鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷C卷(附答案)

鲁教版2020-2021学年度九年级数学第一学期期末模拟测试卷C 卷（附答案）
一、单选题
1．等腰梯形的上底为2 cm,下底为4 cm ，面积为33 cm 2,则较小的底角的余弦值为( )A ．3 B ．32 C ．33
D ．12 2．如图，正方形ABCD 的边长为3 cm ，动点P 从B 点出发，以3cm /s 的速度沿着边BC CD DA →→运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm /s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点的运动时间为(x 单位：)s ，BPQ 的面积为(y 单位：2cm )，则y 与x 的函数关系的大致图象为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．如图，梯形ABCD 中，//,AB CD CD AB >，设,E F 分别是,AC BD 的中点，AC ，BD 交于O 点，OEF ∆是边长为1的等边三角形，1534
BOC S ∆=．则ABCD S =梯形（ ）
A ．123
B ．143
C ．163
D ．183 4．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线x ＝－1；
②c ＝3：③ab ＞0；④当x ＜1时，y ＞0；⑤方程20ax bx c ++=的根是13x =-和21x =，
正确的有（ ）
5．如图，在第一象限内，动点P在反比例函数y＝k
x
的图象上，以P为顶点的等腰△OPQ，
两腰OP、PQ分别交反比例函数y＝m
x
的图象于A、B两点，作PC⊥OQ于C，BE⊥PC
于E，AD⊥OQ于D，则以下说选正确的个数为（）个
①AO
PQ
为定值；②若k＝4m，则A为OP中点；③S△PEB＝
2
k m
；④OA2+PB2＝PQ2.
A．4 B．3 C．2 D．1
6．如图，将一张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E 为CN上一点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD.则下列结论中：①△ADF是等边三角形；
②tan∠EBF＝2－3；③S△ADF＝1
3
S正方形ABCD；④BF2＝DF·EF.其中正确的是( )
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
7．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，DE⊥AC 于点E，连接BE，则tan∠CBE的值等于（）
A．4
3
B
23
C
33
D
22
8．已知点D与点A（8，0），B（0，6），C（a，-a）是一平行四边形的四个顶点，则CD长的最小值为（）
A．8 B．C．6 D．4
9．如图，分别过点P i（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交2
1
2
y x
=的图象于点A i，交直线
1
2
y x
=-于点B i．则
11
1
A B
+
12
1
A B
+
1
n n
A B
+的值为（）
A．
2
1
n
n+
B．2 C．
2
(1)
n n+
D．
2
n1
+
10．已知一个三角形的三边长为3、5、7,则其外接圆半径为（）
A．
7
3
2
B．
7
3
3
C．33D．
10
3
3
二、填空题
11．抛物线2(2)1
y x t x
=-++的顶点在x轴正半轴上，则t=_________.
12．如图，在矩形ABCD中，4
AB=，43
BC=，对角线AC、BD相交于点O，现将一个直角三角板OEF的直角顶点与O重合，再绕着O点转动三角板，并过点D作DH OF
⊥于点H，连接AH.在转动的过程中，AH的最小值为_____________．
13．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC边上有一点P（不与点B，C重合），I为△APC的内心，若∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，则m+n＝_____．
14．在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为等值点．例如点
（1，1），(－2，－2)，33，…，都是等值点．已知二次函数
24(0)
y ax x c a
=++≠的
图象上有且只有
．．．．一个等值点
33
44
⎛⎫
⎪
⎝⎭
，，且当m≤x≤3时，函数
2
15
4(0)
8
y ax x c a
=++-≠的最小值为－9，最大值为－1，
15．若关于x 的方程x 2﹣2ax+a ﹣2＝0的一个实数根为x 1≥1，另一个实数根x 2≤﹣1，则抛物线y ＝﹣x 2+2ax+2﹣a 的顶点到x 轴距离的最小值是_____．
16．如图，已知点A(2,3)和点B(0,2)，点A 在反比例函数y= k x 的图象上.作射线AB ，再将射线AB 绕点A 按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C ，则点C 的坐标为________.
17．如图，正比例函数y=kx 与反比例函数y=-图象相交于点A 、B ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，则S △ABC=
18．如图，已知△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，∠B=30°，点A 在反比例函数y=1x 的图象上，若点B 在反比例函数y=k x
的图象上，则的k 值为_______．
19．如图，A 、B 两点在反比例函数y ＝1k x
的图象上，C 、D 两点在反比例函数y ＝2k x 的图象上，AC ⊥x 轴于点E ，BD ⊥x 轴于点F ，AC ＝2，BD ＝4，EF ＝3，则k 2﹣k 1＝_____．
20．Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠B ＝50°，点D 在边BC 上，BD ＝2CD （如图）．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m ＝______．
三、解答题
21．（1）如图1，已知△ABC 中AB=AC ，∠BAC=36°，BD 是角平分线， 求证：点D 是线段AC 的黄金分割点；
（2）如图2，正五边形的边长为2，连结对角线AD 、BE 、CE ，线段AD 分别与BE 和CE 相交于点M 、N ，求MN 的长；
（3）设⊙O 的半径为r ，直接写出它的内接正十边形的长=_________________（用r 的代数式表示）．
22．如图1，在平面直角角坐标系中，已知抛物线25y ax bx =+-与x 轴交于()1,0A -，()5,0B 两点.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，//CE x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ,CE 分别交于点,F G 试探究当点H 运动到何处时，线段HF 的最长，求点H 的坐标；
(3)若点K 为抛物线的顶点，点()4,M m 是该抛物线上的一点，在x 轴、y 轴上分别找点,P Q ，使四边形PQKM 的周长最小，请求出点,P Q 的坐标.
23．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21y ax =+经过点()4,3A -，顶点为点B ，点P 为抛物线上的一个动点，l 是过点()0,2且垂直于y 轴的直线，过P 作PH l ⊥，垂足为H ，连接PO ．
()1求抛物线的解析式，并写出其顶点B 的坐标；
()2①当P 点运动到A 点处时，计算：PO =________，PH =________，由此发现，
PO ________PH （填“>”、“<”或“=”）
； ②当P 点在抛物线上运动时，猜想PO 与PH 有什么数量关系，并证明你的猜想； ()3如图2，设点()1,2C -，问是否存在点P ，使得以P ，O ，H 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，矩形ABCD 中，AD =10，CD =15，E 是边CD 上一点，且DE =5，P 是射线AD 上一动点，过A ，P ，E 三点的⊙O 交直线AB 于点F ，连结PE ，EF ，PF ． （1）当AP =6时，求AF 的长；
（2）tan ∠PFE 的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围． （3）在点P 的整个运动过程中．当矩形ABCD 恰好有2个顶点落在⊙O 上时，求AP 的长．
25．如图，直线CD 分别与x 轴、y 轴交于点D ，C ，点A ，B 为线段CD 的三等分点，且A ，B 在反比例函数y ＝k x
的图象上，S △AOD ＝6． （1）求k 的值；
（2）若直线OA 的表达式为y ＝2x ，求点A 的坐标；
（3）若点P 在x 轴上，且S △AOP ＝2S △BOD ，求点P 的坐标．
26．（本题满分10分）如图，已知直角ABC 中，90ABC ∠=︒，BC 为圆O 的直径，D 为圆O 与斜边AC 的交点，DE 为圆O 的切线，DE 交AB 于F ，且CE DE ⊥． （1）求证：CD 平分ECB ∠； （2）若3,4DE CE ==，求AB 的长；
（3）记BCD 的面积为1S ，CDE △的面积为2S ，若12:3:2S S =．求sin AFD ∠的值．
27．如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数228y x x =-++的图象与一次函数y x b =-+的图象交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为-7．点P 是二次函数图象上A 、B 两点之间的一个动点（不与点A 、B 重合），设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线交AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．
（1）求b 及sin ∠ACP 的值；
（2）用含m 的代数式表示线段PD 的长；
（3）连接PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 值，使这两个三角形的面积之比为1：2．如果存在，直接写出m 的值；如果不存在，请说明理由．
28．已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x=1,最小值为3，此抛物线与y 轴交于点A ，顶点为B ，对称轴BC 与x 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式.
（2）如图1．求点A 的坐标及线段OC 的长；
（3）点P 在抛物线上，直线PQ ∥BC 交x 轴于点Q ，连接BQ ．
①若含45°角的直角三角板如图2所示放置．其中，一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上．求直线BQ 的函数解析式；
②若含30°角的直角三角板一个顶点与点C 重合，直角顶点D 在直线BQ 上，另一个顶点E 在PQ 上，求点P 的坐标．
29．抛物线y=ax2+bx+4A（1，﹣1），B（5，﹣1），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接CB，若点P在直线BC上方的抛物线上，△BCP的面积为15，求点P的坐标；
（3）如图2，⊙O1过点A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一动点（不与点A，E重合），∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值．
30．在平面直角坐标系中．抛物线y=﹣x2+4x+3与y轴交于点A，抛物线的对称轴与x 轴交于点B，连接AB，将△OAB绕着点B顺时针旋转得到△O'A'B．
（1）用配方法求抛物线的对称轴并直接写出A，B两点的坐标；
（2）如图1，当点A'第一次落在抛物线上时，∠O'BO=n∠OAB，请直接写出n的值；（3）如图2，当△OAB绕着点B顺时针旋转60°，直线A'O'交x轴于点M，求△A'MB 的面积；
（4）在旋转过程中，连接OO'，当∠O'OB=∠OAB时．直线A'O'的函数表达式是．
参考答案1．D
【解析】
如图，设梯形的高为h，由梯形面积公式得24
33 2
h
+
=,
∴h=3,即AE=3，
上底为2 cm,下底为4 cm，∴BE=1，AE=3，∴由勾股定理得AB=2，
∴cosB=BE
AB
=
1
2
.选D.
2．A
【解析】
【分析】
根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终都在AB边上，而顶点P可以在BC 边、CD边、AD边长，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1，②1＜x≤2，③2＜x≤3，分别求出y关于x的解析式，再根据函数的图像与性质进行判断.
【详解】
由题意可得BQ=x,
①0≤x≤1，P在BC边上，PB=3x，
则S△BPQ=1
2
BP BQ
⋅=2
13
3
22
x x x
⋅⋅=；
②1＜x≤2，P在边CD上，
则S△BPQ=1
2
BC BQ
⋅=
13
3
22
x x
⋅⋅=；
③2＜x≤3，P在边AD上，
则S△BPQ=1
2
AP BQ
⋅=2
139
(93)-+
222
x x x x
⋅-⋅=；
由此可知选A 【点睛】
此题主要考查动点问题的函数图像，解题的关键是根据题意分类讨论，求出各函数，再进行判断.
3．C
【解析】
【分析】
设CD=OD=OC=a，从而表示出OB的长度，结合△BOC的面积可求得a的值，进而可求得梯形的面积．
【详解】
解：过点C作CG⊥BD于G，
∵,E F分别是,
AC BD的中点，
∴EF∥AB∥CD
∵OEF
∆是边长为1的等边三角形，
∴△OAB和△OCD为等边三角形，
∴∠BDC=60°，
设CD=OD=OC=a
∴DF=BF=a-1
∴OB=(a-1)-1=a-2；
∴CG=
3 2
a
∴S△BOC=1
2
·OB·CG=
1
2
(a-2)
33
∵
15
3
4
BOC
S
∆
=
= 解得：a=5或a=-3(不合题意，舍去)
在梯形ABCD 中CD=5，AB=a-2=3，梯形的高=()2=(22)222
a a a ⋅-+-=
∴1(2
ABCD S =
⨯梯形5+3)×， 故选：C
【点睛】 本题考查了梯形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，难度较大，解答本题的关键是设出OC 的边长，利用已知三角形的面积求出OC 的长．
4．C
【解析】
【分析】
由图象可知对称轴为直线x=-1；由抛物线与y 轴的交点可知c=3；根据对称轴x=-2b a
=-1可判断ab 的符号；由对称轴和抛物线与x 轴的交点可求出抛物线与x 轴的另一个交点的坐标，即可得出y>0时x 的取值范围和方程ax 2+bx+c=0的两个根，综上即可得答案.
【详解】
由图象可知对称轴为直线x=-1，故①正确，
∵抛物线与y 轴的交点为（0，3），
∴c=3，故②正确，
∵对称轴x=-2b a
=-1, ∴ab>0，故③正确，
∵对称轴为x=-1,抛物线与x 轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x 轴的另一个交点为（-3，0），
∴当-3<x<1时，y>0，故④错误，
∴方程ax 2+bx+c=0的两个根为x 1=-3和x 2=1，故⑤正确，
综上所述：正确的结论有①②③⑤共4个，
故选C.
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
5．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数系数k的几何意义和等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可判断．【详解】
解：①正确．∵A在反比例函数
m
y
x
=的图象上，P在反比例函数
k
y
x
=的图象上，
∴S△AOD=1
2
|m|，S△poc=
1
2
|k|，
∵PC⊥OQ于点C，AD⊥OQ于点D，∴AD∥PC，
∴△AOD∽△POC，
∴
2
AOD
POC
m
S OA
S OP k
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
∴OA
OP
为定值，
∵△OPQ是以P为顶点的等腰三角形，∴OP=PQ，
∴OA
OP
为定值；故此选项正确；②正确，
∵
2m
OA
OP k
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，k=4m，
∴
21
4 OA
OP
⎛⎫
=
⎪
⎝⎭
，
∴
1
2
OA
OP
=，故此选项正确；
③正确，延长BE交OP于F，交y轴于M，作BN⊥x轴于N，易证得△OMF≌△BNQ，∴S
四边形OMBN =S四边形OFBQ=m，即可证得S四边形CQBE=
1
2
m，
∵S△PCQ=S△POC=1
2
k，
∴S△PEB=S△PCQ-S四边形CQBE=1
2
k
1
2
m=
2
k m
-
，故此选项正确；④正确，
∵BE∥OQ，
∴△PEB∽∽△PCQ，
∴
2 PEB
PCQ
S PB
S PQ
⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
,
∵S△PCQ=1
2
k，S△PEB=
2
k m
-
，
2
2
21
1
2
k m
PB k m m
PQ k k
k
-
-
===-，
∵
2
2
OA m PQ k
=，
∴
22
22
1
PB OA PQ PQ
=-，
∴OA2+PB2=PQ2，故此选项正确．综上，选项正确的个数为4个故选A．
【点睛】
本题考查反比例函数k是几何意义、等腰三角形的性质、三角形相似的判定和性质等知识，解决本题的关键是要熟练掌握反比例函数图象性质和三角形相似性质.
6．B
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分
AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a ，则MN=4a ，BN=AM=2a ，由等边三角形的性质得出
∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°
，FA=AD=4a ，
a ，得出FN=MN-FM=（
a ，由三角函数的定义即可得出②正确；
求出△ADF 的面积=12
a 2，正方形ABCD 的面积=16a 2，得出③错误； 求出∠BFE=∠DFB ，∠BEF=∠DBF ，证出△BEF ∽△DBF ，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．
【详解】
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=CD=AD ，∠C=∠BAD=∠ADC=90°
，∠ABD=∠ADB=45°， 由折叠的性质得：MN 垂直平分
AD ，FD=CD ，BN=CN ，∠FDE=∠CDE ，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC ，
∴FD=FA ，
∴AD=FD=FA ，
即△ADF 是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a ，则MN=4a ，BN=AM=2a ，
∵△ADF 是等边三角形，
∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°
，FA=AD=4a ，
， ∴FN=MN-FM=（
a ，
∴tan ∠
EBF=42
FN BN -=
②正确； ∵△ADF 的面积=12AD•FM=12
×4a×
a 2，正方形ABCD 的面积=（4a ）2=16a 2，
∴ADF
ABCD S S ∆==正方形，③错误； ∵AF=AB ，∠BAF=90°
-60°=30°， ∴∠AFB=∠ABF=75°
， ∴∠DBF=75°
-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB ， ∵∠BEF=180°
-75°-75°=30°=∠DBF ， ∴△BEF ∽△DBF ，
∴BF EF DF BF
＝，
∴BF2=DF•EF，④正确；
故选B．
【点睛】
本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．
7．C
【解析】
【分析】
根据题意和30°角所对的直角边与斜边的关系，设AB=4a，可以用a分别表示出CE和CB 的值，从而可以求得tan∠CBE的值．
【详解】
设AB=4a，
∵在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，D为AB上一点，且AD：DB=1：3，
∴BC=2a，，AD：AB=1：4，
∵∠C=90°，DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
∴∠AED=∠C，
∴DE∥BC，
∴△AED∽△ACB，
∴AE AD AC AB
＝，
∴
1
4 AE
AC
＝，
∴AE=1
4
a，
∴
2a＝
2
a，
∴tan ∠
CBE=333322a CE CB a =＝， 故选C ．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
8．B
【解析】
【分析】
当CD 是平行四边形的一条边时，AB CD =；当CD 是平行四边形的一条对角线时，过C 作CM AO ⊥于M ，过D 作DF AO ⊥于F ，交AC 于Q ，过B 作BN DF ⊥于N ，证
DBN CAM ∆∆≌，推出DN CM a ==，8BN AM a ==-，得出()86D a a -+，
，由两点间距离公式得：()()2
22221 86881008982CD a a a a a a a ⎛⎫=--+++=-+=-+ ⎪⎝⎭即可．
【详解】
当CD 是平行四边形的一条边时
226810AB CD ==+=
当CD 是平行四边形的一条对角线时，过C 作CM AO ⊥于M ，过D 作DF AO ⊥于F ，交AC 于Q ，过B 作BN DF ⊥于N
由图可知：=90BND DFA CMA QFA ∠=∠∠=∠=︒
90CAM FQA ∠+∠=︒
90BDN DBN ∠+∠=︒
∵四边形ACBD 是平行四边形
∴BD AC =，C D ∠=∠，//BD AC
∴BDN FQA ∠=∠
∴DBN CAM ∠=∠
∵在DBN ∆和CAM ∆中
BND AMC DBN CAM BD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴DBN CAM AAS ∆∆≌（）
， ∴DN CM a ==，8BN AM a ==-
∴()86D a a -+，
∵C a a -（，）
∴()()2
22221 86881008982CD a a a a a a a ⎛⎫=--+++=-+=-+ ⎪⎝⎭ ∴当12
a =时，CD 有最小值
=
∵10<
∴CD
=
故选：B ．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，全等三角形的性质和判定及二次函数的最值的应用，根据两点距离公式用含a 的式子表示出2CD 并化为二次函数顶点式是解题关键．
9．A
【解析】
【分析】
根据A i 的纵坐标与B i 纵坐标的绝对值之和为A i B i 的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】
根据题意得：
2111(1)222
i i A B x x x x ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭, 12112(1)1i i A B x x x x ⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭, 11221111111122122311n n n A B A B A B n n n ⎛⎫∴
++⋯+=-+-+⋯+-= ⎪++⎝⎭. 故选：A.
【点睛】
考查了二次函数综合题，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．
10．B
【解析】
【分析】
根据题意作出图形如下，先根据勾股定理求出BD 、AD 的长，再利用△BDA ∽△ECA 对应线段成比例求得AE ，即可求出半径的长.
【详解】
如图，设AB=3，AC=5，BC=7，过A 作AD ⊥BC 于D ，作 直径AE ，连接CE ， 则∠ADB=∠ACE=90°，
∵AD 2=AC 2-CD 2=AB 2-BD 2，
∴52-（7-BD ）2=32-BD 2，
解得BD=3314
， 在Rt △ABD 中，由勾股定理得
， ∵∠ADB=∠ACE=90°，∠B=∠E ，
∴△BDA ∽△ECA ， ∴AB AD AE AC
=
∴AE=
AB AC AD ⨯=1433
∴外接圆半径为
73 故选B.
【点睛】
此题主要考查三角形的外接圆问题，解题的关键是根据依题意作出图形，再用相似三角形来解答.
11．0
【解析】
【分析】
根据抛物线y ＝x 2﹣（t+2）x+1的顶点在x 轴正半轴上，可以得到[]
2411(2)041t ⨯⨯--+=⨯，(2)021
t -+-⨯＞，从而可以求得t 的值，本题得以解决． 【详解】
解：∵抛物线y ＝x 2﹣（t+2）x+1的顶点在x 轴正半轴上，
[]2
411(2)041(2)021
t t ＞⎧⨯⨯--+=⎪⎪⨯⎨-+⎪-⎪⨯⎩ 解得，t ＝0，
故答案为0．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．272
【解析】
【分析】
根据题意取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，依据∠ADB=30°，可得
PG=1
2
DG=1，依据∠DHO=90°，可得点H在以OD为直径的⊙G上，再根据AH+HG≥AG，
即可得到当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，根据勾股定理求得AG的长，即可得出AH的最小值．
【详解】
解：如图，取OD的中点G，过G作GP⊥AD于P，连接HG，AG，
∵AB=4，BC=AD=43
∴22
AB AD
+，
∴BD=2AB，DO=4，HG=2，
∴∠ADB=30°，
∴PG=1
2
DG=1，
∴223
DG PG
-AP=AD PD
-=3
∵DH⊥OF，
∴∠DHO=90°，
∴点H在以OD为直径的⊙G上，
∵AH+HG≥AG，
∴当点A，H，G三点共线，且点H在线段AG上时，AH最短，此时，Rt△APG中，2227
AP PG
+=
∴AH=AG-HG=72，
即AH的最小值为272．
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质和勾股定理以及圆周角定理的综合运用，解决问题的关键是根据∠DHO=90°，得出点H在以OD为直径的⊙G上．
13．255．
【解析】
【分析】
I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，利用三角形内角和等于180°及角平分线定义，即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值即可．
【详解】
解：设∠BAP＝α，则∠APC＝α+30°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠PCA＝60°，∠PAC＝90°﹣α，
∵I为△APC的内心，
∴AI、CI分别平分∠PAC，∠PCA，
∴∠IAC＝1
2
∠PAC，∠ICA＝
1
2
∠PCA，
∴∠AIC＝180°﹣（∠IAC+∠ICA）
＝180°﹣1
2
（∠PAC+∠PCA）
＝180°﹣1
2
（90°﹣α+60°）
＝1
2
α+105°
∵0＜α＜90°，
∴105°＜1
2
α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，
∴m＝105，n＝150．∴m+n＝255，
故答案为：255． 【点睛】 本题考查了三角形的内切圆与内心，角平分线定义等，熟练掌握内心的性质是解题的关键． 14．11m -≤≤
【解析】
分析：根据等值点的概念令ax 2+4x+c=x ，即ax 2+3x+c=0，由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，方程的根为32a -=34，从而求得a=-2，c=-98
，所以函数y=ax 2+4x+c-158=-2x 2+4x-3，根据函数解析式求得顶点坐标，根据y 的取值，即可确定x 的取值范围．
详解：令ax 2+4x+c=x ，即ax 2+3x+c=0，
由题意，△=32-4ac=0，即4ac=9，
又方程的根为32a -=34
， 解得a=-2，c=-
98
． 故函数y=ax 2+4x+c-158=-2x 2+4x-3=-2（x-1）2-1， 如图，该函数图象顶点为（1，-1），
由于函数图象在对称轴x=1左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，
且当m≤x≤3时，函数y=-2x 2+4x-3的最小值为-9，最大值为-1，
∴-1≤m≤1，
故答案为-1≤m≤1．
点睛：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式等知识，利用分类讨论以及数形结合得出是解题关键．
15．16 9
【解析】
【分析】
由一元二次方程根的范围结合图形，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，由二次函数的性质可得出抛物线的顶点坐标，利用配方法即可求出抛物线
y=-x2+2ax+2-a的顶点到x轴距离的最小值．
【详解】
如图，
∵关于x的方程x2-2ax+a-2=0的一个实数根为x1≥1，另一个实数根x2≤-1，
∴
1220 1220
a a
a a
++-≤
⎧
⎨
-+-≤
⎩
，
解得：-1≤a≤．
抛物线y=-x2+2ax+2-a的顶点坐标为（a，a2-a+2），
∵a2-a+2=（a-1
2
）2+
7
4
，
∴当a=1
3
时，a2-a+2取最小值
16
9
．
故答案为16
9
．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质以及二次函数的最值，通过解一元一次不等式组求出a的取值范围是解题的关键．
16．（﹣1，﹣6）．
【解析】
【详解】
如图所示，过A作AE⊥x轴于E，以AE为边在AE的左侧作正方形AEFG，交AB于P，
根据点A （2，3）和点B （0，2），可得直线AB 的解析式为122y x =
+， 由A （2，3），可得OF =1，
当x =﹣1时，y =﹣12
+2=32，即P （﹣1，32）， ∴PF =32
， 将△AGP 绕点A 逆时针旋转90°得△AEH ，则△ADP ≌△ADH ，
∴PD =HD ，PG =EH =
32
， 设DE =x ，则DH =DP =x +32，FD =1+2﹣x =3﹣x ， 在Rt △PDF 中，PF 2+DF 2=PD 2，即()22
233322x x ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭， 解得x =1，
∴OD =2﹣1=1，
即D （1，0），
根据点A （2，3）和点D （1，0）， 可得直线AD 的解析式为y =3x ﹣3，解方程组：336y x y x =-⎧⎪⎨=⎪⎩
， 可得：23x y =⎧⎨=⎩或16
x y =-⎧⎨=-⎩， ∴C （﹣1，﹣6），
故答案为（﹣1，﹣6）．
17．1．
【解析】
试题分析：设点B 坐标（x ，kx ），根据点A ，B 关于原点对称，可得出点A 坐标，再根据三角形的面积计算即可．
试题解析：点B 坐标（x ，kx ），
∴点A 坐标（-x ，-kx ），
∵AC ⊥x 轴，
∴S △ABC =AC•（0C+x ）=×（-kx ）×2x=-kx 2，
∵正比例函数y=kx 与反比例函数y=-图象相交于点A 、B ，
∴-kx 2=1，
∴S △ABC =1．
考点：反比例函数系数k 的几何意义．
18．-3
【解析】
【分析】
根据已知条件证得3，设点A （a ，1a
），过点A 作AC ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥x 轴，证明△AOC ∽△OBD 得到3BD OC =3a =，3OD ==
3a
， 得到点B 的坐标，由此求出答案.
【详解】
∵△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，∠B=30°，
∴3，
设点A （a ，1a ）， 过点A 作AC ⊥x 轴，过点B 作BD ⊥x 轴，
∴∠ACO=∠BDO=90°，
∴∠BOD+∠OBD=90°，
∵∠AOB ＝90°，
∴∠AOC+∠BOD ＝90°，
∴∠AOC=∠OBD ，
∴△AOC ∽△OBD ，
∴AO OC AC OB BD OD ==， ∴3BD OC =3a =，3OD AC ==3， ∴B(-3，3a )， ∴k=-
3a ⨯3a =-3， 故答案为：-3.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定及性质，反比例函数的性质，求函数的解析式需确定的图象上点的坐标，由此作辅助线求点B 的坐标解决问题.
19．4
【解析】
【分析】
【详解】
设A （a ，
），C （a ，），B （b ，），D （b ，），则
CA ＝
﹣＝2， ∴
， 得a ＝
同理：BD ＝
，得b ＝ 又∵a ﹣b ＝3
∴﹣＝3 解得：k 2﹣k 1＝4
20．80°或120°
【解析】
【分析】
本题可以图形的旋转问题转化为点B 绕D 点逆时针旋转的问题，故可以D 点为圆心，DB 长为半径画弧，第一次与原三角形交于斜边AB 上的一点B′，交直角边AC 于B″，此时DB′=DB ，DB″=DB=2CD ，由等腰三角形的性质求旋转角∠BDB′的度数，在Rt △B″CD 中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋转角∠BDB″的度数．
【详解】
解：如图，在线段AB 取一点B′，使DB=DB′，在线段AC 取一点B″，使DB=DB″，
∴①旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B -∠B=180°-2∠B=80°，
②在Rt △B″CD 中，∵DB″=DB=2CD ，
∴∠CDB″=60°，
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为80°或120°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用含30度的直角三角形三边的关系也是解决问题的关键．
21．（1）详见解析；（2）3-5（35-1 【解析】
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得BD BC AD ==，再通过证明ABC BDC ∽△△可得AC BC BC CD =，即AC AD AD CD
=，即可证明点D 是线段AC 的黄金分割点；
（2）根据正五边形的性质求得DE DM AE AN ===，AEM ADE △∽△，根据相似比
AE AM AD AE
=，即可求出MN 的长； （3）设AB 是圆内接正十边形的边长，连接OA 、OB ，作∠OAB 的角平分线交OB 于C ，通过证明OAB ACB △∽△得出比例式，即可求出答案．
【详解】
（1）∵AB=AC ，∠BAC=36°
∴72ABC ACB ∠=∠=︒
∵BD 是ABC ∠的角平分线
∴36DBC ∠=︒
∴18072BDC DBC C =︒--=︒∠∠∠
∴BDC C ∠=∠
∴BD BC AD ==
∴36BAC DBC ∠==︒∠，72C C ==︒∠∠
∴ABC BDC ∽△△ ∴
AC BC BC CD
= ∴AC AD AD CD = ∴点D 是线段AC 的黄金分割点．
（2）∵180,BAE AED EDC BA AE ED ===︒==∠∠∠
∴36ABE AEB EAD EDA EDC DCE ======︒∠∠∠∠∠∠
∴72EMD EAD AEB =+=︒∠∠∠，72ENM DEN NDE =+=︒∠∠∠
∴18072DEM EDA DME =︒--=︒∠∠∠，18072AEN EAD ENM =︒--=︒∠∠∠ ∴DEM DME =∠∠，AEN ENM =∠∠
∴2DE DM AE AN ====
∴2MN AN MN MN =-=-，4AD AN DM MN MN =+-=-
∴,AEM ADE EAM DAE ==∠∠∠∠
∴AEM ADE △∽△ ∴AE AM AD AE
= ∴2AE AM AD =
∴()()22=24MN MN -- 解得35MN =-或3+5MN =（舍去）
故MN 的长为35-．
（3）设AB 是圆内接正十边形的边长，连接OA 、OB ，作∠OAB 的角平分线交OB 于C 则3603610
AOB ︒==︒∠，72OAB OBA ==︒∠∠，36OAC BAC ==︒∠∠ ∴363672ACB =︒+︒=︒∠
∵72B ∠=︒
∴ACB B =∠∠
∴,AC AB AC OC ==
∵36O CAB ==︒∠∠，B B ∠=∠
∴OAB ACB △∽△
∴OA AB AC BC
= ∵OA OB r == ∴r AB AB r AB
=- 解得512AB r -=或512
AB r --=（舍去） 经检验当512AB r -=
时，()0r AB AB -≠，所以根成立 故51AB r -=． 【点睛】
本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 22．(1)y=x 2-4x-5；(2)H(52
，354-)；(3)P 、Q 的坐标分别为P(137，0)，Q(0，133- ).
【解析】
【分析】
（1）待定系数法，将点A、B代入抛物线解析式即可求出解析式．
（2）设点H、F的坐标，表示线段HF，将得到的关系式配方，配成顶点式就可以求出点H 的坐标．
（3）利用对称性找到点P、Q的位置，进而求出点P、Q的坐标．
【详解】
解：(1)由已知得c5
=-
把()()
A1,0,B5,0
-代入2
y ax bx5
=+-得
05
02555
a b
a b
=--
⎧
⎨
=+-
⎩
，
解得
1
4
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴二次函数的表达式为y=x2-4x-5.
(2)设()
2
H t,t4t5
--
设直线BC的表达式为222
y a x b
=+，解得2
2
a1
b5
=
⎧
⎨
=-
⎩
∴直线BC的表达式为
2
y x5
=-
()
F t,t5
∴-
()2
2
525
HF t5t4t5t
24
⎛⎫
=----=--+
⎪
⎝⎭
535
H,
24
⎛⎫
∴-
⎪
⎝⎭
(3)如图，分别作K,M关于x轴，y轴对称的点K,M
''，分别交PQ延长线于点K,M
''
∴点K 为顶点
()K 2,9∴-
∴点K 关于y 轴的对称点K '的坐标为()2,9--
∵()M 4m ，
()M 4,5∴-
∴点M 关于x 轴的对称点M '的坐标为()4,5,
设直线K M ''的表达式为333y a x b =+， 解得337a 313
b 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
, ∴直线K M ''的表达式为3713y x 33
=- 易知图中点P,Q 即为符合条件的点
∴P 、Q 的坐标分别为P(
137，0)，Q(0，133-). 【点睛】
此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转换为线段长度，二次函数的求最值问题，最后一问利用对称性找到点P 、Q 的位置为解题关键．
23．5 5 =
【解析】
【分析】
对于（1）用待定系数法，将A 点坐标代入21y ax +＝可得出a 的值，而顶点B 是在x ＝2b a
-即x ＝0，可求出B 点坐标；
对于（2）可以直接根据图像和已知条件，求出PO 和PH 的值，然后根据所求出的值，来判断是否相等.
对于（3）可以先假设是存在的，然后已知条件就是以点O ,O ,H 为顶点的三角形与△ABC 相似，以此为已知条件，推出P 点的坐标，看是否能推出P 点，成功则存在，反之则不存在.
【详解】
()1解：∵抛物线21y ax +＝经过点()4,3A -，
∴3161a -+＝， ∴14
a -＝， ∴抛物线解析式为2114y x -
+＝，顶点()0,1B ． ()2①当P 点运动到A 点处时，∵5PO ＝，5PH ＝，
∴PO PH ＝，
()3
∵BC
，AC
AB ∴BC AC ＝，
∵PO PH ＝，
又∵以P ，O ，H 为顶点的三角形与ABC 相似，
∴PH 与BC ，PO 与AC 是对应边， ∴PH BC HO BA ＝，设点21,14P m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
，
211m +， 解得1m ±＝，
∴点P 坐标31,4⎛⎫ ⎪⎝⎭或31,4⎛⎫- ⎪⎝
⎭． 【点睛】
本题考查了二次函数的求解和基本性质，再根据图像来解决问题，还考查了三角形相似的条件．解题的关键点在于能求出二次函数的解析式，并且会反证法，而且会根据二次函数来设该函数某一点的坐标.
24．（1）AF =13；（2）tan ∠PFE 的值不变．tan ∠PFE =
12．理由见解析；（3）AP 的值为10或5或52
时，矩形ABCD 恰好有2个顶点落在⊙O 上， 【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）连接AE，利用圆心角、弧、弦的关系和三角函数解答即可；
（3）分三种情况进行解答即可．
【详解】
（1）过点F作FG⊥CD于点G，则四边形AFGD是矩形，则DG=AF，FG=AD=10，∵∠EDP=∠EGF=90°，
∵PF是直径，
∴∠PEF=90°，
∴∠DEP+∠GEF=90°，
∵∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠DEP=∠EFG，
∴△DEP∽△GFE，
∴DP DE EG FG
=，
∴
45
10 EG
=，
∴EG=8，
∴DG=DE+EG=5+8，
∴AF=13．
（2）tan∠PFE的值不变．如图1中，连接AE，
理由：如图1中，∵PE PE
=，
∴∠PFE=∠DAE，
在Rt△ADE中，tan∠DAE=
1
2 DE AD
=
∴tan∠PFE=tan∠DAE=1
2
．
（3）如图2中，当⊙O经过A、D时，点P与D重合，此时AP=10，
如图3中，当⊙O经过A、B时，
在Rt△BCE中，BE=22102
EC CB
+=，
∵tan∠PFE=1
2
，∴PE=52，
∴PD=225
PE DE
-=，
∴AP=5，
如图4中当⊙O经过AC时，作FM⊥DC交DC的延长线于M．
根据对称性可知，DE=CM=BF=5，
在Rt△EFM中，EF22
1510513
+=
∴PE=1
2
EF
513
∴PD 152
=， ∴AP =AD -PD =52
， 综上所述，AP 的值为10或5或
52时，矩形ABCD 恰好有2个顶点落在⊙O 上， 【点睛】
此题考查圆的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质、圆心角、弧、弦的关系和三角函数解答．
25．（1）k ＝4；（2）A ，）；（3）P （，0）或（-，0）．
【解析】
【分析】
（1）作//AM x 轴，交y 轴于M ，根据题意求得2AOM S ∆=，然后根据反比例函数系数k 的几何意义即可求得k 的值；
（2）设(,2)A x x ，代入4y x
=，即可求得x 的值，进而求得A 的坐标；
（3）点A ，B 为线段CD 的三等分点，A ，B ，D ，0)，
2AOD BOD S S ∆∆=，即可求得AOP AOD S S ∆∆=，即可求得P ，0)或(-0)．
【详解】
解：（1）作//AM x 轴，交y 轴于M ，
点A ，B 为线段CD 的三等分点，6AOD S ∆=．
132AOC AOD S S ∆∆∴==，13
CM OC =， 223
AOM AOC S S ∆∆∴==， 1||2
AOM S k ∆=，图象在第一象限， 4k ∴=；
（2）设(,2)A x x ， A 在反比例函数k y x
=
的图象上，
24x x ∴=，
2x ∴=，
(2A ∴，22)；
（3）点A ，B 为线段CD 的三等分点，(2A ，22)，
(22B ∴，2)，(32D ，0)，2AOD BOD S S ∆∆=，
∵2AOP BOD S S ∆∆=，
∴AOP AOD S S ∆∆=，
∴(32P ，0)或(32-，0)．
【点睛】
本题考查反比例函数系数k 的几何意义，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式等，等底同高的三角形面积相等是解题的关键．
26．（1）见解析；（2）
7516；（322 【解析】
【分析】
【详解】
分析：本题考察切线性质、角平分线定理、勾股定理、相似三角形性质、
三角函数的应用等知识点．
问题（3）中破题关键是对面积比的理解运用．相似三角形面积之比等于对应边比的平方． 解答：（1）证明：连接DO
DE o OD DE ∴⊥是
的切线， 又,CE DE OD CE ECD CDO ⊥∴∴∠=∠平行，
,CDO DCO ECD DCO ∠=∠∴∠=∠
（2）解：连接BD
90BC BDO ∴∠=是直径，
在34RT CED DE CE ∆==中，， ∴3tan 4
ECD ∠= 在RT BDC ∆中，315tan 544BD DC DCB =⋅∠=⨯
= 90,90BCD CBD ABD CBD ∠+∠=∠+∠=
BCD ABD ∴∠=∠
4cos cos 5BD ABD BCD AB ∴∠=∠=
= 575416
AB BD ∴== （2）解：
,ECD DCO Rt CDE ∠=∠∆∽Rt CBD ∆
2123(),2S CD CD S CE CE ∴==∴=
设,(0)CD CE k =
=> 90,ABC ODF AFD BOD ∠=∠=∴∠=∠
过D 作DH BC H ⊥于
,ECD DCO DH DE k ∠=∠∴==
在cos cos CD Rt CDB DCB ECD CB ∆∠=∠==中，
CB ∴
=OD k ∴=
在sin DH Rt DOH DOH DO ∆∠=
=中，
27．（1）2b =-，2sin 2ACP ∠=；（2）22325222
PD m =-++（3）1m =-和2．
【解析】
【分析】
（1）已知直线AB 的解析式，首先能确定A 、B 点的坐标，然后利用待定系数法确定a 、b 的值；若设直线AB 与y 轴的交点为E ，E 点坐标易知，在Rt △AEO 中，能求出sin ∠AEO ，而∠AEO=∠ACP ，则∠ACP 的正弦值可得；
（2）已知P 点横坐标，根据直线AB 、抛物线的解析式，求出C 、P 的坐标，由此得到线段PC 的长；在Rt △PCD 中，根据（1）中∠ACP 的正弦值，即可求出PD 的表达式；
（3）在表达△PCD 、△PBC 的面积时，若都以PC 为底，那么它们的面积比等于PC 边上的高的比．分别过B 、D 作PC 的垂线，首先求出这两条垂线段的表达式，然后根据题干给出的面积比例关系求出m 的值．
【详解】
解：（1）如图：当0y =时，2280x x -++=，
∴12x =-，24x =，点A 在x 轴负半轴上，
(20)2A OA ∴-=，，，
点A 在一次函数y x b =-+的图象上，20b ∴+=
∴2b =-
∴一次函数表达式为2y x =--．
设直线AB 在交y 轴于点E ，则(0,2),2,E OE OA PC x -==⊥轴交AB 于点C ， ∴PC y ∥轴，∴045AEO ACP ∠=∠=，
2sin sin 452ACP ︒∴∠==
． （2）解：点P 在二次函数228y x x =-++图象上且横坐标为m
所以设2(,28)P
m m m -++， PC x ⊥轴且C 在一次函数2y x =--的图象上，
(2)C m m PC --∴=，，2310m m -++．
PD AB ⊥于点D ，
所以在Rt CDP △中，2sin 2
PD ACP PC ∠==， 22325222
PD m m ∴=-++． （3）如图，分别过点D 、B 作DF ⊥PC ，BG ⊥PC ，垂足分别为F 、G ．
∵sin ∠2， ∴cos ∠ACP=
22， 又∵∠FDP=∠ACP
∴cos ∠FDP=22
， 在Rt △PDF 中，DF=
22
PD=-12m 2+32m+5， 又∵BG=5-m ， ∴当12
PCD PBC S DF S BG ==△△时，解得m=-1，。