二元一次方程组考点总结及练习(附答案)

二元一次方程组考点解析考点一二元一次方程(组)的解的概念

【例1】已知

2,

1

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

是二元一次方程组

8,

1

mx ny

nx my

+=

-=

⎧

⎨

⎩

的解,则2m-n的算术平方根为( )

A.4

B.2

D.±2

【解析】把

2,

1

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

代入方程组

8,

1

mx ny

nx my

+=

-=

⎧

⎨

⎩

得

28,

2 1.

m n

n m

+=

-=

⎧

⎨

⎩

解得

3,

2.

m

n

=

=

⎧

⎨

⎩

所以2m-n=4,4的算术平方根为2.故选B.

【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组),得到的等式一定成立,从而转化为一个关于所求字母的新方程(组),解这个方程(组)即可求得待求字母的值.

变式练习

1.若方程组

,

ax y b

x by a

+=

-=

⎧

⎨

⎩

的解是

1,

1.

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

求(a+b)2-(a-b)(a+b)的值.

考点二二元一次方程组的解法

【例2】解方程组：

1 28. x y

x y

=+

+=

⎧

⎨

⎩

，①

②

【分析】可以直接把①代入②，消去未知数x，转化成一元一次方程求解.也可以由①变形为x-y=1，再用加减消元法求解.

【解答】方法一：将①代入到②中，得2(y+1)+y=8.解得y=2.所以x=3.因此原方程组的解为

3,

2. x

y

=

=⎧

⎨

⎩

方法二：

1, 28. x y

x y

=+

+=

⎧

⎨

⎩

①

②

对①进行移项，得x-y=1.③②+③得3x=9.解得x=3.

将x=3代入①中，得y=2. 所以原方程组的解为

3,

2. x

y

=

=⎧

⎨

⎩

【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果方程中有未知数的系数是1时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法；如果方程组中的系数没有特殊规律，通常用加减消元法.

变式练习

2.方程组 25,7213x y x y +=--=⎧⎨⎩

的解是__________. 3.解方程组：3419,4.x y x y +=-=⎧⎨

⎩①②

考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围

【例3】若关于x 、y 的二元一次方程组31,33x y a x y +=++=⎧⎨⎩①②

的解满足x+y<2,则a 的取值范围为( )

A.a<4

B.a>4

C.a<-4

D.a>-4

【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加，得到x 、y 的关系，再根据x+y<2,求得本题答案；也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由x+y<2求出a 的取值范围，但计算量大.

【解答】由①+②，得4x+4y=4+a,x+y=1+4a ,由x+y<2，得1+4

a <2，解得a<4.故选A. 【方法归纳】通过观察两个方程，运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.

变式练习

4.已知x 、y 满足方程组25,24,

x y x y +=+=⎧⎨⎩则x-y 的值为__________.

考点四 二元一次方程组的应用

【例4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动.下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：

李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，60座客车每辆每天的租金比45座的贵200元.”

小芳：“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆60座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 000元.”

小明：“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”

根据以上对话，解答下列问题：

(1)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？

(2)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？

【分析】（1）根据题目给出的条件得出的等量关系是60座客车每辆每天的租金-45座客车每辆每天的租金=200元，4辆60座一天的租金+2辆45座的一天的租金=5 000元；由此可列出方程组求解；（2）可根据“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满”以及（1）的结果来求出答案.

【解答】（1）设平安公司60座和45座客车每辆每天的租金分别为x 元，y 元.由题意，得

200,425000.x y x y -=+=⎧⎨⎩解得900,700.x y ==⎧⎨⎩

答：平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别为900元和700元.

（2）5×900+1×700=5 200(元）.

答：九年级师生租车一天共需资金5 200元.