小值．2019-2020学年江西省赣州市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合2{|230}A x x x =--…，{|22}B x N x =∈-<<，则()(R A B =I ð ) A ．{|12}x x -<<B ．{|23}x x -<<C ．{1-，0，1}D ．{0，1}【解答】解：{|1A x x =-Q „或3}x …，{1B =-，0，1}， {|13}R A x x ∴=-<<ð， (){0R A B ∴=I ð，1}．故选：D ．2．（5分）在复平面内，复数(34iz i i=-为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数(34)434334(34)(34)252525i i i i z i i i i +-+====-+--+， 它在复平面内对应点的坐标为4(25-，3)5，它的共轭付复数为432525i --， 对应点在第三象限， 故选：C ．3．（5分）如图是相关变量x ，y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析， 方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程：11ˆyb x a =+，相关系数为1r ； 方案二：剔除点(10,32)，根据剩下数据，得到线性回归方程：22ˆyb x a =+，相关系数为2r ；则( )A ．1201r r <<<B ．2101r r <<<C ．1210r r -<<<D ．2110r r -<<<【解答】解：根据相关变量x ，y 的散点图知，变量x 、y 具有正线性相关关系，且点(10,32)是离群值．方案一中，没剔除离群值，线性相关性弱些，成正相关； 方案二中，剔除离群值，线性相关性强些，也是正相关． 相关系数1201r r <<<． 故选：A ．4．（5分）若3log 0.20.232,3,log 0.2a b c ===，则下列结论正确的是( ) A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．b c a >>【解答】解：(0,1)a ∈Q ，1b >，0c <．c a b ∴<<．故选：B ．5．（5分）已知双曲线222:4(0)y C x a a-=>的一条渐近线经过圆22:2440P x y x y +--+=的圆心，则C 的离心率为( ) A ．5 B ．5 C ．10 D ．10 【解答】解：由圆22:2440P x y x y +--+=，得(1,2)P ，由双曲线222:4(0)y C x a a-=>，得渐近线方程为y ax =±，则2a =．225c a b ∴=+=， 即C 的离心率为5c e a ==． 故选：A ．6．（5分）函数()(22)sin x x f x x -=-的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：()(22)sin()(22)sin ()x x x x f x x x f x ---=--=-=，即函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D当0x =时，()0f x =，过原点，排除B ， 故选：C ．7．（5分）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24(1)n n S a =+，则35a a g 的值为( ) A ．15B ．45C ．49D ．64【解答】解：正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且24(1)n n S a =+①， 则：当1n =时，2114(1)a a =+，解得11a =． 当2n …时，2114(1)n n S a --=+②， ①-②得：2211422n n n n n a a a a a --=-+-， 由于数列为正项数列， 所以12n n a a --=（常数）故：12(1)21n a n n =+-=-（首项符合通项）． 所以35a =，59a =． 则：3545a a =g ． 故选：B ．8．（5分）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象如图所示，为了得到函数2cos()y x ω=的图象，只需将函数()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位【解答】解：根据函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的图象，可得它的图象经过(0,1)，故有2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，6πϕ∴=．再根据五点法作图，5126ππωπ+=g ，2ω∴=，故()2sin(2)6f x x π=+．要得到函数2cos()2sin(2)2y x x πω==+的图象，只需将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，故选：D ．9．（5分）我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问：米几何？”如图所示的是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的3S =，则输入k 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13【解答】解：模拟程序的运行，可得：1n =，S k =，满足条件4n <，执行循环体，2n =，2kS =， 满足条件4n <，执行循环体，3n =，3k S =， 满足条件4n <，执行循环体，4n =，4k S =， 此时，不满足条件4n <，退出循环，输出S 的值为4k ， 由题意可得34k=，解得12k =， 故选：C ．10．（5分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，23b =且222)S a c b =+-，则ABC ∆的面积S 的最大值为( ) A．B．6+C．6+D．9+【解答】解：Q 2221)(2cos )sin 2S a c b ac B ac B =+-==，tan B ∴=6B π=，cos B 1sin 2B =，又2b =Q22112(22a c ac =+-…，12(2ac ∴=+„，111sin 12(26222ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=+„，∴面积S的最大值为6+故选：C ．11．（5分）已知点1(1,)2P -和抛物线2:2C x y =，过抛物线C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若PA PB ⊥u u u r u u u r，则直线斜率k 为( ) A ．4B ．3C ．2D ．1【解答】解：抛物线的焦点1(0,)2F ，设直线方程为12y kx =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2122y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消去y 得，2210x kx --=，122x x k +=，121x x =-，由PA PB ⊥u u u r u u u r ，1122121211(1,)(1,)(1)(1)(1)(1)022PA PB x y x y x x kx kx =-+-+=--+++=u u u r u u u r g g ，得2(1)??(1)(??)20k x x k x x ++-++=，222(1)222210k k k k k -++-+=-+=，1k =，故选：D ．12．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()1f x f x '-<，f （1）2=，则不等式1()1x f x e -->的解集为( )A ．(,1)-∞B ．(,2)-∞C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞【解答】解：因为()()1f x f x '-<，f （1）2=， 构造函数1()1()x f x g x e --=，则1()()1()0x f x f x g x e -'-+'=>， ∴函数()g x 在R 上单调递增．又1()1x f x e -->Q ，g （1）1=，∴原不等式等价于()g x g >（1），1x ∴>，即原不等式的解集为(1,)+∞． 故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）函数2()3f x lnx x =+在1x =处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为 12． 【解答】解：232()f x x x '=-， 则f （1）2=，k f ='（1）1=，故曲线在1x =处的切线方程21y x -=-即1y x =+， 令0x =可得1y =，令0y =可得1x =-，故所求三角形面积111122S =⨯⨯=．故答案为：12． 14．（5分）在边长为2的等边三角形ABC 中，3BC BD =u u u r u u u r ，E 为线段AC 中点，则BE AD =u u u r u u u rg2- ．【解答】解：如图：因为3BC BD =u u u r u u u r，E 为线段AC 中点；∴1()()2BE AD BA BC AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g11()()23BA BC BA BC =+-+u uu r u u u r u u u r u u u r g22121()233BA BA BC BC =--+u uu r u u u r u u u r u u u r g 2121(222cos602233=--⨯⨯⨯︒+⨯2) 2=-；故答案为：2-．15．（5分）已知实数x ，y 满足约束条件0,2,0x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩g …„…，则|3412|z x y =--的最小值等于 6 ．【解答】解：实数x ，y 满足约束条件0,2,0x y x y y -⎧⎪+⎨⎪⎩g…„…表示的平面区域，如图所示的阴影部分：由|3412|z x y =--的几何意义是可行域内的点与直线34120x y --=距离的5倍，由可行域可知，B 到直线34120x y --=的距离最小， 得(2,0)B ，则|3412|x y --的最小值为：|324012|6⨯-⨯-=． 故答案为：6．16．（5分）在三棱锥P ABC -中，5,3,2AB PC AC PB BC =====，当三棱锥P ABC -的体积取最大值时，其外接球的表面积为 14π ．【解答】解：因为三棱锥P ABC -中，5,3,2AB PC AC PB BC =====， 所以PC BC ⊥，同理AB BC ⊥．当平面PBC ⊥平面ACB 时，三棱锥P ABC -的体积取最大值．知PCA ∆，PBA ∆是以PA 为公共斜边的直角三角形，PA ， 取PA 的中点O ，得OA OB OC OP ====O 即为三棱锥P ABC -外接球的球心，此时三棱锥P ABC -的外接球直径2R PA ==，则外接球的表面积为14π． 故答案为：14π三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（12分）已知{}n a 是公比大于1的等比数列，12a =，且123352,1,24a a a +成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2122232log log log log n n b a a a a =+++⋯+，记1n nc b =，求数列{}n c 的前n 项和为n T ． 【解答】解：（1）由题意，设数列{}n a 公比为q ，则212a a q q ==，22312a a q q ==．Q 123352,1,24a a a +成等差数列，13252324a a a ∴+=+，即25423224q q +=+g g ，整理，得251240q q -+=， 解得2q =，或25q =． 1q >Q ，2q ∴=．∴数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -==g ，*n N ∈．（2）由（1）知，22log log 2n a =n n =，故2122232(1)log log log log 122n n n n b a a a a n +=+++⋯+=++⋯+=． ∴12112()(1)1n n c b n n n n ===-++． 12n n T c c c ∴=++⋯+111112(1)2()2()2231n n =-+-+⋯+-+．111112(1)2231n n =-+-+⋯+-+12(1)1n =-+ 21nn =+． 18．（12分）某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了120名男生进行立定跳远测试，根据统计数据得到如下的频率分布直方图．若立定跳远成绩落在区间(,)x s x s -+的左侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中,x s 分别为样本平均数和样本标准差，计算可得27s ≈（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．（1）若该校高三某男生的跳远距离为187cm ，试判断该男生是否属于“体能不达标”的学生？（2）该校利用分层抽样的方法从样本区间[160，180)，[180，200)，[200，220)中共抽出5人，再从中选出两人进行某体能训练，求选出的两人中恰有一人跳远距离在[200，220)的概率．【解答】解：（1）由题意可知：各小矩形面积从左至右依次为0.1，0.2，0.2，0.3，0.15，0.05，0.11700.21900.22100.32300.152500.05270217x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 190x s -≈，187190<Q ，∴该生属于“体能不达标”的学生．（2）由题意，跳远距离在[160，180)，[180，200)，[200，220)的人数分别为12人、24人、24人，按分层抽样抽取5人，则[160，180)抽1人，[180，200)抽2人，[200，220)抽2人 设[160，180)抽出的人编号为a ，[180，200)抽出的人编号为b ，c ， [200，220)抽出的人编号为d ，e ，从中选两人，基本事件有：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共有10种情况记选出的两人中恰有一人跳远距离在[200，220)为事件A ，满足条件的基本事件有6种，分别为(,)a d ，(,)a e ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，∴选出的两人中恰有一人跳远距离在[200，220)的概率P （A ）63105==． 19．（12分）在矩形ABCD 中，1AB =，2BC =，E 为AD 的中点，如图1，将ABE ∆沿BE 折起，使得点A 到达点P 的位置（如图2)，且平面PBE ⊥平面BCDE （1）证明：PB ⊥平面PEC ；（2）若M 为PB 的中点，N 为PC 的中点，求三棱锥M CDN -的体积．【解答】解：（1）证明：由题意，易得2,2BE CE BC ==， 222BE CE BC ∴+=，即BE CE ⊥，又Q 平面PBE ⊥平面BCDE ，交线为BE ，CE ∴⊥平面PBE ， CE PB ∴⊥，又PB PE ⊥Q ，PB ∴⊥平面PEC ；（2）取BE 中点O ，连接PO ，PB PE =Q ， PO BE ∴⊥，22PO =， 又Q 平面PBE ⊥平面BCDE ，交线为BE ，PO ∴⊥平面BCDE ，M Q 为PB 的中点，N 为PC 的中点，∴1111112221244432224M CDN M PCD B PCD P BCDV V V V----====⨯⨯⨯⨯⨯=．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>，F为椭圆C的右焦点，6(1,)D为椭圆上一点，C的离心率22e=．（1）求椭圆C的标准方程；（2）斜率为k的直线l过点F交椭圆C于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于点P，试探究||||PFMN是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由．【解答】解：（1）由题意，可得2222213122a bceac a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得222abc=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C的标准方程为22142x y+=．（2）由题意，当0k=时，||24MN a==，||||2PF OF c===||2||PFMN=．当0k ≠时，直线l 方程为(y k x =，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．将直线l 代入椭圆方程22142x y +=，消去y ，整理得2222(21)440k x x k +-+-=， 则△4222324(21)(44)16(1)0k k k k =-+-=+>．12x x +=，21224421k x x k -=+g ．12|||MN x x ∴=-=224(1)21k k +=+．Q 线段MN 中点坐标为，∴线段MN 的中垂线方程为2221()2121y x k k k -=--++，即2121y x k k =-++．令0y =，则P x =，|||PF ∴==∴||||PF MN =．综上所述，可得||||PF MN =（定值）． 21．（12分）已知函数2()()(,)x f x x m e nx m n R =--∈在1x =处的切线方程为y ex e =-． （1）求m ，n 的值；（2）当0x >时，()3f x ax -…恒成立，求整数a 的最大值． 【解答】解：（1）()(1)2x f x x m e nx '=-+-Q ， 由题意可得，(1)0(1)f f e =⎧⎨'=⎩，∴(1)0(2)2m e n m e n e --=⎧⎨--=⎩解得1m =，0n =，（2）：由（1）得()(1)x f x x e =-，由0x >时，()3f x ax -…恒成立，可得，(1)331(1)x x x e a e x x x -+=+-„， 令31()(1)xg x e x x=+-，则22(1)3()x x x e g x x -+-'= 令2()(1)3x h x x x e =-+-，则()(1)0x h x x xe '=+>，()h x 在(0,)+∞上单调递增，且h （1）30e =-<，h （2）2330e =->， 0(1,2)x ∴∈，使得0()0h x =，即0200(1)30x x x e -+-=∴020031x e x x =-+ 故()g x 在0(0,)x 上递减，在0(x ，)+∞上递增，00020000000131333()()(1)111x min x g x g x e x x x x x x x x -==+-=+=-++-g ， 0(1,2)x ∈Q ，∴001522x x <+<，0013112x x <+-<， 2()3min g x ∴<<，a Z ∈Q ，∴整数a 的最大值为2∴整数a 的最大值为2．（二）选考题请考生在22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为102(x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=（1）求曲线1C ，2C 的普通方程；（2）若点M 与点P 分别为曲线1C ，2C 动点，求||PM 的最小值及此时点P 的坐标． 【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为102(x tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数），转换为的普通方程为2100x y +-=．曲线2C的极坐标方程为ρ=2211612x y +=．（2）设点(4cos )P αα，则点P 到直线2100x y +-=的距离为|8sin()10|d πα+-==当sin()16πα+=，即3πα=时||PM，此时点P 坐标为(2,3)． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|21||1|f x x x =-++． （1）解不等式()2f x …；（2）记函数()f x 的最小值为m ，若a ，b 为正实数，且322a b m +=，求23a b+的最小值．【解答】解：（1）3(1)1()2(1)213()2x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩„…，()2f x ∴…等价于132x x -⎧⎨-⎩„…或11222x x ⎧-<<⎪⎨⎪-⎩…或1232x x ⎧⎪⎨⎪⎩……， 1x ∴-„或10x -<„或23x …，∴不等式的解集为2(,0][,)3-∞+∞U ；（2）由3(1)1()2(1)213()2x x f x x x x x ⎧⎪--⎪⎪=--<<⎨⎪⎪⎪⎩„…可知13()()22min f x f m ===，323a b ∴+=，a>Q，0b>，∴23123194()(32)(12)833a ba ba b a b b a+=++=++…，∴当且仅当13,24a b==时取得最小值为8．。
江西省赣州市小密中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析
江西省赣州市小密中学2021年高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数z满足（i是虚数单位），则复数z的共辄复数（）A．B． C. D．参考答案：D由题意可得：，结合共轭复数的定义可知：.本题选择D选项.2. 复数A. B. C. D.参考答案：B3. 在中，，，，则角的大小为（A）（B）（C）（D）参考答案：A由得，所以,因为，所以,即为锐角，由正弦定理知,所以，所以,选A.4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B. C. D.参考答案：D5. 定义在R上的函数的导函数为，且，其在点（4，）处的切线为，则=( )A．4 B．6 C．10 D．12参考答案：C6. 设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时,f（x）=2x2－x，则f（l）=A．3B．-1C．1D．-3参考答案：7. 若从区间内随机取两个数，则两个数之比不小于的概率为（）A．B．C．D．参考答案：A略8. 已知数列{}是公差为2的等差数列，且成等比数列，则为（）A．3 B．-3 C.2 D. -2参考答案：A略9. 设集合(A) (B) (C) (D)参考答案：A10. 某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车。
每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有A．24种 B．18种 C．48种 D．36种参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．参考答案：5x＋y -3=0 .略12. 将自然数按如图排列，其中处于从左到右第m列从下到上第n行的数记为A（m，n），如A（3，1）=4，A（4，2）=12，则A（1，n）= ；A（10，10）= ．参考答案：，181。
赣州市2022-2023学年度第一学期期末考试高三文科数学参考答案
赣州市2022~2023学年度第一学期期末考试高三数学试卷（文科）参考答案一、选择题题目123456789101112答案DCBADCBCACBA12.设2()()g x f x x =-，则()()2g x f x x ''=-，当[)0,x ∈+∞时，()()20g x f x x ''=-<，即()g x 在[)0,+∞上单调递减，而()()0()()f x f x f x f x --=⇒-=，所以22()()()()g x f x x f x x -=---=-，故()g x 是偶函数，所以()g x 在(],0-∞上单调递增，因为2(22)(4)312f a f a a ----≥，所以22[2(1)][2(1)](4)(4)[2(1)](4)f a a f a a g a g a ------⇒--≥≥，即2(1)422a a a --⇒-≤≤≤.二、填空题13.2π3（或120︒）；14.45；15.2；16.6-.16.解：因为{}21n a -是递增数列，所以21210n n a a +-->，故212221()()0n n n n a a a a +--+->，因为212n n +>，所以212221212n n n n a a n a a n +--=+>-=，所以2120(2)n n a a n +->≥，又3150a a -=>，所以2120(1)n n a a n +->≥，因为{}2n a 是递减数列，所以2220n n a a +-<，同理22210n n a a ++-<，所以212222121(22)n n n n a a n a a n +++-=+⎧⎨-=-+⎩，所以2221n n a a +-=-，即{}2n a 的首项为3，公差为1-的等差数列，即203(101)(1)6a =+-⨯-=-.三、解答题17.解：（1）根据频数分布表，完善表格如下：男女合计铁杆球迷302050非铁杆球迷254570合计5565120……………………2分根据数据得222()120(30452025) 6.93 6.635()()()()50705565-⨯⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯n ad bc K a b c d a c b d 故有99%的把握认为该足球俱乐部的足球爱好者为“铁杆球迷”与“性别”有关……6分（2）依题意按照分层抽样在所有“铁杆球迷”中按性别分层抽样抽取5名中男生和女生分别有3人和2人，从5人中任意抽取2人的基本事件共10个，其中至少有1人是女生的基本事件有7个，故选取的两名中至少有1名女“铁杆球迷”的概率为710=P ……………12分18.解（1）π()2cos 212sin(2)16=--=--f x x x x ……………………………2分令ππ3π2π+22π+262-≤≤k x k ，得π5ππ+π+36≤≤k x k ………………………………4分即函数()f x 的单调递减区间为π5π[π+,π+)36∈Z k k k …………………………………5分（2）由（1）知π()2sin(2)116=--=f A A 得πsin(2)16-=A 所以ππ22π62-=+A k 即ππ3=+A k ，()∈Z k 又0π<<A ，得π3=A ………………………………………………………………………7分而1()2=+ AD AC AB 得2222224()2=+=++⋅=++⋅ AD AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB22=++b c bc 2=3+≥bc bc bc所以4≤bc 当且仅当2==b c 时等号成立………………………………………………10分此时ABC ∆的面积为11sin 4222=⨯⨯=≤S bc A所以ABC ∆…………………………………………………………12分19.解（1）证明：由于⊥AB 面PAD 且//AB CD ，所以⊥CD 面PAD ………………1分所以CD AP ⊥…………………………………………………………………………………2分由2222cos =+-⋅∠PD AP AD AP AD PAD ，得21124222=+-⨯⋅⨯AD AD ，即4=AD ………………………………………………3分所以222=+AD AP PD ，即⊥AP PD ……………………………………………………4分所以⊥AP 面PCD ,而⊆DM 面PCD ……………………………………………………5分因此⊥AP DM ………………………………………………………………………………6分（2）连结,AC BD 交于点N ,连MN ………………………………………………………7分因为//AP 平面BDM ，⊆AP 平面APC ，平面 BDM 平面=APC MN …………8分所以//AP MN ，故=CM CNPM AN ……………………………………………………………9分在梯形ABCD 中13==AB AN CD NC …………………………………………………………10分所以14===PM AN PC AC λ，即当//AP 平面BDM 时λ的值为14………………………12分20.解：（1）2()e (2)=-++xh x x x a ，所以2()e (2)'=+-xh x a x ……………………1分①当20+≤a 即2-≤a 时，()0'≤h x 恒成立，函数()h x 在(,)∈-∞+∞x 上为单调递减函数………………………………………………………………………………………2分②当20+>a 即2>-a 时，令()0'>h x 得：<<x令()0'<h x 得：<>x x 分所以，函数()h x 在(∈x 上为单调递增函数，在(,∈-∞x 和)∈+∞x 上为单调递减函数……………………………5分（2）构造2()()()e 2=-=+--xF x f x g x x x a ，所以()e 22xF x x '=+-…………6分记()()'=m x F x ，()e 20xm x '=+>恒成立，即()m x 在(,)∈-∞+∞x 上单调递增…7分而01(0)e 210,()102=-=-<=>m m ，所以存在唯一的01(0,)2∈x 使得0()0=m x ，即00e 220+-=xx …………………………8分所以0000()e ,()22''==-+xf xg x x ，所以00()()''=f x g x ，即曲线()=y f x 与()=y g x 在点M 处有相同的切线……………………………………9分又知()F x 在0(,)∈-∞x x 上单调递减，在0(,)∈+∞x x 上单调递增，即min 0()()=F x F x ，由于函数()=y f x 的图象与函数()=y g x 的图象仅有一个交点M ，所以0()0=F x ，即0200e 20+--=xx x a ………………………………………………10分022200000e 242(2)2x a x x x x x =+-=-+=--，01(0,)2∈x ，所以1(,2)4a ∈……11分综上，曲线()=y f x 与()=y g x 在点M 处有相同的切线，且1(,2)4∈a ……………12分21.解：（1）设00(,),(,)M x y P x y ,则0(0,)Q y ……………………………………………1分由(1-=- OQ OP得=PQ，即00(,0),)-=--x x y y ………2分将00x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入得22)12+=y ，即221412+=x y …………………………………3分所以动点M 的轨迹方程22:1124+=y x C ……………………………………………………4分（2）设1122(,),(,),(,)A x yB x y D m n 联立2221124=+⎧⎪⎨+=⎪⎩y kx y x 得22(3)480++-=k x kx ………………………………………………5分所以1221224383-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩k x x k x x k ………………………………………………………………………6分因为21212()()()()DA AB DA DA DB x m x m y n y n ⋅+=⋅=--+--1212()()(2)(2)=--++-+-x m x m kx n kx n ……………………………………………7分22212121212()(2)()(2)=-++++-++-x x m x x m k x x k n x x n 22222228484(2)(2)3333----=-+++--++++k k m m k k n n k k k k 2222(416)48(2)3-+-=++-+n k mk m n k ……………………………………………………9分22241240123mk n m n k -+=++-+为定值…………………………………………………10分所以012+400m n =⎧⎨-=⎩即0103=⎧⎪⎨=⎪⎩m n ……………………………………………………………11分所以存在定点10(0,)3D ，使得2⋅+ DA AB DA 为定值89-………………………………12分22.解：（1）直线l 的普通方程为10x y --=……………………………………………2分由)4ρθπ=+得2cos 2sin ρθθ=+，则22cos 2sin ρρθρθ=+曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=…………………………………………5分（2）直线l的参数方程为24232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）……………………………………6分设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，将24232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22220x y x y +--=得2110t ++=………………………7分则12t t +=-，1211t t =，则120,0t t <<………………………………………………8分则1212121212()11115211t t t t PA PB t t t t t t +-++=+===…………………………………10分23.解：（1）由题意得34,2()212,2134,1x x f x x x x x x x ---⎧⎪=+++=--<-⎨⎪+>⎩≤≤………………………3分从而函数()f x 在(,1)-∞-递减，在(1,)-+∞上递增………………………………………4分故min ()(1)1f x f =-=，即1m =……………………………………………………………5分（2）由（1）知：1a b c ++=，又,,a b c 为正数，由2222222,2,2a b ab a c ac b c bc +++≥≥≥……………………………………………6分法一：222222222a b c a b c ab ac bcc b a c b a +++++++≥…………………………………7分而222(()()ab ac bc b c a c b a a b c c b a c b c a a b ++=+++++…………………………………8分所以2222222()2a b c a b c a b c c b a ++++++=+≥………………………………………10分法二：由2222,2,2a b a b a a b c a b a c+++≥≥≥，2222,2,2c b c a c c b b c a c b +++≥≥≥……………………………………………………8分得2222222()2a b c a b c a b c c b a+++++++=≥………………………………………10分。
江西省赣州市2021-2022学年高三上学期期末数学(文)试题
为（
）
试卷第 1页，共 5页
A．
2
7
B．
1
7
C．
4
7
D．
sin sin
2
1
7．若
，则 tan 2 （
3
cos cos( )
2
A．
3
4
8．已知函数 y a
B．
x 1
3
4
）
4
3
D．
4
3
2 a 0, a 1 的图像恒过的定点 A ，且 A 点在直线
A．6
B．9
C．27
5．已知双曲线 C 的一条渐近线方程为 y
C 的标准方程为（
A．
x2 y2
1
6 3
C．
x2
y2 1
4
）
D．81
1
x2
x ，且与椭圆 y 2 1 有公共焦点，则双曲线
2
6
）
y 2 x2
1
6 3
x2
D． y 2 1
4
B．
6．已知实数 a 满足 0 log 2 1 a 3 ，则直线 y x a 与圆 x 1 y 2 2 有公共点的概率
599，600.从中抽取 60 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表中第 5 行第 6
列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（
A．457
B．328
）
C．253
D．072
4．已知等比数列 an 的各项均为正数，且 a1 a6 9 ，则 log 3 a1 log 3 a2 log 3 a6 （
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）高三数学（文科）试题 第2页（共4页） 江西省赣州市2012届高三上学期期末考试数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.32i 1i=-A.1i +B.1i -C.1i -+D.1i --2.已知全集U =R ，1|42A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}|4B x x =≤-，1|2C x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则集合 C =A.A BB.A BC.()UA BD.()UAB3.若12()log (21)f x x =-，则()f x 的定义域为A.1(,1)2B.1(,1]2C.1(,)2+∞D.(1,)+∞4.一个简单几何体的正视图、侧视图如图，则其俯视图不可能为： ①长方形；②正方形；③圆；④椭圆． 其中正确的是 A.①② B.③④ C.②③ D.①④5.已知正项等比数列{}n a 满足：1222log log aa++20112log 2011a +=，则212011log ()a a +的最小值A.1B.32C.2D.2log 2011 6.已知π1sin()44α+=，则sin 2α的值是A.78B.158C.158-D.78- 7.在数列{}n a 中，若122,6a a ==，且当*n ∈N 时，2n a +是1n n a a +⋅的个位数字，则2011a =8.函数()|sin ||cos |()f x x x x =+∈R ，如下关于它的性质叙述正确．．的个数有 ①π2是它的一个周期 ②它的值域[1,2] ③直线π4x =是它的图象的一条对称轴 ④它在π[,0]4-上单调递增DCB Ay y y y xxxxBBBAAABAA.1B.2C.3D.49.已知21(),()()2xf x xg x m ==-，若对任意[1,3]x ∈-1，存在212[0,2],()()x f x g x ∈≥，则实数m 的取值范围是A.35,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B .1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.[)8,-+∞D.[)1,+∞10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量,OA a OB b ==，其中()3,1a =,()1,3b =. 若,OC a b λμλμ=+≤≤≤且01，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡上中的横线上. 11.已知||2,||3,(2)(2)1a b a b a b ==-⋅+=-，则a b 与的夹角为 . 12.在如图所示的算法框图中，若输入4,3m n ==，则输出a = . 13.关于x 的不等式|||1|x x a --≤在R 上恒成立（a 是常数）， 则实数a 的取值范围是 .14.在区间(0,2)内任取两数,()m n m n ≠，则椭圆22221x y m n+=的离心率大于32的概率是 . 15.若圆22(2)2x y -+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则双曲线的离心率是 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数21()3cos cos ()2f x x x x x =--∈R ． （1）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（2）已知ABC ∆内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且3,()0c f C ==，若向量(1,sin )m A =与(2,sin )n B =共线，求a 、b 的值．17. (本小题满分12分)B如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，AB ∥,90,DC DAB ∠=PA ⊥底面 1,12ABCD PA AD DC AB ====，M 是PB 的中点（1）求证：CM ∥平面PAD ； （2）求证：BC ⊥平面PAC . 18.(本小题满分12分)某苗圃基地为了解基地内甲、乙两块地种植的同一种树苗的长 抽取了10株树苗，分别测出它们的高度如下（单位：cm ） 甲：19 20 21 23 25 29 32 33 37 41 乙：10 26 30 30 34 37 44 46 46 47（1）用茎叶图表示上述两组数据，并对两块地抽取树苗的高度的平均数和中位数进行比较，写出两个统计结论；（2）绿化部门分配这20种219. (本小题满分12分) ．．．．．．．．．．．．．（1）求的值；（2）设第3列数从上到下形成的数列是{}n a ，第3行数从左到右形成的数列是{}n b ，求数列{}n n a b 的前n 项和n S .20. (本小题满分13分)已知函数()ln (0)f x ax x a =->（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为2y x b =+，求,a b 的值； （2）若当[1,]x e ∈时，函数()f x 的最小值是4，求函数()f x 在该区间上的最大值 21. (本小题满分14分)若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为2,F F 1，线段12F F 被抛物线2y bx =2的焦点F 内分成了3:1的两段.（1）求椭圆的离心率；（2）过点(1,0)C -的直线:1l x ky =-交椭圆于不同两点A 、B ，且2AC CB =，当AOB ∆的面积最大时，求直线l 的方程.赣州市2011～2012学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案 2012年元月一、选择题1～5. BDACC ； 6～10. DACBA. 二、填空题11.120； 12.12；13.1a ≥； 14.12；三、解答题16. 解：（1）21()cos cos 2f x x x x =--1sin 2cos 2122x x =-- sin(2)16x π=--∴()f x 的最小值为2-，最小正周期为π…………………5分 （2）∵()sin(2)106f C C π=--=， 即sin(2)16C π-=∵0C <<π，112666C πππ-<-<，∴ 262C ππ-=，∴ 3C π=……7分∵m 与n 共线，∴sin 2sin 0B A -=由正弦定理得sin sin a bA B=， 得2,b a = ①…………………………………８分 ∵3c=，由余弦定理，得2292cos 3a b ab π=+-，②……………………10分解方程组①②，得a b ⎧=⎨=⎩1２分17.解：（1）取PA 中点N ，连MN ，DN ∵MN 是PAB ∆的中位线，所以MN 平行且等于12AB ……………………………1分 又∵DC 平行且等于12AB ，∴MN 平行且等于DC ………………………………2分 ∴四边形MNDC 是平形四边形…………………………………………………………3分 ∴CM ∥AD …………………………………………………………………………4分（2）取AB 中点H ，则四边形ADCH 为正方形∴2222BC CH HB =+=………………………………………………………7分ADC ∆中，2222AC AD CD =+=………………………………………………8分∵2224AC BC AB +==，∴BC AC ⊥…………………………………………10分 ∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥………………………11分 又∵PA BC A =，∴BC ⊥平面PAC …………………………………………12分18.解：（1） 画出茎叶图如下：…………………………………………………2分①甲地树苗高度的平均数为28cm ，乙地树苗高度的平均数为35cm ，∴甲地树苗高度的平均数小于乙地树苗的高度的平均数………………………4分 ②甲地树苗高度的中位数为27cm ，乙地树苗高度的中位数为35.5cm ，∴甲地树苗高度的中位数小于乙地树苗的高度的中位数………………………6分 （2）在5株树苗中，记甲苗圃这株苗为a ，乙苗圃中4株苗分别为,,,b c d e则任取两株共有,,,,,,,,,ab ac ad ae bc bd be cd ce de 共10种情形…………………8分 不含a 的有6种,,,,,bc bd be cd ce de ………………………………………………10分∴小王没有选择到甲苗圃树苗的概率为63105=…………………………………12分 19.解：（1）第1行前5个数依次为351,,2,,322，………………………………1分第2行前5个数依次为1353,,1,,2442…………………………………………………2分∵每列是等比数列，∴34151513,(),3()22216216a b c ==⋅==⋅=…………………………………………5分 ∴531016162b c a +-=+-=………………………………………………………6分（2）∵111112(),(1)(1)2488n n n a b n n -=⋅=+-=+…………………………………8分∴11111(1)2()(1)()822n n n n a b n n -+=+⋅=+…………………………………………9分∴2341112()3()4()222n S =⋅+++111()(1)()22n n n n ++++⋅341112()3()222n S =++514()2…+1211()(1)()22n n n n ++++相减得23411112()()()2222n S =+++12211(1)111142()(1)()(1)()1224212n n n n n n +++-+-+=+-+- ∴131(3)22n n S n +=-+⋅…………………………………………12分20.解：（1）'1()(0)f x a x x=->……………………………………1分 由'(1)12,3f a a =-==……………………………………………………2分 ∴(1)3f =………………………………………………………3分 ∴(1)211b f =-⨯=……………………………………4分 （2）定义域为(0,)+∞，'11()ax f x a x x-=-=…………………………………………5分 由'()0f x >，得'1,()0x f x a ><，得10x a<<∴()f x 在1(0,)a 上单调递减，在,)a+∞1(单调递增…………………………………7分若11a≤，即1a ≥时，()f x 在[1,]e 单调递增，∴min ()(1)4f x f a ===，此时max ()()41f x f e e ==-…………………………………………………………………9分若1e a ≥，即10a e <≤，时()f x 在[1,]e 单调递减，∴min ()()14f x f e ae ==-= 51a e e =>（不合题意）…………………………………………………………11分若11e a <<，即11a e <<时，()f x 在1(1,)a 单调递减，在1(,)e a单调递增∴min 1()()1ln 4f x f a a==+=21. 解：（1）由题意知，3()22b bc c +=-……………………………………………2分 ∴b c =,222a b =………………………………………………………………………3分 ∴2c e a ===………………………………………………………5分 （2）设1122(,),(,)A x y B x y , ∵2AC CB =∴1122(1,)2(1,)x y x y ---=+，即2120y y +=①……………………………………7分由（1）知，222a b =，∴椭圆方程为22222x y b +=由222122x ky x y b=-⎧⎨+=⎩得222(2)2120k y ky b +-+-= ∴12222ky y k +=+② 2122122b y y k -=+③由①②知，212224,22k ky y k k =-=++…………………………………………………10分 ∵1212111||||||222AOBS y y y y ∆=+=-∴2||133322||||k S k k k =⋅=⋅≤=++12分 当且仅当2||2k =，即k =此时直线的方程为1x -或1x =-…………………………………………14分。