2020年黄冈市中考数学试题、试卷(解析版)

2020年黄冈市中考数学试题、试卷（解析版）
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1．（3分）（2020•黄冈）1
6的相反数是（ ）
A ．1
6
B ．﹣6
C ．6
D ．−1
6
2．（3分）（2020•黄冈）下列运算正确的是（ ） A ．m +2m ＝3m 2 B ．2m 3•3m 2＝6m 6 C ．（2m ）3＝8m 3
D ．m 6÷m 2＝m 3
3．（3分）（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
4．（3分）（2020•黄冈）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（ ）去．
甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 90 85 方差 50
42 50
42 A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
5．（3分）（2020•黄冈）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．（3分）（2020•黄冈）在平面直角坐标系中，若点A （a ，﹣b ）在第三象限，则点B （﹣ab ，b ）所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
7．（3分）（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ） A ．4：1
B ．5：1
C ．6：1
D ．7：1
8．（3分）（2020•黄冈）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2020•黄冈）计算√−8
3=．
10．（3分）（2020•黄冈）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则1
x1x2
=．
11．（3分）（2020•黄冈）若|x﹣2|+√x+y=0，则−1
2xy＝．
12．（3分）（2020•黄冈）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C ＝35°，则∠BAD＝度．
13．（3分）（2020•黄冈）计算：y
x2−y2
÷（1−x x+y）的结果是．
14．（3分）（2020•黄冈）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD ＝度．
15．（3分）（2020•黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（ji ā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺．
16．（3分）系统找不到该试题
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．（5分）（2020•黄冈）解不等式2
3
x +1
2≥1
2x ，并在数轴上表示其解集．
18．（6分）（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．
19．（6分）（2020•黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
20．（7分）（2020•黄冈）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
̂上21．（7分）（2020•黄冈）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是AE
一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF•DB．
22．（8分）（2020•黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络
绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P1
处的临摹亭和P2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m到达B处时，
游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游
客发现临摹亭在北偏西60°方向．
（1）求A处到临摹亭P1处的距离；
（2）求临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离．（计算结果保留根号）
23．（8分）（2020•黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB=√5，tan∠DOB=1 2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当S△ACO=1
2S△OCD时，求点C的坐标．
24．（11分）（2020•黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w（元）．
（1）请求出日获利w与销售单价x之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当w≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a元/kg（a＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a的值．
25．（14分）（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y铀交于点C（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H （0，45
8
），G （2，0），在抛物线对称轴上找一点F ，使HF +AF 的值最小．此
时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF +KG 的值最小？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．
2020年湖北省黄冈市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1．（3分）（2020•黄冈）1
6的相反数是（ ）
A ．1
6
B ．﹣6
C ．6
D ．−1
6
【解答】解：1
6的相反数是−1
6，
故选：D ．
2．（3分）（2020•黄冈）下列运算正确的是（ ） A ．m +2m ＝3m 2 B ．2m 3•3m 2＝6m 6 C ．（2m ）3＝8m 3
D ．m 6÷m 2＝m 3
【解答】解：m +2m ＝3m ，因此选项A 不符合题意； 2m 3•3m 2＝6m 5，因此选项B 不符合题意； （2m ）3＝23•m 3＝8m 3，因此选项C 符合题意； m 6÷m 2＝m 6﹣
2＝m 4，因此选项D 不符合题意；
故选：C ．
3．（3分）（2020•黄冈）已知一个正多边形的一个外角为36°，则这个正多边形的边数是（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
【解答】解：360°÷36°＝10，所以这个正多边形是正十边形． 故选：D ．
4．（3分）（2020•黄冈）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表所示，如果从这四位同学中，选出一位同学参加数学竞赛．那么应选（ ）去．
甲 乙 丙 丁 平均分 85 90 90 85 方差 50
42 50
42 A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
【解答】解：∵x 乙=x 丙＞x 甲=x 丁，
∴四位同学中乙、丙的平均成绩较好，
又S 乙2＜S 丙2，
∴乙的成绩比丙的成绩更加稳定， 综上，乙的成绩好且稳定， 故选：B ．
5．（3分）（2020•黄冈）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中，主视图、左视图、俯视图都相同的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A ．主视图、左视图、俯视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形，故本选项符合题意；
B 主视图与左视图均为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；而俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意；
C ．主视图与俯视图均为一行三个小正方形，而左视图是一列两个小正方形，故本选项不合题意．
D ．主视图为底层两个小正方形，上层的右边是一个小正方形；左视图为底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形；俯视图的底层左边是一个小正方形，上层是两个小正方形，故本选项不合题意； 故选：A ．
6．（3分）（2020•黄冈）在平面直角坐标系中，若点A （a ，﹣b ）在第三象限，则点B （﹣ab ，b ）所在的象限是（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【解答】解：∵点A （a ，﹣b ）在第三象限， ∴a ＜0，﹣b ＜0， ∴b ＞0， ∴﹣ab ＞0，
∴点B（﹣ab，b）所在的象限是第一象限．
故选：A．
7．（3分）（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（）A．4：1B．5：1C．6：1D．7：1
【解答】解：如图，AH为菱形ABCD的高，AH＝2，
∵菱形的周长为16，
∴AB＝4，
在Rt△ABH中，sin B=AH
AB
=24=12，
∴∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝150°，
∴∠C：∠B＝5：1．
故选：B．
8．（3分）（2020•黄冈）2020年初以来，红星消毒液公司生产的消毒液在库存量为m吨的情况下，日销售量与产量持平．自1月底抗击“新冠病毒”以来，消毒液需求量猛增，该厂在生产能力不变的情况下，消毒液一度脱销，下面表示2020年初至脱销期间，该厂库存量y（吨）与时间t（天）之间函数关系的大致图象是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：根据题意：时间t与库存量y之间函数关系的图象为先平，再逐渐减小，最后为0．
故选：D．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•黄冈）计算√−8
3=﹣2．【解答】解：√−8
3=−2．
故答案为：﹣2．
10．（3分）（2020•黄冈）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则
1
x1x2
=﹣
1．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴x1x2＝﹣1，
则1
x1x2
=−1，故答案为：﹣1．
11．（3分）（2020•黄冈）若|x﹣2|+√x+y=0，则−1
2xy＝2．
【解答】解：∵|x﹣2|+√x+y=0，∴x﹣2＝0，x+y＝0，
∴x＝2，y＝﹣2，
∴−1
2
xy=−12×2×(−2)=2，
故答案为2．
12．（3分）（2020•黄冈）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AB＝AD＝DC，∠C ＝35°，则∠BAD＝40度．
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝35°，
∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝70°．
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝70°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
故答案为：40．．
13．（3分）（2020•黄冈）计算：y
x2−y2÷（1−x x+y）的结果是
1
x−y
．
【解答】解：原式=
y
(x+y)(x−y)
÷（
x+y
x+y
−
x
x+y
）
=y
(x+y)(x−y)
÷y x+y
=y
(x+y)(x−y)•x+y y
=1x−y，
故答案为：1
x−y
．
14．（3分）（2020•黄冈）已知：如图，AB∥EF，∠ABC＝75°，∠CDF＝135°，则∠BCD ＝30度．
【解答】解：∵∠CDF＝135°，
∴∠EDC＝180°﹣135°＝45°，
∵AB∥EF，∠ABC＝75°，
∴∠1＝∠ABC＝75°，
∴∠BCD＝∠1﹣∠EDC＝75°﹣45°＝30°，
故答案为：30．
15．（3分）（2020•黄冈）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭（jiā）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”（注：丈，尺是长度单位，1丈＝10尺）这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是12尺．
【解答】解：设水池里水的深度是x 尺，
由题意得，x 2+52＝（x +1）2，
解得：x ＝12，
答：水池里水的深度是12尺．
故答案为：12．
16．（3分）系统找不到该试题
三、解答题（本题共9题，满分72分）
17．（5分）（2020•黄冈）解不等式23x +12≥12
x ，并在数轴上表示其解集． 【解答】解：去分母得8x +6≥6x ，
移项、合并得2x ≥﹣6，
系数化为1得x ≥﹣3，
所以不等式的解集为x ≥﹣3，
在数轴上表示为：
18．（6分）（2020•黄冈）已知：如图，在▱ABCD 中，点O 是CD 的中点，连接AO 并延长，
交BC 的延长线于点E ，求证：AD ＝CE ．
【解答】证明：∵O 是CD 的中点，
∴OD ＝CO ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，
∴∠D ＝∠OCE ，
在△ADO 和△ECO 中，
{∠D =∠OCE
OD =OC ∠AOD =∠EOC
，
∴△AOD ≌△EOC （ASA ），
∴AD ＝CE ．
19．（6分）（2020•黄冈）为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”，
一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元，如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉共需300元，请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
【解答】解：设每盒羊角春牌绿茶需要x 元，每盒九孔牌藕粉需要y 元，
依题意，得：{6x +4y =960x +3y =300
， 解得：{x =120y =60
． 答：每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元．
20．（7分）（2020•黄冈）为了解疫情期间学生网络学习的学习效果，东坡中学随机抽取了
部分学生进行调查．要求每位学生从“优秀”，“良好”，“一般”，“不合格”四个等次中，选择一项作为自我评价网络学习的效果．现将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）这次活动共抽查了 200 人．
（2）将条形统计图补充完整，并计算出扇形统计图中，学习效果“一般”的学生人数所
在扇形的圆心角度数．
（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中学习效果“优秀”的1人，“良好”的2人，“一般”的1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图法，求出抽取的2人学习效果全是“良好”的概率．
【解答】解：（1）这次活动共抽查的学生人数为80÷40%＝200（人）；
故答案为：200；
（2）“不合格”的学生人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人），
将条形统计图补充完整如图：
学习效果“一般”的学生人数所在扇形的圆心角度数为360°×60
200
=108°；
（3）把学习效果“优秀”的记为A，“良好”记为B，“一般”的记为C，
画树状图如图：
共有12个等可能的结果，抽取的2人学习效果全是“良好”的结果有2个，
∴抽取的2人学习效果全是“良好”的概率=2
12
=16．
21．（7分）（2020•黄冈）已知：如图，AB是⊙O的直径，点E为⊙O上一点，点D是AE
̂上一点，连接AE并延长至点C，使∠CBE＝∠BDE，BD与AE交于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，求证：AD2＝DF•DB．
【解答】证明：（1）∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∴∠EAB +∠EBA ＝90°，
∵∠CBE ＝∠BDE ，∠BDE ＝∠EAB ，
∴∠EAB ＝∠CBE ，
∴∠EBA +∠CBE ＝90°，即∠ABC ＝90°，
∴CB ⊥AB ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴BC 是⊙O 的切线；
（2）证明：∵BD 平分∠ABE ，
∴∠ABD ＝∠DBE ，
∵∠DAF ＝∠DBE ，
∴∠DAF ＝∠ABD ，
∵∠ADB ＝∠ADF ，
∴△ADF ∽△BDA ，
∴AD BD =DF AD ，
∴AD 2＝DF •DB ．
22．（8分）（2020•黄冈）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络
绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A 处时，船上游客发现岸上P 1处的临摹亭和P 2处的遗爱亭都在东北方向，当游船向正东方向行驶600m 到达B 处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向，当游船继续向正东方向行驶400m 到达C 处时，游客发现临摹亭在北偏西60°方向．
（1）求A 处到临摹亭P 1处的距离；
（2）求临摹亭P 1处于遗爱亭P 2处之间的距离．（计算结果保留根号）
【解答】解：（1）作P1M⊥AC于M，
设P1M＝x，
在Rt△P1AM中，∵∠P1AB＝45°，
∴AM＝P1M＝x，
在Rt△P1CM中，∵∠P1CA＝30°，
∴MC=√3P1M=√3x，
∵AC＝1000，
∴x+√3x=100，解得x＝500（√3−1），
∴P1M＝500（√3−1）m
∴P1A=1
2
2
=500（√6−√2）m，
故A处到临摹亭P1处的距离为500（√6−√2）m；（2）作BN⊥AP2于N，
∵∠P2AB＝45°，∠P2BA＝75°，
∴∠P2＝60°，
在Rt△ABN中，∵∠P1AB＝45°，AB＝600m
∴BN＝AN=√2
2AB＝300√2，
∴PN＝500（√6−√2）﹣300√2=500√6−800√2，在Rt△P2BN中，∵∠P2＝60°，
∴P2N=√3
3BN=√3
3
×300√2=100√6，
∴P1P2＝100√6−（500√6−800√2）＝800√2−400√6．
故临摹亭P1处于遗爱亭P2处之间的距离是（800√2−400√6）m．
23．（8分）（2020•黄冈）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，
与y轴正半轴交于点C，与x轴负半轴交于点D，OB=√5，tan∠DOB=1 2．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当S△ACO=1
2S△OCD时，求点C的坐标．
【解答】解：过点B、A作BM⊥x轴，AN⊥x轴，垂足为点M，N，
（1）在Rt△BOM中，OB=√5，tan∠DOB=1 2．
∵BM＝1，OM＝2，
∴点B（﹣2，﹣1），
∴k＝（﹣2）×（﹣1）＝2，
∴反比例函数的关系式为y=2 x；
（2）∵S△ACO=1
2S△OCD，
∴OD＝2AN，
又∵△ANC∽△DOC，
∴AC
DO =
NC
OC
=
CA
CD
=
1
2
，
设AN＝a，CN＝b，则OD＝2a，OC＝2b，
∵S△OAN=1
2|k|＝1=
1
2ON•AN=
1
2
×3b×a，
∴ab=2
3，①，
由△BMD∽△CAN得，
∴MD AN =BM CN ，即2−2a a =1b
，也就是a =2b 2b+1②， 由①②可求得b ＝1，b =−13（舍去），
∴OC ＝2b ＝2，
∴点C （0，2）．
24．（11分）（2020•黄冈）网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，
我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg ，每日销售量y （kg ）与销售单价x （元/kg ）满足关系式：y ＝﹣100x +5000．经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于30元/kg ．当每日销售量不低于4000kg 时，每千克成本将降低1元，设板栗公司销售该板栗的日获利为w （元）．
（1）请求出日获利w 与销售单价x 之间的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
（3）当w ≥40000元时，网络平台将向板栗公司收取a 元/kg （a ＜4）的相关费用，若此时日获利的最大值为42100元，求a 的值．
【解答】解：（1）当y ≥4000，即﹣100x +5000≥4000，
∴x ≤10，
∴当6≤x ≤10时，w ＝（x ﹣6+1）（﹣100x +5000）﹣2000＝﹣100x 2+5500x ﹣27000， 当10＜x ≤30时，w ＝（x ﹣6）（﹣100x +5000）﹣2000＝﹣100x 2+5600x ﹣32000， 综上所述：w ={−100x
2+5500x −27000(6≤x ≤10)−100x 2+5600x −32000(10＜x ≤30)
； （2）当6≤x ≤10时，w ＝﹣100x 2+5500x ﹣27000＝﹣100（x −552）2+48625，
∵a ＝﹣100＜0，对称轴为x =552，
∴当6≤x ≤10时，y 随x 的增大而增大，即当x ＝10时，w 最大值＝18000元，
当10＜x ≤30时，w ＝﹣100x 2+5600x ﹣32000＝﹣100（x ﹣28）2+46400，
∵a＝﹣100＜0，对称轴为x＝28，
∴当x＝28时，w有最大值为46400元，
∵46400＞18000，
∴当销售单价定为28时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为46400元；
（3）∵40000＞18000，
∴10＜x≤30，
∴w＝﹣100x2+5600x﹣32000，
当w＝40000元时，40000＝﹣100x2+5600x﹣32000，
∴x1＝20，x2＝36，
∴当20≤x≤36时，w≥40000，
又∵10＜x≤30，
∴20≤x≤30，
此时：日获利w1＝（x﹣6﹣a）（﹣100x+5000）﹣2000＝﹣100x2+（5600+100a）x﹣32000﹣5000a，
∴对称轴为直线x=5600+100a
2×(−100)
=28+12a，
∵a＜4，
∴28+1
2a＜30，
∴当x＝28+1
2a时，日获利的最大值为42100元
∴（28+1
2a﹣6﹣a）[﹣100×（28+
1
2a）+500]﹣2000＝42100，
∴a1＝2，a2＝86，
∵a＜4，
∴a＝2．
25．（14分）（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y铀交于点C（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H （0，458），G （2，0），在抛物线对称轴上找一点F ，使HF +AF 的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF +KG 的值最小？若存在，求出点K 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为抛物线经过A （﹣1，0），B （3，0），
∴可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）（x ﹣3），
把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x +1）（x ﹣3）＝﹣x 2+2x +3．
（2）如图1中，连接AC ，BC ．
∵S △ACE ：S △CEB ＝3：5，
∴AE ：EB ＝3：5，
∵AB ＝4，
∴AE ＝4×38=32，
∴OE ＝0.5，
设直线CE 的解析式为y ＝kx +b ，则有{b =3，
解得{k =−6
b =3，
∴直线EC 的解析式为y ＝﹣6x +3．
（3）由题意C （0，3），D （1，4）．
当四边形P 1Q 1CD ，四边形P 2Q 2CD 是平行四边形时，点P 的纵坐标为1， 当y ＝1时，﹣x 2+2x +3＝1，
解得x ＝1±√3，
∴P 1（1+√3，1），P 2（1−√3，1），
当四边形P 3Q 3DC ，四边形P 4Q 4DC 是平行四边形时，点P 的纵坐标为﹣1， 当y ＝1时，﹣x 2+2x +3＝﹣1，
解得x ＝1±√5，
∴P 1（1+√5，﹣1），P 2（1−√5，﹣1），
综上所述，满足条件的点P 的坐标为（1+√3，1）或（1−√3，1）或（1−√5，﹣1）或
（1+√5，﹣1）．
（4）如图3中，连接BH 交对称轴于F ，连接AF ，此时AF +FH 的值最小．
∵H （0，458），B （3，0），
∴直线BH 的解析式为y =−
158x +458， ∵x ＝1时，y =154，
∴F （1，154），
设K （x ，y ），作直线y =174，过点K 作KM ⊥直线y =174于M ．
∵KF =√(x −1)2+(y −
154)2，y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴（x ﹣1）2＝4﹣y ，
∴KF =√4−y +(y −154)2=√y 2−172y +(174)2=|y −174）， ∵KM ＝|y −174|，
∴KF ＝KM ，
∴KG +KF ＝KG +KM ，
根据垂线段最短可知，当G ，K ，M 共线，且垂直直线y =174时，GK +KM 的值最小，最小值为174，
此时K （2，3）．。