高二下数学知识点总结

高二数学知识点总结大全(必修)
第1章 空间几何体1
1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图：
正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则：
长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。

5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2
r rl S ππ+=
4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=
5 球的表面积2
4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ⨯=底
2锥体的体积 h S V ⨯=底31
3台体的体积 h S S S S V ⨯++=)31
下下上上（
4球体的体积 33
4
R V π=
第二章 直线与平面的位置关系
2.1空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）
222r rl S ππ+= D
C
B
A α
（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为
A ∈L
B ∈L => L α A ∈α
B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
L A
· α C · B
·
A · α P · α L β 共面直线
=>a ∥c 2
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a∩α=A a∥α
2.2.直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a∥α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a∩b = P β∥α
a∥α
b∥α
2、判断两平面平行的方法有三种：
（1）用定义；
（2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转
化的数学思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图
第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角和斜率
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°.
当直线l与x轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是
k = tanα
⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;
⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式:
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线与直线的位置关系直线与平面的位置关系平面与平面的位置关系
3.2.1 直线的点斜式方程
1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k
)(00x x k y y -=-
2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b
b kx y +=
3.2.2 直线的两点式方程
1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211
y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ ),(121211
21
21y y x x x x x x y y y y ≠≠--=--
2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为
B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程
1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0）
2、各种直线方程之间的互化。

3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标
1、给出例题：两直线交点坐标
L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0
解：解方程组 3420
2220
x y x y +-=⎧⎨++=⎩
得 x=-2，y=2
所以L1与L2的交点坐标为M （-2，2） 3.3.2 两点间距离 两点间的距离公式
12PP =
3.3.3 点到直线的距离公式 1．点到直线距离公式：
点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2
2
00B
A C
By Ax d +++=
2、两平行线间的距离公式：
已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，
2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2
2
21B
A C C d +-=
第四章
圆与方程
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=
圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程
2、点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （1）2200()()x a y b -+->2r ，点在圆外 （2）2200()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 （3）2200()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 4.1.2 圆的一般方程
1、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x
2、圆的一般方程的特点：
(1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy 这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D 、E 、F ，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系
1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：
（1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交；
4.2.2 圆与圆的位置关系 两圆的位置关系．
设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离； （2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切； （3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交； （4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； （5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含； 4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论． 4.3.1空间直角坐标系
y
1、点M 对应着唯一确定的有序实数组),,(z y x ，x 、y 、z 分别是P 、Q 、R 在x 、
y 、z 轴上的坐标
2、有序实数组),,(z y x ，对应着空间直角坐标系中的一点
3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组),,(z y x 来表示，该数组叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记M ),,(z y x ，x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。

4.3.2空间两点间的距离公式
1、空间中任意一点),,(1111z y x P 到点),,(2222z y x P 之间的距离公式
y
2
2122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=
二、“三种角”与“六种距离”⇒与平行与垂直相联系。

1． 三种角： 1）异面直线所成的角是指：____________________________________________。

2）线面角是指：_________________________________________________。

3）二面角是指：________________；二面角的平面角是指：________________________。

其作法与求法为：①当二面角棱上一点为两个半平面内图形的特殊点时常采用定义法,过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线、两射线所成角就是二面角的平面角。

②当已知二面角一个面内一点在另一个面内的射影时常利用三垂线定理(或逆定理),通过证明线线垂直，找到二面角的平面角。

③当已知二面角内点在两个半平面内的射影时常采用垂面法,交线所成的角为二面角的平面角。

④当已知一平面图形在另一个半平面内的射影时常利用射影法,即使用射影
面积公式cos θ=S
S '
，式中θ是二面角，S ′是一面积为S 的平面图形在另一面内
的射影面积。

2．六种距离（两点间的距离、点与直线之间的距离、点与平面之间的距离、直线与直线之间的距离、直线与平面之间的距离、平面与平面之间的距离）的重点是点与平面之间的距离与异面直线间的距离。

1）点与平面之间的距离：（1）概念；（2）求法有两种:
直接法：作点到平面的垂线，然后通过解三角形求垂线段长。

等积法：把点面距看成是某个体积可求的锥体的高，利用等体积法求出高即点面距。

2)异面直线间的距离：（1）概念；（2）求法有以下三种:直接应用定义(目前高考中不要求作法)；利用线面距来求；也可利用面面距求之。

三、多面体与旋转体的概念与性质：
1．棱柱：两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，且每相邻两个面的公共边互相平行，这些面围成的几何体，称为棱柱。

其主要性质有：
1）侧棱都相等且互相平行； 2）侧面都是平行四边形；
3）上下底面与平行于棱柱底面的截面是全等多边形； 4）过不相邻两条侧棱的截面是平行四边形。

特别地有，长方体的性质：
1）长方体一条对角线的平方等于同一个顶点上三条棱的平方和； 2）设B ′D 是长方体AC ′的一条对角线，（1）若B ′D 与DD ′、DC 、DA 所
成的角分别为α、β、γ，则cos 2α+cos 2
β+cos 2γ=1；（2）若B ′D 与平面AC 、平面D ′A 、平面C ′D 所成的角分别为α′、β′、γ′,则cos 2α′+cos 2β′+cos 2γ′=2。

2．棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形围成的几何体叫棱锥. 其主要性质有：截面面积与底面面积之比为它们相似比的平方，所截得的棱锥的高与已知棱锥的高的比等于相似比。

特别地有，正棱锥及性质： （1）．正棱锥：底面题多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥。

（2）．正棱锥的性质：正棱锥的侧棱相等；各侧面都是全等的等腰三角形；正棱锥的斜高都相等；正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形.
3．球：定义（1）半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球；定义（2）在空间，到定点的距离等于定长的所有点的集合，就是球。

其主要性质有： （1）连结球心和截面圆心的直线垂直于截面；（2）球半径的平方=球心到截面圆的距离的平方+截面圆的半径的平方；（3）不过球心的截面截得的是球的小圆；经过球心的截面截得的是球的大圆，且大圆是最大的截面圆。

四、面、体积公式： 1．,ch S =柱侧其中，c 为直棱柱或圆柱的底面周长（斜棱柱的直截面周长），h 为柱体的侧棱或母线长。

2．/2/1ch S ⋅=锥侧，其中，c 为正棱锥或圆锥的底面周长，/h 为正棱锥的斜高或圆锥的母线长。

3．24R S π=球，其中，R 为球的半径。

4．sh V =柱体，其中，S 为柱体的底面积，h 为柱体的高。

5．sh V ⋅=3/1锥体，其中，S 为锥体的底面积，h 为锥体的高。

6．3/43R V π=球，其中，R 为球的半径。

五、重要的数学思想和方法：
一）六个基本思想：
1．等价转化的思想：空间转化为平面；平面与平面的平行、垂直转化为直
线与平面的平行、垂直，进一步转化为直线与直线的平行、垂直；点面距转化为某个体积可求的锥体的高；异面直线间的距离转化为点面距、线面距、面面距 等等 。

无一不充满等价转化的思想。

2．实物特例的思想：我们利用手中的笔、三角板、翻折的试卷等实物去考查、研究线与线、线与面、面与面的关系或线、面的特殊位置而解决问题的一种想法，称之为实物特例的思想。

3．函数的思想：函数思想是解决数学问题的重要的数学思想方法之一。

在立几问题中，根据几何图形的特征，建立有关几何量的函数关系式，利用函数的有关性质从而解决问题的想法。

尤其是在解决最短距离、最大面、体积等问题时常常要用到。

4．分类讨论思想：从通常意义上说，分类就是按照一定的标准，把研究对象分成若干部分去解决。

分类讨论是数学能力的重要组成部分，因此应帮助学生掌握分类的思想和方法，培养学生的思维品质和综合解决问题的能力。

研究平面与平面的位置关系、直线与平面的位置关系、直线与直线的位置关系都体现分类讨论思想。

5．展开的思想：沿柱、锥的侧棱或母线剪开展平或求最大、小值等等都要用到展开的思想。

6．极限的思想：利用“分割、求近似和、再由近似和转化为准确和”的极限的思想求球的面、体积。

二）四种基本方法：
1．割补法：是“割体法”与“补体法”的统称。

把一个几何体分成几个熟悉的简单的几何体，从而得出原几何体需要的结果的方法称为割体法；把一个几何体拼补成一个新的几何体，通过对新几何体的讨论从而得出原几何体需要的结果的方法称为补体法。

在解题过程中，有时要割，有时要补，有时既割又补。

2．等积法：把点面距看成是某个体积可求的锥体的高，利用等体积法求出高即点面距。

3．球面距离的求法：1）求|AB|的长；2）求球心角∠AOB （弧度数）；3）利用弧长公式=l ∠AOB ⨯R 得球面距离。

4．反证法：立几问题中，很多问题从正面难易入手，则多采用反证法。

第四章 排列、组合、二项式定理、概率
一、排列、组合、二项式定理：
1．分类计数原理和分步计数原理是排列组合的理论基础，这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用加法原理，分步用乘法原理。

用加法原理的关键在于恰当分类，做到“不重不漏”；用乘法原理的关键在于分步，要正确设计分步程序。

2．排列与组合的区别在于排列与顺序有关，而组合与顺序无关。

它们的关系是：排列可分为“组合”和“全排”两步。

3．m n A =)!
(!m n n -=n ·(n －1)…(n －m+1)；(记住共有m 个因数!)，!m A C m n m
n ==1
2)1(1)m -(n 1)-n (⨯⨯⨯-⨯+K K m m n ；，(这是最常用的两个公式)。

)!(!m n n A m n -=，
)!
(!!m n m n C m n -=。

两个规定：1!0=，11=n
C 。

两个性质：m n n m n C C -=，11-++=m n m n m n C C C (下同上差1，下加1，上取大)。

两个结论：n n n n n
n C C C C 2210=++++Λ，1121++++=++++m n m n m m m m m m C C C C C Λ。

4．常见策略：
(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列组合混合问题先选后排；(4)正难则反、等价转化；(5)相邻问题用捆绑法；(6)不相邻问题用插空法；(7)定序问题用除法；(8)分排问题直排法；(9)元素相同用隔板法；（10）数字不大时用穷举法；(11)防止用“保证法”。

6．n n n n n n r r n r n n n n n
n n n b C ab C b a C b a C b a C a C b a +++++++=+-----11222110)(ΛΛ。

通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：T k+1=C n k a n-k b k
7．应用：(1)求特定项，如常数项，有理项，二项式系数最大的项，系数最大的项等；(2)证明整除问题；(3)近似计算；(4)赋值法：求展开式所有项系数之和可令各字母均等于1；求常数项可令各字母均等于0；求奇数(次)项、偶数(次)项可分别令字母为1、1-等。

解排列组合应用题的基本规律
1．分类计数原理与分步计数原理使用方法有两种：①单独使用；②联合使用。

2．将具体问题抽象为排列问题或组合问题，是解排列组合应用题的关键一步。

3．对于带限制条件的排列问题，通常从以下三种途径考虑：
（1）元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；
（2）位置分析法：先考虑特殊位置的要求，再考虑其他位置；
（3）整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。

4．对解组合问题，应注意以下三点：
（1）对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法；
（2）是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其原则是“正难则反”；
（3）设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

二、概率：
1．等可能事件的概率：m
m p =。

掷一枚硬币，出现“正面”或“反面”是等可能的，有两个基本事件；掷两枚硬币，有四个等可能的基本事件；掷一颗正方体骰子，有6个基本事件，一次掷n 颗骰子，有n 6个等可能的基本事件，掷一个正四面体木块，每个面向下是等可能的。

n 把钥匙开一把锁，每次能打开的概率是n
1。

2．互斥事件有一个发生的概率：)()()(B p A p B A p +=+。

任何两个事件A 和B 至少有一个发生的概率：
)()()()(AB p B p A p B A p -+=+(AB 表示A 和B 同时发生)。

三个事件A 、B 、C 至少有一个发生的概率计算，宜用间接法： )(1)(C B A p C B A p -=++
3．独立事件有一个发生的概率：)()()(B p A p AB p =。

4．n 次独立重复试验恰好发生k 次的概率为：k n k k n
n p p C k p --=)1()(。

注意：(1)“恰好发生k 次”隐含着“另k n -次没有发生”
(2)“三个事件恰好有一个发生”的概率应分成三个互斥事件来计算。