二元一次方程组考点总结及练习(附答案)

二元一次方程组考点解析考点一二元一次方程（组)的解的概念

【例１】已知

2,

1

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

是二元一次方程组

8,

1

mx ny

nx my

+=

-=

⎧

⎨

⎩

的解,则2ｍ-n的算术平方根为( ）

A．4 B.２

D.±2

【解析】把

2,

1

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

代入方程组

8,

1

mx ny

nx my

+=

-=

⎧

⎨

⎩

得

28,

2 1.

m n

n m

+=

-=

⎧

⎨

⎩

解得

3,

2.

m

n

=

=

⎧

⎨

⎩

所以2ｍ－n=4,４的算术平方根为2.故选B.

【方法归纳】方程(组)的解一定满足原方程(组),所以将已知解代入含有字母的原方程(组)，得到的等式一定成立，从而转化为一个关于所求字母的新方程（组),解这个方程(组)即可求得待求字母的值.

变式练习

1.若方程组

,

ax y b

x by a

+=

-=

⎧

⎨

⎩

的解是

1,

1.

x

y

=

=

⎧

⎨

⎩

求(a+ｂ)2-(a-b)(a＋b）的值.

考点二二元一次方程组的解法

【例２】解方程组:

1 28. x y

x y

=+

+=

⎧

⎨

⎩

，①

②

【分析】可以直接把①代入②,消去未知数x,转化成一元一次方程求解.也可以由①变形为x-y=1，再用加减消元法求解．

【解答】方法一:将①代入到②中，得２(y＋1)+y=8.解得ｙ＝2.所以x＝3.因此原方程组的解为

3,

2. x

y

=

=⎧

⎨

⎩

方法二:

1, 28. x y

x y

=+

+=

⎧

⎨

⎩

①

②

对①进行移项，得x－ｙ=１.③②+③得3ｘ=9.解得x=３.

将x=3代入①中，得y=2.所以原方程组的解为

3,

2. x

y

=

=⎧

⎨

⎩

【方法归纳】二元一次方程组有两种解法，我们可以根据具体的情况来选择简便的解法.如果方程中有未知数的系数是1时，一般采用代入消元法；如果两个方程的相同未知数的系数相同或互为相反数时，一般采用加减消元法;如果方程组中的系数没有特殊规律,通常用加减消元法.

变式练习

2.方程组 25,7213x y x y +=--=⎧⎨⎩

的解是______＿＿__. ３．解方程组:3419,4.x y x y +=-=⎧⎨⎩①②

考点三 由解的关系求方程组中字母的取值范围

【例3】若关于x 、ｙ的二元一次方程组31,33x y a x y +=++=⎧⎨⎩

①②的解满足x+y ＜２,则ａ的取值范围为（ ) Ａ．a<4 B.a>4 Ｃ.a ＜-４ D.a ＞-4

【分析】本题运用整体思想，把二元一次方程组中两个方程相加,得到ｘ、ｙ的关系,再根据x ＋y ＜2,求得本题答案;也可以按常规方法求出二元一次方程组的解，再由ｘ+y<2求出a 的取值范围,但计算量大.

【解答】由①+②，得４ｘ+4y=4＋a,x+y=1+4a ，由ｘ+y ＜2,得1+4

a <2,解得a ＜4.故选A. 【方法归纳】通过观察两个方程,运用整体思想解题，这是中考中常用的解题方法.

变式练习

4．已知x 、y 满足方程组25,24,

x y x y +=+=⎧⎨⎩则ｘ－ｙ的值为________＿＿.

考点四 二元一次方程组的应用

【例4】某中学拟组织九年级师生去黄山举行毕业联欢活动．下面是年级组长李老师和小芳、小明同学有关租车问题的对话：

李老师：“平安客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租用，6０座客车每辆每天的租金比45座的贵２０0元.”

小芳:“我们学校八年级师生昨天在这个客运公司租了4辆６0座和2辆45座的客车到韶山参观，一天的租金共计5 ０00元.”

小明:“我们九年级师生租用5辆60座和1辆45座的客车正好坐满.”

根据以上对话，解答下列问题:

（１)平安客运公司60座和45座的客车每辆每天的租金分别是多少元？

（２)按小明提出的租车方案，九年级师生到该公司租车一天，共需租金多少元？

【分析】(1)根据题目给出的条件得出的等量关系是60座客车每辆每天的租金-4５座客车每辆每天的租金=200元,４辆60座一天的租金+２辆４５座的一天的租金=5 0００元;由此可列出方程组求解;(２）可根据“我们九年级师生租用5辆60座和1辆4５座的客车正好坐满”以及(１）的结果来求出答案.

【解答】（1)设平安公司60座和４5座客车每辆每天的租金分别为x 元,y 元.由题意,得

200,425000.

x y x y -=+=⎧⎨⎩解得900,700.x y ==⎧⎨⎩ 答:平安客运公司6０座和4５座的客车每辆每天的租金分别为９００元和7０0元．

（２）5×900+1×70０=5 ２0０(元).

答:九年级师生租车一天共需资金5 20０元.