2015-2016年北京市丰台区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
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2015-2016 学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1． （5 分）复数（1+i） （1+ai）是实数，则实数 a 等于（ A．2 B．1 C．0 D．﹣1 ） ）
2． （5 分）x2＞0 是 x＞0 的（
3． （5 分）已知数列{an}中， 列的第 2016 项，则判断框内的条件是（ ）
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（θ 为参数）上一点，则点 P 与坐标原点的
5． （5 分）函数 A． B．
）
6． （5 分）若
，则 a，b，c 的大小关系
是（
）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c 7． （5 分）若 F（c，0）为椭圆 C： 线 A． 的右焦点，椭圆 C 与直 ）
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，
（Ⅲ）该创业园区的 A 团队有 100 位员工，其中有 30 人是志愿者．若在 A 团队 随机调查 4 人，则其中恰好有 1 人是志愿者的概率为 P3．试根据（Ⅰ） 、 （Ⅱ） 中的 P1 和 P2 的值，写出 P1，P2，P3 的大小关系（只写结果，不用说明理由） ． 18． （13 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 y=f（x）的极值； （Ⅱ）若存在实数 x0∈（﹣1，0） ，且 的取值范围． 19． （13 分）已知定点 M（1，0）和直线 x=﹣1 上的动点 N（﹣1，t） ，线段 MN 的垂直平分线交直线 y=t 于点 R，设点 R 的轨迹为曲线 E． （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）直线 y=kx+b（k≠0）交 x 轴于点 C，交曲线 E 于不同的两点 A，B，点 B 关于 x 轴的对称点为点 P．点 C 关于 y 轴的对称点为 Q，求证：A，P，Q 三点共 线． 20． （13 分）已知数列{an}的各项均为正数，满足 a1=1，ak+1﹣ak=ai． （i≤k，k=1， 2，3，…，n﹣1） （Ⅰ）求证： ； ，使得 ，求实数 a ．
13． （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
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14． （5 分）设函数 ①当 a=0 时，若 f（x）=0，则 x=
其中 a＞﹣1． ； ．
②若 f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则 a 的取值范围
二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （13 分）如图，在△ABC 中，AB=12， 且∠ADC=60°． （Ⅰ）求 cosC； （Ⅱ）求线段 AD 的长． ， ，点 D 在边 BC 上，
（Ⅱ）若{an}是等比数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求证： ．
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2015-2016 学年北京市丰台区高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1． （5 分）复数（1+i） （1+ai）是实数，则实数 a 等于（ A．2 B．1 C．0 D．﹣1 ）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． （5 分）在（2x﹣1）7 的展开式中，x2 的系数等于 10． （5 分）若 x，y 的满足 ． （用数字作答） ． ．
，则 z=2x﹣y 的最小值为
11． （5 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S7=42，则 a2+a3+a7= 12． （5 分）在△ABC 中， 的最大值为 ． ． ，点 M，N 是线段 AB 上的动点，则
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 ，若利用下面程序框图计算该数 ）
3． （5 分）已知数列{an}中， 列的第 2016 项，则判断框内的条件是（
A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤2017 4． （5 分）若点 P 为曲线 最短距离为（ A． B． ） C． D．2 在区间[0，π]上的零点之和是（ C． D． ， ，
【解答】解：复数（1+i） （1+ai）=1﹣a+（1+a）i，因为复数是实数，所以 1+a=0， 解得 a=﹣1． 故选：D．
2． （5 分）x2＞0 是 x＞0 的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件
【解答】解：由 x2＞0 得到：x≠0， 而 x≠0 推不出 x＞0，不是充分条件， 由 x＞0 能推出 x≠0，是必要条件， ∴x2＞0 是 x＞0 的必要不充分条件， 故选：B．
16． （14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，E 是 AB 的中点， F 是 PD 的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC= （Ⅰ）求证：CF∥平面 PAB； （Ⅱ）求证：PE⊥平面 ABCD； （Ⅲ）求二面角 B﹣PA﹣C 的余弦值． ．
17． （14 分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了 志愿者． 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取 的 10 位员工中，有 3 人是志愿者． （Ⅰ）在这 10 人中随机抽取 4 人填写调查问卷，求这 4 人中恰好有 1 人是志愿 者的概率 P1； （Ⅱ） 已知该创业园区有 1 万多名员工， 从中随机调查 1 人是志愿者的概率为 那么在该创业园区随机调查 4 人，求其中恰有 1 人是志愿者的概率 P2；
交于 A， B 两点， 线段 AB 的中点在直线 x=c 上， 则椭圆的离心率为 （ B． C． D．
8． （5 分）在下列命题中： ①存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的 6 个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等． 其中真命题的个数为（ A．1 B．2 C．3 ） D．4
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1． （5 分）复数（1+i） （1+ai）是实数，则实数 a 等于（ A．2 B．1 C．0 D．﹣1 ） ）
2． （5 分）x2＞0 是 x＞0 的（
3． （5 分）已知数列{an}中， 列的第 2016 项，则判断框内的条件是（ ）
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（θ 为参数）上一点，则点 P 与坐标原点的
5． （5 分）函数 A． B．
）
6． （5 分）若
，则 a，b，c 的大小关系
是（
）
A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．c＜a＜b D．a＜b＜c 7． （5 分）若 F（c，0）为椭圆 C： 线 A． 的右焦点，椭圆 C 与直 ）
第 3 页（共 21 页）
，
（Ⅲ）该创业园区的 A 团队有 100 位员工，其中有 30 人是志愿者．若在 A 团队 随机调查 4 人，则其中恰好有 1 人是志愿者的概率为 P3．试根据（Ⅰ） 、 （Ⅱ） 中的 P1 和 P2 的值，写出 P1，P2，P3 的大小关系（只写结果，不用说明理由） ． 18． （13 分）已知函数 （Ⅰ）求函数 y=f（x）的极值； （Ⅱ）若存在实数 x0∈（﹣1，0） ，且 的取值范围． 19． （13 分）已知定点 M（1，0）和直线 x=﹣1 上的动点 N（﹣1，t） ，线段 MN 的垂直平分线交直线 y=t 于点 R，设点 R 的轨迹为曲线 E． （Ⅰ）求曲线 E 的方程； （Ⅱ）直线 y=kx+b（k≠0）交 x 轴于点 C，交曲线 E 于不同的两点 A，B，点 B 关于 x 轴的对称点为点 P．点 C 关于 y 轴的对称点为 Q，求证：A，P，Q 三点共 线． 20． （13 分）已知数列{an}的各项均为正数，满足 a1=1，ak+1﹣ak=ai． （i≤k，k=1， 2，3，…，n﹣1） （Ⅰ）求证： ； ，使得 ，求实数 a ．
13． （5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
第 2 页（共 21 页）
14． （5 分）设函数 ①当 a=0 时，若 f（x）=0，则 x=
其中 a＞﹣1． ； ．
②若 f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，则 a 的取值范围
二、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15． （13 分）如图，在△ABC 中，AB=12， 且∠ADC=60°． （Ⅰ）求 cosC； （Ⅱ）求线段 AD 的长． ， ，点 D 在边 BC 上，
（Ⅱ）若{an}是等比数列，求数列{an}的通项公式； （Ⅲ）设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求证： ．
第 4 页（共 21 页）
2015-2016 学年北京市丰台区高三 （上） 期末数学试卷 （理 科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1． （5 分）复数（1+i） （1+ai）是实数，则实数 a 等于（ A．2 B．1 C．0 D．﹣1 ）
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9． （5 分）在（2x﹣1）7 的展开式中，x2 的系数等于 10． （5 分）若 x，y 的满足 ． （用数字作答） ． ．
，则 z=2x﹣y 的最小值为
11． （5 分）设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S7=42，则 a2+a3+a7= 12． （5 分）在△ABC 中， 的最大值为 ． ． ，点 M，N 是线段 AB 上的动点，则
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件 ，若利用下面程序框图计算该数 ）
3． （5 分）已知数列{an}中， 列的第 2016 项，则判断框内的条件是（
A．n≤2014 B．n≤2016 C．n≤2015 D．n≤2017 4． （5 分）若点 P 为曲线 最短距离为（ A． B． ） C． D．2 在区间[0，π]上的零点之和是（ C． D． ， ，
【解答】解：复数（1+i） （1+ai）=1﹣a+（1+a）i，因为复数是实数，所以 1+a=0， 解得 a=﹣1． 故选：D．
2． （5 分）x2＞0 是 x＞0 的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也必要条件
【解答】解：由 x2＞0 得到：x≠0， 而 x≠0 推不出 x＞0，不是充分条件， 由 x＞0 能推出 x≠0，是必要条件， ∴x2＞0 是 x＞0 的必要不充分条件， 故选：B．
16． （14 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，AD∥BC，AB⊥AD，E 是 AB 的中点， F 是 PD 的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1，PC= （Ⅰ）求证：CF∥平面 PAB； （Ⅱ）求证：PE⊥平面 ABCD； （Ⅲ）求二面角 B﹣PA﹣C 的余弦值． ．
17． （14 分）随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了 志愿者． 某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取 的 10 位员工中，有 3 人是志愿者． （Ⅰ）在这 10 人中随机抽取 4 人填写调查问卷，求这 4 人中恰好有 1 人是志愿 者的概率 P1； （Ⅱ） 已知该创业园区有 1 万多名员工， 从中随机调查 1 人是志愿者的概率为 那么在该创业园区随机调查 4 人，求其中恰有 1 人是志愿者的概率 P2；
交于 A， B 两点， 线段 AB 的中点在直线 x=c 上， 则椭圆的离心率为 （ B． C． D．
8． （5 分）在下列命题中： ①存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的 6 个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等． 其中真命题的个数为（ A．1 B．2 C．3 ） D．4