【考点训练】二元一次方程组的应用(解析版)
初中数学：二元一次方程组应用题专题训练附详解(精)
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间的丙地新建一个码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米？
7．永辉超市计划购进甲、乙两种体育器材，若购进甲器材3件，乙器材6件，需要480元，购进甲器材2件，乙器材3件，需要280元，销售每件甲器材的利润率为37.5%，销售每件乙器材的利润率为30%．
3．（1）甲施工队工作一天饭店应付400元，乙施工队工作一天饭店应付250元．
（2）安排甲、乙两个装修施工队同时施工更有利于饭店
【分析】
（1）设甲施工队工作一天饭店应付x元，乙施工队工作一天饭店应付y元，根据“若先请甲施工队单独做3天、再请乙施工队单独做24天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7200元．若先请甲施工队单独做9天、再请乙施工队单独做16天，可完成施工，风味美饭店老板应付两队工钱共7600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程施工队，解之即可得出结论；
品种
高档
中档
低档
价格/元
20
15
10
9．甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司人均捐款120元，乙公司人均捐款100元．如图是甲、乙两公司员工的一段对话．
（1）甲、乙两公司各有多少人？
（2）现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买 、 两种防疫物资， 种防疫物资每箱1500元， 种防疫物资每箱1200元．若购买 种防疫物资不少于20箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来（注：A、B两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
专题05 二元一次方程(组)的应用(知识点串讲)(解析版)
专题05 二元一次方程（组）的应用知识网络重难突破一. 二元一次方程的应用利用二元一次方程求方案数的一般方法：挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程，然后根据未知数的实际意义求其整数解，整数解的个数即为方案数.典例1．（2018春•召陵区期末）“双11”促销活动中，小芳的妈妈计划用100元在唯品会购买价格分别为8元和12元的两种商品，则可供小芳妈妈选择的购买方案有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】A【解析】解：设购买8元的商品数量为x，购买12元的商品数量为y，依题意得：8x+12y＝100，整理，得y．因为x是正整数，所以当x＝2时，y＝7．当x＝5时，y＝5．当x＝8时，y＝3．当x＝11时，y＝1．即有4种购买方案．故选：A．典例2．（2018春•江油市期末）甲、乙两个公共汽车站相向发车，一人在街上行走，他发现每隔8分钟就迎面开来一辆公交车，每隔24分种从背后开来一辆公交车，如果车站发车的间隔时间相同，各车的速度相同，那两车站发车的间隔时间为（）A．18分钟B．10分钟C．12分钟D．16分钟【答案】C【解析】解：设公交车的速度为x米/分钟，人步行速度为y米/分钟，根据题意得：8x+8y＝24x﹣24y，解得：x＝2y，∴12．故选：C．二. 二元一次方程组的应用1．常见的利用二元一次方程组解决实际问题的类型有：配套问题、分配问题、行程问题、销售问题、数字问题、几何问题、梯度收费问题、方案问题等．2．列二元一次方程组解应用题的一般步骤设：用两个字母表示问题中的两个未知数；列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）；解：解方程组，求出未知数的值；验：检验求得的值是否正确和符合实际情形；答：写出答案．典例1．（2018春•思南县期末）某校举行研学旅行活动，车上准备了7箱矿泉水，每箱的瓶数相同，到达目的地后，先从车上搬下3箱，发给每位同学1瓶矿泉水，有9位同学未领到．接着又从车上搬下4箱，继续分发，最后每位同学都有2瓶矿泉水，还剩下6瓶．问：有多少人参加此次研学旅行活动？每箱矿泉水有多少瓶？【答案】见解析【解析】解：设有x人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有y瓶，根据题意得：，解得：．答：有81人参加此次研学旅行活动，每箱矿泉水有24瓶．典例2．某商场第1次用39万元购进A、B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：（总利润＝单件利润×销售量）商品价格 A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1350 1200（1）该商场第1次购进A、B两种商品各多少件？（2）商场第2次以原价购进A、B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？【答案】见解析【解析】解：（1）设第1次购进A商品x件，B商品y件．根据题意得：，解得：．答：商场第1次购进A商品200件，B商品150件．（2）设B商品打m折出售．根据题意得：200×（1350﹣1200）+150×2×（12001000）＝54000，解得：m＝9．答：B种商品打9折销售的．典例3．已知：用3辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A型车和3辆B型车载满货物一次可运货18吨，某物流公司现有35吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：（1）1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案；（3）若A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】见解析【解析】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，依题意列方程组得：，解方程组，得：，答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．（2）结合题意和（1）得：3a+4b＝35，∴a∵a、b都是正整数∴或或答：有3种租车方案：方案一：A型车9辆，B型车2辆；方案二：A型车5辆，B型车5辆；方案三：A型车1辆，B型车8辆．（3）∵A型车每辆需租金200元/次，B型车每辆需租金240元/次，∴方案一需租金：9×200+2×240＝2280（元）方案二需租金：5×200+5×240＝2200（元）方案三需租金：1×200+8×240＝2120（元）∵2280＞2200＞2120∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元．三. 三元一次方程组的应用列三元一次方程组解应用题的一般步骤和列二元一次方程组解应用题的一般步骤类似，如下：①弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个(或三个)未知数；②找出能够表达应用题全部含义的相等关系；③根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；④解这个方程组，求出未知数的值；⑤写出答案．注意：一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．典例1．（2018春•无棣县期末）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文x，y，z对应密文x+y+z，x﹣y+z，x ﹣y﹣z．例如：明文1，2，3对应密文6，2，﹣4．当接收方收到密文12，4，﹣6时，则解密得到的明文为______________．【答案】3，4，5【解析】解：依题意得：，解得故答案是：3，4，5．典例2．小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入＝基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．（1）求x、y的值；（2）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服装1件共需390元；如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元？【答案】见解析【解析】解：（1）根据题意得：，解得：．（2）设购买一件甲服装需要a元，购买一件乙服装需要b元，购买一件丙服装需要c元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：a+b+c＝190．答：购买甲、乙、丙服装各一件共需190元．巩固练习1．（2018春•邢台期末）某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：由题意可得，，故选：D．2．（2018春•孝昌县期末）为推进课改，王老师把班级里60名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】解：设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得：5x+6y＝60，y，当x＝0，y＝6符合题意，当x＝1，则y（不合题意）；当x＝2，则y；（不合题意）；当x＝3，则y（不合题意）；当x＝4，则y（不合题意）；当x＝5，则y（不合题意）；当x＝6，则y＝5当x＝7，则y（不合题意）；当x＝8，则y（不合题意）；当x＝9，则y（不合题意）；当x＝10，则y（不合题意）；当x＝11，则y（不合题意）；当x＝12，则y＝0故有3种分组方案．故选：B．3．（2018春•泗洪县期末）甲、乙、丙三种商品，若购买甲3件、乙2件、丙1件，共需215元钱，购甲1件、乙2件、丙3件共需185元钱，那么购甲、乙、丙三种商品各一件共需（）A．100元B．130元C．150元D．160元【答案】A【解析】解：设购买1件甲商品需要x元，购买1件乙商品需要y元，购买1件丙商品需要z元，根据题意得：，（①+②）÷4，得：x+y+z＝100．故选：A．4．（2018春•丰台区期末）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为_________．【答案】【解析】解：根据题意得：；故答案为：．【点睛】本题是二元一次方程组的应用，列方程组时要抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系；因为此类题要列二元一次方程组，因此要注意两句话；同时本题要注意绳子对折，即取绳子的二分之一．5．（2018春•卫辉市期末）小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形，恰好可以拼成一个大的长方形．如图（1）所示，小红看见了，说“我来试一试”，结果小红七拼八凑，拼成如图（2）那样的正方形，可中间还留下一个边长为6cm的小正方形．请你求出这些小长方形长和宽．【答案】见解析【解析】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：．答：小长方形的长为30cm，宽为18cm．6．（2018春•江海区期末）列方程组解应用题：新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取每答对一题得分，每答错一题扣分记分方法．王丽答对7道题，答错3道题共获得50分；李强答对8道题，答错1道题，共获得62分．问答对一题得多少分，答错一题扣多少分？【答案】见解析【解析】解：设答对道题得x分，答错一道题扣y分，由题意可得：，解得：．答：答对道题得8分，答错一道题扣2分．7．某加工厂有工人60名，生产某种一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，能使生产出的螺栓和螺母刚好配套？【答案】见解析【解析】解：设应安排x人生产螺栓，有y人生产螺母．由题意，得，解这个方程组得：，答：应安排25人生产螺栓，35人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套．8、（2017秋•安庆期末）某天，一蔬菜经营户用60元钱从蔬菜批发市场批发了萝卜和白菜共40kg到菜市场去卖，萝卜和白菜这天每千克的批发价与零售价如下表所示：品名萝卜白菜批发价/元 1.6 1.2零售价/元 2.5 1.8问：他当天卖完这些萝卜和白菜共能赚多少钱？【答案】见解析【解析】解：设白菜的重量是xkg，萝卜的重量是ykg，依题意有解得：，10×（1.8﹣1.2）+30×（2.5﹣1.6）＝33（元）答：他当天卖完这些白菜和萝卜能赚33元．9．列方程（组），解应用题甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．【答案】见解析【解析】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：，解得：，答：甲的速度分别为m/s，乙的速度分别为m/s．。
二元一次方程应用题应用精题(附答案)
二元一次方程组的应用板块一：二元一次方程组解的讨论☞二元一次方程组解的三种情况二元一次方程组111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ ⑴若1122a b a b ≠，则该方程组有唯一解 ⑵若111222a b c a b c =≠，则该方程组无解 ⑶若111222a b c a b c ==，则该方程组有无数组解 1．如果方程组有唯一的一组解，那么a ，b ，c 的值应当满足（ ）A ．a=1，c=1B ．a ≠bC ．a=b=1，c ≠1D ．a=1，c ≠1【解答】解：根据题意得：，∴1﹣x=，∴（a ﹣b ）x=c ﹣b ，∴x=， 要使方程有唯一解，则a ≠b ，故选B ．2．已知关于x ，y 的方程组，分别求出k ，b 为何值时，方程组：（1）有唯一解；（2）有无数多个解；（3）无解．【解答】解：把y=kx+b 代入y=（3k ﹣1）x+2中，可得：（2k ﹣1）x=b ﹣2，（1）当（2k ﹣1）≠0，即k ≠0.5，方程有唯一解x=，将此x 的值代入y=kx+b 中，得：y=，因而原方程组有唯一一组解； （2）当（2k ﹣1）=0且b ﹣2=0时，即k=0.5，b=2时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解；（3）当（2k ﹣1）=0且（b ﹣2）≠0时，即k=0.5，b ≠2时，方程无解，因此原方程组无解．板块二、二元一次方程的简单应用☞倍分问题1．（2015•广元）一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大50°．若设∠1=x°，∠2=y°，则可得到的方程组为（）A．B．C．D．【解答】解：根据平角和直角定义，得方程x+y=90；根据∠α比∠β的度数大50°，得方程x=y+50．可列方程组为．故选：D．2．（2015•泰安）小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x 千克，乙种水果y千克，则可列方程组为（）A．B．C．D．【解答】解：设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，由题意得．故选A．3．（2015•盘锦）有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨．设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，根据题意所列方程组正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：设一辆大货车一次可以运货x吨，一辆小货车一次可以运货y吨，由题意得，．故选A．4．（2015•台湾）如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重迭，其余部分只与丙重迭，甲没有与乙重迭的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重迭的部分的长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（）A ．x+y+3B ．x+y+1C ．x+y ﹣1D ．x+y ﹣3【解答】解：设乙的长度为a 公尺，∵乙的长度最长且甲、乙的长度相差x 公尺，乙、丙的长度相差y 公尺， ∴甲的长度为：（a ﹣x ）公尺；丙的长度为：（a ﹣y ）公尺， ∴甲与乙重叠的部分长度为：（a ﹣x ﹣1）公尺；乙与丙重叠的部分长度为：（a ﹣y ﹣2）公尺，由图可知：甲与乙重叠的部分长度+乙与丙重叠的部分长度=乙的长度，∴（a ﹣x ﹣1）+（a ﹣y ﹣2）=a ，a ﹣x ﹣1+a ﹣y ﹣2=a ，a+a ﹣a=x+y+1+2，a=x+y+3，∴乙的长度为：（x+y+3）公尺，故选：A ．5. 古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的，驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干嘛？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；如果我给你一袋，我们才恰好驮得一样多！”那么驴子原来所驮货物的袋数是多少？【解答】解：设驴子原来所驮货物的袋数是x ，骡子原来所驮货物的袋数是y ． 由题意得，解得．答：驴子原来所驮货物的袋数是5．☞年龄问题1．小明问王老师的年龄时，王老师说：“我像你这么大时，你才3岁；等你到了我这么大时，我就45岁了．”设王老师今年x 岁，小明今年y 岁，根据题意，列方程组正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：王老师今年x 岁，刘俊今年y 岁，可得：， 故选D☞数字问题1. 一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x ，十位数字为y ，所列方程组正确的是（ ）A 、错误!未找到引用源。
北师大版八年级数学上册第五章《二元一次方程组》应用练习题(有解析)
八年级数学上册第五章《二元一次方程组》应用练习题1．某超市对甲、乙两种商品进行打折销售，其中甲种商品打八折，乙种商品打七五折，已知打折前，买6件甲种商品和3件乙种商品需600元；打折后，买50件甲种商品和40件乙种商品需5200元．（1）打折前甲、乙两种商品每件分别为多少元？（2）某人购买甲种商品80件，乙种商品100件，问打折后购买这些商品比不打折可节省多少元？2．育德中学800名学生参加第二十届运动会开幕式大型表演，道具选用红黄两色锦绣手幅．已知红色手幅每个4元；黄色手幅每个2.5元；购买800个道具共花费2420元，那么两种手幅各多少个？3．甲、乙两人相距50千米，若同向而行，乙10小时追上甲；若相向而行，2小时两人相遇．求甲、乙两人每小时各行多少千米？4．某山区有若干名中，小学生因贫困失学需要捐助，资助一名中学生的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元．某校学生积极捐款，初中各年级学生捐款数额与其捐助贫困中学生和小学生人数的部分情况如下表：捐款数额/元资助贫困中学生人数/名资助贫困小学生人数/名七年级4000 2 4八年级4200 3 3九年级5000（1）求a，b的值；（2）九年级学生的捐款恰好解决了剩余贫困中小学生的学习费用，请计算九年级学生可捐助的贫困小学生人数．5．某写字楼门口安装了一个如图所示的旋转门，旋转门每转一圈按正常负载可以出去6人，每分钟转4圈．（1）问：按正常负载半小时此旋转门可出去多少人？（2）紧急情况时，旋转门每圈负载出去人数可增加50%，但因此每分钟门的转速降低25%．①直接写出紧急情况时旋转门每分钟可以出去人；②该写字楼有9层，每层10间办公室，平均每个办公室6人，为了符合消防安全要求，要在一楼再安装几近普通侧门，每近侧门每分钟能通过45人，在紧急情况下，要使整写字楼的人能在5分钟内全部安全离（下楼时间忽略不计），至少要安装几道普通侧门．6．工厂接到订单生产如图所示的巧克力包装盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个正三角形底面组成，仓库有甲、乙两种规格的纸板共2600张，其中甲种规格的纸板刚好可以裁出4个侧面（如图①），乙种规格的纸板可以裁出3个底面和2个侧面（如图②），裁剪后边角料不再利用．（1）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问两种规格的纸板各有多少张？（2）一共能生产多少个巧克力包装盒？7．我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，译文为：“现有几个人共同购买一个物品，每人出8元，则多3元；每人出7元，则差4元．问这个物品的价格是多少元？”8．列二元一次方程组解应用题：某居民小区为了绿化小区环境，建设和谐家园．准备将一块周长为76米的长方形空地，设计成长和宽分别相等的9块小长方形，如图所示．计划在空地上种上各种花卉，经市场预测，绿化每平方米空地造价210元，请计算，要完成这块绿化工程，预计花费多少元？9．机械厂加工车间有85名工人，平均每人每天加工大齿轮16个或小齿轮10个，2个大齿轮和3个小齿轮配成一套，问需分别安排多少名工人加工大、小齿轮，才能使每天加工的大小齿轮刚好配套？10．某商店欲购进A、B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件共需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件共需440元；（1）求A、B两种商品每件的进价分别为多少元？（2）若该商店，A种商品每件的售价为48元，B种商品每件的售价为31元，且商店将购进A、B共50件的商品全部售出后，要获得的利润超过348元，求A种商品至少购进多少件？参考答案1．解：（1）设打折前甲种商品每件x元，乙种商品每件y元，依题意，得：，解得：．答：打折前甲种商品每件40元，乙种商品每件120元．（2）80×40+100×120﹣80×0.8×40﹣100×0.75×120＝3640（元）．答：打折后购买这些商品比不打折可节省3640元．2．解：设购买红色手幅x个；购买黄色手幅y个，根据题意得，解得，答：购买红色手幅280个；购买黄色手幅520个．3．解：设甲每小时行x千米，乙每小时行y千米，则可列方程组为，解得，答：甲每小时行10千米，乙每小时行15千米．4．解：（1）由题意得：解得：（2）设初三年级学生捐助x名贫困中学生，捐助y名贫困小学生．由题意得：800x+600y＝5000得：4x+3y＝25∵x、y均为非负整数∴x＝1，y＝7或x＝4，y＝3答：初三年级学生可捐助1名贫困中学生，捐助7名贫困小学生；或捐助4名贫困中学生，捐助3名贫困小学生．5．解：（1）正常负载下，半小时可出去：30×4×6＝720人（2）①紧急情况下，出去人数可增加50%，则每圈出去人数为：6×（1+50%）＝9人，每分钟门转速降低25%，即每分钟转的圈数为4×（1﹣25%）＝3圏则每分钟可以出去：3×9＝27人故答案填27②写字楼的总人数为：9×10×6＝540人急情况下，要使整写字楼的人能在5分钟，旋转门出去的人数为：5×27＝135人则剩下的人数为540﹣135＝405人，要从普通侧门通过则有405÷（45×5）≈1.8，即至少安装2道普通侧门6．解：（1）设甲种规格的纸板有x个，乙种规格的纸板有y个，依题意，得：，解得：．答：甲种规格的纸板有1000个，乙种规格的纸板有1600个．（2）1600×3÷2＝2400（个）．。
二元一次方程组的应用(题目+解析)
二元一次方程组应用一．选择题1．根据“x 减去y 的差的8倍等于8”的数量关系可列方程( ) A ．88x y -=B ．8()8x y -=C ．88x y -=D ．88x y -=⨯2．某影院昨天甲，乙两种电影票共售出203张，甲票售出x 张，每张35元，乙票每张20元，票房总额y ，则( )A ．1540600x y -+=B ．1540600x y -+=C ．1540600x y ++=D ．1540600x y --=3．一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程少40千米．如果设轿车平均速度为a 千米/小时，卡车的平均速度为b 千米/小时，则( ) A ．2340a b =+B ．3240b a =-C ．2340a b =-D ．3402b a =-4．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得5+分，每答错一题得3-分，不答的题得1-分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x 道题，答错了y 道题，则( ) A ．5372x y -=B ．5372x y +=C ．6292x y -=D ．6292x y +=5．为了表彰品学兼优的育才学子，黄老师用280元买了甲、乙两种图书，甲图书每本40元，乙图书每本60元，且乙图书比甲图书少买了2本，黄老师买甲、乙两种图书各多少本？设黄老师买了甲图书x 本，乙图书y 本，则可列方程组为( )A ．40602802x y x y +=⎧⎨=+⎩B ．40602802y x x y +=⎧⎨=+⎩C ．40602802x y x y +=⎧⎨=-⎩D ．40602802y x x y +=⎧⎨=-⎩6．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x 两、y 两，依题意，可列出方程组为( )A ．5210258x y y x +=⎧⎨+=⎩B ．5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．2510258x y y x +=⎧⎨+=⎩D ．2510258x y x y +=⎧⎨+=⎩7．明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x 根，用于制作笔套的短竹数为y 根，则可列方程为( ) A ．83000x y x y +=⎧⎨=⎩B ．8300035x y x y +=⎧⎨=⎩C ．8300053x y x y +=⎧⎨=⎩D ．3583000x y x y +=⎧⎨=⎩8．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为()A．54573y xy x=+⎧⎨=+⎩B．54573y xy x=-⎧⎨=+⎩C．54573y xy x=+⎧⎨=-⎩D．54573y xy x=-⎧⎨=-⎩9．我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为()A．46483538x yx y+=⎧⎨+=⎩B．43486538x yx y+=⎧⎨+=⎩C．64485338x yx y+=⎧⎨+=⎩D．46485338x yx y+=⎧⎨+=⎩10．甲、乙两水池现共贮水40t，如果甲池进水4t，乙池进水8t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是()A．甲22t，乙18t B．甲23t，乙17t C．甲21t，乙19t D．甲24t，乙16t11．小明到文具店购买文具，他发现若购买4支钢笔、2支铅笔、1支水彩笔需要50元，若购买1支钢笔、3支铅笔、4支水彩笔也正好需要50元，则购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔需要() A．10元B．20元C．30元D．不能确定12．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km．现在它们都从A地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A地，而乙车继续行驶，到B地后再行驶返回A地．则B地最远可距离A地() A．120km B．140km C．160km D．180km13．某口罩厂要在规定时间内完成口罩生产任务，需要对现有的10台设备进行升级，若升级其中3台，则离生产任务还差8万个；若升级其中7台，则离生产任务还差2万个，如果升级所有设备，则该厂口罩生产任务的完成情况为()A．还差1万个B．恰好完成任务C．超出1万个D．超出2.5万个14．某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨．另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）．若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水．若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为()A．5台B．6台C．7台D．8台15．如图为某商店的宣传单，小胜到此店同时购买了一件标价为x元的衣服和一条标价为y元的裤子，共节省500元，则根据题意所列方程正确的是()A．0.60.4100500+-=x y++=B．0.60.4100500x yC．0.40.6100500+-=x y++=D．0.40.6100500x y二．填空题16．已知甲队有x人，乙队有y人，若从甲队调出10人到乙队，则乙队人数是甲队人数的2倍，调整后两队人数间的数量关系用等式表示为；17．2元的人民币x张，5元的人民币y张，共120元，这个关系用方程可以表示为．18．某企业现年产值为85万元，如果每增加投资100万元，一年就可以增加产值250万元．设总产值为y 万元，新增加的投资额为x万元，则x，y应满足的方程为．19．买14支铅笔和6本练习本，共用5.4元．若铅笔每支x元，练习本每本y元，写出以x和y为未知数的方程为．20．某人步行了5小时，先沿着平路走，然后上山，最后又沿原路返回．假如他在平路上每小时走4里，上山每小时走3里，下山的速度是6里/小时，则他从出发到返回原地的平均速度是里/小时．21．小亮的妈妈用28元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克4元，乙种水果每千克6元，且乙种水果比甲种水果少买了2千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果x千克，乙种水果y千克，则可列方程组为．22．弟弟对哥哥说：“我像你这么大的时候你已经20岁．”哥哥对弟弟说：“我像你这么大的时候你才5岁．”求弟弟和哥哥的年龄．设这一年弟弟x岁，哥哥y岁，根据题意可列出二元一次方程组是．23．某校为住校生分宿舍，若每间7人，则余下3人；若每间8人，则有5个空床位，设该校有住校生x人，宿舍y间，则可列出方程组为．24．一副三角板按如图方式摆放，且1∠=︒，则可得到方∠的度数大50︒，若设1x∠的度数比2∠=︒，2y程组为．25．某年级有学生246人，其中男生比女生人数的2倍少3人，问男女学生各多少人？设女生人数为x人，男生人数为y人，可列方程组为．26．点点去文具店购买水笔和笔记本（水笔的单价相同，笔记本的单价相同）．已知购买3支水笔和2本笔记本，则需要支付12元，够买1支水笔和2本笔记本，则需要支付8元．若点点购买1支水笔和1本笔记本，则需要支付元．27．某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了80s，而他沿同一扶梯从底朝上走到顶只用了10s，那么此人不走动，乘该扶梯从底到顶所需的时间是s（该人上、下的速度不变，电梯向上移动的速度也不变）．28．一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是岁．29．如图所示，矩形ABCD被分成一些正方形，已知32=，则矩形的另一边AD=cm．AB cm30．在弹性限度内，弹簧总长()y kx b k=+，b为已知数）．当挂1kgx kg满足公式：(y cm与所挂物体质量()物体时，弹簧总长为6.3cm；当挂4kg物体时，弹簧总长为7.2cm．则公式中b的值为．三．解答题31．列二元一次方程：把一袋花生分给一群猴子，每只猴子分3粒，还剩下8粒．设有x粒花生，y只猴子．32．某校去年有学生1000名，今年比去年增加4.4%，其中寄宿学生增加了6%，走读学生减少了2%，问该校去年有寄宿学生与走读学生各多少名？33．为了鼓励市民节约用水，某市实行居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是居民“一户一表“生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（注：到户价格=自来水价格+污水处理费，如：超过30吨的部分的到户价格为3.600.60 4.20+=（元)，每户产生的污水量等于该户自来水用水量．)若小王家3月份用水25吨，交水费64.50元；4月份用水30吨，交水费81.00元．（1）求a，b；（2）随着夏天的到来，用水量将增加，为了节省开支，小王家计划把7月份的水费控制在家庭收入的1.5%．若小王的月收入为9600元，则小王家7月份可用水多少吨？34．某公司后勤部准备去超市采购牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如下表：（1）采购人员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，判断污渍盖住地方对应金额是元；（2）若后勤部购买牛奶25箱，咖啡20箱，则需支付金额1750元；①求牛奶与咖啡每箱分别为多少元？②超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次采购共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的14，则此次按原价采购的咖啡有箱．（直接写出答案）35．为了推进现代化教育，教育局决定给某区每所中学配备m台电脑，每所小学配备n台电脑．现有甲、乙两家企业愿意捐赠其结对的学校所需的电脑（结对学校数的情况如图），甲企业计划捐赠295台，乙企业计划捐赠305台．（1）求m，n的值．（2）现两家企业决定在计划购买电脑总金额1650000元不变的情况下，统一购买A，B两种型号电脑（单价如下表）．在实际购买时，商家给予打折优惠：A，B两种型号电脑分别打a折和b折(10a b ，a、b 都是整数），最后购进的电脑总数比计划多100台．求实际购买的A，B两种型号电脑各多少台．36．疫情期间，为保护学生和教师的健康，某学校用33000元购进甲、乙两种医用口罩共计1000盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒．（1）求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？（2）现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒，按照教育局要求，学校必须储备足够使用十天的口罩，该校师生共计800人，每人每天2个口罩，问购买的口罩数量是否能满足教育局的要求？37．小明妈妈开了一家网店，专门销售女式鞋子．一次，小明发现一张进货单上的一条信息：A款鞋的进价比B款鞋进价多40元，B款鞋的进价为每双160元．（1）小明在销售单上记录了两天的数据如下表：请问两种鞋的销售价分别是多少？（2）小明妈妈说：“两款鞋的利润率相同．”结合所给的信息，判断小明妈妈的说法是否正确，如果正确，请说明理由；如果错误，请给出一种调整售价的方案，使得两款鞋的利润率相同．38．工作人员从仓库领取如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，恰好使领取的纸板用完．（1）如表是工作人员四次领取纸板数的记录：①利用第一次领取的纸板能够制做竖式与横式纸盒各多少个？②仓库管理员在核查时，发现一次记录有误．请你判断第几次的记录有误，并说明理由；（2）若工作人员某次领取正方形纸板数为a张，长方形纸板数为3a张，请你求出利用这些纸板做出的竖式纸盒与横式纸盒个数的比值．39．如图，已知方格纸的每一横行中从第二（从左往右）个数起的数都比它左边相邻的数大m ，各竖列中从第二（从上往下）个数起的数都比它上边相邻的数大n ． （1）若8a =，12x =，9y =，求m ，n 的值； （2）若0w =，求x 与a 的数量关系．40．平价商场经销的甲，乙两种商品，甲种商品每件售价98元，利润率为40%；乙种商品每件进价80元，售价128元．（1）求甲种商品每件的进价；（利润率100%)-=⨯售价进价进价（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为3800元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对乙种商品进行如表的优惠促销活动：按表的优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款576元，求小华在该商场购买乙种商品多少件？41．今年，新型冠状病毒来势汹汹，疫情刻不容缓．某医用材料厂紧急召回放假的工人生产防病毒口罩，已知甲车间和乙车间共同生产3天可完成336万只，且甲车间比乙车间每天少生产56万只．（1）求甲车间和乙车间每天各生产防病毒口罩多少万只？（2）甲车间和乙车间准备共同完成840万只防病毒口罩的任务，在甲、乙车间合作生产了2天后，为了应对疫情的发展，医用材料厂的领导决定加快速度生产，结果余下的任务恰好用了5天完成，求该医用材料厂加快速度生产后的日产量比未加快速度的日产量多多少万只？42．用如图一中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图二的竖式和横式两种无盖纸盒，现在仓库里有1000张正方形纸板和2000张长方形纸板．（1）根据题意完成下表格．（2）问两种纸盒各做多少个，恰好将库存的纸板用完？43．阅读感悟：有些关于方程组的问题，需要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x ，y 满足35x y -=①，237x y +=②，求4x y -和75x y +的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x ，y 的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得42x y -=-，由①+②2⨯可得7519x y +=．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题：（1）已知二元一次方程组23173213x y x y +=⎧⎨+=⎩，则x y -= ，x y += ；（2）“战疫情，我们在一起”，某公益组织计划为老年公寓捐赠一批防疫物资．已知购买20瓶消毒液、3支测温枪、2套防护服共需1180元；购买30瓶消毒液、2支测温枪、8套防护服共需2170元，若该公益组织实际捐赠了100瓶消毒液、10支测温枪、20套防护服，则购买这批防疫物资共需多少元？（3）对于实数x ，y ，定义新运算：*x y ax by c =-+，其中a ，b ，c 是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*515=，4*728=，那么求1*1的值．44．我市某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是17040的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材cm cm（不计损耗），如图甲．（单位：)cm（1）列出方程（组)，求出图甲中a与b的值；（2）在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B 型板材做侧面和底面，做成图乙的竖式（高大于长）与横式（长大于高）两种无盖礼品盒．①两种裁法共生产A型板材张，B型板材张；②能否在做成若干个上述的两种无盖礼品盒后，恰好把①中的A型板材和B型板材用完？若能，则竖式无盖礼品盒与横式无盖礼品盒分别做了几个？若不能，则最多能做成竖式和横式两种无盖礼品盒共多少个？并直接写出此时做成的横式无盖礼品盒的个数．45．目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．天府新区某校欲购置规格分别为300ml和500ml 的甲、乙两种免洗手消毒液共300瓶，其中甲消毒液15元/瓶，乙消毒液20元/瓶．（1）如果购买这两种消毒液共5550元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（2）在（1）的条件下，若该校在校师生共1320人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，则这批消毒液可使用多少天？二元一次方程组应用参考答案与试题解析一．选择题1．根据“x 减去y 的差的8倍等于8”的数量关系可列方程( )A ．88x y -=B ．8()8x y -=C ．88x y -=D ．88x y -=⨯【分析】关键描述语是：差的8倍等于8，应先表示出x 与y 的差．【解答】解：根据x 减去y 的差的8倍等于8，得方程8()8x y -=．故选：B ．【点评】能够正确理解运算顺序，注意代数式的正确书写．2．某影院昨天甲，乙两种电影票共售出203张，甲票售出x 张，每张35元，乙票每张20元，票房总额y ，则( )A ．1540600x y -+=B ．1540600x y -+=C ．1540600x y ++=D ．1540600x y --=【分析】根据总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：3520(203)y x x =+-，整理，得：1540600x y -+=．故选：A ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．3．一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程少40千米．如果设轿车平均速度为a 千米/小时，卡车的平均速度为b 千米/小时，则( )A ．2340a b =+B ．3240b a =-C ．2340a b =-D ．3402b a =-【分析】根据“路程=速度⨯时间”，分别计算出轿车行驶2小时的路程和卡车行驶3小时的路程，结合“一辆轿车行驶2小时的路程比一辆卡车行驶3小时的路程少40千米”，列式整理后即可得到答案．【解答】解：根据题意得：轿车行驶2小时的路程为：2a ，卡车行驶3小时的路程为：3b ，轿车行驶2小时的路程比卡车行驶3小时的路程少40千米，3240b a ∴-=，整理得：3240b a =+，2340a b =-，故选：C ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确找出等量关系，列出二元一次方程是解题的关键．4．某次知识竞赛共有20道题，规定：每答对一题得5+分，每答错一题得3-分，不答的题得1-分．已知欢欢这次竞赛得了72分，设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则()A．5372x y-=B．5372x y+=C．6292x y-=D．6292x y+=【分析】直接根据题意表示出不答的题为(20)x y--道，根据每答对一题得5+分，每答错一题得3-分，不答的题得1-分表示出总分72=，进而得出答案．【解答】解：设欢欢答对了x道题，答错了y道题，则：53(20)72x y x y----=，整理得：6292x y-=．故选：C．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程，正确表示出实际得分是解题关键．5．为了表彰品学兼优的育才学子，黄老师用280元买了甲、乙两种图书，甲图书每本40元，乙图书每本60元，且乙图书比甲图书少买了2本，黄老师买甲、乙两种图书各多少本？设黄老师买了甲图书x本，乙图书y本，则可列方程组为()A．40602802x yx y+=⎧⎨=+⎩B．40602802y xx y+=⎧⎨=+⎩C．40602802x yx y+=⎧⎨=-⎩D．40602802y xx y+=⎧⎨=-⎩【分析】根据购买两种图书共用了280元且乙图书比甲图书少买了2本，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意得：40602802x yx y+=⎧⎨=+⎩．故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．6．中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？“译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金x两、y两，依题意，可列出方程组为()A．5210258x yy x+=⎧⎨+=⎩B．5210258x yx y+=⎧⎨+=⎩C．2510258x yy x+=⎧⎨+=⎩D．2510258x yx y+=⎧⎨+=⎩【分析】根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意得：5210 258x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．7．明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为()A．83000x yx y+=⎧⎨=⎩B．8300035x yx y+=⎧⎨=⎩C．8300053x yx y+=⎧⎨=⎩D．3583000x yx y+=⎧⎨=⎩【分析】由用于生产笔管和笔套的短竹的数量结合生产的笔管总数=笔套的总数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意，得：83000 35x yx y+=⎧⎨=⎩．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．8．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三；问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，可列方程组为()A．54573y xy x=+⎧⎨=+⎩B．54573y xy x=-⎧⎨=+⎩C．54573y xy x=+⎧⎨=-⎩D．54573y xy x=-⎧⎨=-⎩【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．【解答】解：依题意，得：54573y xy x=+⎧⎨=-⎩．故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．我国古代算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马价x两，牛价y两，可列方程组为()A．46483538x yx y+=⎧⎨+=⎩B．43486538x yx y+=⎧⎨+=⎩C．64485338x yx y+=⎧⎨+=⎩D．46485338x yx y+=⎧⎨+=⎩【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两”列出方程组即可．【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：4648 3538x yx y+=⎧⎨+=⎩．故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．10．甲、乙两水池现共贮水40t，如果甲池进水4t，乙池进水8t，那么甲池水量等于乙池水量，则甲、乙两水池原先各自的贮水量是()A．甲22t，乙18t B．甲23t，乙17t C．甲21t，乙19t D．甲24t，乙16t【分析】设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t．根据等量关系：①两水池共贮水40t；②如果甲池进水4t，乙池进水8t，那么甲池水量等于乙池水量，列方程组求解．【解答】解：设甲水池原先的贮水量是x t，乙水池原先的贮水量是y t，根据题意得4048x y x y +=⎧⎨+=+⎩， 解得2218x y =⎧⎨=⎩． 答：甲水池原先的贮水量是22t ，乙水池原先的贮水量是18t ．故选：A ．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到正确的等量关系列方程组是解决应用题的关键，能够熟练运用加减消元法解方程组．11．小明到文具店购买文具，他发现若购买4支钢笔、2支铅笔、1支水彩笔需要50元，若购买1支钢笔、3支铅笔、4支水彩笔也正好需要50元，则购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔需要( )A ．10元B ．20元C ．30元D ．不能确定【分析】设购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔分别需要x 、y 、z 元，根据题意得：42503450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②，①+②得：555100x y z ++=，所以20x y z ++=，从而确定正确的选项．【解答】解：设购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔分别需要x 、y 、z 元，根据题意得：42503450x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩①②， ①+②得：555100x y z ++=，所以20x y z ++=，故选：B ．【点评】考查了三元一次方程组的知识，解题的关键是发现方程组中三个未知量的关系并巧妙的求得x y z ++的值，难度不大．12．同型号的甲、乙两辆车加满气体燃料后均可行驶210km ，它们各自单独行驶并返回的最远距离是105km ．现在它们都从A 地出发，行驶途中停下来从甲车的气体燃料桶抽一些气体燃料注入乙车的气体燃料桶，然后甲车再行驶返回A 地，而乙车继续行驶，到B 地后再行驶返回A 地．则B 地最远可距离A 地( )A ．120kmB ．140kmC ．160kmD ．180km【分析】设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，根据题意得关于x 和y 的二元一次方程组，求解即可．【解答】解：设甲行驶到C 地时返回，到达A 地燃料用完，乙行驶到B 地再返回A 地时燃料用完，如图：设AB xkm =，AC ykm =，根据题意得：222102210x y x y x +=⨯⎧⎨-+=⎩， 解得：14070x y =⎧⎨=⎩． ∴乙在C 地时加注行驶70km 的燃料，则AB 的最大长度是140km ．或者：设AC ykm =即可，从甲车的角度考虑问题，甲车给乙车注入燃料，要想最远，需满足以下两个条件：①注满乙车；②刚好够甲车从C 回到A ．从A 到C ，甲、乙两车都行驶了AC ，即乙车行驶ykm ，也即甲车注入燃料量可行驶ykm ，注入后甲车剩余油量可行驶ykm （刚好返回A 地），所以对于甲车，210y y y ++=，所以70y =．从乙车角度，从C 出发是满燃料，所以AB 为：105702140()km +÷=． 故选：B ．【点评】本题考查了二元一次方程组在行程问题中的应用，理清题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键．13．某口罩厂要在规定时间内完成口罩生产任务，需要对现有的10台设备进行升级，若升级其中3台，则离生产任务还差8万个；若升级其中7台，则离生产任务还差2万个，如果升级所有设备，则该厂口罩生产任务的完成情况为( )A ．还差1万个B ．恰好完成任务C ．超出1万个D ．超出2.5万个【分析】设每台旧设备规定时间内生产口罩x 万个，每台升级后的新设备规定时间内生产口罩y 万个，总任务为m 万个，根据题意得二元一次方程组，得出10 2.5y m =+，即可得出结果．【解答】解：设每台旧设备规定时间内生产口罩x 万个，每台升级后的新设备规定时间内生产口罩y 万个，总任务为m 万个，根据题意得：738372x y m x y m +=-⎧⎨+=-⎩， 解得：10 2.5y m =+，10 2.5 2.5y m m m ∴-=+-=（万个）， ∴升级所有设备，超出完成口罩生产任务2.5万个，故选：D ．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，设出未知数，由题意得出二元一次方程组是解题的关键．。
中考数学复习考点题型专题练习3---《二元一次方程组实际应用》(解析版)
保护环境 决定 台全 混合动力 8．为了
，某市公交公司 购买一批共 10 新的
公交车，现有 A、B
台 省油 两种型号，其中每 的价格，年 量如表：
A
B
台 价格（万元/ ）
a
b
节省的油量（万升/年•台）
.2 4
2
经调查 台 台 台 台 ，购买一 A 型车比购买一 B 型车多 20 万元，购买 2 A 型车比购买 3 B 型
（1）请求出 a 和 b 的值．
（2）小明家离电影院有 7 千米，他有 15 元，请问他的钱够吗？如果不够，还差多少．
米 环形跑道 点 发 匀速运动 反向而 17．在 400 的
上，甲、乙两人从同一起 同时出 做
，若
行，40
秒后 遇 向而 秒后 追 两人第一次相 ；若同 行，200 甲第一次 上乙．
速度吗 （1）你能求出甲、乙两人的
？
（2）若甲乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲乙的方向一致，出发后 20 秒
追 丙 发后 秒 追 丙 发 丙 米 丙 速度 甲 上 ，出 100 乙 上 ，请问出 时， 在甲乙前方多少 ？ 的 是多
少？
图 宽 形被 割 块 除 块外 余 块 18．如 ，长为 60cm， 为 xcm 的大长方 分 为 10 ， A、B 两 ，其 8 是
元；
自己 提 提 金 手 （2）小亮用 的微信账户共 现 3 次，3 次 现 额和 续费分别如下：
提 第一次 现
提 第二次 现
提 第三次 现
提 金现 额（元）
a
b
+3a 2b
手续费（元）
0
.0 4
.3 4
① 程 关知识 用二元一次方 组的相
二元一次方程组的应用——调配问题(解析版)
二元一次方程组的应用——调配问题列方程（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知是什么，求什么，明确各数量之间关系；②找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为未知数）；④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程；⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值；⑥验：检验所求解是否符合题意；⑦答：写出答案（包括单位名称）．一、选择题1、每个木工一天能装双人课桌（一张课桌配两把椅子）4张或单人椅子10把，现有木工9人，怎样分配工作才能使一天装配的课桌与椅子配套？设安排x个木工装配课桌，y个木工装配椅子，则下列方程组正确的（）．A.92410x yx y+=⎧⎨⨯=⎩B.9420x yx y+=⎧⎨=⎩C.94x yx y+=⎧⎨=⎩D.9410x yx y+=⎧⎨=⎩2、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可做盒身25个，或做盒底40个，一个盒身与两个盒底配成一套罐头盒．现有36张白铁皮，用多少张制盒身，多少张制盒底可以使盒身与盒底正好配套？①设用x张制盒身，可得方程2×25x=40（36-x）；②设用x张制盒身，可得方程25x=2×40（36-x）；③设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组36 22540x yx y+=⎧⎨⨯=⎩；④设用x张制盒身，y张制盒底，可得方程组3625240x yx y+=⎧⎨=⨯⎩；其中正确的是（）．A. ①④B. ②③C. ②④D. ①③3、某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人；设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（）．A.7385y xy x=+⎧⎨+=⎩B.7385y xy x=+⎧⎨-=⎩C.7385y xy x=-⎧⎨=+⎩D.7385y xy x=+⎧⎨=+⎩4、根据市场调查，某种消毒液的大瓶装（500 g）和小瓶装（250 g）的销售瓶数的比为2:5．已知每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大小两种产品多少瓶？设分装大小瓶两种产品分别为x 和y 瓶，则可列方程组为（ ）．A. 2550025022.5y x x y =⎧⎨+=⎩B. :5:250025022.5x y x y =⎧⎨+=⎩C. 2550025022500000y x x y =⎧⎨+=⎩D. :5:250025022500000x y x y =⎧⎨+=⎩5、有大小两种货车，2辆大货车与3辆小货车一次可以运货15.5吨，5辆大货车与6辆小货车一次可以运货35吨，设一辆大货车一次可以运货x 吨，一辆小货车一次可以运货y 吨，根据题意所列方程组正确的是（ ）．A. 2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩B. 23355615.5x y x y +=⎧⎨+=⎩C. 3215.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩D. 2315.56535x y x y +=⎧⎨+=⎩6、某中学计划租用若干辆汽车运送七年级学生外出进行社会实践活动，如果一辆车乘坐45人，那么有35名学生没有车坐；如果一辆车乘坐60人，那么有一辆车只坐了35人，并且还空出一辆车．设计划租用x 辆车，共有y 名学生．则根据题意列方程组为（ ）．A. ()453560235x yx y -=⎧⎨-=-⎩B. ()453560235x y x y =-⎧⎨-+=⎩C. ()453560135x yx y+=⎧⎨-+=⎩D. ()453560235x y y x =+⎧⎨--=⎩二、填空题7、一批宿舍，若每间住1人，则10人无法安排；若每间住3人，则有10间无人住，这批宿舍有______间．8、工人甲一分钟可生产螺丝3个或螺丝帽9个，工人乙一分钟可生产螺丝2个或螺丝帽6个．现在两人各花了20分钟，共生产螺丝和螺丝帽134个．生产的螺丝比螺丝帽多______个．9、某服装厂要生产一批同样型号的运动服，已知每3米长的某种布料可做2件上衣或3条裤子，现有此种布料600米，请你帮助设计一下，用______米布料做上衣，才能恰好生产出成套的运动服．10、《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问：牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两．问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金x两，每只羊值金y两，可列方程组为________________________．11、有一些苹果及苹果箱，若每箱装25千克，则剩余40千克无处装，若每箱装30千克，则余20只空箱，则共有______千克苹果，______个苹果箱．12、某中学组织七年级学生春游，原计划用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样多60座客车，则多出1辆车，且其余客车恰好坐满，已知45座客车日租金为每辆220元，60座客车日租金为300元，则七年级人数为______，原计划用45座客车______辆．三、解答题13、某车间的工人们要在一天内完成某种零件的生产任务，若每人生产25个零件，还差18个才完成任务；若每个生产27个零件，就可以超额完成12个．问车间有多少名工人？这批任务是多少个零件？14、列方程组解应用题：小明同学所在的学校为加强学生的体育锻炼，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（每个足球的价格相同，每个篮球的价格相同），若购买2个篮球和3个足球供需310元，购买5个篮球和2个足球共需500元．求每个篮球和足球各需多少元？15、漕运码头的游船有两种类型，一种有4个座位，另一种有6个座位．这两种游船的收费标准是：一条4座游船每小时的租金为60元，一条6座游船每小时的租金为100元．某公司组织38名员工到漕运码头租船游览，如果每条船正好坐满，并且1小时共花费租金600元，求该公司分别租用4座游船和6座游船的数量．16、用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制作盒身25个，或40个盒底，一个盒身与两个盒底配成一套盒．现有36张白铁皮，用多少张制作盒身，多少张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套？17、为了支援地震灾区，某市要将一批救灾物资运往灾区，运输公司准备使用甲、乙两种货车分三次完成此项任务，如果每辆车运的物资都正好达到保证安全的最大运载量，且前两次运输的情况如下表：（1）甲、乙两种货车的最大运载量分别为多少吨？（2）已知第三次使用了3辆甲种货车和4辆乙种货车刚好运完这批物资，问：第三次的物资共有多少吨？18、“五一”节日期间，某超市进行积分兑换活动，具体兑换方法见下表．爸爸拿出自己的积分卡，对小华说：“这里积有8200分，你去给咱家兑换礼品吧”．小华兑换了两种礼品，共10件，还剩下了200分，请问她兑换了哪两种礼品，各多少件？19、某旅行社组织一批游客外出旅游，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位．若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问：（1）这批游客的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车．（2）若租用同一种车，要使每位游客都有座位，应该怎样租用才合算．20、阅读小故事，并运用方程或方程组解答问题：杨损是唐朝的一位尚书，他有较高的文化知识，身居高官但不徇私情，能任人唯贤、量才录用官吏．约公元855年前后，据《唐阙史》记载：青州需要提拔两个小吏中的一个，但他们档案中的评语几乎完全相同，提拔谁呢？官员们便请教其上司杨损，损略加思考后说：“一个小吏的最大优点之一就是能熟练进行计算，我出一道数学题，二人中谁先求得正确答案就提拔谁．”两个小吏到来之后，杨损出了一道题：“有一天，几个盗贼正在商议怎样分配偷来的布匹，贼首说，如果每人分6匹，就会余下5匹，如果每人分7匹，又少8匹，这些话被躲在暗处的衙役听到了，他飞快跑去报告了知府，知府很快便派了与盗贼人数相应的警力去抓捕他们．聪明的你知道有盗贼几人，布几匹吗？”杨损出题后就命令两个小吏在大厅前的石阶上用算筹（古代计算工具）计算．不一会，其中一个小吏首先得出正确答案，被提拔．众官员都心悦诚服，很赞赏这种用人方法．同学们，杨损考小吏的题，请你列方程或方程组来求解．21、现用190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或做22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整的盒子，用多少张铁皮做盒身，多少张铁皮做盒底，可以正好制成一批完整的盒子？22、某车间有工人56名，生产一种螺栓和螺母，每人每天平均能生产螺栓24个或螺母36个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套？23、某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成，每个工人每天可以加工A部件1000个或者加工B部件600个，现有工人16名，应怎样安排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？24、某中学2012年通过“废品回收”活动筹集钱款资助山区贫困中、小学生共23名，资助一名中学生的学习费用需a元，一名小学生的学习费用需b元，各年级学生筹款数额及其恰好资助中，小学生人数的部分情如下表：（1）求a，b的值．（2）初三年级学生筹集的款项解决了其余贫困中小学生的学习费用，求出初三年级学生资助的贫困中、小学生人数．25、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，《孙子算经》共有三卷，第三卷里有一题：“今有兽，六首四足；禽，四首二足，上有七十六兽，下有四十六足，问：禽，兽各几何？”译文“现在有一种野兽，长有六头四足；有一种鸟，长有四头两足，把它们放一起，共有76头，46足．问野兽、鸟各有多少只？”26、小芳家准备装修一套新住房，若甲乙两个装修公司合作，需要6周完成，共需要装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需要装修费4.8万元，小芳的父母商量后决定只选一个公司单独完成．（1）如果从节约时间的角度考虑应选那家公司？（2）如果从节约开支的角度考虑呢？请说明理由．27、“阳光”游泳馆为促进全民健身，2016年开始推行会员卡制度，标准如下表：（1）“阳光”游泳馆2016年5月销售A，B会员卡共104张，售卡收入14200元，请问这家游泳馆当月销售A，B会员卡各多少张？（2）小丽准备在“阳光”游泳馆购买会员卡，请你根据小丽游泳的次数，说明选择哪种会员卡最省钱．28、面对资源紧缺与环境保护问题，发展电动汽车成为汽车工业发展的主流趋势．我国某著名汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（2）如果工厂招聘m（0＜m＜10）名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发8000元的工资，给每名新工人每月发4800元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能的少？参考答案一、选择题 1、答案：A解答：设x 个木工装配课桌，y 个木工装配椅子，由题意得，92410x y x y +=⎧⎨⨯=⎩．2、答案：D解答：设用x 张制盒身，可得方程2×25x =40（36-x ）；故①正确；②错误； 设用x 张制盒身，y 张制盒底，可得方程组3622540x y x y +=⎧⎨⨯=⎩；故③正确；④错误；选D. 3、答案：C解答：根据组数×每组7人=总人数-3人，得方程7y =x -3；根据组数×每组8人=总人数+5人，得方程8y =x +5． 列方程组为7385y x y x =-⎧⎨=+⎩选C. 4、答案：C解答：设应该分装大小瓶两种产品分别为x 和y 瓶，则有：:2:550025022500000x y x y =⎧⎨+=⎩①②，由①得：2y =5x ． 选C. 5、答案：A解答：根据题意可得A 选项2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩.符合题意．6、答案：B解答：设计划租用x 辆车，共有y 名学生，由题意得，()453560235x yx y +=⎧⎨-+=⎩．二、填空题 7、答案：20解答：设这批宿舍有x 间，共有y 人．根据题意，得()10310x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解，得2030x y =⎧⎨=⎩． 则这批宿舍有20间．故答案为：20．8、答案：32解答：设甲用x 分钟生产螺丝，（20-x ）分钟生产螺丝帽，乙用y 分钟生产螺丝，（20-y ）分钟生产螺丝帽，由题意得，3x +9（20-x ）+2y +6（20-y ）=134，整理得：3x +2y =83，则生产的螺丝比螺丝帽多：3x -9（20-x ）+2y -6（20-y ）=12x +8y -300，∵3x +2y =83，∴12x +8y -300=4×83-300=32（个）．故答案为：32．9、答案：360解答：设做上衣用的面料为x 米，做裤子用的面料为y 米， 由题意得：6002333x y x y +=⎧⎪⎨⨯=⨯⎪⎩， 解得：x =360．即用360米布料做上衣，才能恰好生产出成套的运动服．10、答案：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩解答：根据题意得：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，故答案为：5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．11、答案：3240；128解答：设共有x 千克苹果，y 个苹果箱．根据题意，得()25403020y x y x +=⎧⎨-=⎩， 解得3240128x y =⎧⎨=⎩．则共有3240千克苹果，128个苹果箱．12、答案：240；5解答：设七年级人数为x 人，原计划租车y 辆，则，45156060y x y x +=⎧⎨-=⎩， 解得2405x y =⎧⎨=⎩，故答案为：240；5．三、解答题13、答案：15名工人393个零件．解答：设有x 名工人，有y 个零件，由题意可列方程组为25182712x y x y+=⎧⎨-=⎩，解得15393x y =⎧⎨=⎩， 答：有15名工人，393个零件．14、答案：每个篮球80元，每个足球50元．解答：设每个篮球x 元，每个足球y 元，由题意得，2331052500x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：8050x y =⎧⎨=⎩，答：每个篮球80元，每个足球50元．15、答案：租用4座游船5条，租用6座游船3条．解答：设租用4座游船x 条，租用6座游船y 条，根据题意得：463860100600x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：53x y =⎧⎨=⎩．答：租用4座游船5条，租用6座游船3条．16、答案：用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套．解答：设用x 张制作盒身，y 张制作盒底，根据题意得：①②3622540x y x y +=⎧⎨⨯=⎩①②， 由①得x =36-y ③，③代入②，得50（36-y ）=40y ，解得y =20，把y =20代入③，得x =16．∴原方程组的解为1620x y =⎧⎨=⎩． 答：用16张制作盒身，20张制作盒底可以使盒身与盒底正好配套．17、答案：（1）甲、乙两种货车的最大运载量分别为2.5吨和3吨．（2）第三次的物资共有19.5吨．解答：（1）设甲、乙两种货车的最大运载量分别为x 吨，y 吨，由题意得：23146530x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得 2.53x y =⎧⎨=⎩． 答：甲、乙两种货车的最大运载量分别为2.5吨和3吨．（2）第三次的物资共有3x +4y =3×2.5+4×3=19.5（吨），答：第三次的物资共有19.5吨．18、答案：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏．解答：因为积分卡中只有8200分，要兑换10件礼品，所以不能选择兑换电茶壶． 设小华兑换了x 个保温杯和y 支牙膏，依题意，得1020005008200200x y x y +=⎧⎨+=-⎩， 解得28x y =⎧⎨=⎩．答：小华兑换了2个保温杯和8支牙膏．19、答案：（1）这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆．（2）租用4辆60座客车更合算．解答：（1）设这批游客的人数是x 人，原计划租用45座客车y 辆．根据题意，得()4515601y x y x +=⎧⎨-=⎩， 解这个方程组，得2405x y =⎧⎨=⎩．这批游客的人数240人，原计划租45座客车5辆．（2）租45座客车：240÷45≈5.3（辆），所以需租6辆，租金为220×6=1320（元）， 租60座客车：240÷60=4（辆），所以需租4辆，租金为300×4=1200（元）．1200＜1320租用4辆60座客车更合算．20、答案：有盗贼13个，布匹83匹．解答：设盗贼x 人，布y 匹，∴6578x y x y+=⎧⎨-=⎩，∴1383x y =⎧⎨=⎩，答：有盗贼13个，布匹83匹．21、答案：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底，可以正好制成一批完整的盒子． 解答：设x 张铁皮做盒身，y 张铁皮做盒底，根据等量关系（1），盒身的个数×2=盒底的个数，可得：2×8x =22y ；根据等量关系（2），制作盒身的铁皮张数+制作盒底的铁皮张数=190，可得x +y =190， 故可得方程组1902822x y x y+=⎧⎨⨯=⎩，解得：11080x y =⎧⎨=⎩， 答：用110张铁皮做盒身，80张铁皮做盒底，可以正好制成一批完整的盒子．22、答案：24人生产螺栓，32人生产螺母．解答：设应分配x 人生产螺栓，y 人生产螺母，才能使一个螺栓配2个螺母刚好配套，根据题意得，5636224x y y x+=⎧⎨=⨯⎩， 解得2432x y =⎧⎨=⎩． 答：应分配24人生产螺栓，32人生产螺母．23、答案：安排6人生产A 部件，安排10人生产B 部件．解答：设安排x 人生产A 部件，安排y 人生产B 部件，由题意，得：161000600x y x y +=⎧⎨=⎩， 解得：610x y =⎧⎨=⎩．答：安排6人生产A 部件，安排10人生产B 部件，才能使每天生产的A 部件和B 部件配套．24、答案：（1）800600a b =⎧⎨=⎩．（2）九年级捐助的贫困中学生4人，小学生7人．解答：（1）依题意得244000334200a b a b +=⎧⎨+=⎩， 解得800600a b =⎧⎨=⎩．（2）设九年级捐助的贫困中学生x 人，小学生y 人，根据题意得8006007400232433x y x y +=⎧⎨+=----⎩， 解得47x y =⎧⎨=⎩， 答：九年级捐助的贫困中学生4人，小学生7人．25、答案：兽有8只，鸟有7只．解答：设兽有x 只，鸟有y 只，由题意列方程组为①②64764246x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， ①÷2-②得，-x =-8，x =8，将x =8代入②得y =7，∴方程组的解为87x y =⎧⎨=⎩，答：兽有8只，鸟有7只．26、答案：（1）从节约时间角度考虑应选甲公司．（2）从节约开支角度考虑应选乙公司．解答：（1）设甲公司的工作效率为x ，乙公司的工作效率为y ．依题意列方程组，得661491x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组，得110115x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以，甲公司单独做需10周，乙公司单独做需15周．答：从节约时间角度考虑应选甲公司．（2）设甲一周的装修费是m 万元，乙一周的装修费是n 万元．依题意列方程组，得66 5.249 4.8m n m n +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得35415m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 甲单独做的装修费：35×10=6（万元）， 乙单独做的装修费：415×15=4（万元）， 答：从节约开支角度考虑应选乙公司．27、答案：（1）这家游泳馆当月销售A 会员卡44张，B 会员卡60张．（2）当小丽游泳30次时，两会员卡消费相同；当小丽游泳少于30次时，选择A 会员卡省钱；当小丽游泳多于30次时，选择B 会员卡省钱．解答：（1）设这家游泳馆当月销售A 会员卡x 张，B 会员卡y 张．根据题意列方程组，得：1045020014200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解这个方程组，得4460x y =⎧⎨=⎩．答：这家游泳馆当月销售A 会员卡44张，B 会员卡60张．（2）设小丽游泳的次数为a 次，情况1：若两种会员卡消费相同，则50+25a =200+20a ，解得a =30．情况2：若A 会员卡省钱，则50+25a ＜200+20a ，解得a ＜30．情况3：若B 会员卡省钱，则50+25a ＞200+20a ，解得a ＞30．综上，当小丽游泳30次时，两会员卡消费相同；当小丽游泳少于30次时，选择A 会员卡省钱；当小丽游泳多于30次时，选择B 会员卡省钱．28、答案：（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车．（2）工厂有4种新工人的招聘方案．①新工人8人，熟练工1人；②新工人6人，熟练工2人；③新工人4人，熟练工3人；④新工人2人，熟练工4人．（3）工厂应招聘4名新工人．解答：（1）设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车．根据题意，得：28 2314 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：42 xy=⎧⎨=⎩．答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车．（2）设工厂有a名熟练工．根据题意，得12（4a+2m）=240，2a+m=10，∴m=10-2a，又a，m都是正整数，0＜m＜10，∴m=8，6，4，2．即工厂有4种新工人的招聘方案．①m=8，a=1，即新工人8人，熟练工1人；②m=6，a=2，即新工人6人，熟练工2人；③m=4，a=3，即新工人4人，熟练工3人；④m=2，a=4，即新工人2人，熟练工4人．（3）结合（2）知：要使新工人的数量多于熟练工，则m=8，a=1；或m=6，a=2；或m=4，a=3．根据题意，得：W=8000a+4800m=8000a+4800（10-2a）=48000-1600a．要使工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少，则a应最大．显然当m=4，a=3时，工厂每月支出的工资总额W（元）尽可能地少．。
专题11 二元一次方程实际应用的三种考法(解析版)(北师大版)
专题11二元一次方程实际应用的三种考法类型一、方案问题例．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a 元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a 的值．【答案】(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．(2)8种(3)a 的值为150．【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；（3）用（2）中未知数和a 列出利润计算式，根据m 的值不影响利润结果得到含m 的项系数为0，求出a 即可．【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x 元，乙型号手机每部进价为y 元．依题意，得256000324600x y x y +=⎧⎨+=⎩．解得1000800x y =⎧⎨=⎩．答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．（2）设购进甲型号手机m 部，则购进乙型号手机()20m -部．依题意，得178001000800(20)19200m m ≤+-≤，解得916m ≤≤．又m 为整数，m 可以为9，10，11，12，13，14，15，16．∴有8种进货方案．（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则()()()()150010001450800201501300020m a m a m a-+---=-+-．（2）中每种方案获利相同，∴利润计算式中不能有含m 的项，1500a ∴-=．150a ∴=．答：a 的值为150．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m 无关，则含有m 的项中，m 的系数为0．【变式训练1】某商店出售普通练习本和精装练习本，150本普通练习本和100本精装练习本销售总额为1450元；200本普通练习本和50本精装练习本销售总额为1100元．(1)求普通练习本和精装练习本的销售单价分别是多少？(2)该商店计划再次购进500本练习本，普通练习本的数量不低于精装练习本数量的3倍，已知普通练习本的进价为2元/个，精装练习本的进价为7元/个，设购买普通练习本x 个，获得的利润为W 元；①求W 关于x 的函数关系式②该商店应如何进货才能使销售总利润最大？并求出最大利润．【答案】(1)普通练习本：3元；精装练习本：10元(2)21500w x =-+①；②普通练习本进375本，精装练习本进125本，利润最大，最大为750元【分析】（1）设普通练习本的销售单价为m 元，精装练习本的销售单价为n 元，根据等量关系式：150本普通练习本销售总额100＋精装练习本销售额1450=元；200本普通练习本销售额50+精装练习本销售额1100=元，列出方程，解方程即可；（2）①购买普通练习本x 个，则购买精装练习本()500x -个，根据总利润=普通练习本获得的利润+精装练习本获得的利润，列出关系式即可；②先求出x 的取值范围，根据一次函数的增减性，即可得出答案．【详解】（1）解：设普通练习本的销售单价为m 元，精装练习本的销售单价为n 元，根据题意得：1501001450200501100m n m n +=⎧⎨+=⎩，【答案】12.6/3125/635【分析】设姐姐，弟弟的步行速度为根据姐姐步行路程加上爸爸一个人骑车路程等于弟弟坐车路程，路程等于6.6km列方程，可求出x12k ∴<，312k ∴≤<，当3k =时，811239x y +-=，解得13x y =⎧⎨=⎩，满足2y x ≥+和17x ≤≤，39y ≤≤，符合题意，当4k =时，811252x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当5k =时，811265x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当6k =时，811278x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当7k =时，811291x y +-=，解得：27x y =⎧⎨=⎩，满足2y x ≥+和17x ≤≤，39y ≤≤，符合题意，当8k =时，8112104x y +-=，解得：56x y =⎧⎨=⎩，不满足2y x ≥+，不符合题意，当9k =时，8112117x y +-=，此方程无符合题意的x ，y 的正整数解，当10k =时，8112130x y +-=，解得：114x y =⎧⎨=⎩，不满足17x ≤≤，不符合题意，当11k =时，8112143x y +-=，解得143x y =⎧⎨=⎩，不满足17x ≤≤，不符合题意，13x y =⎧∴⎨=⎩或27x y =⎧⎨=⎩，130m ∴=或273m =，()F m ∴的值为4或12，()F m ∴的最大值是12，故答案位：8，12．【点睛】本题考查整式的加减，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，求出使8112x y +-是13的倍数的正整数x ，y 的值．4．“红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中咏诵的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲，乙两种水稻，若种植20亩甲种水稻和30亩乙种水稻，共需投入22万元；若种植30亩甲种水稻和20亩乙种水稻，共需投入23万元．(1)种植甲，乙两种水稻，每亩各需投入多少万元？（2）由题意可知：0.40.220a b +=，∴1002(1045)b a a =-≤≤；（3）当1030a ≤<时，此时4080b <≤，∴200.812(1002)0.8960w a a a =+⨯-=+，∵0.80>，∴w 随a 的增大而增大，∴当10a =时，w 有最小值，此时0.810960968w =⨯+=；当3035a ≤≤时，此时3040b ≤≤，∴0.9200.812(1002) 1.2960w a a a =⨯+⨯-=-+，∵ 1.20-<，∴w 随a 的增大而减小，∴当35a =时，w 有最小值，此时918w =；当3545a <≤时，此时1030b <≤，∴0.92012(1002)61200w a a a =⨯+-=-+，∵60-<，∴w 随a 的增大而减小，当45a =时，w 有最小值，此时6451200930w =-⨯+=．答：选购A 型号机器人35台时，总费用w 最少，此时需要918万元．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一次函数的应用，正确找出题中的等量关系并熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．。
二元一次方程组应用题经典题(解析版)
实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等.知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2) ；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售（.例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息×(1－利息税率)⑤年利率＝月利率×12⑥月利率=年利率1.12注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：n 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；③注意用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； 关系时，应注意挖掘隐含的条件；⑥列方程组解应用题一定要注意检验.方程组⑤在寻找等量类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程. (2)有两个等量关系：①相向而行：汽车行驶 11小时的路程＋拖拉机行驶11小时的路程＝160千米;33②同向而行：汽车行驶 1小时的路程＝拖拉机行驶1 1 小时的路程.22解：设汽车的速度为每小时行 千米，拖拉机的速度为每小时千米.4 x y 160,3x 90,根据题意，列方程组11 解这个方程组，得: 30x 1y 2y2901 1 165,30 1 1 185.1 21 233答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360 元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作总量设为1，也可设为a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析.【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱 5.2 万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B（注：获利进价（元/件）1200售价（元/件）1380=售价—进价）求该商场购进A、B10001200两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为 2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后xx2.25%yy2.25%80%2042.75 解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华:我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000 元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等.各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条.现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题6.某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年x y200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析.【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y千顶，由题意得：xy9,x5,1.6x1.5y14，解得：4y所以：1.6x=1.6 5=8,1.5y=1.5 4=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶.【变式1】(2011年北京门头沟区中考一模试题)“地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多男孩与女孩各有多少人吗？.如果每位男1倍，你知道类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x＋y问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：100y＋x解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数.类型九：列二元一次方程组解决 ——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg ，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝ 50；（2） 混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种 溶液所含水的质量之和＝混合后溶液所含水的质量；（ 4）混合前两种溶液所含纯酒精之和 与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比 解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取 . xkg,ykg.依题意得：，答：甲取20kg ，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取 10xkg 和5ykg ，则甲种酒精溶液含水 7xkg ，乙种酒精溶液含水 ykg ，根据题意得：，所以10x=20,5y=30.答：甲取20kg ，乙取30kg总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了 题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么有时候需要设辅助未知数.举一反三：【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效.用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？.有时候需要设间接未知数， .列方程组解应用题，首先要设未知数，多数类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.举一反三：3厘米，补到较短【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）.【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨.但两种加工方式不能同时进行.受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题.本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.举一反三：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？。
二元一次方程(组)应用题专题讲解及练习(附答案)
实际问题与二元一次方程组（一） 要点一.常见的一些等量关系 1.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量. 2.产品配套问题：解这类问题的基本等量关系是：加工总量成比例.3.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量.4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价，=100% 利润利润率进价. 要点二.实际问题与二元一次方程组 1.列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题，是把“未知”转换成“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量：②同类量的单位要统一；③方程两边的数要相等.2.列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组）； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案．例题讲解题型一.和差倍分问题例1.电子商务的快速发展逐步改变了人们的生活方式，网购已悄然进入千家万户．李阿姨在淘宝网上花220元买了1个茶壶和10个茶杯，已知茶壶的单价比茶杯的单价的4倍还多10元．请问茶壶和茶杯的单价分别是多少元？【跟踪训练】根据如图提供的信息，可知一个热水瓶的价格是（ ）A ．7元B ．35元C ．45元D ．50元题型二.配套问题例2. 某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？【跟踪训练】某家具厂生产一种方桌，设计时13m的木材可做50个桌面或300条桌腿.现有103m的木材，怎样分配桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面和桌腿刚好配套，并指出可生产多少张方桌？（提示：一张方桌有一个桌面，4条桌腿）. 题型三.工程问题例3.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入合做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入合做，那么再做9天才能完成，问：两人每天各做多少个零件?题型4.利润问题例4.某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：类别/单价成本价销售价（元/箱）甲24 36乙33 48（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？【跟踪训练】王师傅下岗后开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王师傅分别购进甲乙两种商品各多少件吗专题练习（一）一、选择题1．有一些苹果箱，若每只装苹果25 kg，则剩余40 kg无处装；若每只装30 kg，则还有20个空箱，这些苹果箱有( ) .A．12只 B．6只 C．112只 D．128只2.幸福中学七年级学生到礼堂开会，若每条长椅坐5人，则少10条长椅，若每条长椅坐6人，则又多余2条长椅，设学生有x人，长椅有y条，依题意得方程组 ( ) .A．5105662x yx y=+⨯⎧⎨=-⨯⎩B．51062x yx y=-⎧⎨=+⎩C．5105662x yx y=-⨯⎧⎨=+⨯⎩D．51062x yx y=+⎧⎨=-⎩3.十一旅游黄金周期间，某景点举办优惠活动，成人票和儿童票均有较大折扣，王明家去了3个大人和4个小孩，共花了400元，李娜家去了4个大人和2个小孩，共花了400元，王斌家计划去3个大人和2个小孩，请你帮助他算一下，需要准备多少门票钱？（）A．300元 B．310元 C．320元 D．330元4.王力在一天内以每件80元的价格卖了两件上衣，其中一件赢利20％，一件赔了20％，则在这次买卖中他( ) .A．赔了10元 B．赚了10元C．赔了约7元 D．赚了约7元5.某车间有90名工人，每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个，已知一个螺栓配套两螺帽，应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺帽和生产螺栓的数分别为（）A．50人，40人 B．30人，60人C．40人，50人 D．60人，30人6.某校七年级(2)班40名同学为四川地震灾区捐款，共捐了100元，捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，若设捐款2元的有x名同学，捐款3元的有y名同学，根据题意，可列方程组( ) .A.272366x yx y+=⎧⎨+=⎩B．2723100x yx y+=⎧⎨+=⎩C.273266x yx y+=⎧⎨+=⎩D.2732100x yx y+=⎧⎨+=⎩二、填空题7．端午节时，王老师用72元钱买了荷包和五彩绳共20个．其中荷包每个4元，五彩绳每个3元，设王老师购买荷包x个，五彩绳y个，根据题意，列出的方程组是________．8．根据图中所给的信息，每件T恤和每瓶矿泉水的价格分别是元和元．9．一张试卷有25道题，做对一道得4分，做错一道扣1分，小明做了全部试题共得70分，则他做对了______道题.10．已知甲数的2倍比乙数大30，乙数的3倍比甲数的4倍少20，求甲、乙两数，若设甲、乙两数分别为x、y，可得方程组________，这两数分别为________．11．如图，3个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为9cm，8个纸杯整齐地叠放在一起，总高度约为14cm，则100个这样的纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________ cm．12．“六一”儿童节，某动物园的成人门票每张8元，儿童门票半价(即每张4元)，全天共售出门票3000张，共收入15600元，则这一天售出了成人票张儿童票张。
二元一次方程组的应用习题(带答案)
1.令狐采学【题文】班主任王老师为奖励表现出色的同学，用20元钱买来铅笔与中性笔共30•支作为奖品．已知铅笔的单价为0.50元，中性笔的单价为1元，问铅笔与中性笔各买了几支？设铅笔买了x支，中性笔买了y支，则可得方程组为_________．【答案】【解析】试题分析：根据等量关系：总价为20元，总数量为共30•支，即可列出方程组。
根据等量关系：总价为20元，可得方程，根据等量关系：总数量为共30•支，可得方程，则可得方程组为．考点：本题考查的是根据实际问题列二元一次方程组点评：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组．2.【题文】两袋水果共6千克，一袋苹果的价格是每千克4元，•一袋芒果的价格是每千克12元，共花费40元，则一袋苹果的质量为_______千克，一袋芒果的质量为_____千克．【答案】4，2【解析】试题分析：设一袋苹果的质量为x千克，一袋芒果的质量为y 千克，根据等量关系：总质量为6千克，总价为40元，即可列出方程组，解出即可。
设苹果每千克x元，芒果每千克y元，由题意得，解得，答：一袋苹果的质量为4千克，一袋芒果的质量为2千克．考点：本题考查了二元一次方程组的应用点评：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．3.【题文】现有56枚1角和5角的硬币，共有14•元，•问1•角、•5•角的硬币分别是______，_____枚．【答案】35，21【解析】试题分析：设1•角的硬币是x枚，5•角的硬币是y枚，根据等量关系：总数量为56枚，总价为14•元，即可列出方程组，解出即可．设1•角的硬币是x枚，5•角的硬币是y枚，由题意得，解得，答：1•角的硬币是35枚，5•角的硬币是21枚．考点：本题考查了二元一次方程组的应用点评：解答本题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．同时要注意统一单位。
—二元一次方程组篇(解析版)--中考数学必考考点总结+题型专训
知识回顾微专题二元一次方程组--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：二元一次方程组之相关概念：1.二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数是1的整式方程叫做二元一次方程。
2.二元一次方程组的定义：把两个二元一次方程组合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3.二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边成立的两个未知数的值叫做二元一次方程的一组解。
对于给定其中一个未知数的值总能求出另一个未知数的值。
所以二元一次方程的解成对出现，且无数对。
4.二元一次方程组的解：二元一次方程组中两个方程的公共解。
叫做二元一次方程组的解。
1．（2022•雅安）已知⎩⎨⎧==21y x 是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为．【分析】把x 与y 的值代入方程计算得到a +2b 的值，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：把代入ax +by ＝3得：a +2b ＝3，则原式＝2（a +2b ）﹣5＝2×3﹣5＝6﹣5＝1．故答案为：1．2．（2021•凉山州）已知⎩⎨⎧==31y x 是方程ax +y ＝2的解，则a 的值为．【分析】把方程的解代入方程，得到关于a 的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入到方程中得：a +3＝2，∴a ＝﹣1，故答案为：﹣1．3．（2021•金华）已知⎩⎨⎧==my x 2是方程3x +2y ＝10的一个解，则m 的值是．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到关于m 的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m ＝10，∴m ＝2，故答案为：2．4．（2021•浙江）已知二元一次方程x +3y ＝14，请写出该方程的一组整数解．【分析】把y 看作已知数求出x ，确定出整数解即可．【解答】解：x +3y ＝14，x ＝14﹣3y ，当y ＝1时，x ＝11，则方程的一组整数解为．故答案为：（答案不唯一）．5．（2021•台湾）若二元一次联立方程式⎩⎨⎧=-=1064x y yx 的解为x ＝a ，y ＝b ，则a +b 之值为何？（）A ．﹣15B ．﹣3C ．5D ．25【分析】运用加减消元法求出方程组的解，即可得到a ，b 的值，再求a +b 即可．【解答】解：，①+②得：6y ＝4y +10，∴y ＝5，把y ＝5代入①得：x ＝20，∴a +b ＝x +y ＝20+5＝25，故选：D ．6．（2021•无锡）若x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=-=-24732y x y x ，则x +y ＝．知识回顾【分析】把方程组的两个方程的左右两边分别相减，求出x +y 的值即可．【解答】解：，①﹣②，可得：（2x ﹣3y ）﹣（x ﹣4y ）＝7﹣2，∴x +y ＝5．故答案为：5．7．（2021•遵义）已知x ，y 满足的方程组是⎩⎨⎧=+=+73222y x y x ，则x +y 的值为．【分析】将方程组中的两个方程直接相减即可求解．【解答】解：，②﹣①得，x +y ＝5，故答案为5．8．（2021•枣庄）已知x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+-=+32134y x y x ，则x +y 的值为．【分析】用加减消元法解二元一次方程组，然后求解．【解答】解：方法一：，①﹣②，得：2x +2y ＝﹣4，∴x +y ＝﹣2，故答案为：﹣2．方法二：，②×2，得：4x +2y ＝6③，①﹣③，得：y ＝﹣7，把y ＝﹣7代入②，得2x ﹣7＝3，解得：x ＝5，∴方程组的解为，∴x +y ＝﹣2，故答案为：﹣2．考点二：二元一次方程组之解二元一次方程组：微专题1.解二元一次方程组的思想：消元思想：将方程组中的未知数由多化少，逐一解决的思想。
二元一次方程组考点总结及练习(附答案)
二元一次方程组考点解析考点一二元一次方程(组)的解的概念【例1】已知2,1xy==⎧⎨⎩是二元一次方程组8,1mx nynx my+=-=⎧⎨⎩的解,则2m-n的算术平方根为( )A.4B.2D.±2【解析】把2,1xy==⎧⎨⎩代入方程组8,1mx nynx my+=-=⎧⎨⎩得28,2 1.m nn m+=-=⎧⎨⎩解得3,2.mn==⎧⎨⎩所以2m-n=4,4的算术平方根为2.故选B.【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组),得到的等式一定成立,从而转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程(组)即可求得待求字母的值.变式练习1.若方程组,ax y bx by a+=-=⎧⎨⎩的解是1,1.xy==⎧⎨⎩求(a+b)2-(a-b)(a+b)的值.考点二二元一次方程组的解法【例2】解方程组：1 28. x yx y=++=⎧⎨⎩，①②【分析】可以直接把①代入②，消去未知数x，转化成一元一次方程求解.也可以由①变形为x-y=1，再用加减消元法求解.【解答】方法一：将①代入到②中，得2(y+1)+y=8.解得y=2.所以x=3.因此原方程组的解为3,2. xy==⎧⎨⎩方法二：1, 28. x yx y=++=⎧⎨⎩①②对①进行移项，得x-y=1.③②+③得3x=9.解得x=3.将x=3代入①中，得y=2. 所以原方程组的解为3,2. xy==⎧⎨⎩【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果方程中有未知数的系数是1时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减消元法.变式练习2.方程组 25,7213x y x y +=--=⎧⎨⎩的解是__________. 3.解方程组：3419,4.x y x y +=-=⎧⎨⎩①②考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围【例3】若关于x 、y 的二元一次方程组31,33x y a x y +=++=⎧⎨⎩①②的解满足x+y<2,则a 的取值范围为( )A.a<4B.a>4C.a<-4D.a>-4【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到x 、y 的关系，再根据x+y<2,求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由x+y<2求出a 的取值范围，但计算量大.【解答】由①+②，得4x+4y=4+a,x+y=1+4a ,由x+y<2，得1+4a <2，解得a<4.故选A. 【方法归纳】通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.变式练习4.已知x 、y 满足方程组25,24,x y x y +=+=⎧⎨⎩则x-y 的值为__________.考点四 二元一次方程组的应用【例4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元.”小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”根据以上对话，解答下列问题：(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？【分析】（1）根据题目给出的条件得出的等量关系是60座客车每辆每天的租金-45座客车每辆每天的租金=200元，4辆60座一天的租金+2辆45座的一天的租金=5 000元；由此可列出方程组求解；（2）可根据“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”以及（1）的结果来求出答案.【解答】（1）设平安公司60座和45座客车每辆每天的租金分别为x 元，y 元.由题意，得200,425000.x y x y -=+=⎧⎨⎩解得900,700.x y ==⎧⎨⎩ 答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别为900元和700元.（2）5×900+1×700=5 200(元）.答：九年级师生租车一天共需资金5 200元.1.审题：弄清已知量和未知量；2.列未知数，并根据相等关系列出符合题意的方程；3.解这个方程；4.验根并作答：检验方程的根是否符合题意，并写出完整的答.变式练习5.如图是一个正方体的展开图,标注了字母“a”的面是正方体的正面.如果正方体相对两个面上的代数式的值相等,求x,y的值.6.在某次亚运会中，志愿者们手上、脖子上的丝巾非常美丽.车间70名工人承接了制作丝巾的任务，已知每人每天平均生产手上的丝巾1 800条或者脖子的丝巾1 200条，一条脖子上的丝巾要配两条手上的丝巾.为了使每天生产的丝巾刚好配套，应分配多少名工人生产脖子上的丝巾，多少名工人生产手上的丝巾？复习测试一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )A.212x yy z+=-+=⎧⎨⎩B.53323x yy x-==+⎧⎨⎩C.512x yxy-==⎧⎨⎩D.2371x yx y-=+=⎧⎨⎩2.方程2x+y=9的正整数解有( )A.1组B.2组C.3组D.4组3.方程组32,3211x yx y-=+=⎧⎨⎩①②的最优解法是( )A.由①得y=3x-2，再代入②B.由②得3x=11-2y，再代入①C.由②-①，消去xD.由①×2+②，消去y4.已知21xy==⎧⎨⎩，是方程组4,ax byax by+=--=⎧⎨⎩的解,那么a，b的值分别为( )A.1,2B.1，-2C.-1,2D.-1,-25.A、B两地相距6 km，甲、乙两人从A、B两地同时出发，若同向而行，甲3 h可追上乙；若相向而行，1 h相遇，A.6336x y x y +=+=⎧⎨⎩B.636x y x y +=-=⎧⎨⎩C.6336x y x y -=+=⎧⎨⎩D.6336x y x y +=-=⎧⎨⎩ 6.足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了( )A.3场B.4场C.5场D.6场7.(2014·抚州)已知a 、b 满足方程组22,26,a b a b -=+=⎧⎨⎩则3a+b 的值为( )A.8B.4C.-4D.-88.方程组24,31,7x y x z x y z +=+=++=⎧⎪⎨⎪⎩的解是( )A.221x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩B.211x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩C.281x y z ⎧=-==⎪⎨⎪⎩D.222x y z ===⎧⎪⎨⎪⎩9.某车间有90名工人,每人每天平均能生产螺栓15个或螺帽24个,已知一个螺栓配套两个螺帽,应该如何分配工人才能使生产的螺栓和螺帽刚好配套？则生产螺栓和生产螺帽的人数分别为( )A.50人，40人B.30人，60人C.40人，50人D.60人，30人10.甲、乙二人收入之比为4∶3，支出之比为8∶5，一年间两人各存5 000元(设两人剩余的钱都存入银行)，则甲、乙两人年收入分别为( )A.15 000元，12 000元B.12 000元，15 000元C.15 000元，11 250元D.11 250元，15 000元二、填空题(每小题4分,共20分)11.已知a 、b12.已知2,1x y ==⎧⎨⎩是二元一次方程组7,1mx ny nx my +=-=⎧⎨⎩的解，则m+3n 的立方根为__________.13.孔明同学在解方程组,2y kx b y x =+=-⎧⎨⎩的过程中,错把b 看成了6,他其余的解题过程没有出错,解得此方程组的解为1,2,x y =-=⎧⎨⎩又已知3k+b=1,则b 的正确值应该是__________. 14.已知|x-8y|+2(4y-1)2+|8z-3x|=0，则x=__________，y=__________，z=__________.15.一个两位数的十位数字与个位数字的和为8，若把这个两位数加上18，正好等于将这个两位数的十位数字与个位数字对调后所组成的新两位数，则原来的两位数为__________.三、解答题(共50分)16.(10分)解方程组：(1)251x y x y +=-⎧=⎨⎩，①；② (2)1151.x y z y z x z x y +-=+-=+-⎪⎨=⎧⎪⎩，①，②③17.(8分)吉林人参是保健佳品.某特产商店销售甲、乙两种保鲜人参，甲种人参每棵100元，乙种人参每棵70元.王叔叔用1 200元在此特产商店购买这两种人参共15棵，求王叔叔购买每种人参的棵数.18.(9分)已知方程组53,54x yax y+=+=⎧⎨⎩与方程组25,51x yx by-=+=⎧⎨⎩有相同的解,求a，b的值.19.(11分)食品安全是关乎民生的问题，在食品中添加过量的添加剂对人体有害，但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A、B两种饮料均需加入同种添加剂，A饮料每瓶需加该添加剂2克，B 饮料每瓶需加该添加剂3克，已知270克该添加剂恰好生产了A、B两种饮料共100瓶，问A、B两种饮料各生产了多少瓶？20.(12分)某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电冰箱，已知该厂家生产三种不同型号的电冰箱，出厂价分别为：甲种每台1 500元，乙种每台2 100元，丙种每台2 500元.(1)某商场同时购进其中两种不同型号电冰箱共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)该商场销售一台甲种电冰箱可获利150元，销售一台乙种电冰箱可获利200元，销售一台丙种电冰箱可获利250元，在同时购进两种不同型号的方案中，为使销售时获利最多，你选择哪种进货方案？参考答案变式练习1.把1,1x y ==⎧⎨⎩代入方程组,ax y b x by a +=-=⎧⎨⎩，得1,1.a b b a +=-=⎧⎨⎩ 整理，得1,1.a b a b -=-+=⎧⎨⎩ ∴(a+b)2-(a-b)(a+b)=12-(-1)×1=2.2.13x y ==-⎧⎨⎩， 3.由②，得x=4+y.③把③代入①，得3(4+y)+4y=19.解得y=1.把y=1代入③，得x=4+1=5.∴原方程组的解为51.x y ==⎧⎨⎩， 4.15.根据题意,得25,5 1.x y x y -=-=+⎧⎨⎩解得3,1.x y ==⎧⎨⎩ 6.设应分配x 名工人生产脖子上的丝巾，y 名工人生产手上的丝巾，由题意得 70,120021800.x y xy +=⨯=⎧⎨⎩解得30,40.x y ==⎧⎨⎩ 答：应分配30名工人生产脖子上的丝巾，40名工人生产手上的丝巾. 复习测试1.B2.D3.C4.D5.D6.C7.A8.C9.C 10.C11.6 12.2 13.-11 14.214 34 15.35 16.（1）①+②，得3x=6.解得x=2.把x=2代入②，得y=1.所以原方程组的解为21.x y ==⎧⎨⎩， （2）①+②+③，得x+y+z=17.④④-①，得2z=6,即z=3.④-②，得2x=12,即x=6.④-③，得2y=16,即y=8.所以原方程组的解是683.x y z ⎧⎪=⎩==⎪⎨，，17.设王叔叔购买甲种人参x 棵，乙种人参y 棵.根据题意，得15x y +=⎧⎨，解得5x =⎧⎨，答：王叔叔购买甲种人参5棵，乙种人参10棵.18.解方程组53,25x y x y +=-=⎧⎨⎩，得1,2.x y ==-⎧⎨⎩将x=1,y=-2代入ax+5y=4,得a=14.将x=1,y=-2代入5x+by=1,得b=2.19.设A 饮料生产了x 瓶，B 饮料生产了y 瓶，依题意得100,23270.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得30,70.x y ==⎧⎨⎩答：A 饮料生产了30瓶，B 饮料生产了70瓶.20.(1)①设购进甲种电冰箱x 台，购进乙种电冰箱y 台，根据题意，得50,1500210090000.x y x y +=+=⎧⎨⎩解得25,25.x y ==⎧⎨⎩ 故第一种进货方案是购甲、乙两种型号的电冰箱各25台.②设购进甲种电冰箱x 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得50,1500250090000.x z x z +=+=⎧⎨⎩解得35,15.x z ==⎧⎨⎩ 故第二种进货方案是购进甲种电冰箱35台，丙种电冰箱15台. ③设购进乙种电冰箱y 台，购进丙种电冰箱z 台，根据题意，得 50,2100250090000.y z y z +=+=⎧⎨⎩解得87.5,37.5.y z ==-⎧⎨⎩不合题意，舍去. 故此种方案不可行.(2)上述的第一种方案可获利：150×25+200×25=8 750(元)，第二种方案可获利：150×35+250×15=9 000(元)，因为8 750<9 000，故应选择第二种进货方案，即购进甲种电冰箱35台，乙种电冰箱15台.。
专题25 二元一次方程组的应用：销售利润问题(解析版)
专题25 二元一次方程组的应用：销售利润问题一、单选题1．某人只带了2元和5元两种货币，他要买一件27元的商品，而商店不给找钱，则此人的付款方式有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【分析】本题中只有一个等量关系，但有两个未知数，属于二元一次方程题，不妨设2元和5元的货币各是x和y 张，那么x张2元的+y张5元的=27元．【详解】解：设2元和5元的货币各是x和y张，则：2x+5y=27，∵x和y是货币张数，皆为整数，∴111xy=⎧⎨⎩＝或63xy=⎧⎨⎩＝或15xy=⎧⎨⎩＝故此人有三种付款方式．故选C．【点睛】用方程解答实际问题时需要注意所求的解要符合实际意义，本题也可以根据不定方程的解法来解.2．麦当劳甜品站进行促销活动，同一种甜品第一件正价，第二件半价，现购买同一种甜品2件，相当于这两件甜品售价与原价相比共打了（）A．5折B．5.5折C．7折D．7.5折【答案】D【分析】根据题意设第一件商品x元,买两件商品共打y折,利用价格列出方程即可求解．【详解】解:设第一件商品x元,买两件商品共打了y折,根据题意可得:x+0.5x=2x•y 10,解得：y=7.5,即相当于这两件商品共打了7.5折．故选：D．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用,找到正确的等量关系是解题关键．3．某商店卖出两件衣服，每件600元，其中一件赚25%，另一件赔25%，那么这件衣服售出后商店是（）A．赚80元B．亏80元C．不赚不亏D．以上答案都不对【答案】B【分析】先列方程分别求出两件衣服的进价，然后计算即可．【详解】设这两件衣服的进价分别是x元和y元，则列方程可得600=25%600=25%yx xy-⎧⎨--⎩，解得x=480，y=800，2×600-（480+800）=-80，因此商店亏了80元，故选：B．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题关键．4．元旦期间，灯塔市辽东商业城“女装部”推出“全部服装八折”，男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动．某顾客在女装部购买了原价x元，在男装部购买了原价y元的服装各一套，优惠前需付700元，而她实际付款580元，根据题意列出的方程组是（）A．5800.80.85700x yx y+=⎧⎨+=⎩B．7000.850.8580x yx y+=⎧⎨+=⎩C．7000.80.85700580x yx y+=⎧⎨+=-⎩D．7000.80.85580x yx y+=⎧⎨+=⎩【答案】D【分析】根据“优惠前需付700元，而她实际付款580元”，列出关于x，y的二元一次方程组，即可得到答案．【详解】根据题意得：7000.80.85580x y x y +=⎧⎨+=⎩， 故选D ．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，掌握等量关系，列出方程组，是解题的关键．5．根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（ ）A ．6元B ．8元C ．10元D ．12元【答案】B【分析】 设一盒杯子x 元，一个暖瓶y 元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶=43元，3个杯子+2个暖瓶=94元，列方程组求解．【详解】设一盒杯子x 元，一个暖瓶y 元，由题意得，433294x y x y ++⎧⎨⎩＝＝， 解得：835x y ⎧⎨⎩＝＝， 即一个杯子为8元．故选：B ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．6．某工厂现向银行申请了两种货款，共计35万元，每年需付利息2.25万元，甲种贷款每年的利率是7%，乙种贷款每年的利率是6%，求这两种贷款的数额各是多少元若设甲、乙两种贷款的数额分别为x 万元和y 万元，则（ ）A ．15,x =20y =B ．12,x =23y =C ．20,x =15y =D ．23,x =12y =【答案】A【分析】设甲、乙两种贷款的数额分别为x 万元和y 万元，根据题意列出二元一次方程组即可求解.【详解】 依题意，得357%6% 2.25x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1520x y =⎧⎨=⎩.故选A. 【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.7．甲、乙两店分别购进一批无线耳机， 每副耳机的进价甲店比乙店便宜10%，乙店的标价比甲店的标价高5.4元，这样甲乙两店的利润率分别为20%和17%，则乙店每副耳机的进价为（ ）A ．56元B ．60元C ．72元D ．80元【答案】B【分析】设乙店的耳机进价为x 元，标价为y 元，则根据题意列出二元一次方程组，解方程组，求出x 的值，即可得到答案.【详解】解：根据题意，设乙店的耳机进价为x 元，标价为y 元，则甲店的耳机进价为：(110%)0.9x x -=元；标价为：( 5.4)y -元；∵甲乙两店的利润率分别为20%和17%， ∵ 5.40.920%0.917%y x x y x x --⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得：6070.2x y =⎧⎨=⎩， ∵乙店每副耳机的进价为60元；【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是熟读题目，找出题目中的关系，列出方程组，从而解方程组.8．某商店卖出一件上衣和一双皮鞋，共收款240 元，其中上衣盈利20%，皮鞋亏本20%，该商店卖出这两件商品，下列判断正确的是（）A．赚10 元B．赔10元C．不赔不赚D．无法确定【答案】D【分析】设上衣的进价为x元，皮鞋的进价为y元，根据“共收款240元，其中上衣盈利20%，皮鞋亏本20%”，即可得出关于x（y）的二元一次方程，解之即可得出上衣与皮鞋的进价关系，用其相加−两件商品的售价和，即可找出结论．【详解】设上衣的进价为x元，皮鞋的进价为y元，根据题意得：（1＋20%）x+（1−20%）y＝240，解得：1.2x+0.8y＝240，∵利润为240-（x+y）=1.2x+0.8y-（x+y）=0.2x-0.2y=0.2（x-y）∵进价x,y的大小关系不确定，故利润大小不确定，故选D.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．9．为处理甲.乙两种积压服装，商场决定打折销售，已知甲.乙两种服装的原单价共为880元，现将甲服装打八折，乙服装打七五折，结果两种服装的单价共为684元，则甲.乙两种服装的原单价分别是（）A．400元，480元B．480元，400元C．560元，320元D．320元，560元【答案】B【分析】设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元，满足等量关系：∵甲、乙两种服装的原单价共为880元；∵打折后两种服装的单价共为684元，由此列出方程组求解．解：设甲、乙两种服装的原单价分别是x元、y元．根据题意，得：8800.80.75684 x yx y⎨⎩++⎧＝＝解得：480400 xy⎧⎨⎩＝＝即：甲、乙两种服装的原单价分别是480元、400元．故选B.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．10．某超市为促销，决定对A，B两种商品进行打折出售.打折前，买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元.打折后，买50件A商品和40件B商品仅需364元，则比打折前少花（）A．56元B．116元C．420元D．480元【答案】B【分析】设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据买6件A商品和3件B商品需要54元，买3件A商品和4件B商品需要32元列出方程组，求出x、y的值，然后再计算出打折前买50件A商品和40件B 商品共需要的钱数即可．【详解】设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据题意得6354,3432,x yx y+=⎧⎨+=⎩解得8,2,xy=⎧⎨=⎩则508402364116⨯+⨯-=（元），所以比打折前少花116元.故选B.【点睛】本题考查了利用二元一次方程组解决现实生活中的问题．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．11．根据如图提供的信息，小红去商店买一只水瓶和一只杯子应付（）A．30元B．32元C．31元D．34元【答案】C【解析】【分析】设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元，根据给定的两种购买方案可得出关于x、y的二元一次方程组，将方程∵∵相加，再除以3即可求出结论．【详解】设购买一只水瓶需要x元，购买一只杯子需要y元，根据题意得：237256x yx y+=⎧⎨+=⎩①②，（∵+∵）÷3，得：x+y=31．故选：C．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．甲、乙两种商品，若购买甲1件、乙2件共需130元，购甲2件、乙1件共需200元，则购甲、乙两种商品各一件共需（）A．130元B．100元C．120元D．110元【答案】D【解析】【分析】设甲商品为x元/件，乙商品为y元/件，根据总价=单价×数量依据题意，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．【详解】解：设甲商品为x 元/件，乙商品为y 元/件，根据题意得：21302200x y x y +⎧⎨+⎩＝＝，解得：9020x y =⎧⎨=⎩，甲、乙两种商品各一件共需20+90=110元.故选：D ．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．13．小明购买4种数学用品：计算器、圆规、三角板、量角器的件数和用钱总数见下表:则4种数学用品各买一件共需 元．（ ）A ．38B ．48C ．58D ．118 【答案】C【分析】设计算器、圆规、三角板、量角器的单价分别是a 元、b 元、c 元、d 元．根据表格中的信息列方程组，再进一步观察系数的关系，整体求解．【详解】解：设计算器、圆规、三角板、量角器的单价分别是a 元、b 元、c 元、d 元．根据题意，得 3457857998a b c d a b c d +++=⎧⎨+++=⎩①② ， ∵减∵，得2b+3c+4d=20∵，∵减∵，得a+b+c+d=78-20=58．故答案为58．【点睛】本题考查多元一次方程组的应用，解题的关键是能够从表格中获得正确信息，根据信息列方程组，注意此题中的整体求解思想．14．小华和小红到同一家鲜花店购买百合花与玫瑰花，他们购买的数量如下表所示，小华一共花的钱比小红少8元，下列说法正确的是（）A．2支百合花比2支玫瑰花多8元B．2支百合花比2支玫瑰花少8元C．14支百合花比8支玫瑰花多8元D．14支百合花比8支玫瑰花少8元【答案】A【解析】【分析】设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，根据总价＝单价×购买数量结合小华一共花的钱比小红少8元，即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后即可得出结论．【详解】设每支百合花x元，每支玫瑰花y元，根据题意得：8x+3y﹣（6x+5y）＝8，整理得：2x﹣2y＝8，∵2支百合花比2支玫瑰花多8元．故选：A．【点睛】考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．15．已知甲、乙两种商品的进价和为100元，为了促销而打折销售，若甲商品打八折，乙商品打六折，则可赚50元，若甲商品打六折，乙商品打八折，则可赚30元，甲、乙两种商品的定价分别为（）A．50元、150元B．50元、100元C．100元、50元D．150元、50元【答案】D【解析】【分析】∵∵∵∵∵∵∵∵∵x∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵y∵∵∵∵“∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵50∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵30∵”∵∵∵∵∵x∵y∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵【详解】∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵x∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵y∵∵∵∵∵∵∵∵0.80.61500.60.8130x yx y+⎧⎨+⎩＝，＝∵∵∵15050 xy⎧⎨⎩＝＝∵∵D∵【点睛】∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵∵16．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（）A．19B．18C．16D．15【答案】C【解析】试题分析：要求出第三束气球的价格，根据第一、二束气球的价格列出方程组，应用整体思想求值：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，由题意，得3x y14 {x3y18+=+=，两式相加，得，4x+4y=32，即2x+2y=16．故选C．17．一件服装标价200元，若以六折销售，仍可获利20℅，则这件服装进价是A．100元B．105元C．108元D．118元【答案】A【解析】试题分析：根据题意，找出相等关系为：进价×（1+20%）=120，设未知数列方程求解．解：设这件服装的进价为x元，依题意得：（1+20%）x=120，解得：x=100，则这件服装的进价是100元．故选A．点评：此题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是找出相等关系，进价×（1+20%）=120．18．打折前购买A商品40件与购买B商品30件所花的钱一样多，商家打折促销，A商品打八折，B商品打九折，此时购买A商品40件比购买B商品30件少花600元，则打折前A商品和B商品每件的价格分别为( )A．75元，100元B．120元，160元C．150元，200元D．180元，240元【答案】C【分析】设打折前A商品价格为x元，B商品为y元，根据题意列出关于x与y的方程组，求出方程组的解即可得到结果.【详解】设打折前A商品价格为x元，B商品为y元，根据题意得∵4030400.8600300.9x yx y=⎧⎨⨯+=⨯⎩∵解得∵150200 xy=⎧⎨=⎩∵则打折前A商品价格为150元，B商品为200元.故选∵C.【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系时解决问题的关键. 19．春节前夕，唐狮服装专卖店按标价打折销售．茗茗去该专卖店买了两件衣服，第一件打七折，第二件打五折，共计260元，付款后，收银员发现结算时不小心把两件衣服的标价计算反了，又找给茗茗40元，则这两件衣服的原标价各是A．100元，300元B．100元，200元C．200元，300元D．150元，200元【答案】A【解析】【分析】设这两件衣服的原标价各是x元，y元，根据题意可得：第一件打七折，第二件打五折，共计260元，第二件打七折，第一件打五折，共计260-40元，据此列方程组求解即可∵【详解】设这两件衣服的原标价各是x元，y元，由题意得，0.70.52600.50.726040x yx y+⎧⎨+-⎩＝＝∵解得：300100 xy=⎧⎨=⎩∵即这两件衣服的原标价各是300元，100元，故选A∵【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．二、填空题20．打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元．打折后，买500件A商品和500件B商品用了9600元，比不打折少花__元．【答案】400【分析】设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，根据“打折前，买60件A商品和30件B商品用了1080元，买50件A商品和10件B商品用了840元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（500x+500y﹣9600）中即可求出结论．【详解】解：设打折前A商品的单价为x元，B商品的单价为y元，依题意，得：60301080 5010840x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：164xy=⎧⎨=⎩，∵500x+500y﹣9600＝400．故答案为：400．【点睛】本题考查了打折问题，二元一次方程组的应用，根据题意正确布列方程组是解题的关键．21．我国过年历史悠久，在传承发展中己形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的15，每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的34售出，将灯笼每对按高出进价的40%售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为20%，则最初购进灯笼___________对．【答案】41【分析】设最初购进灯笼x对，则“福”字贴5x张，留下的35件有y对灯笼，（35﹣2y）张“福”字帖，由题意列出不等式求出x的取值范围，根据利润=总售价﹣总进价=总进价×利润率列出x、y的等量关系，用x表示y的关系式，进而求得y的取值范围，由x、y取整数可求得x、y的值，即可求解．【详解】解：设最初购进灯笼x对，则“福”字贴画5x张，留下的35件有y对灯笼，（35﹣2y）张“福”字帖画，根据题意，250≤2x+5x≤300，解得：250300 77x≤≤，∵x取整数，∵36≤x≤42，∵灯笼的售价为50×（1+40%）=70元，“福”字帖画的售价为4+4×34=7元，∵总进价为50x+4×5x=70x元，总售价为70×（x﹣y）+7×[5x﹣（35﹣2y）]=（105x﹣56y﹣245）元，由题意，105x﹣56y﹣245﹣70x=20%×70x，解得：x=83y+353，∵36≤x≤42，∵36≤83y+353≤42且35﹣2y≥0，解得：738≤y≤918，∵y为整数，∵ y的值为10或11，当y=10时，x=1153（不是整数，舍去），当y=11时，x=41，∵最初购进灯笼41对，故答案为：41．【点睛】本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答的关键是读懂题意，找寻等量关系，正确列出不等式及方程，注意x、y都取整数的条件．22．云南为了打赢脱贫攻坚战，近年来利用网络帮助花农打开销售渠道．一电商对玫瑰、康乃馨、茉莉花（分别记为A、B、C）进行搭配销售，推出甲、乙两种盒装花束．其中盒装花束的成本是盒中所有A、B、C花束的成本之和．每盒甲由3束A，1束B，1束C组成；每盒乙由2束A，4束B，4束C组成．每盒甲中所有A、B、C的成本之和是1束A成本的15倍，每盒乙的利润率为20%，每盒乙的售价比每盒甲的售价高20%．该电商在双十一期间销售这两种盒装鲜花的总销售额为99200元，总利润率为24%，则销售甲盒装鲜花的总利润是__________元．【答案】3500【分析】设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，根据题意等量关系，列出甲成本与A的数量关系，得到y+z=12x，将其整体代入乙成本中，得到甲、乙成本之比，再设甲每盒成本m元，乙每盒成本103m元，由题意，分别计算甲、乙的单件售价，设销售甲的数量为a，销售乙的数量为b，根据两种盒装鲜花的总销售额为99200元，列方程、解方程即可．【详解】设A的单价为x元，B的单价为y元，C的单价为z元，由题意得，甲的成本：3x+y+z；乙的成本：2x+4y+4z,因为甲成本是1束A成本的15倍，即3x+y+z=15x，解得y+z=12x将y+z=12x代入乙成本：50x所以甲成本：乙成本=3：10设甲每盒成本m元，乙每盒成本103m元，根据题意得，乙每盒售价为10(120%)43m m+=，甲每盒售价为4010120%3mm=+设销售甲的数量为a，销售乙的数量为b，则10104(124%)() 33ma mb ma mb +=+⨯+解得10157 7575mb ma=15710b a ∴=由104992003ma mb+=得，10157499200310ma ma+⨯=解得=1500ma销售甲的总利润为107350033ma ma ma-==（元）故答案为：3500【点睛】本题考查一元一次方程的应用—利润问题、二元一次方程组的应用，其中涉及一元一次方程的解法，整体代入法等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．23．商场购进A、B、C 三种商品各100件、112件、60 件，分别按照25%、40%、60%的利润进行标价,其中商品C的标价为80元,为了促销,商场举行优惠活动:如果同时购买A、B 商品各两件,就免费获赠三件C商品.这个优惠活动实际上相当于这七件商品一起打了七五折.那么，商场购进这三种商品一共花了______元．.【答案】31800【分析】先求出商品C 的进价为50元．再设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，表示出商品A 的标价为54x ，商品B 的标价为75y 元，根据“如果同时购买A 、B 商品各两件，就免费获赠三件C 商品．这个优惠活动，实际上相当于把这五件商品各打七五折”列出方程，进而求出1001126050x y ++⨯的值．【详解】解：由题意，可得商品C 的进价为：80(160%)50÷+=（元)．设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，则商品A 的标价为5(125%)4x x +=（元)，商品B 的标价为7(140%)5y y +=（元)， 由题意，得57572()[2()380]0.754545x y x y +=++⨯⨯， ∴5736045x y +=，5710011280()803602880045x y x y ∴+=+=⨯=， 100112605031800x y ∴++⨯=（元)．答：商场购进这三种商品一共花了31800元．故答案为：31800．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，设商品A 、B 的进价分别为x 元，y 元，分别表示出商品A 与商品B 的标价，找到等量关系列出方程是解题的关键．本题虽然设了两个未知数，但是题目只有一个等量关系，根据问题可知不需要求出x 与y 的具体值，这是本题的难点．24．端午节期间超市销售某品牌粽子，购买1袋大包装粽子和2袋小包装粽子共用 24元， 买2袋大包装粽子和3袋小包装粽子共用44元，小聪快速计算出1 袋小包装粽子_____元； 他想用不超过110元购买大包装粽子和小包装粽子共计20袋（两种都购买）， 他可以有______种购买方案．【答案】4 2【分析】设大包装粽子每袋x元，小包装粽子每袋y元，根据题意得到方程2242344x yx y+=+=⎧⎨⎩，求解即可；设可以买大包装粽子a袋，小包装粽子（20-a）袋，根据题意列出不等式16a+4（20-a）≤110，求解即可．【详解】解：设大包装粽子每袋x元，小包装粽子每袋y元，依题意有：224 2344 x yx y+=+=⎧⎨⎩解得164xy==⎧⎨⎩，故1袋小包装粽子4元；设可以买大包装粽子a袋，小包装粽子（20-a）袋，依题意有：16a+4（20-a）≤110，整理得：12a≤30，即a≤52，∵a为正整数，即a=1时，则b=20-1=19，a=2时，即b=20-2=18，故有2种购买方案；故答案为：4；2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题意列出式子是解题关键．25．小华在文具超市挑选了6支中性笔和5本笔记本．结账时，小华付款50元，营业店员找零4元，小华说：“阿姨您好，6支中性笔和5本笔记本一共42元，应该找零8元．”店员说：“啊…哦，我明白了，小朋友你真棒，我刚才把中性笔和笔记本的单价弄反了，对不起，再找给你4元”．根据两人的对话计算：若购买一支中性笔和一本笔记本一共需要付款______元．【答案】8【分析】设购买一支中性笔x元，购买一本笔记本y元，根据“6支中性笔和5本笔记本一共42元”，“5支中性笔和6本笔记本一共46元”列出方程组并解答．设购买一支中性笔x元，购买一本笔记本y元，则65504 6542y xx y+=-⎧⎨+=⎩①②，由∵+∵，得11(x+y)＝88，所以x+y＝8，即：购买一支中性笔和一本笔记本一共需要付款8元，故答案为：8．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键，解方程组时，注意观察方程组的特点，可进行简便运算．26．小慧带着妈妈给的现金去蛋糕店买蛋糕．他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元；若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元．若他只买8个桂圆蛋糕，则剩余的钱为________元．【答案】49【分析】设买一个巧克力x元，买一个蛋糕y元，根据已知条件可得到他妈妈给小慧的钱为5x+3y-16和3x+5y+10，由此建立关于x，y的方程，求出x-y的值，然后求出他买8个桂圆蛋糕的剩余的钱为5x+3y-16-8y，将其整理可求出结果．【详解】解：设买一个巧克力x元，买一个蛋糕y元，∵他若买5个巧克力蛋糕和3个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱不够，还缺16元，∵他妈妈给小慧的钱为5x+3y-16；∵ 若买3个巧克力蛋糕和5个桂圆蛋糕，则妈妈给的钱还有剩余，还多10元，∵3x+5y+10∵5x+3y-16=3x+5y+10，解之：x-y=13．他买8个桂圆蛋糕的钱为8y，他剩余的钱为5x+3y-16-8y=5x-5y-16=5（x-y）-16=5×13-16=49元．故答案为：49．本题考查了二元一次方程的应用，以及整式的加减，根据题意找出等量关系是解决本题的关键．三、解答题27．经营户小熊在蔬菜批发市场上了解到以下信息内容：他共用116元钱从市场上批发了红辣椒和西红柿共44公斤到菜市场去卖，当天卖完．请你计算出小熊能赚多少钱？【答案】73元【分析】根据题意可知本题的等量关系有：西红柿的重量+辣椒的重量=44；1.6×西红柿的重量+4×辣椒的重量=116．根据这两个等量关系，可列出方程组，从而计算出当天能赚的钱数．【详解】解：设小熊在市场上批发了红辣椒x千克，西红柿y千克．根据题意得444 1.6116 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：1925 xy=⎧⎨=⎩，25×3+19×6-116=73（元），∵当天卖完，小熊能赚73元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．28．某商场欲购进甲乙两种商品，若购进甲2件，乙3件，则共需成本1700元；若购进甲3件，乙1件，则共需成本1500元．（1）求甲乙两种商品成本分别为多少元？（2）该商场决定在成本不超过3万元的前提下购进甲、乙两种商品，若购进乙种商品的数量是甲种商品的3倍多10件，求最多购进甲种商品多少件？【答案】（1）甲种商品的成本为400元/件，乙种商品的成本为300元/件；（2）20件【分析】（1）设甲种商品的成本为x元/件，乙种商品的成本为y元/件，根据“购进甲2件，乙3件，共需成本1700元；购进甲3件，乙1件，共需成本1500元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（3m+10）件，根据总价＝单价×数量结合用不超过3万元购买甲、乙两种商品，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其内的最大正整数即可得出结论．【详解】解：（1）设甲种商品的成本为x元/件，乙种商品的成本为y元/件，根据题意得：231700 31500x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：400300 xy=⎧⎨=⎩．答：甲种商品的成本为400元/件，乙种商品的成本为300元/件．（2）设甲种商品购进m件，则乙种商品购进（3m+10）件，根据题意得：400m+300（3m+10）≤30000，解得：m≤2010 13．∵m为正整数，∵m最大为20．答：最多购进甲种商品20件．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，准确计算是解题的关键．29．小圆玩具工厂生产男孩玩具和女孩玩具，若生产男孩玩具8件，女孩玩具5件，需要成本3600元；若生产男孩玩具12件，女孩玩具10件，需要成本6400元．（1）男孩玩具和女孩玩具每件成本多少元？（2）根据市场调查，销售一件男孩玩具可获利100元，销售1件女孩玩具可获利240元，小圆玩具工厂计划投入不超过21万资金生产两种玩具，且男孩玩具产量是女孩玩具产量的3倍，预计全部销售后利润不少于11万元，请通过计算说明有几种生产方案．【答案】（1）男孩玩具每件成本为200元，女孩玩具每件成本为400元；（2）7种【分析】（1）设男孩玩具每件成本为x 元，女孩玩具每件成本为y 元，根据“生产男孩玩具和女孩玩具，若生产男孩玩具8件，女孩玩具5件，需要成本3600元；若生产男孩玩具12件，女孩玩具10件，需要成本6400元”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设女孩玩具产量为a 件，则男孩玩具产量为3a 件，根据小圆玩具工厂计划投入不超过21万资金生产两种玩具，且全部销售后利润不少于11万元，即可得出关于a 的一元一次不等式组，解之即可得出a 的取值范围，再根据a 为整数即可得出生产方案的种数．【详解】解：（1）设设男孩玩具每件成本为x 元，女孩玩具每件成本为y 元，根据题意得：85360012106400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：200400x y =⎧⎨=⎩． 答：男孩玩具每件成本为200元，女孩玩具每件成本为400元．（2）设女孩玩具产量为a 件，则男孩玩具产量为3a 件，根据题意得：20034002100001003240110000a a a a ⨯+≤⎧⎨⨯+≥⎩，解得：550027≤a ≤210， 又∵a 为整数，∵204≤a ≤210．∵共有7种生产方案．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组：（2）根据数量关系，正确列出一元一次不等式组．30．为保障学生在学校期间保持清洁卫生，学校准备购买甲、乙两种洗手液，已知购买2瓶甲洗手液和3瓶乙洗手液共需140元，购买1瓶乙洗手液比购买2瓶甲洗手液少用20元．（1）求购买甲、乙两种洗手液每瓶各需多少元？（2）若要购买甲、乙两种洗手液共20瓶，且总费用不超过546元，求至少要购进甲种洗手液多少瓶？。
二元一次方程组应用题经典题(解析版)
实际问题与二元一次方程组题型归纳知识点一：列方程组解应用题的基本思想列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系. 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1)方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系1.行程问题：(1)追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行.这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析.其等量关系式是:两者的行程差＝开始时两者相距的路程；；；(2)相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行.这类问题也比较直观，因而也画线段图帮助理解与分析.这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和＝总路程.(3)航行问题：①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；③顺水速度－逆水速度＝2×水速.注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似.2．工程问题：工作效率×工作时间=工作量.3．商品销售利润问题：(1)利润＝售价－成本(进价)；(2)；(3)利润＝成本（进价）×利润率；(4)标价＝成本(进价)×(1＋利润率)；(5)实际售价＝标价×打折率；注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）4．储蓄问题：(1)基本概念①本金：顾客存入银行的钱叫做本金.②利息：银行付给顾客的酬金叫做利息.③本息和：本金与利息的和叫做本息和.④期数：存入银行的时间叫做期数.⑤利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率.⑥利息税：利息的税款叫做利息税.(2)基本关系式①利息＝本金×利率×期数②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× (1＋利率×期数)③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率.④税后利息＝利息× (1－利息税率) ⑤年利率＝月利率×12 ⑥月利率=年利率1 12 .注意：免税利息=利息5．配套问题：解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例.6．增长率问题：解这类问题的基本等量关系式是：原量×(1＋增长率)＝增长后的量；原量×(1－减少率)＝减少后的量.7．和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系是：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.8．数字问题：解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示.如当n 为整数时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数=十位数字10+个位数字9．浓度问题：溶液质量×浓度=溶质质量.10．几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式11．年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变的12．优化方案问题：在解决问题时，常常需合理安排.需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案.注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案.知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：1．审题:弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:可直接设元，也可间接设元；3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.要点诠释：(1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称；(3)一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.(4)列方程组解应用题应注意的问题①弄清各种题型中基本量之间的关系；②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息；与解方程组时，不要带单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆； ⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件； ⑥列方程组解应用题一定要注意检验.类型一：列二元一次方程组解决——行程问题1．甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇. 相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 思路点拨：画直线型示意图理解题意：(1)这里有两个未知数：①汽车的行程；②拖拉机的行程. (2)有两个等量关系：①相向而行：汽车行驶113小时的路程＋拖拉机行驶113小时的路程＝160千米;②同向而行：汽车行驶12小时的路程＝拖拉机行驶112⎛⎫+ ⎪⎝⎭小时的路程. 解：设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.根据题意，列方程组()4160,311122x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 解这个方程组，得: 90,30x y =⎧⎨=⎩1111901165,3011853232⎛⎫⎛⎫⨯+=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.答：汽车行驶了165千米，拖拉机行驶了85千米.总结升华：根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常用的解决策略.乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度.类型二：列二元一次方程组解决——工程问题2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元，问：(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天完成，单独请哪组，商店所付费用最少？思路点拨：本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；第二层含义：若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3480元.设甲组单独做一天商店应付x 元，乙组单独做一天商店应付y元，由第一层含义可得方程8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程6x+12y=3480.解：(1)设甲组单独做一天商店应付x元，乙组单独做一天商店应付y元，依题意得：解得答：甲组单独做一天商店应付300元，乙组单独做一天商店应付140元.(2)单独请甲组做，需付款300×12＝3600元，单独请乙组做，需付款24×140＝3360元，故请乙组单独做费用最少.答：请乙组单独做费用最少.总结升华：工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一线段图或列表法进行分析.【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为5%,乙商品的利润率为4%,共可获利46元.价格调整后，甲商品的利润率为4%，乙商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是多少元？思路点拨：做此题的关键要知道：利润＝进价×利润率解：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，由题意得：，解得：答：两件商品的进价分别为600元和400元.【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（注：获利= 售价—进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了2000元钱，一种是年利率为2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为2.25％的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）思路点拨：设教育储蓄存了x元，一年定期存了y元，我们可以根据题意可列出表格：教育储蓄一年定期合计现在x y一年后 2.25%x x+⨯ 2.25%80%+⨯⨯2042.75y y解：设存一年教育储蓄的钱为x元，存一年定期存款的钱为y元，则列方程：，解得：答：存教育储蓄的钱为1500元，存一年定期的钱为500元.总结升华: 我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出来.【变式1】李明以两种形式分别储蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应缴利息所得税=利息金额×20%）【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元(不计利息税)，问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只. 现计划用132米这种布料生产这批秋装(不考虑布料的损耗)，应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？思路点拨：本题的第一个相等关系比较容易得出：衣身、衣袖所用布料的和为132米；第二个相等关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的2倍(注意：别把2倍的关系写反了).解：设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：答：用60米布料做衣身，用72米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.总结升华：生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套.【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿300条.现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为200万元，今年总产值比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？思路点拨：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，则有总产值（万元）总支出（万元）利润（万元）去年x y200今年120%x90%y780根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里的已知量和未知量，可以列出两个等式.解：设去年的总产值为x万元，总支出为y万元，根据题意得：，解之得：答：去年的总产值为2000万元，总支出为1800万元总结升华：当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析.【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8%，农村人口增加1.1%，这样全市人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口.类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题7.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？思路点拨：找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组.解：设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷x 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷y 千顶，由题意得：9,1.6 1.514x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：5,4x y =⎧⎨=⎩所以：1.6x =1.65=8, 1.5y =1.54=6答：“爱心”帐篷厂生产帐篷8千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷6千顶. 【变式1】 (2011年北京门头沟区中考一模试题) “地球一小时”是世界自然基金会在2007年提出的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分—21时30分熄灯一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个，问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽.如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？类型八：列二元一次方程组解决——数字问题8. 两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数.思路点拨：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.问题1：在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：100x＋y问题2：在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：100y＋x解：设较大的两位数为x，较小的两位数为y.依题意可得：，解得：答：这两个两位数分别为45，23.【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？【变式3】某三位数，中间数字为0，其余两个数位上数字之和是9，如果百位数字减1，个位数字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数.类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题9．现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3∶7，乙种酒精溶液的酒精与水的比是4∶1，今要得到酒精与水的比为3∶2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少？思路点拨：本题欲求两个未知量，可直接设出两个未知数，然后列出二元一次方程组解决，题中有以下几个相等关系：（1）甲种酒精溶液与乙种酒精溶液的质量之和＝50；（2）混合前两种溶液所含纯酒精质量之和＝混合后的溶液所含纯酒精的质量；（3）混合前两种与水之和的比＝混合后溶液所含纯酒精与水的比.解：法一：设甲、乙两种酒精溶液分别取x kg , y kg.依题意得：，答：甲取20kg，乙取30kg法二：设甲、乙两种酒精溶液分别取10x kg和5y kg，则甲种酒精溶液含水7x kg，乙种酒精溶液含水y kg，根据题意得：，所以10x=20,5y=30.答：甲取20kg，乙取30kg总结升华：此题的第（1）个相等关系比较明显，关键是正确找到另外一个相等关系，解这类问题常用的相等关系是：混合前后所含溶质相等或混合前后所含溶剂相等.用它们来联系各量之间的关系，列方程组时就显得容易多了.列方程组解应用题，首先要设未知数，多数题目可以直接设未知数，但并不是千篇一律的，问什么就设什么.有时候需要设间接未知数，有时候需要设辅助未知数.举一反三：【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多少？【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效.用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？类型十：列二元一次方程组解决——几何问题10．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多少？思路点拨：初看这道题目中没有提供任何相等关系，但是题目提供的图形隐含着矩形两条宽相等，两条长相等，我们设每个小长方形的长为x，宽为y，就可以列出关于x、y的二元一次方程组.解：设长方形地砖的长xcm,宽ycm，由题意得：，答：每块长方形地砖的长为45cm、宽为15cm.总结升华：几何应用题的相等关系一般隐藏在某些图形的性质中，解答这类问题时应注意认真分析图形特点，找出图形的位置关系和数量关系，再列出方程求解.举一反三：【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m，它的周长是132m，则长和宽分别为多少？类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题11．今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，求现在父亲和儿子的年龄各是多少？思路点拨：解本题的关键是理解“6年后”这几个字的含义，即6年后父子俩都长了6岁.今年父亲的年龄是儿子的5倍，6年后父亲的年龄是儿子的3倍，根据这两个相等关系列方程.解：设现在父亲x岁，儿子y岁，根据题意得：，答：父亲现在30岁，儿子6岁.总结升华：解决年龄问题，要注意一点：一个人的年龄变化（增大、减小）了，其他人也一样增大或减小，并且增大（或减小）的岁数是相同的（相同的时间内）.【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：12．某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元. 当地一家农工商公司收获这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可以加工16吨；如果进行细加工，每天可加工6吨. 但两种加工方式不能同时进行. 受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜在市场上直接销售；方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成你认为选择哪种方案获利最多？为什么？思路点拨：如何对蔬菜进行加工，获利最大，是生产经营者一直思考的问题. 本题正是基于这一点，对绿色蔬菜的精、粗加工制定了三种可行方案，供同学们自助探索，互相交流，尝试解决，并在探索和解决问题的过程中，体会应用数学知识解决实际问题的乐趣.解：方案一获利为：4500×140=630000(元).方案二获利为：7500×(6×15)+1000×(140－6×15)=675000+50000=725000(元).方案三获利如下：设将吨蔬菜进行精加工，吨蔬菜进行粗加工，则根据题意，得：，解得：所以方案三获利为：7500×60+4500×80=810000(元).因为630000＜725000＜810000，所以选择方案三获利最多答：方案三获利最多，最多为810000元.总结升华：优化方案问题首先要列举出所有可能的方案，再按题的要求分别求出每个方案的具体结果，再进行比较从中选择最优方案.举一反三：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；(2)若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？。
专题12：二元一次方程组(简答题专练)(解析版)
专题11：二元一次方程组（简答题专练）一、解答题1．某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．（1）大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？（2）该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？【答案】（1）小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）41.6元/千克．【分析】（1）根据用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，以及大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，分别得出方程求出答案；（2）根据让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，得出不等式求出答案．【解答】（1）设小樱桃的进价为每千克x元，大樱桃的进价为每千克y元，根据题意可得：200200800020x yy x+=⎧⎨-=⎩，解得：1030 xy=⎧⎨=⎩，小樱桃的进价为每千克10元，大樱桃的进价为每千克30元，200×[（40﹣30）+（16﹣10）]=3200（元），∴销售完后，该水果商共赚了3200元；（2）设大樱桃的售价为a元/千克，（1﹣20%）×200×16+200a﹣8000≥3200×90%，解得：a≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．考点：1、一元一次不等式的应用；2、二元一次方程组的应用2．某人用2400元买进甲、乙两只股票在当甲股票升值15%，乙股票下跌10%时全部卖出，共获利润1350元（不含手续费、税费），试问此人买的甲、乙两只股票各是多少元？【答案】买了甲股票15000元，乙股票9000元.【分析】设买了甲股票x 元，乙股票y 元，根据题意列出二元一次方程组即可求解.【解答】设买了甲股票x 元，乙股票y 元.依题意，得2400015%10%1350x y x y +=⎧⎨-=⎩，整理得240003227000x y x y +=⎧⎨-=⎩. 解得150009000x y =⎧⎨=⎩. 答：买了甲股票15000元，乙股票9000元.【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.3．A 、B 两地相距20千米，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A 地，乙继续前进，当甲返回到A 地时，乙离A 地还有2千米.甲、乙两人的速度各是多少？【答案】甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时.【分析】设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时，根据题意列出二元一次方程组即可求解.【解答】设甲的速度为x 千米/时，乙的速度为y 千米/时根据题意，得2()20222x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得 5.54.5x y =⎧⎨=⎩. 答：甲的速度为5.5千米/时，乙的速度为4.5千米/时.【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.4．已知关于x ，y 的方程组21254x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩的解满足5x y +=，求k 的值. 【答案】2【分析】先通过方程组解出x 、y ,再将x 、y 代代数式入求出k 即可.【解答】21,254,x y k x y k +=-⎧⎨+=+⎩①②2⨯-②①，得399x k =+，解得33x k =+.把33x k =+代入①，得3321k k γ++=-，解得 2.y k =--5,x y +=3325k k ∴+--=，解得2k =.【点评】本题考查解二元一次方程组求参数,关键在于先用参数分别表示出解,再利用代数式求参数. 5．某种电器产品，每件若以原定价的8折销售，可获利120元；若以原定价的6折销售，则亏损20元，该种商品每件的进价为多少元？【答案】该商品每件的进价为440元【分析】设该种商品的进价为x 元/件，原定价为y 元/件，根据“获利120元”与“亏损20元”列出方程组进一步求解即可.【解答】设该种商品的进价为x 元/件，原定价为y 元/件.依题意，得0.81200.620y x y x -=⎧⎨-=-⎩.解得440700x y =⎧⎨=⎩. 答：该商品的进价为440元【点评】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，熟练掌握相关方法是解题关键.6．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟求李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需多少分钟.【答案】李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟【分析】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟，根据题意列出二元一次方程组即可求解.【解答】设李师傅加工1个甲种零件需要x 分钟，加工1个乙种零件需要y 分钟.依题意，得35554985x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，由+①②，得714140x y +=.所以220x y +=，则2440x y +=.答：李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟【点评】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键根据题意找到等量关系列方程求解.7．在解方程组1014bx ay x cy +=⎧⎨-=⎩①②时，甲正确地解42x y =⎧⎨=-⎩，乙把c 写错得到24x y =⎧⎨=⎩.若两人的运算过程均无错误，求a ，b ，c 的值.【答案】1,a =3,b =5c =.【分析】先将甲的解代入原式解出c,再将乙的解代入原式解出a 、b 即可.【解答】因为甲得到的解正确，所以把甲得到的42x y =⎧⎨=-⎩代入原方程组，得 42104214b a c -=⎧⎨+=⎩③④， 由④，解得5c =.已知乙将c 写错得到24x y =⎧⎨=⎩，因为a ，b 没有写错， 所以将这个解代入方程①，得2410b a +=.⑤解由③⑤组成的方程组，得1,a =3b =所以1,a =3,b =5c =.【点评】本题考查二元一次方程组与解的关系,关键在于代入原式求出参数.8．判断方程组27,617.x y x y +=⎧⎨-=⎩①②的解法是否正确，如果不正确，请写出正确的解法.解法①：由①，得72y x =-.③，把③代入①，得2(72)7x x +-=.x 可以为任意实数，从而y 也为任意实数，∴原方程组有无数组解.解法②：由①，得72y x =-.③，把③代入②，得67217x x --=.解得6x =.把6x =代入③，得5y =-.∴ 原方程组的解为65x y =⎧⎨=-⎩. 【答案】见解析【分析】解法①中应把③代入②，可知解法错误，解法②代入后去括号时-2x 没有变号,可知解法错误，利用代入消元法解方程组即可得出正确的方程组的解．【解答】解：解法都不正确，其正确的解法如下：由①，得72y x =-.③把③代入②，得67217x x --=（）.解得3x =.把3x =代入③，得1y =.∴原方程组的解为31x y =⎧⎨=⎩. 【点评】此题考查了代入法解二元一次方程组．熟练掌握代入法解二元一次方程组方法是解本题的关键．9．解下列方程组：（1）8962717x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②； （2）1353()2(3)15x y x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩. 【答案】（1）322x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）30x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】（1）利用加减消元法解出方程；（2）整理后利用加减消元法解出方程．【解答】（1）4⨯-②①，得3774y =-.解得2y =-，把2y =-代入①，得89(2)6x -⨯-=.解得32x =-， ∴原方程组的解为322x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩；（2）1353()2(3)15x y x y x y ⎧+=⎪⎨⎪++-=⎩，53155315x y x y +=⎧∴⎨-=⎩①②+①②，得1030x =.解得3x =③把③代入①得15315y +=.解得0y =，∴原方程组的解是30x y =⎧⎨=⎩． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法，运用加减消元法和代入法是解方程常用的方法． 10．阅读下列解方程组的方法，然后解答问题：解方程组141516171819x y x y +=⎧⎨+=⎩①②时，直接消元是很繁琐的，采用下面的解法则会简单许多.解：-②①得333x y +=，所以1x y +=.③14⨯③，得141414x y +=.④-①④，得2y =，从而得1x =-.所以原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩. （1）请你运用上述方法解方程组201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩， （2）猜测关于x ，y 的方程组(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩，()m n ≠的解是什么？并用方程组的解加以验证. 【答案】（1）12x y =-⎧⎨=⎩（2）12x y =-⎧⎨=⎩，验证见解析. 【分析】（1）利用“加减消元”来解方程组；（2）先假设该方程组的解，然后代入原方程组验证即可．【解答】（1）201520162017201820192020x y x y +=⎧⎨+=⎩①②，-②①，得333,x y +=1x y ∴+=③2015⨯③，得201520152015x y +=④-①④，得2y =.把2y =代入③，得21x +=，解得1x =-，∴原方程组的解是12x y =-⎧⎨=⎩； （2）关于x ，y 的方程组(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩，()m n ≠的解是12x y =-⎧⎨=⎩，(1)2(1)2mx m y m nx n y n ++=+⎧⎨++=+⎩①②当1,x =-2y =时，方程①左边(1)2m m =-++⨯22m m =-++2m =+=右边，方程②左边(1)2n n =-++⨯222n n n =-++=+=右边，12x y =-⎧∴⎨=⎩是原方程组的解． 【点评】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键．11．某服装点用6000购进A,B 两种新式服装,按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价−进价)，这两种服装的进价，标价如表所示．(1)求这两种服装各购进的件数；(2)如果A 种服装按标价的8折出售，B 种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元?【答案】（1）A 种服装购进50件，B 种服装购进30件；（2）2440元【分析】（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由总价=单价×数量，利润=售价-进价建立方程组求出其解即可；（2）分别求出打折后的价格，再根据少收入的利润=总利润-打折后A 种服装的利润-打折后B 中服装的利润，求出其解即可．【解答】解：（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由题意，得 60100600040603800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5030x y =⎧⎨=⎩，答：A 种服装购进50件，B 种服装购进30件；（2）由题意，得：3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）=3800-1000-360=2440（元）．答：服装店比按标价售出少收入2440元．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．12．若关于x 、y 的方程组451x y ax by -=⎧⎨+=-⎩和393418x y ax by +=⎧⎨-=⎩有相同的解，求a 、b 的值． 【答案】11a b =⎧⎨=-⎩【解析】试题分析：将两方程组中的第一个方程联立，求出x 与y 的值，代入两方程组中的第二个方程中得到关于a 与b 的方程组，求出方程组的解即可得到a 与b 的值．试题解析：先解方程组4539x y x y -⎧⎨+⎩＝＝ 解得：23x y ⎧⎨⎩＝＝将x=2、y=3代入另两个方程，得方程组：23161218a b a b +-⎧⎨-⎩＝＝ 解得11a b =⎧⎨=-⎩. 13．已知关于,x y 的方程组3=1331x y a x y a++⎧⎨+=-⎩的解满足0x y +>，则a 的取值.【答案】a>−1【解析】试题分析：方程组两方程相加，变形后表示出x+y，代入已知不等式计算即可求出a的范围．试题解析：31331x y ax y a+=+⎧⎨+=-⎩①②，①+②得：4(x+y)=2+2a，即x+y=12a+，代入x+y>0得：12a+>0，解得：a>−1.14．某足球协会举办了一次足球联赛，记分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.当比赛进行到12轮结束（每队均需比赛12场）时，甲队得分是19分，请你通过计算分析甲队胜几场、平几场、负几场？【答案】有三种可能性，即4,{7,1.xyz===或5,{4,3.xyz===或6,{1,5.xyz===【解析】试题分析：设甲队胜x场、平y场、负z场，则有12,{319.x y zx y++=+=这是一个不定方程，若把x当成已知数，可以得到193,{27.y xz x=-=-由题意x≥0、平y≥0、负z≥0，即0,{1930,270.xxx≥-≥-≥解得312≤x≤613，于是x取4、5、6，由此可以得到三组解.有三种可能性，即4,{7,1.xyz===或5,{4,3.xyz===或6,{1,5.xyz===考点：三元一次方程组点评：本题难度中等，主要考查学生对三元一次方程组知识点解决实际问题的掌握．15．一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表所示：现租用该公司3辆甲种货车及4辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨付运费30元计算，问货主应付运费多少元？【答案】660元．【分析】设甲种货车每辆运货x 吨，乙种货车每辆运货y 吨，先根据表格建立方程组，求出x 、y 的值，再根据这次租用的甲、乙两种货车的数量和每吨运费列出运算式子，由此即可得．【解答】设甲种货车每辆运货x 吨，乙种货车每辆运货y 吨，由题意得：2315.55635x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得42.5x y =⎧⎨=⎩， 则货主应付运费为()344 2.530660⨯+⨯⨯=（元），答：货主应付运费660元．【点评】本题考查了二元一次方程组的实际应用，依据题意，正确建立方程组是解题关键．16．是否存在整数k ，使方程组2+y=k 1x x y ⎧⎨-=⎩的解中，x 大于1，y 不大于1，若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由．【答案】存在;k 只能取3，4，5【分析】解此题时可以解出二元一次方程组中x ，y 关于k 的式子，然后解出k 的范围，即可知道k 的取值．【解答】解:解方程组2+y=k 1x x y ⎧⎨-=⎩得1323k x k y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩∵x 大于1，y 不大于1从而得不等式组113223k k +⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩ 解之得2＜k≤5又∵k 为整数∴k 只能取3，4，5答：当k 为3，4，5时，方程组2+y=k 1x x y ⎧⎨-=⎩的解中，x 大于1，y 不大于1．【点评】此题考查的是二元一次方程组和不等式的性质，要注意的是x ＞1，y≤1，则解出x ，y 关于k 的式子，最终求出k 的范围，即可知道整数k 的值．17．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组8 -1mx ny nx my +=⎧⎨=⎩的解，求2m-n 的算术平方根． 【答案】2【分析】把方程组的解代入，得到含m 、n 的方程组，解方程组可得m 、n 的值，再求出2m-n 的算术平方根即可.【解答】∵21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组8 -1mx ny nx my +=⎧⎨=⎩的解, ∴2821m n n m +=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩， ∴223422m n -⨯-===，即2m-n 的算术平方根为2.故答案为：2.【点评】此题考查了解二元一次方程组，求一个数的算术平方根，正确正确二元一次方程组的解法求解二元一次方程组的解是解题的关键.18．温州苍南马站四季柚，声名远播，今年又是一个丰收年，某经销商为了打开销路，对1 000个四季柚进行打包优惠出售．打包方式及售价如图所示．假设用这两种打包方式恰好装完全部柚子．(1)若销售a 箱纸盒装和a 袋编织袋装四季柚的收入共950元，求a 的值；(2)当销售总收入为7 280元时：①若这批四季柚全部售完，请问纸盒装共包装了多少箱，编织袋装共包装了多少袋．②若该经销商留下b (b >0)箱纸盒装送人，其余柚子全部售出，求b 的值．【答案】(1) a＝5；(2)①纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋；②b为9.【分析】（1）根据收入共950元，可得出一元一次方程，解出即可；（2）①纸盒装共包装了x箱，则编织袋装共包装y 袋，根据等量关系可得出方程组，解出即可；②根据①的关系可以y表示出x，减去留下的b箱纸盒装，再由销售总收入为7280元，可得出方程，解出即可．【解答】(1)由题意得64a＋126a＝950，得a＝5.(2)①设纸盒装共包装了x箱，编织袋装共包装了y袋．由题意得解得∴纸盒装共包装了35箱，编织袋装共包装了40袋．②当8x＋18y＝1 000时，得x＝＝125－，由题意得64＋126y＝7 280，得y＝40－.∵x，y，b都为整数，且x≥0，y≥0，b＞0，∴b＝9，x＝107，y＝8.∴b为9.【点评】本题考查了二元一次方程组及二元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，理解题目所述的意思，转化为方程思想求解，难度一般．19．在“五一”期间，小明､小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与爸爸的对话(如图)，请根据图中的信息，解答下列问题：(1)他们共去了几个成人，几个学生？(2)请你帮他们算算，用哪种方式购票更省钱？【答案】（1）他们一共去了8个成人，4个学生；（2）按团体票购票更省钱【分析】（1）本题有两个相等关系：学生人数+成人人数=12人，成人票价+学生票价=400元，据此设未知数列方程组求解即可；（2）计算出按照团体票购买需要的钱数，然后与400元作对比即得答案．【解答】解：(1)设去了x 个成人，y 个学生，依题意得，1240400.5400x y x y +=⎧⎨+⨯=⎩，解得84x y =⎧⎨=⎩，答：他们一共去了8个成人，4个学生；(2)若按团体票购票，共需16×40×0.6＝384(元)，∵384＜400，∴按团体票购票更省钱．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．20．我校组织一批学生开展社会实践活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元．（1）这批学生的人数是多少？原计划租用45座客车多少辆？（2）若租用同一种客车，要使每位学生都有座位，应该怎样租用合算？【答案】（1）240人，原计划租用45座客车5辆；（2）租4辆60座客车划算．【分析】（1）设这批学生有x 人，原计划租用45座客车y 辆，根据“原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满”，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）找出每个学生都有座位时需要租两种客车各多少辆，由总租金=每辆车的租金×租车辆数分别求出租两种客车各需多少费用，比较后即可得出结论．【解答】（1）设这批学生有x 人，原计划租用45座客车y 辆，根据题意得：()=4515=601x y x y +⎧⎨-⎩， 解得：=240=5x y ⎧⎨⎩, 答：这批学生有240人，原计划租用45座客车5辆．（2）∵要使每位学生都有座位，∴租45座客车需要5+1=6辆，租60座客车需要5-1=4辆．220×6=1320（元），300×4=1200（元），∵1320＞1200，∴若租用同一种客车，租4辆60座客车划算．【点评】此题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）求出租两种客车各需多少费用．21．阅读理解：解方程组215432x y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，如果设11,,a b x y ==则原方程组可变形为关于a 、b 的方程组25342a b a b -=⎧⎨+=⎩，解这个方程组得到它的解为21a b =⎧⎨=-⎩由112,1,x y ==-求的原方程组的解为121x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，利用上述方法解方程组：52113213x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 【答案】1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【分析】仿照例题，设1x ＝m ，1y ＝n ，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组，求出m ，n 的值，进而求出方程组的解． 【解答】设1x ＝m ，1y ＝n ，则原方程组可变形为关于m 、n 的方程组52113213m n m n +=⎧⎨-=⎩①②， ①＋②得：8m ＝24，解得：m ＝3，将m ＝3代入①得：n ＝−2，则方程组的解为：32m n =⎧⎨=-⎩， 由1x＝3，1y ＝−2， 故方程组的解为：1312x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点评】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点的理解和掌握，能把二元一次方程组转化成关于m ，n 的方程组是解此题的关键．22．某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元．()1若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案； ()2若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元，200元，250元，在以上的方案中，为使获利最多，商场应选择哪种进货方案？【答案】()1有2种方案．方案一：甲种25台，乙种25台；方案二：甲种35台，丙种15台；()2购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．所以应选择方案二．【分析】（1）可分甲、乙，甲、丙和乙、丙三种方案，分别列式求解，再根据实际意义取舍即可； （2）分别求出方案一和方案二的利润，通过比较两个方案利润的大小即可得解.【解答】（1）①设购进甲x 台，乙()50x -台，()1500x 210050x 90000+-=；∴ x 25=；∴ 购进甲25台，乙25台．②设购进甲x 台，丙()50x -台()1500x 250050x 90000+-=；∴ x 35=；购进甲35台，丙15台．③设购进乙x 台，丙()50x -台()2100x 250050x 90000+-=；∴ x 87.5=（舍）所以选择有2种方案．方案一：甲种25台，乙种25台；方案二：甲种35台，丙种15台；（2）利润应为：方案一：25150252008750⨯+⨯=元，方案二：35150152509000⨯+⨯=元，∵ 9000元8750>元，∴ 方案二获利多，购买甲种电视机35台，丙种电视机15台获利最多．所以应选择方案二．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．23．一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知他们的总辆数为16辆，你能通过列方程组的方法分别求出几种车型的辆数吗？（3）求出哪种方案的运费最省？最省是多少元？【答案】（1）需要甲车8辆，乙车10辆（2）有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；（3）甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.【分析】（1）设需要甲车x 辆，乙车y 辆，根据运费8200元，总吨数120吨，列出方程组求解即可；（2）设甲车有x 辆，乙车有y 辆，丙车有z 辆，列出方程组，再根据,,x y z 均为正整数，求出,x y 的值，即可求解；（3）根据三种方案求出运费即可求解；【解答】（1）设需要甲车x 辆，乙车y 辆由题意可得：581204005008200x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：810x y =⎧⎨=⎩∴ 需要甲车8辆，乙车10辆（2）设甲车有x 辆，乙车有y 辆，丙车有z 辆由题意可得：165810120x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩消去z 可得：5240,x y +=285x y ∴=- 由于,x y 是非负整数，且不大于16，得：0,5,10,15y =由z 是非负整数，解得8640,5,10852x x x y y y z z z ===⎧⎧⎧⎪⎪⎪===⎨⎨⎨⎪⎪⎪===⎩⎩⎩∴ 有三种运送方案：①甲车型8辆，丙车型8辆；②甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆；③甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆；（3）三种方案得运费分别是：①400860088000⨯+⨯=；②4006500560057900⨯+⨯+⨯=；③40045001060027800⨯+⨯+⨯=.∴甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆时，最少运费是7800元.【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用问题，根据题意准确的列出方程组是求解本题的关键.24．为了参加2011年国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行专项训练．某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共5千米，用时15分钟．求自行车路段和长跑路段的长度．【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度2千米．【解答】设自行车路段和长跑路段的长度分别是x米、y米则500015 500200x yx y+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：x=3000，y=2000答：自行车路段和长跑路段的长度分别是3000米、2000米25．在等式y＝ax2+bx+c中，当x＝﹣1时，y＝3；当x＝0时，y＝1，当x＝1时，y＝1，求这个等式中a、b、c的值．【答案】a＝1，b＝﹣1，c＝1．【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．【解答】由题意得，311 a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得，a＝1，b＝﹣1，c＝1．【点评】本题考查的是三元一次方程组的解法，解三元一次方程组的一般步骤：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值，得到方程组的解．26．某商贸公司有A、B两种型号的商品需运出，这两种商品的体积和质量分别如下表所示：（1）已知一批商品有A 、B 两种型号，体积一共是20立方米，质量一共是10．5吨，求A 、B 两种型号商品各有几件？（2）物资公司现有可供使用的货车每辆额定载重3．5吨，容积为6立方米，其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费600元；②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费200元．现要将（1）中商品一次或分批运输到目的地，如果两种收费方式可混合使用，商贸公司应如何选择运送、付费方式，使其所花运费最少，最少运费是多少元？【答案】（1）A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元【分析】（1）设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，根据体积与质量列方程组求解即可；（2）①按车付费=车辆数⨯600；②按吨付费=10.5⨯200；③先按车付费，剩余的不满车的产品按吨付费，将三种付费进行比较.【解答】（1））设A 、B 两种型号商品各x 件、y 件，0.82200.510.5x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得58x y =⎧⎨=⎩， 答：A 种型号商品有5件，B 种型号商品有8件；（2）①按车收费：10.5 3.53÷=（辆），但是车辆的容积63⨯=18<20，3辆车不够，需要4辆车，60042400⨯=（元）；②按吨收费：200⨯10.5=2100（元）；③先用车辆运送18m 3，剩余1件B 型产品，共付费3⨯600+1⨯200=2000（元），∵2400>2100>2000，∴先按车收费用3辆车运送18m 3，再按吨收费运送1件B 型产品，运费最少为2000元.【点评】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键，（2）注意分类讨论，分别求出费用进行比较解答问题.27．阅读以下材料：若x +3y +5z =5，x +4y +7z =7，求x +y +z 的值．解：x +y +z =3（x +3y +5z ）﹣2（x +4y +7z ）=3×5﹣2×7=1．答：x +y +z 的值的为1．根据以上材料提供的方法解决如下问题：若2x +5y +4z =6，3x +y ﹣7z =﹣4，求x +y ﹣z 的值．【答案】x+y-z=0【分析】根据2x +5y +4z =6，3x +y ﹣7z =﹣4，将题目中的式子变形即可求得x +y ﹣z 的值．【解答】4（2x +5y +4z ）+6（3x +y ﹣7z ）=8x +20y +16z +18x +6y ﹣42z=26x +26y ﹣26z=26（x +y ﹣z ）=4×6+6×（﹣4）=24－24=0．解得：x +y ﹣z =0．【点评】本题考查了解三元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，求出所求式子的值． 28．定义运算“*”，规定2*x y ax by =+，其中a ，b 为常数，且1*25=，2*16=，求2*3的值.【答案】10【分析】根据题意，找出新定义的化简规律，对等式进行化简即可.【解答】解：根据题中的新定义化简已知等式，得2546a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩，则2*34364610c =+=+=. 故2*3的值为10.【点评】此题重点考查学生对二元一次方程组的解法的应用，掌握二元一次方程的解法是解题的关键. 29．阅读下面资料：小明遇到这样一个问题：如图1，对面积为a 的△ABC 逐次进行以下操作：分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C1，使得A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C1A =2CA ，顺次连接A 1、B 1、C 1，得到△A 1B 1C 1，记其面积为S 1，求S 1的值.小明是这样思考和解决这个问题的：如图2，连接A 1C 、B 1A 、C 1B ，因为A 1B =2AB ，B 1C =2BC ，C 1A =2CA ，根据等高两三角形的面积比等于底之比，所以11∆∆=A BC B CA S S =11∆∆=A BC C AB S S =2S △ABC =2a ，由此继续推理，从而解决了这个问题.（1）直接写出S 1=（用含字母a 的式子表示）.请参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（2）如图3，P 为△ABC 内一点，连接AP 、BP 、CP 并延长分别交边BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，则把△ABC 分成六个小三角形，其中四个小三角形面积已在图上标明，求△ABC 的面积.（3）如图4，若点P 为△ABC 的边AB 上的中线CF 的中点，求S △APE 与S △BPF 的比值.【答案】（1）19a ；（2）315；（3）23. 【解析】【分析】（1）首先根据题意，求得S △A1BC =2S △ABC ，同理可求得S △A1B1C =2S △A1BC ，依此得到S △A1B1C1=19S △ABC ，则可求得面积S 1的值；（2）根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比，求解，从而不难求得△ABC 的面积； （3）设S △BPF =m ，S △APE =n ，依题意，得S △APF =S △APC =m ，S △BPC =S △BPF =m ．得出23APE BPF S S ∆∆=，从而求解． 【解答】解：（1）连接A 1C ，∵B 1C=2BC ，A 1B=2AB ，∴122BCA ABC SS a ==,122BCA ABC S S a ==,1112A B C BCA S S =， ∴1144A B C ABCS S a ==，∴1166A B B ABC S S a ==，同理可得出：11116A AC CB C S S a ==，∴S 1=6a+6a+6a+a=19a ；故答案为：19a ；（2）过点C 作CG BE ⊥于点G ，设BPF S x ∆=，APE S y ∆=，1·702BPC S BP CG ∆==；1·352PCE S PE CG ∆==， ∴1·7022135·2BPCPCE BP CG S S PE CG ∆∆===． ∴2BP EP=，即2BP EP =． 同理，APB APE S BP S PE ∆∆=． 2APB APE S S ∆∆∴=．842x y ∴+=．①8440APB BPD S AP x S PD ∆∆+==，3530APC PCD S AP y S PD ∆∆+==， ∴84354030x y ++=．② 由①②，得5670x y =⎧⎨=⎩， 315ABC S ∆∴=．（3）设BPF S m ∆=，APE S n ∆=，如图所示．依题意，得APF APC S S m ∆∆==，BPC BPF S S m ∆∆==．PCE S m n ∆∴=-．BPC APB APE PCE S S BP S S PE∆∆∆∆==， ∴2m m n m n=-． 2()m m n mn ∴-=，0m ≠，22m n n ∴-=． ∴23n m =． ∴23APE BPF S S ∆∆=． 【点评】此题考查了三角形面积之间的关系．（2）的关键是设出未知三角形的面积，然后根据等高不等底的三角形的面积的比等于底边的比列式求解．30．如图，A 、B 两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B 地的距离是到A 地的2倍，这家厂从A 地购买原料，制成食品卖到B 地．已知公路运价为1.5元/(公里•吨)，铁路运价为1元/(公里•吨)，这两次运输(第一次：A 地→食品厂，第二次：食品厂→B 地)共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．问：(1)这家食品厂到A 地的距离是多少？(2)这家食品厂此次买进的原料每吨5000元，卖出的食品每吨10000元，此批食品销售完后工厂共获利多少元？。
专题07 二元一次方程组及其应用(解析版)
专题07 二元一次方程组及其应用专题知识回顾1．二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的指数都是1的方程整式方程叫做二元一次。
方程一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2．二元一次方程组：把两个二元一次方程合在一起，就组成一个二元一次方程组。
3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解。
4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
5．消元：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想。
（1）代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。
（2）加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
专题典型题考法及解析【例题1】（2019年福建省）解方程组．【答案】方程组的解为．【解析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．方程组利用加减消元法求出解即可．，①+②得：3x＝9，即x＝3，把x＝3代入①得：y＝﹣2，则方程组的解为．【例题2】（2019年浙江省丽水市）解方程组【答案】∴【解析】根据二元一次方程组的解法，先将式子①化简，再用加减消元法（或代入消元法）求解；，将①化简得：﹣x+8y＝5 ③，②+③，得y＝1，将y＝1代入②，得x＝3，∴【例题3】（2019年湖南省怀化市）解二元一次方组：【答案】见解析。
【解析】直接利用加减消元法进而解方程组即可．，①+②得：2x＝8，解得：x＝4，则4﹣3y＝1，解得：y＝1，故方程组的解为：．【例题4】（2019年山东省潍坊市）己知关于x，y的二元一次方程组的解满足x＞y，求k的取值范围．【答案】k＜5．【解析】先用加减法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可．①﹣②得：x﹣y＝5﹣k，∵x ＞y ，∴x ﹣y ＞0．∴5﹣k ＞0．解得：k ＜5．【例题5】（2019年海南省）时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元，若购买1千克“红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元．请问这两种百香果每千克各是多少元？【答案】“红土”百香果每千克25元，“黄金”百香果每千克30元．【解析】设“红土”百香果每千克x 元，“黄金”百香果每千克y 元，由题意得：解得： 【例题6】（2019年湖南省益阳市）为了提高农田利用效益，某地由每年种植双季稻改为先养殖小龙虾再种植一季水稻的“虾•稻”轮作模式．某农户有农田20亩，去年开始实施“虾•稻”轮作，去年出售小龙虾每千克获得的利润为32元（利润＝售价﹣成本）．由于开发成本下降和市场供求关系变化，今年每千克小龙虾的养殖成本下降25%，售价下降10%，出售小龙虾每千克获得利润为30元．求去年每千克小龙虾的养殖成本与售价。
二元一次方程组的应用——计费问题(解析版)
二元一次方程组的应用——计费问题1、某商店要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如表：若商店计划售完这批商品后能使利润达到1250元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？（注：利润=售价-进价）2、甲、乙两种型号的风扇成本分别为120元/台、170元/台，销售情况如下表所示（成本、售价均保持不变，利润=收入-成本）（1）求这两种型号的风扇的售价．（2）打算再采购这两种型号的风扇共130台，销售完后总利润能不能恰好为8010元？若能，给出相应的采购方案；若不能，说明理由．3、某服装店用6000元购进A、B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元（毛利润=售价-进价），这两种服装的进价、标价如下表所示：（1）求这两种服装各购进的件数．（2）如果A中服装按标价的8折出售，B中服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？4、某天，一蔬菜经营户用60元钱按批发价从蔬菜批发市场买了西红柿和豆角共40 kg，然后在市场上按零售价出售，西红柿和豆角当天的批发价和零售价如下表所示：如果西红柿和豆角全部以零售价售出，他当天卖这些西红柿和豆角赚了多少元钱？5、某商场投入13800元资金购进甲、乙两种矿泉水共500箱，矿泉水的成本价和销售价如表所示：（1）该商场购进甲、乙两种矿泉水各多少箱？（2）全部售完500箱矿泉水，该商场共获得利润多少元？6、某商场用2500元购进了A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如表所示．（1）这两种台灯各购进多少盏？（2）若A型台灯按标价的九折出售，B型台灯按标价的八折出售，那么这批台灯全部售完后，商场共获利多少元？7、某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：（注：利润=售价-进价）若商店计划销售完这批商品后能使利润达到1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？8、杭外即将迁校，学校打算将120吨的课桌书籍等物品运往新校舍．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）若全部物品都用甲、乙两种车型来运送，需运费4100元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（2）为了节省运费，学校打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数为14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费是多少元？9、为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．如表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：（说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量；②水费=自来水费用+污水处理费用）已知小王家2019年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．（1）求a、b的值．（2）随着夏天的到来，用水量将增加．为了节省开支，小王计划把6月份的水费控制在不超过家庭月收入的2%．若小王家的月收入为9200元，则小王家6月份最多能用水多少吨？10、小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，商品A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：（1）小林以折扣价购买商品A、B是第______次购物．（2）求出商品A、B的标价．（3）若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？11、某些风景旅游景点将于5月1日前后相继开放，为了更多地吸引游客前去游览，某景点给出的团体门票票价如下：今有甲、乙两个旅行团，已知甲团人数少于50人，乙团人数不超过100人，若分别购票，两团共计应付门票费1392元，若合在一起作为一个团体购票，总计应付门票费1080元．（1）你判断乙团的人数是否也少于50人？（2）求甲、乙两个旅行团各有多少人？12、某电器超市销售每台进价为200元，170元的A，B两种型号的电风扇，如图所示是近2周的销售情况：（1）求A，B两种型号的电风扇的销售单价．（2）若超市再采购这两种型号的电风扇共30台，并且全部销售完，该超市能否实现利润为1400元的利润？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．13、为鼓励居民节约用电，广州市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费．具体收费标准见下表：（1）学而思的小黑老师在6月份用电320千瓦时，需交电费196元，7月份用电450千瓦时，需交电费293元，求a 、b 的值．（2）广州某电力公司在元旦推出了一款居民用电套餐：每月只要缴纳20元的基础费用，不超过400千瓦时的部分按8.5折收费，但超过400千瓦时的部分电费要上调5%．小白老师平均每个月用电为450千瓦时，请问小白老师使用该套餐划算吗？14、某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费a 元：为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付b 元超重费．设某件物品的重量为x 千克．（1）回答下列问题：（1）当x ≤16时，支付费用为______元（用含a 的代数式表示）．（2）当x ≥16时，支付费用为______元（用含x 和a 、b 的代数式表示）．（2）甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示：（1）试根据以上提供的信息确定a ，b 的值．（2）试问在物品可拆分的情况下，用不超过105元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由．15、列方程组解应用题：在元旦期间，某商场投入13800元资金购进甲、乙两种商品共500件，两种商品的成本价和销售价如下表所示：（1）该商场购进两种商品各多少件？（2）这批商品全部销售完后，该商场共获利多少元？16、雅安地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城，值地震发生周年之际，某地政府又筹集了重建家园的必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运算如下表所示：（假设每辆车均满载）（1）全部物资可用甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车______辆来运送．（2）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？（3）为了节省运费，该地政府打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知它们的总辆数位14辆，你能分别求出三种车型的辆数吗？此时的运费又是多少元？17、请列方程解决下面的问题：小张自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一类服装．为了缓解资金压力，小张决定将这类服装打折销售．若每件服装按标价的5折出售将亏20元，而按标价的8折出售将赚40元．（1）请你算一算每件服装的标价和进价各是多少元．（2）该服装改款后，小张又以同样的进价进货500件，若标价不变，按标价销售了300件后，剩下的进行甩卖，为了保证盈利2万元，小张最低能打几折．18、列方程组解应用题：某服装店购进一批甲、乙两种款式时尚T恤衫，用14200元恰好购进100件，已知甲种款型T恤进价为130元/件，且甲种款型的每件进价比乙种款型每件进价少30元．（1）求甲、乙两种款型的T恤各购进多少件？（2）商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款全部售完，乙款剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤商店共获利多少元？19、在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴．村民小李购买了一台A型洗衣机，小王购买了一台B型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知B型洗衣机售价比A型洗衣机售价多500元．（1）A型洗衣机和B型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元？20、小玥的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨，准备做萝卜排骨汤．以下是爸爸、妈妈之间的对话：妈妈说：“今天买这两样菜共花了45元，上月买同重量的这两样菜只要36元”；爸爸说：“报纸上说了萝卜的单价上涨50%，排骨的单价上涨20%”；请你根据对话对内容通过列方程（组）求解这天萝卜、排骨的单价（单位：元/斤）．21、为迎接“五一劳动节”，某超市开展促销活动，决定对A，B两种商品进行打折出售．打折前，买6件A商品和3件B商品需要108元，买3件A商品和4件B商品需要94元．问：打折后，若买5件A商品和4件B商品仅需86元，比打折前节省了多少元钱？22、某种商品A的零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店按零售价的九折优惠后，再让利40元销售，仍可获利10%，（1）这种商品A的进价为多少元？（2）现有另一种商品B进价为600元，每件商品B也可获利10%．对商品A和B共进货100件，要使这100件商品共获纯利6670元，则需对商品A、B分别进货多少件？23、某校举办数学竞赛，并为获奖同学购买签字笔和笔记本作为奖品．1支签字笔和2个笔记本共8.5元，2支签字笔和3个笔记本共13.5元．（1）求签字笔和笔记本的单价分别是多少元？（2）为了激发学生的学习热情，学校决定给每名获奖同学再购买一本文学类且定价为15元的图书．书店出台如下促销方案：购买图书总数超过50本可以享受8折优惠，经计算发现，学校如果多买12本，则可以享受优惠且所花钱数与原来相同，问学校获奖的同学有多少人？24、2017年5月31日，昌平区举办了首届初二年级学生“数学古文化阅读展示”活动，为表彰在本次活动中表现优秀的学生，老师决定在6月1日购买笔袋或彩色铅笔作为奖品．已知1个笔袋、2筒彩色铅笔原价共需44元；2个笔袋、3筒彩色铅笔原价共需73元．（1）每个笔袋、每筒彩色铅笔原价各多少元？（2）时逢“儿童节”，商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：笔袋“九折”优惠；彩色铅笔不超过10筒不优惠，超出10筒的部分“八折”优惠．若买x个笔袋需要y1元，买x筒彩色铅笔需要y2元．请用含x的代数式表示y1、y2．（3）若在（2）的条件下购买同一种奖品95件，请你分析买哪种奖品省钱．25、某班去体育用品商店购买羽毛球和羽毛球拍，每只羽毛球2元，每副羽毛球拍25元．甲商店说：“羽毛球拍和羽毛球都打9折优惠”，乙商店说：“买一副羽毛球拍赠2只羽毛球”．（1）该班如果买2副羽毛球拍和20只羽毛球，问在甲、乙两家商店各需花多少钱？（2）该班如果准备花90元钱全部用于买2副羽毛球拍和若干只羽毛球，请问到哪家商店购买更合算？（3）该班如果必须买2副羽毛球拍，问当买多少只羽毛球时到两家商店购买同样合算？26、如图，A、B两地有公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地的2倍，这家工厂从A地购买原料，制成食品卖到B地．已知公路运价为1.5元/（公里·吨），铁路运价为1元/（公里·吨），这两次运输（第一次：A地→食品厂，第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．（1）这家食品厂到A地的距离是多少？（2）这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各多少吨？参考答案1、答案：甲、乙两种商品应分别购进70件、90件．解答：设甲、乙两种商品应分别购进x 件、y 件，()()160201545351250x y x y +=⎧⎨-⨯+-⨯=⎩解得7090x y =⎧⎨=⎩，答：甲、乙两种商品应分别购进70件、90件．2、答案：（1）甲型号风扇的售价为150元/台，乙型号风扇的售价为260元/台．（2）不能．解答：（1）设甲型号风扇的售价为x 元/台，乙型号风扇的售价为y 元/台，根据题意得：6522004103200x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：150260x y =⎧⎨=⎩．答：甲型号风扇的售价为150元/台，乙型号风扇的售价为260元/台．（2）设购进甲型号风扇m 台，则购进乙型号风扇（130-m ）台，根据题意得：（150-120）m +（260-170）（130-m ）=8010，解得：m =1232， ∵1232不为整数， ∴销售完后总利润不能恰好为8010元．3、答案：（1）50；30（2）2440解答：（1）设A 种服装购进x 件，B 种服装购进y 件，由题意，得60100600040603800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：5030x y =⎧⎨=⎩． 答：A 种服装购进50件，B 种服装购进30件．（2）由题意，得3800-50（100×0.8-60）-30（160×0.7-100）=3800-1000-360=2440（元）．答：服装店比按标价售出少收入2440元．4、答案：当天卖这些西红柿和豆角赚了37元钱．解答：设批发西红柿x kg ，批发豆角y kg ，由题意得，401.2 1.660x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：1030x y =⎧⎨=⎩， 共赚钱为：（1.9-1.2）×10+（2.6-1.6）×30=37（元）．答：当天卖这些西红柿和豆角赚了37元钱．5、答案：（1）商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．（2）该商场共获得利润6600元．解答：（1）设商场购进甲种矿泉水x 箱，购进乙种矿泉水y 箱，由题意得500243313800x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：300200x y =⎧⎨=⎩． 答：商场购进甲种矿泉水300箱，购进乙种矿泉水200箱．（2）300×（36-24）+200×（48-33）=3600+3000=6600（元）．答：该商场共获得利润6600元．6、答案：（1）A 灯进了30盏，B 灯进了20盏．（2）720．解答：（1）设A 灯进了x 盏，B 灯进了y 盏，则5040652500x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得x =30，y =20．答：A 灯进了30盏，B 灯进了20盏．（2）依题意得：30×（60×90%-40）+20×（100×80%-65）=30×14+20×15=420+300=720（元）．答：共获利720元．7、答案：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件．解答：设甲种商品应购进x 件，乙种商品应购进y 件，依题意得：()()160201545351100x y x y +=⎧⎨-+-=⎩， 解得：10060x y =⎧⎨=⎩，答：甲种商品应购进100件，乙种商品应购进60件．8、答案：（1）甲车8辆；乙车10辆．（2）甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，运费3750元解答：（1）设需要甲种车x ，乙种车型y 辆．581208200250410010x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，． （2）设甲车有a 辆，乙车有b 辆，丙车有（14-a -b ）辆5a +8b +（14-a -b ）×10=120arrow 5a +2b =20，a =4-25b ． ∵a ，b ，14-a -b 均为正整数．∴b 只能等于5，a =2，14-a -b =7∴甲车2，乙车5，丙车7辆．共需200×2+250×5+300×7=3750元．9、答案：（1）a =2.2，b =4.2．（2）小王家六月份最多能用水40吨．解答：（1）由题意，得：()()()()170.830.866170.880.891a b a b ⎧+++=⎪⎨+++=⎪⎩，①，②②-①，得5（b +0.8）=25，b =4.2，把b =4.2代入①，得17（a +0.8）+3×5=66，解得a =2.2，∴a =2.2，b =4.2．（2）当用水量为30吨时，水费为：17×3+13×5=116（元），9200×2%=184元，∵116＜184，∴小王家六月份的用水量超过30吨．设小王家六月份用水量为x 吨，由题意，得17×3+13×5+6.8（x -30）≤184，6.8（x -30）≤68，解得x ≤40．答：小王家六月份最多能用水40吨．10、答案：（1）三（2）商品A 的标价为90元，商品B 的标价为120元．（3）商店是打6折出售这两种商品的．解答：（1）小林以折扣价购买商品A 、B 是第三次购物．故答案为：三．（2）设商品A 的标价为x 元，商品B 的标价为y 元，根据题意，得651140371110x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：90120x y =⎧⎨=⎩．答：商品A 的标价为90元，商品B 的标价为120元．（3）设商店是打a 折出售这两种商品，由题意得，（9×90+8×120）×10a =1062，解得：a =6．答：商店是打6折出售这两种商品的．11、答案：（1）乙团的人数不可能少于50人．（2）甲团有36人，乙团有84人．解答：（1）设甲团有x 人，乙团有y 人，且0＜y ＜50人，13x +13y =1392，x +y =10713， ∴乙团的人数不可能少于50人．（2）∵乙团人数不超过100人，且由（1）可得乙团人数大于50人，甲和乙团人数大于100人，∴根据题意列方程组：13111392 991080x y x y +=⎧⎨+=⎩①②， 由②得：x +y =120，③由①得：2x +11（x +y ）=1392，④把③代入到④得：2x +11×120=1392，解得x =36，把x =36代入到③得：y =84．∴甲团有36人，乙团有84人．12、答案：（1）A 、B 两种型号的电风扇的销售单价分别为250元、210元．（2）采购A 种型号电风扇20台，B 种型号电风扇10台．解答：（1）设A 型号的电风扇的销售单价为x 元、B 型号的电风扇的销售单价为y 元，由题意得： 3518004103100x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得250210x y =⎧⎨=⎩， 答：A 、B 两种型号的电风扇的销售单价分别为250元、210元．（2）设采购A 种型号电风扇a 台，则采购B 种型号电风扇（30-a ）台，由题意， 得：（250-200）a +（210-170）（30-a ）=1400，解得：a =20，则30-a =10（台），答：能实现1400元的利润目标，可采购A 种型号电风扇20台，B 种型号电风扇10台．13、答案：（1）a 的值是0.6，b 的值是0.65．（2）划算．解答：（1）根据题意得：()()()240320240196240400240500.3293a b a b a ⎧+-=⎪⎨+-++=⎪⎩， 解得：0.60.65a b =⎧⎨=⎩；答：a 的值是0.6，b 的值是0.65．（2）按450千瓦时来计算，原电费为293元，套餐电费为[240×0.6+（400-240）×0.65]×0.85+（450-400）×0.9×1.05+20=278.05（元）． ∵278.05＜293，∴小白老师使用该套餐划算．答：小白老师使用该套餐划算．14、答案：（1）（1）（a +30）（2）（a +30+（x -16）b ）（2）1267157a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． （2）用不超过105元的费用不能托运50千克物品．解答：（1）（1）当x ≤16，支付费用为a +30（元），（2）当x ≥16时，支付费用为a +30+（x -16）b （元），故答案为：（a +30+（x -16）b ）．（2）1由题意得()()3018163830251653a b a b ⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩， 解得：267157a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（2）将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，此时费用为：3×30+3×267+2×157=105.4元＞105元， ∴用不超过105元的费用不能托运50千克物品．利润的计算15、答案：（1）甲300件；乙200件．（2）总利润6600元．解答：（1）设购进甲x 件，购进乙y 件．500300243313800200x y x x y y +==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩，． 答：该商场购进甲商品300件，购进乙商品200件．（2）总利润为：300（36-24）+200（48-33）=3600+3000=6600（元）．答：该商场获利6600元．16、答案：（1）（4）2甲种车8辆，乙种车10辆（3）甲种车2辆，乙种车5辆，丙种车7辆，此时运费7500元解答：（1）（2）设甲种车x 辆，乙种车y 辆581204005008200x y x y +=⎧⎨+=⎩解得810x y =⎧⎨=⎩ 答：甲种车8辆，乙种车10辆．（3）设丙种车z 辆145810120x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩唯一整数解为257x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩答：甲种车2辆，乙种车5辆，丙种车7辆，此时运费7500元．17、答案：（1）每件服装的标价为200元，进价为120元．（2）小张最低能打5折．解答：（1）设每件服装的标价为a 元，进价为b 元，根据题意得：50%2080%40a b a b -=-⎧⎨-=⎩，解得a =200，b =120．答：标价为200元，进价为120元．（2）设打x 折，则300×（200-120）+（500-300）（200×10x -120）=20000， 解得x =5．答：最低打5折．18、答案：（1）甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件．（2）售完这批T 恤衫商店共获利5960元．解答：（1）设甲种款型的T 恤衫购进x 件，则乙种款型的T 恤衫购进y 件，由题意得 ()1001301303014200x y x y +=⎧⎨++=⎩， 解得6040x y =⎧⎨=⎩， 答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件．（2）130×60%×60+160×60%×（40÷2）-160×[1-（1+60%）×0.5]×（40÷2） =4680+1920-640=5960（元）．答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元．19、答案：（1）A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元．（2）小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．解答：（1）设A 型洗衣机的售价为x 元，B 型洗衣机的售价为y 元，则根据题意，可列方程组，50013%13%351y x x y -=⎧⎨+=⎩， 解得11001600x y =⎧⎨=⎩． ∴A 型洗衣机的售价为1100元，B 型洗衣机的售价为1600元．（2）小李实际付款为：1100（1-13%）=957（元）；小王实际付款为：1600（1-13%）=1392（元）．∴小李和小王购买洗衣机各实际付款957元和1392元．20、答案：萝卜3元/斤，排骨18元/斤．解答：设上月萝卜的单价是x 元/斤，则排骨的单价（3632x -）元/斤，根据题意得 3（1+50%）x +2（1+20%）（3632x -）=45， 解得x =2， 则3632x -=36322-⨯=15． 所以这天萝卜的单价是（1+50%）×2=3（元/斤），这天排骨的单价是（1+20%）×15=18（元/斤）．答：这天萝卜的单价是3元/斤，排骨的单价是18元/斤．21、答案：比打折前节省了28元．解答：设打折前一件商品A 的价格为x 元，一件商品B 的价格为y 元．依题意得631083494x y x y +=⎧⎨+=⎩． 解得1016x y =⎧⎨=⎩． ∴5×10+4×16-86=28（元）．答：比打折前节省了28元．22、答案：（1）700元．（2）需对商品A 进货67件，需对商品B 进货33件．解答：（1）设这种商品A 的进价为每件a 元，由题意得：（1+10%）a =900×90%-40，解得：a =700，答：这种商品A 的进价为700元．（2）设需对商品A 进货x 件，需对商品B 进货y 件，根据题意，得：10070010%60010%6670x y x y +=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得：6733x y =⎧⎨=⎩，答：需对商品A 进货67件，需对商品B 进货33件．23、答案：（1）签字笔的单价是1.5元/支，笔记本的单价为3.5元/本．（2）学校获奖的同学有48人．解答：（1）设签字笔的单价是x 元/支，笔记本的单价为y 元/本，根据题意得：28.52313.5x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得： 1.53.5x y =⎧⎨=⎩． 答：签字笔的单价是1.5元/支，笔记本的单价为3.5元/本．（2）设学校获奖的同学有m 人，根据题意得：15m =15×0.8（m +12），解得：m =48．答：学校获奖的同学有48人．24、答案：（1）每个笔袋原价14元，每筒彩色铅笔原价15元．（2）y 1=12.6x ．当x ≤10时：y 2=15x ；当x ＞10时：y 2=12x +30．（3）买彩色铅笔省钱．解答：（1）设每个笔袋原价x 元，每筒彩色铅笔原价y 元，根据题意，得：2442373x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：1415x y =⎧⎨=⎩，所以每个笔袋原价14元，每筒彩色铅笔原价15元．（2）y 1=14×0.9x =12.6x ．当x ≤10时：y 2=15x ；当x ＞10时：y 2=12x +30．（3）方法1：∵95＞10，∴将95分别代入y1=12.6x和y2=12x+30中，得y1＞y2．∴买彩色铅笔省钱．方法2：当y1＜y2时，有12.6x＜12x+30，解得x＜50，因此当购买同一种奖品的数量少于50件时，买笔袋省钱；当y1=y2时，有12.6x=12x+30，解得x=50，因此当购买同一种奖品的数量为50件时，两者费用一样；当y1＞y2时，有12.6x＞12x+30，解得x＞50，因此当购买同一种奖品的数量大于50件时，买彩色铅笔省钱．∵奖品的数量为95件，95＞50，∴买彩色铅笔省钱．25、答案：（1）在甲商店需要花81元，在乙商店需要花82元．（2）到甲商店购买更合算．（3）当买15只羽毛球时到两家商店购买同样合算．解答：（1）甲商店：（25×2+2×20）×0.9=81（元）；乙商店：25×2+2×（20-4）=82（元）．答：在甲商店需要花81元，在乙商店需要花82元．（2）设在甲商店能买x只羽毛球，在乙商店能买y只羽毛球．由题意，得：()() 25220.990 2522490xy⎧⨯+⨯=⎪⎨⨯+⨯-=⎪⎩，解得：2524 xy=⎧⎨=⎩，∵25＞24，∴到甲商店购买更合算．（3）设买m只羽毛球时到两家商店购买同样合算．由题意，得：（25×2+2m）×0.9=25×2+2（m-4），解得m=15．答：当买15只羽毛球时到两家商店购买同样合算．26、答案：（1）这家食品厂到A地的距离是50公里，这家食品厂到B地的距离是100公里．（2）这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各220，200吨．解答：（1）这家食品厂到A地的距离是x，这家食品厂到B地的距离是y，可得：22030100x yx y=⎧⎨+=++⎩，解得：50100 xy=⎧⎨=⎩，答：这家食品厂到A地的距离是50公里，这家食品厂到B地的距离是100公里．（2）这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各m，n吨，可得：1.520 1.53015600130********m nm n⨯+⨯=⎧⎨⨯+⨯=⎩，解得：220200mn=⎧⎨=⎩，答：这家食品厂此次共买进原料和卖出食品各220，200吨．。
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【典型题目导入】
（2012春•巴南区校级月考）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机6台．
考点：二元一次方程组的应用．
分析：可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为
10分钟时需要的抽水机台数．
解答：解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意得：
，
解得：x=，a=．
如果要在10分钟内抽完水，至少需要抽水机n台，即x+10a≤10×n×b，代入a、x
的值解得：
n≥6．
故答案填：6．
点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两
个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
【考点训练】二元一次方程组的应用
一、选择题（共10小题）
1．（2008•黔南州）为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方将明文加密传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文，已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a﹣2b，2a+b，例如1，2对应的密文是﹣3，4，当接收方收到的密文是1，7时，解密得到的明文是（）
A ．﹣1，1 B
．
1，1 C
．
1，3 D
．
3，1
2．（2010•绵阳）有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人、绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（）
A ．129 B
．
120 C
．
108 D
．
96
3．（2007•内江）小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是（）
A ．106cm B
．
110cm C
．
114cm D
．
116cm
4．（2011•恩施州）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下：
时刻12：00 13：00 14：30
碑上的数是一个两位数，
数字之和为6
十位与个位数字与12：00
时所看到的正好颠倒了
比12：00时看到的两
位数中间多了个0
则12：00时看到的两位数是（）
A ．24 B
．
42 C
．
51 D
．
15
5．（2008•台湾）若大军买了数支10元及15元的原子笔，共花费90元，则这两种原子笔的数量可能相差几支（）
A ．2 B
．
3 C
．
4 D
．
5
6．（2010•台湾）甲、乙两种机器分别以固定速率生产一批货物，若4台甲机器和2台乙机器同时运转3小时的总产量，与2台甲机器和5台乙机器同时运转2小时的总产量相同，则1台甲机器运转1小时的产量，与1台乙机器运转几小时的产量相同（）
A ．B
．
C
．
D
．
2
7．（2007•眉山）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文．已知某种加密规则为：明文a，b对应的密文为a ﹣2b，2a+b．例如，明文1，2对应的密文是﹣3，4时，当接收方收到密文是1，7时，解密得到的明文是（）
A ．﹣1，1 B
．
1，3 C
．
3，1 D
．
1，1
8．（2010•镇江）小明新买了一辆“和谐”牌自行车，说明书中关于轮胎的使用说明如下：小明看了说明书后，和爸爸讨论：小明经过计算，得出这对轮胎能行驶的最长路程是（）
A ．9.5千公里B
．
千公里C
．
9.9千公里D
．
10千公里
9．（2010•嘉兴）根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（）
A ．0.8元/支，2.6
元/本
B
．
0.8元/支，3.6
元/本
C ．1.2元/支，2.6
元/本
D
．
1.2元/支，3.6
元/本
10．（2007•济宁）同学们喜欢足球吗足球一般是用黑白两种颜色的皮块缝制而成，如图所示，黑色皮块是正五边形，白色皮块是正六边形．若一个球上共有黑白皮块32块，请你计算一下，黑色皮块和白色皮块的块数依次为（）
A ．16块、16块B
．
8块、24块C
．
20块、12块D
．
12块、20块
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．（2013•赤峰）一艘轮船顺水航行的速度是20海里/小时，逆水航行的速度是16海里/小时，则水流的速度是海里/小时．
12．（2012•阜新）如图（1），在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形，再将图中的阴影部分剪拼成一个长方形，如图（2）．这个拼成的长方形的长为30，宽为20．则图（2）中Ⅱ部分的面积是．
13．（2011•仙桃）西周戎生青铜编钟是由八个大小不同的小编钟组成，其中最大编钟高度比最小编钟高度的3倍少5cm，且它们的高度相差37cm．则最大编钟的高度是
cm．
14．（2015•哈尔滨）美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品的数量是国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有幅．
15．（2012•仙桃）学校举行“大家唱大家跳”文艺汇演，设置了歌唱与舞蹈两类节目，全校师生一共表演了30个节目，其中歌唱类节目比舞蹈类节目的3倍少2个，则全校师生表演的歌唱类节目有个．
16．（2012•咸宁）某宾馆有单人间和双人间两种房间，入住3个单人间和6个双人间共需1020元，入住1个单人间和5个双人间共需700元，则入住单人间和双人间各5个共需元．
17．（2008•随州）一项工程，甲工程队工作10天后，因另有任务离开，由乙工程队接着完成．整个工作量作“1”，如图是完成的工作量y随时间x（天）变化的图象，如果两个工程队合做，完成这项工程所需的天数是天．
18．（2010•威海）如图①，在第一个天平上，砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量；如图②，在第二个天平上，砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量．请你判断：1个砝码A与个砝码C的质量相等．
19．（2008•绍兴）若买2支圆珠笔、1本日记本需4元；买1支圆珠笔、2本日记本需5元，则买4支圆珠笔、4本日记本需元．
20．（2009•济宁）请你阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何”诗句中谈到的鸦为
只，树为棵．
三、解答题（共5小题）（选答题，不自动判卷）
21．（2015•张家界）小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路，假设他始终保持平路每分钟走60m，下坡路每分钟走80m，上坡路每分钟走40m，则他从家里到学校需10min，从学校到家里需15min．问：从小华家到学校的平路和下坡路各有多远？
22．（2015•佛山）某景点的门票价格如表：
购票人数/人1～
50 51～
100
100以上
每人门票价/元12 10 8
某校七年级（1）、（2）两班计划去游览该景点，其中（1）班人数少于50人，（2）班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．
（1）两个班各有多少名学生？
（2）团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？
23．（2015•南通）由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程（组）解决的问题，并写出这个问题的解答过程．
24．（2015•巴彦淖尔）我市某超市举行店庆活动，对甲、乙两种商品实行打折销售，打折前，购买2件甲商品和3件乙商品需要180元；购买1件甲商品和4件乙商品需要200元，而店庆期间，购买10件甲商品和10件乙商品仅需520元，这比打折前少花多少钱？
25．（2015•湘西州）湘西自治州风景优美，物产丰富，一外地游客到某特产专营店，准备购买精加工的豆腐乳和猕猴桃果汁两种盒装特产．若购买3盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁共需180元；购买1盒豆腐乳和3盒猕猴桃果汁共需165元．
（1）请分别求出每盒豆腐乳和每盒猕猴桃果汁的价格；
（2）该游客购买了4盒豆腐乳和2盒猕猴桃果汁，共需多少元？
【考点训练】二元一次方程组的应用
参考答案
一、选择题（共10小题）
1．D 2．D 3．A 4．D 5．C 6．A 7．C 8．C 9．D 10．D
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．2 12．100 13．58 14．69 15．22 16．1100 17．10 18．2 19．12 20．205
三、解答题（共5小题）（选答题，不自动判卷）
21．22．23．24．25．。