甘肃省永昌县第四中学2022-学年高二数学上学期期末考试试题 理

甘肃省永昌县第四中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试
题 理
第I 卷
一、选择题〔此题共12小题，每题5分，共60分。

〕
1．a ＞b ，那么以下不等式：①a 2＞b 2
；②1a ＜1b ；③1a －b ＞1a
.其中不成立的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2.假设“x >y ，那么x 2
>y 2
〞的逆否命题是( ) A.假设x ≤y ，那么x 2
≤y 2 B.假设x >y ，那么x 2<y 2 C.假设x 2≤y 2
，那么x ≤y D.
假设x <y ，那么x 2
<y 2
3．“a >b 〞是“a >|b |〞的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不充分也不必要条件 4. 不等式1－x
2＋x
≥0的解集为( )
A ．[－2,1]
B ．(－2,1]
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，－2]∪(1，＋∞)
5．.命题p ：∃x 0∈R ，x 2
0＋ax 0＋a <0，假设命题p 是假命题，那么实数a 的取值范围是( ) A.[0,4]
B.(0,4)
C.(－∞，0)∪(4，＋∞)
D.(－∞，0]∪[4，＋∞)
6．a ，b ∈R ＋
，且a ＋b ＝1，那么ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22
7．椭圆x 2
25＋y 2
＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，那么点P 到另一个焦点的距离为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
8. 双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，那么双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 2
10
＝1 9．正数a ，b 满足1a ＋9b
＝1，假设不等式a ＋b ≥－x 2
＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，那
么实数m 的取值范围是( )
A ．[3，＋∞)
B ．(－∞，3]
C ．(－∞，6]
D ．[6，＋∞)
10．不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.32
B.23
C.43
D.3
4 A ．11 B ．12 C ．13 D ．14
11．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，那么满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( ) A ．(0,2)
B ．(－2,1)
C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D ．(－1,2)
12．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A . 2
B . 3
C .
3＋12 D .5＋1
2
第II 卷
二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分。

〕
13. 命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3
＋x ≥0〞的否认是____________________________. 14. 不等式x 2
＋ax ＋4＜0的解集不是空集，那么实数a 的取值范围是________． 15．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋y －2≥0，x －2y ＋4≥0，
3x －y －3≤0，
那么目标函数z ＝3x ＋4y 的最大值为________．
16. 过点P (1,1)且互相垂直的两条直线l 1与l 2分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，那么AB 中点M 的轨迹方程为______________. 三、解答题〔此题共6小题，共70分。

〕
17. (本小题总分值10分) 求双曲线9y 2
－4x 2
＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
18. (本小题总分值12分) 在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦
点为F 1(－3，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)假设P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程．
19.(本小题总分值12分) 假设不等式ax 2
＋5x －2＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
2
＜x ＜2
. (1)求实数a 的值；
(2)求不等式ax 2
－5x ＋a 2
－1＞0的解集．
20.(本小题总分值12分) 设有两个命题：p ：x 2
－2x ＋2≥m 的解集为R ；q ：函数f (x )＝－(7－3m )x
是减函数，假设这两个命题中有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围．
21.(本小题总分值12分) 函数f (x )＝x 2
－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)假设a ＝2，试求函数y ＝
f (x )
x
(x ＞0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求实数a 的取值范围．
22.(本小题总分值12分) 设直线y ＝x ＋b 与椭圆x 2
2＋y 2
＝1相交于A ，B 两个不同的点.
(1)求实数b 的取值范围； (2)当b ＝1时，求|AB →
|.
答案
数学
一．选择题：
1.D 2．C 〔课本练习〕
3．A 〔册子第三题〕4．B 〔册子3.1第 5题〕〕5．A 6．B 〔必
修.册子〕7.D 〔课本1.3习题〕 〕8．A 〔必修3.2册子习题5〕9．C 〔册子2.2习题4〕
9．D 〔册子2.1习题3原题〕10．C 〔册子2.3习题3原题〕11．B 〔册子1.1习题2〕
12． D 〔册子1.3习题3原题〕
二．填空题：
13．∃x 0∈[0，＋∞)，x 3
0＋x 0<0〔课本2.3习题3原题〕 14. (－∞，－4)∪(4，＋∞)〔课本2.1习题原题〕 15. 18〔册子3.3习题3原题〕 16. x ＋y －1＝0〔册子3.3习题第3题原题〕 三．解答题：
17.解：〔册子3.1习题第8题〕解 将9y 2
－4x 2
＝－36化为标准方程x 29－y 2
4＝1，
即x 232－y 2
2
2＝1， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 因此顶点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)， 焦点为F 1(－13，0)，F 2(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝
133
， 渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2
3
x .
18.解：〔解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝a 2
－c 2
＝1.
∴椭圆的标准方程为x 2
4
＋y 2
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，
得⎩⎨⎧
x ＝x 0＋12，
y ＝y 0
＋
1
2
2，
∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 0＝2x －1，y 0＝2y －1
2.
又∵x 20
4＋y 2
＝1，∴(2x －1)2
4＋⎝
⎛
⎭⎪⎫2y －122＝1
即为中点M 的轨迹方程．
19.解：(1)由题意知a ＜0，且方程ax 2
＋5x －2＝0的两个根为12，2，代入解得a ＝－2.
(2)由(1)知不等式为－2x 2
－5x ＋3＞0， 即2x 2
＋5x －3＜0，解得－3＜x ＜12
，
即不等式ax 2－5x ＋a 2
－1＞0的解集为⎝
⎛⎭⎪⎫－3，12.
20. 〔课本练习第3题〕解 假设命题p 为真命题，那么根据绝对值的几何意义可知m ≤1；
假设命题q 为真命题，那么7－3m >1，即m <2.
所以命题p 和q 中有且只有一个是真命题时，有p 真q 假或p 假q 真，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
m ≤1，
m ≥2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
m >1，
m <2.
故m 的取值范围是1<m <2.
21. 〔册子2.2例题〕解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1
x
－4.
因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1
x
时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2.
所以当x ＝1时，y ＝
f (x )
x
的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2
－2ax －1，
所以要使“∀x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立〞， 只要“x 2
－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立〞． 不妨设g (x )＝x 2
－2ax －1，
那么只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
g (0)≤0，g (2)≤0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
0－0－1≤0，4－4a －1≤0，
解得a ≥3
4
.
那么实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞. 22．〔册子2.3练习例题〕解 (1)将y ＝x ＋b 代入x 2
2＋y 2
＝1，消去y ，
整理得3x 2
＋4bx ＋2b 2
－2＝0.①
因为直线y ＝x ＋b 与椭圆x 2
2＋y 2
＝1相交于A ，B 两个不同的点，
所以Δ＝16b 2
－12(2b 2
－2)＝24－8b 2
>0， 解得－3<b < 3.
所以b 的取值范围是(－3，3). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 当b ＝1时，方程①为3x 2
＋4x ＝0. 解得x 1＝0，x 2＝－4
3.
相应地，y 1＝1，y 2＝－1
3
.
所以|AB →|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2
＝43 2.。