2020-2021学年陕西省宝鸡市金台区高二(下)期中数学试卷(理科)(选修2-2)(解析版)

2020-2021学年陕西省宝鸡市金台区高二（下）期中数学试卷（理
科）（选修2-2）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．下列说法中错误的是（）
A．归纳推理和类比推理是“合乎情理”的推理，统称为合情推理
B．合情推理得出的结论，因为合情，所以一定正确
C．综合法是由因导果的思维方法
D．分析法是执果索因的思维方法
2．如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28，按其规律再画下去，可以得到n 层六边形，则S n可以表示为（）
A．S n＝4n+1B．S n＝4n+2
C．D．
3．利用反证法证明“已知a1+a2+a3+a4+a5＞100，求证：a1，a2，a3，a4，a5中，至少有一个数大于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（）
A．a1，a2，a3，a4，a5均不大于20
B．a1，a2，a3，a4，a5都大于20
C．a1，a2，a3，a4，a5不都大于20
D．a1，a2，a3，a4，a5至多有一个小于20
4．复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
5．已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是（）
A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c）B．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）
C．f'（a）＜f'（c）＜f'（b）D．f'（c）＜f'（a）＜f'（b）
6．已知曲线y＝f（x）上点（1，0）处的切线方程为4x﹣y﹣4＝0，则f'（1）的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4
7．函数y＝sin x的图像与x轴围成的图形的面积与该函数在此区间上的积分分别为（）
A．2，0B．2，﹣2C．4，0D．4，﹣4
8．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+4n＝8n2+2n（n∈N*），则当n＝k+1时，左端应在n＝k的基础上加上（）
A．4k+1
B．8（k+1）2+2（k+1）
C．4（k+1）
D．（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4）
9．以下求导运算错误的是（）
A．，则
B．y＝（2x﹣1）3，则y'＝3（2x﹣1）2
C．y＝x2（lnx+sin x），则y'＝x+2xlnx+2x sin x+x2cos x
D．，则
10．直线y＝a与函数y＝3x﹣x3的图像有三个交点，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]
11．由曲线和直线x＝1及x轴围线的平面图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为（）
A．B．C．D．
12．下列函数只有极大值点的是（）
A．y＝2x3﹣3x2B．y＝x﹣lnx
C．y＝x+sin x D．y＝sin x+cos x（x∈[0，π]）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线f（x）＝x2的一条切线与直线y＝2x﹣3平行，则该切线的方程为．14．的实部为，虚部为．
15．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”得到的相应结论为．
16．若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则k的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（18分）求下列函数的导函数：
（1）y＝e x cos x﹣t2（t为常数）；
（2）．
18．（18分）按要求证明下列命题：
（1）（用分析法证明）已知a，b是不相等的正数，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）（用数学归纳法证明）﹣1+3﹣5+⋯+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n（n∈N*）．19．（18分）（1）求定积分；
（2）求图中所示阴影部分的面积．
20．（16分）已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处切线方程为y＝4x+4．
（1）求a、b的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．下列说法中错误的是（）
A．归纳推理和类比推理是“合乎情理”的推理，统称为合情推理
B．合情推理得出的结论，因为合情，所以一定正确
C．综合法是由因导果的思维方法
D．分析法是执果索因的思维方法
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，结合合情推理的定义，A正确；
对于B，合情推理不一定正确，B错误；
对于C，由综合法的定义，C正确；
对于D，由分析法的定义，D正确；
故选：B．
2．如图给出了3层的六边形，图中所有点的个数S3为28，按其规律再画下去，可以得到n 层六边形，则S n可以表示为（）
A．S n＝4n+1B．S n＝4n+2
C．D．
解：设每层上的点数为a n，
则a1＝5，
a2＝9＝5+4×1，
a3＝13＝5+4×2，
∴{a n}是以5为首项，4为公差的等差数列，
∴S n＝a1+a2+a3+…+a n+1＝+1＝2n2+3n+1．
故选：D．
3．利用反证法证明“已知a1+a2+a3+a4+a5＞100，求证：a1，a2，a3，a4，a5中，至少有一个数大于20．”时，首先要假设结论不对，即就是要假设（）
A．a1，a2，a3，a4，a5均不大于20
B．a1，a2，a3，a4，a5都大于20
C．a1，a2，a3，a4，a5不都大于20
D．a1，a2，a3，a4，a5至多有一个小于20
解：a1，a2，a3，a4，a5中，至少有一个数大于20进行否定为：a1，a2，a3，a4，a5均不大于20．
故选：A．
4．复数在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
解：∵＝，
∴复数在复平面内对应的点（），位于第二象限．
故选：B．
5．已知函数f（x）在R上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是（）
A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c）B．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）
C．f'（a）＜f'（c）＜f'（b）D．f'（c）＜f'（a）＜f'（b）
解：根据题意，f′（a）、f′（b）、f′（c）分析函数在x＝a、x＝b和x＝c处切线的斜率，
则有f'（a）＜0＜f'（b）＜f'（c），
故选：A．
6．已知曲线y＝f（x）上点（1，0）处的切线方程为4x﹣y﹣4＝0，则f'（1）的值为（）A．6B．﹣6C．4D．﹣4
解：曲线y＝f（x）上点（1，0）处的切线方程为4x﹣y﹣4＝0，
f'（1）的值就是函数在该点处的切线的斜率，所以f'（1）＝4．
故选：C．
7．函数y＝sin x的图像与x轴围成的图形的面积与该函数在此区间上的积分分别为（）
A．2，0B．2，﹣2C．4，0D．4，﹣4
解：根据题意，设f（x）＝sin x，则函数在此区间上的积分sin xdx ＝（﹣cos x）|＝0，
又由f（﹣x）＝sin（﹣x）＝﹣sin x＝﹣f（x），则f（x）为奇函数，
函数图像与x轴围成的图形的面积S＝2sin xdx＝2（﹣cos x）＝2，
故选：A．
8．用数学归纳法证明1+2+3+⋯+4n＝8n2+2n（n∈N*），则当n＝k+1时，左端应在n＝k的基础上加上（）
A．4k+1
B．8（k+1）2+2（k+1）
C．4（k+1）
D．（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4）
解：当n＝k（k∈N*）时，左侧＝1+2+3+…+4k，
要证n＝k+1时，左侧＝1+2+3+…+4k+（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4），
可得当n＝k+1时左端应在n＝k的基础上加上的项为（4k+1）+（4k+2）+（4k+3）+（4k+4），故选：D．
9．以下求导运算错误的是（）
A．，则
B．y＝（2x﹣1）3，则y'＝3（2x﹣1）2
C．y＝x2（lnx+sin x），则y'＝x+2xlnx+2x sin x+x2cos x
D．，则
解：对于A，，则，故选项A正确；
对于B，y＝（2x﹣1）3，则y'＝3（2x﹣1）2×2＝6（2x﹣1）2，故选项B错误；
对于C，y＝x2（lnx+sin x），则y'＝x+2xlnx+2x sin x+x2cos x，故选项C正确；
对于D，，则，故选项D正确．
故选：B．
10．直线y＝a与函数y＝3x﹣x3的图像有三个交点，则a的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．[﹣1，1]C．（﹣2，2）D．[﹣2，2]
解：y＝3x﹣x3，y′＝﹣3x2+3＝3（x+1）（1﹣x），
∴在x＝﹣1时，取极小值﹣2，
在x＝1时，取极大值2，则y＝3x﹣x3的图象如图所示．
∴y＝a与y＝3x﹣x3的图象有相异的三个公共点时，可得﹣2＜a＜2．
故选：C．
11．由曲线和直线x＝1及x轴围线的平面图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积为（）
A．B．C．D．
解：由题意几何体的体积∫01πxd x＝（πx2）|01＝
故选：B．
12．下列函数只有极大值点的是（）
A．y＝2x3﹣3x2B．y＝x﹣lnx
C．y＝x+sin x D．y＝sin x+cos x（x∈[0，π]）
解：∵y＝2x3﹣3x2，
∴y′＝6x2﹣6x＝6x（x﹣1），
∵y′＝0，方程有两个解，
∴函数有极小值，有极大值，所以A不正确．
∵y＝x﹣lnx，
∴y′＝1，
∵y′＝0，解得x＝1，x∈（0，1），y′＜0，x∈（1，+∞），y′＞0，函数是增函数，所以函数有极小值，没有极大值，所以B不正确．
∵y＝x+sin x，
∴y′＝1+cos x≥0
函数是增函数，没有极大值，所以C不正确．
∵y＝sin x+cos x（x∈[0，π]），
∴y＝sin（x+），∈，
∵x＝时，∴函数有极大值，没有极小值，所以D正确．
故选：D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．曲线f（x）＝x2的一条切线与直线y＝2x﹣3平行，则该切线的方程为y＝2x﹣1．解：函数y＝x2的导数为y′＝2x，设切点坐标为（a，a2），
曲线f（x）＝x2的一条切线与直线y＝2x﹣3平行，
所以2a＝2，解得a＝1，
所以切点坐标为（1，1），
所以切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即y＝2x﹣1．
故答案为：y＝2x﹣1．
14．的实部为，虚部为．
解：＝＝＝＝．
∴的实部为，虚部为．
故答案为：，．
15．把空间图形“正四面体”与平面图形“正三角形”对应，类比“正三角形内一点到三边
距离之和是一个定值”得到的相应结论为正四面体内一点到四个面的距离之和为定值．
解：平面中“点到直线的距离”与空间中“点到平面的距离”想对应，结合“等面积法”
与“等体积法”，
可得相应的结论为正四面体内一点到四个面的距离之和为定值．
故答案为：正四面体内一点到四个面的距离之和为定值．
16．若函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）上单调递增，则k的取值范围是[1，+∞）．解：f′（x）＝k﹣，
∵函数f（x）＝kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，
∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立，
∴k≥，
而y＝在区间（1，+∞）上单调递减，
∴k≥1，
∴k的取值范围是：[1，+∞），
故答案为：[1，+∞）．
三、解答题：本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（18分）求下列函数的导函数：
（1）y＝e x cos x﹣t2（t为常数）；
（2）．
解：（1）y′＝e x cos x﹣e x sin x＝e x（cos x﹣sin x）；
（2）．
18．（18分）按要求证明下列命题：
（1）（用分析法证明）已知a，b是不相等的正数，求证：a3+b3＞a2b+ab2；
（2）（用数学归纳法证明）﹣1+3﹣5+⋯+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n（n∈N*）．【解答】（1）证明：要证明a3+b3＞a2b+ab2，
只需证明（a+b）（a2﹣ab+b2）＞ab（a+b），………
只需证明（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）＞0，………
只需证明（a+b）（a2﹣2ab+b2）＞0，………
只需证明（a+b）（a﹣b）2＞0，………
而已知a，b是不相等的正数，所以（a+b）（a﹣b）2＞0成立，
故a3+b3＞a2b+ab2成立．………
（2）证明：①当n＝1时，左边＝﹣1，右边＝﹣1，所以等式成立．……
②假设当n＝k时，等式成立，
即﹣1+3﹣5+⋯+（﹣1）k（2k﹣1）＝（﹣1）k k成立．………
那么，当n＝k+1时，﹣1+3﹣5+⋯+（﹣1）k+1（2（k+1）﹣1）＝（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2（k+1）﹣1）………
而（﹣1）k k+（﹣1）k+1（2（k+1）﹣1）＝﹣（﹣1）k+1k+（﹣1）k+1（2k+1）＝（﹣1）k+1（k+1）………（17分）
这就是说，当n＝k+1时等式成立．
根据（1）和（2），可知﹣1+3﹣5+⋯+（﹣1）n（2n﹣1）＝（﹣1）n n对任意正整数都成立．……（18分）
19．（18分）（1）求定积分；
（2）求图中所示阴影部分的面积．
解：（1）被积函数的一个原函数是，所以．（2）设所求图形面积为S，由图看出S是由x＝1左边部分S1和x＝1右边部分S2组成：S1＝＝＝，S2＝＝＝；
所以＝．
20．（16分）已知函数f（x）＝e x（ax+b）﹣x2﹣4x，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处
切线方程为y＝4x+4．
（1）求a、b的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极大值．
解：（1）f′（x）＝e x（ax+a+b）﹣2x﹣4，
∵曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝4x+4，
∴，解得a＝b＝4．
（2）由（1）可知：f（x）＝4e x（x+1）﹣x2﹣4x，
f′（x）＝4e x（x+2）﹣2x﹣4＝4（x+2）（e x﹣）．
由f′（x）＞0解得x＜﹣2，x＞﹣ln2，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0解得﹣2＜x＜﹣ln2，此时函数f（x）单调递减．
故当x＝﹣2时，函数f（x）取得极大值，f（﹣2）＝4（1﹣e﹣2）．。