人教B版必修二线面平行的性质
高一数学(人教B版)-空间中的平行和垂直的综合应用(一)
同类练习1：直三棱柱 ABC A1B1C1 中， ABC 90, AB BC BB1, M为 A1B1 的中点，N是 A1C 与 AC1 的交点. (2) 求证：MN 平面ABC1
先证：B1C 平面ABC1
证明：
（1) 连接 B1C，因为M，N分别为 A1B1 , A1C 的中点
(1) PA∥平面BDE
先证：OE∥AP
【典型例题】
例2：如图所示，O是正方形ABCD的中 心，PO 底面ABCD， E是PC的中点， 求证：
(2) 平面PAC 平面BDE
先证：BD 平面ACP
证明： （1)连接OE，在正方形ABCD中，点O是AC的中点
又 E是PC的中点, OE是 ACP 的中位线， OE∥AP ,又 OE 平面BDE ，PA 平面BDE PA∥平面BDE
MN 平面PCD
(3) 若
求证：
同类练习2：如图，PA 矩形ABCD所
在的平面，M，N分别是AB，PC的中
点
MN∥平面PAD
(1)面求面证平行： 线面平行
平行四边形 中位线
线线平行 线线平行
线面平行 线面平行
证明： （1）取CD的中点R，连接MR，NR 因为R，N分别是CD，PC的中点 所以 NR∥PD ，又可证 MR∥AD 因为NR与MR相交 可证 平面MNR∥平面PAD
思路三：通过构造面面平行，生成线线平行关系
（1)证法三：取CD的中点Q，连接FQ，AQ， 点F是PD的中点，
QF∥CP.
点Q是CD的中点，
点E是AB的中点， AE＝12 AB ，
CQ＝
1 2
CD,
在平行四边形ABCD中，
AB∥ CD, AB=CD, CQ∥AE,CQ=AE ,
人教A版必修二立体几何 直线、平面平行的判定及其性质——解答题篇常规运用
一、直线与平面平行1．判定定理2(1)证线面平行①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β．(2)线面平行的性质①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．②若a∥α，a⊥β，则α⊥β．二、平面与平面平行1．判定定理2平面与平面平行的几个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．一、直线与平面平行的判定1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是菱形，P A ＝PB ，且侧面P AB ⊥平面ABCD ，点E 是棱AB 的中点．(1)求证：CD ∥平面P AB ；【证明】(1)因为底面ABCD 是菱形，所以CD ∥AB ．又因为CD ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，所以CD ∥平面P AB ．2．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为BB 1，AC 的中点．(1)求证：BF ∥平面A 1EC ；【证明】(1)连接AC 1交A 1C 于点O ，连接OE ，OF ，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1为平行四边形，所以OA ＝OC 1． 又因为F 为AC 中点，所以OF ∥CC 1且OF ＝12CC 1．因为E 为BB 1中点，所以BE ∥CC 1且BE ＝12CC 1．所以BE ∥OF 且BE ＝OF ，所以四边形BEOF 是平行四边形，所以BF ∥OE ． 又BF ⊄平面A 1EC ，OE ⊂平面A 1EC ， 所以BF ∥平面A 1EC ．3．(2014·安徽高考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 ．点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．(1)证明：GH∥EF；【证明】(1)因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC．同理可证EF∥BC，因此GH∥EF．三、平面与平面平行的判定4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD．D1，B1C．∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，【证明】如图，连接B∴PN∥B1D1．又B1D1∥BD，∴PN∥BD．又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD；∴PN∥平面A1BD．同理MN∥平面A1BD，又PN∩MN＝N，∴平面PMN∥平面A1BD．5．(2015·西城模拟)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；【证明】(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF．设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF．又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF．6．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点且平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，试求ADDC的值【解】由平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O得BC 1∥D 1O ，∴A 1D 1D 1C 1＝A 1OOB． 又A 1D 1D 1C 1＝DC AD ，A 1OOB ＝1， ∴DC AD ＝1即ADDC＝1．[思想方法]1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用．2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．[易错防范]1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．2．线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断．3．解题时注意符号语言的规范应用．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的中点．(1)证明AD1∥平面BDC1．(2)证明BD∥平面AB1D1．【证明】(1)∵D1，D分别为A1C1与AC的中点，四边形ACC1A1为平行四边形，∴C1D1∥DA，且C1D1＝DA；∴四边形ADC1D1为平行四边形，∴AD1∥C1D，又AD1⊄平面BDC1，C1D⊂平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1．(2)连接D1D，∵BB1∥平面ACC1A1，BB1⊂平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1D，∴BB1∥D1D，又D1，D分别为A1C1AC中点，∴BB1＝DD1，故四边形BDD1B1为平行四边形，∴BD∥B1D1，又BD⊄平面AB1D1，B1D1⊂平面AB1D1∴BD∥平面AB1D1．1．(2012·北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE∥平面A1CB；【证明】(1)因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC．又因为DE⊄平面A1CB，BC⊂平面A1CB所以DE∥平面A1CB．2．如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB ＝AA1＝2．(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；【证明】(1)由题设知，BB1∥DD1，且BB1＝DD1；∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴BD∥B1D1．又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，∴BD∥平面CD1B1．∵A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝B1C1＝BC；∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥D1C．又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1∴A1B∥平面CD1B1．又∵BD∩A1B＝B，BD、A1B⊂平面A1BD∴平面A1BD∥平面CD1B1．3．如图，ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG．【证明】(1)连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF．(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG．又M为AB的中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，所以平面BDE∥平面MNG．4．(2014·长沙模拟)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 的中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ；【证明】(1)由三视图可知：AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∠CBF ＝π2．取BF 的中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别为AF ，BC 的中点， 得NG ∥CF ，MG ∥AB ∥EF ，又NG ⊄平面CDEF ，CF ⊂平面CDEF ；∴NG ∥平面CDEF ；同理MG ∥平面CDEF ； 又NG ∩MG ＝G ，NG 、MG ⊂平面MNG ∴平面MNG ∥平面CDEF ， 又MN ⊂平面MNG ， ∴MN ∥平面CDEF ．5．(2014·四川高考)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．【证明】(2)取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点．由已知，O 为AC 1的中点． 连接MD ，OE ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以，MD ∥AC ，且MD ＝12AC ；OE ∥AC ，且OE ＝12AC ；因此MD ∥OE ，且MD ＝OE ；连接OM ，从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO ． 因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ， 所以直线DE ∥平面A 1MC ．即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC ．1．(2014·江苏高考)如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．已知P A⊥AC，P A＝6，BC＝8，DF＝5．求证：(1)直线P A∥平面DEF；【证明】(1)因为D，E分别为棱PC，AC的中点，所以DE∥P A．又因为P A⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，所以直线P A∥平面DEF．2．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E．求证：(1)DE∥平面AA1C1C；【证明】(1)由题意知，E为B1C的中点，又D为AB1的中点，因此DE∥AC．(三角形的中位线)又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C．(直线与平面的平行的判定定理)3．如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；【证明】(1)连接AB′，AC′，如图，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点．又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′因此MN∥平面A′ACC′．4．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．(2)求证：C1F∥平面ABE；【证明】(2)取AB 中点G ，连接EG ，FG ．因为E ，F 分别为是A 1C 1，BC 的中点， 所以FG ∥AC ，且FG ＝12AC ．因为AC ∥A 1C 1，且AC ＝A 1C 1， 所以FG ∥EC 1，且FG ＝EC 1． 所以四边形FGEC 1为平行四边形． 所以C 1F ∥EG ．又因为EG ⊂平面ABE ，C 1F ⊄平面ABE ， 所以C 1F ∥平面ABE ．5．(2014·山东高考)如图，四棱锥P -ABCD 中， AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E ，F 分别为线段AD ，PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ；【证明】(1)设AC ∩BE ＝O ，连接OF ，EC ．由于E 为AD 的中点，AB ＝BC ＝12AD ，AD ∥BC ，所以AE ∥BC ，AE ＝AB ＝BC ， 因此四边形ABCE 为菱形， 所以O 为AC 的中点． 又F 为PC 的中点，因此在△P AC 中，可得AP ∥OF ． 又OF ⊂平面BEF ，AP ⊄平面BEF ． 所以AP ∥平面BEF ．6．如图，已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，且AB ∥CD ，O 是AB 中点，PO ＝CD ＝DA ＝12AB ＝4，M 是P A 中点．(1)证明：平面PBC ∥平面ODM ；【证明】(1)由题意，CD ∥BO ，CD ＝BO ，∴四边形OBCD 为平行四边形，∴BC ∥OD ． 又∵AO ＝OB ，AM ＝MP ，∴OM ∥PB ． 又OM ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， ∴OM ∥平面PBC ．同理，OD ∥平面PBC ，又OM ∩OD ＝O ， ∴平面PBC ∥平面ODM ．7．如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，AB＝2，P A＝22，M是P A的中点．(1)求证：平面PCD∥平面MBE；【证明】(1)连接AD交BE于点G，连接MG，则点G是正六边形的中心，所以G是线段AD的中点．因为M是P A的中点，所以MG∥PD．因为PD⊄平面MBE，MG⊂平面MBE，所以PD∥平面MBE．因为DC∥BE，DC⊄平面MBE，BE⊂平面MBE，所以DC∥平面MBE．因为PD∩DC＝D，所以平面PCD∥平面MBE．8．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1．【证明】(1)如图所示，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB．又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1．(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD．又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．9．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、M、N分别是B1C1、A1D1、A1B1、BD、B1C的中点，求证：(1)MN ∥平面CDD 1C 1；(2)平面EBD ∥平面FGA ．【证明】(1)连接BC 1，DC 1，∵四边形BCC 1B 1为正方形，N 为B 1C 的中点，∴N 在BC 1上，且N 为BC 1的中点．又∵M 为BD 的中点，∴MN ∥DC 1，且MN ＝12DC 1；又MN ⊄平面CDD 1C 1，DC 1⊂平面CDD 1C 1，∴MN ∥平面CDD 1C 1．(2)连接EF ，B 1D 1，则EF ∥AB ，EF ＝12AB ；∴四边形ABEF 为平行四边形，∴AF ∥BE ．又易知FG ∥B 1D 1，B 1D 1∥BD ，∴FG ∥BD ．又AF ⊄平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AF ∥平面EBD ，同理FG ∥平面EBD又∵AF ∩FG ＝F ，AF 、FG ⊂平面FGA∴平面EBD ∥平面FGA ．10．如图所示，四边形EFGH 所在平面为三棱锥A -BCD 的一个截面，四边形EFGH 为平行四边形．(1)求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH ．(2)若AB ＝4，CD ＝6，求四边形EFGH 周长的取值范围．【证明】(1)∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH ．∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD ．∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵EF ⊂平面EFGH ，AB ⊄平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH ．同理可得CD ∥平面EFGH ．【解析】(2)设EF ＝x (0＜x ＜4)，四边形EFGH 的周长为l ．由(1)知EF ∥AB ，则CF CB ＝x 4又由(1)同理可得CD ∥FG ，则FG CD ＝BF CB∴FG 6＝BF CB ＝BF －CF CB ＝1－x 4，从而FG ＝6－32x ， ∴四边形EFGH 的周长l ＝2(x ＋6－32x )=12－x ． 又0＜x ＜4，∴8＜l ＜12，即四边形EFGH 周长的取值范围为(8,12)．1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M 在AD 1上移动，点N 在BD 上移动，D 1M ＝DN ＝a (0＜a ＜2)，连接MN ．(1)证明：对任意a ∈(0，2)，总有MN ∥平面DCC 1D 1；(2)当a 为何值时，MN 的长最小？【证明】(1)作MP ∥AD ，交DD 1于P ，作NQ ∥BC ，交DC 于Q ，连接PQ ；由题意得MP ∥NQ ，且MP ＝NQ ，则四边形MNQP 为平行四边形．∴MN ∥PQ ．又PQ ⊂平面DCC 1D 1，MN 平面DCC 1D 1, ∴MN ∥平面DCC 1D 1．(2)由(1)知四边形MNQP 为平行四边形，∴MN ＝PQ ， 由已知D 1M ＝DN ＝a ，DD 1＝AD ＝DC ＝1， ∴AD 1＝BD ＝2，∴D 1P ∶1＝a ∶2，DQ ∶1＝a ∶2，即D 1P ＝DQ ＝a 2． ∴MN ＝PQ ＝(1－D 1P )2＋DQ 2＝(1－a 2)2＋( a 2)2＝(a －22)2＋12(0＜a ＜2)， 故当a ＝22时，MN 的长有最小值22． 即当M 、N 分别移动到AD 1，BD 的中点时，MN 的长最小，此时MN 的长为22．。
高中数学人教B版必修二第一章1.1.5三视图课件(共30张PPT)
(2)分:把组合体分解成简单几何体. (3)画:画分解后的简单几何体的三视图. (4)拼:将各个三视图拼合成组合体的三视图.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
【例 1】某几何体的主视图和左视图均如图所示,则该几何体的俯视图
不可能是( )
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究三 三视图的还原问题
1.由三视图还原几何体的三个步骤.
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
2.在还原过程中,下列常见几何体的三视图要熟记,以方便还原.
几何体
主视图
左视图 俯视图
正方体
长方体
圆柱
圆锥 圆台
画组合体的三视图的“四个步骤”
能将三视图还原成几何体；
探究二 简单组合体的三视图 能将三视图还原成几何体；
1.1.5 三视图
温故知新：结合图形说出平行投影的定义及性质
探究一
探究二
探究三
探究四
探究五
探究一 正投影问题
作物体的正投影,一般是按照这样的过程: 如图所示,把要作投影的物体放在投射面和观 察者中间,按观察者—物体—投射面的顺序摆 好.由观察者的眼睛假想发出一束平行的投射
线,这些投射线经过物体轮廓线上的顶点后,与
（3）画出如图所示几何体的三视图.
解:三视图如图所示.
1234
1234
（4）若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图 可以是( )
1234
解析:由题意知,A,C 中所给几何体的主视图、俯视图不符合要求,D 中所给 几何体的左视图不符合要求. 答案:B
(聚焦典型)2014届高三数学一轮复习《直线、平面平行的判定与性质》理 新人教B版
[第40讲 直线、平面平行的判定与性质](时间：45分钟 分值：100分)基础热身1．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是( ) A ．a 平行于α内的所有直线 B ．α内有无数条直线与a 平行C ．直线a 上的点到平面α的距离相等D ．α内存在无数条直线与a 垂直2．[2013·银川一模] 设α，β是两个平面，l ，m 是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( )A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥βB ．l ⊂α，m ⊂β，且m ∥αC ．l ∥α，m ∥β，且l ∥mD ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m 3．[2013·兰州二模] a ，b ，c 为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；② ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α； ④⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a . 其中正确的命题是( ) A ．①②③ B ．①④ C ．② D ．①③④4．[2013·济南二模] 已知m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )A ．m ∥n ，m ⊥α⇒n ⊥αB ．α∥β，m ⊂α，n ⊂β⇒m ∥nC ．m ⊥α，m ⊥n ⇒n ∥αD ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β⇒α∥β能力提升5．[2013·合肥二模] α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是( )A ．α和β都垂直于平面γB ．α内不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是平面α内的直线，且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，m ∥β，l ∥β6．[2013·贵阳二模] 设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在α，β内运动时，那么所有的动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面C ．当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D ．不论A ，B 如何移动都共面7．[2013·重庆二模] 已知m ，n ，l 1，l 2表示直线，α，β 表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2 ＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2 8．[2013·沈阳三模] 如图K40－1，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值．A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③K40－1K40－29．如图K40－2，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体EFGHB 1C 1后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中不正确的是( )A ．EH ∥FGB ．四边形EFGH 是矩形C ．Ω是棱柱D ．Ω是棱台10．[2013·武汉三模] 如图K40－3所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CDK40－3K40－411．[2013·广州三模] 如图K40－4所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.12．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l ，m 为直线，α，β为平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m m ∥α ⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. 13．[2013·天津二模] 如图K40－5所示，四棱锥P －ABCD 的底面是一直角梯形，AB ∥CD ，BA ⊥AD ，CD ＝2AB ，PA ⊥底面ABCD ，E 为PC 的中点，则BE 与平面PAD 的位置关系是________．14．(10分)[2013·佛山质检] 如图K40－6，三棱锥P －ABC 中，PB ⊥底面ABC ，∠BCA ＝90°，PB ＝BC ＝CA ＝4，E 为PC 的中点，M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且AF ＝2FP .(1)求证：BE ⊥平面PAC ； (2)求证：CM ∥平面BEF.15．(13分)如图K40－7，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．(1)求证：GH ∥平面CDE ；(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F －ABCD 的体积．难点突破16．(12分)[2013·银川二模] 如图K40－8所示，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝2，NB＝1，MB与ND交于P点，点Q在AB上，且BQ＝2 3 .(1)求证：QP∥平面AMD；(2)求七面体ABCDMN的体积．课时作业(四十)【基础热身】1．A [解析] A 错误，a 与α内的直线平行或异面．2．D [解析] 条件A 中，增加l 与m 相交才能判断出α∥β，A 错．由条件B ，C 都有可能得到α与β相交，排除B 和C.选D.3．C [解析] ②正确．①错在α与β可能相交．③④错在a 可能在α内．4．A [解析] 选项A 中，如图①，n ∥m ，m ⊥α⇒n ⊥α一定成立，A 正确；选项B 中，如图②，α∥β，m ⊂α，n ⊂β，m 与n 互为异面直线，∴B 不正确；选项C 中，如图③，m ⊥α，m ⊥n ，n ⊂α，∴C 不正确；选项D 中，如图④，m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，但α与β相交，∴D 不正确．【能力提升】5．D [解析] 利用面面平行的判定方法及平行间的转化可知D 正确．6．D [解析] 不论A ，B 如何移动，点C 均在与α，β距离相等的平面内，故选D. 7．D [解析] 由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面平行，那么这两个平面平行”可得，由选项D 可推知α∥β.8．C [解析] ①中由已知可得平面A ′FG ⊥平面ABC ，∴点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE ；③当平面A ′DE ⊥平面ABC 时，三棱锥A ′－FED 的体积达到最大．9．D [解析] ∵EH ∥A 1D 1，∴EH ∥B 1C 1，∴B 1C 1∥平面EFGH ，∴B 1C 1∥FG ，∴Ω是棱柱，故选D.10.223a [解析] 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC .又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a .11．M ∈线段FH [解析] 连接HNF ∥平面B 1BDD 1知当M 点满足在线段FH 上时，有MN ∥面B 1BDD 1.12．l ⊄α [解析] 线面平行的判定中指的是平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，故此条件为l ⊄α.13．平行 [解析] 取PD 的中点F ，连接EF ，AF .在△PCD 中，EF 綊12CD ，又∵AB ∥CD ，且CD ＝2AB ，∴EF 綊AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴EB ∥AF .又∵EB ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，∴BE ∥平面PAD .14．证明：(1)∵PB ⊥底面ABC ，且AC ⊂底面ABC ，∴AC ⊥PB ， 由∠BCA ＝90°，可得AC ⊥CB ，又∵PB ∩CB ＝B ，∴AC ⊥平面PBC ， ∵BE ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BE ，∵PB ＝BC ，E 为PC 中点，∴BE ⊥PC ， ∵PC ∩AC ＝C ，∴BE ⊥平面PAC.(2)取AF 的中点G ，连接CG ，GM ∵E 为PC 中点，FA ＝2FP ，∴EF ∥CG .∵CG ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF ，∴CG ∥平面BEF . 同理可证：GM ∥平面BEF .又CG ∩GM ＝G ，∴平面CMG ∥平面BEF . ∵CM ⊂平面CMG ，∴CM ∥平面BEF .15．解：(1)证法一：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，∴EF ∥BC . 又EF ＝AD ＝BC ，∴四边形EFBC 是平行四边形， ∴H 为FC 的中点．又∵G 是FD 的中点，∴GH ∥CD . ∵GH ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ，∴GH ∥平面CDE . 证法二：连接EA ，∵四边形ADEF 是正方形， ∴G 是AE 的中点， ∴在△EAB 中，GH ∥AB . 又∵AB ∥CD ，∴GH ∥CD .∵HG ⊄平面CDE ，CD ⊂平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .(2)∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，交线为AD ，且FA ⊥AD ， ∴FA ⊥平面ABCD .∵AD ＝BC ＝6，∴FA ＝AD ＝6.又∵CD ＝2，DB ＝42，CD 2＋DB 2＝BC 2，∴BD ⊥CD . ∵S ▱ABCD ＝CD ·BD ＝82，∴V F －ABCD ＝13S ▱ABCD ·FA ＝13×82×6＝16 2.【难点突破】16．解：(1)证明：∵MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ， ∴MD ∥NB ，∴BP PM ＝NB MD ＝12.又QB QA ＝232－23＝12，∴QB QA ＝BPPM.∴在△MAB 中，QP ∥AM .又QP ⊄平面AMD ，AM ⊂平面AMD ，∴QP ∥平面AMD .(2)连接BD ，AC 并交于点O ，则AC ⊥BD . ∵MD ⊥平面ABCD ，∴MD ⊥AC . 又BD ∩MD ＝D ，∴AC ⊥平面MNBD . ∴AO 为四棱锥A －MNBD 的高．又S 四边形MNBD ＝12×(1＋2)×22＝32，∴V A －MNBD ＝13×32×2＝2.又V C －MNBD ＝V A －MNBD ＝2，∴V 七面体ABCDMN ＝2V A －MNBD ＝4.。
(完整版)新人教版高中数学必修2知识点总结
高中数学必修 2 知识点总结 （2）画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等（ 1）棱柱：定义 ：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。
分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE A 'B 'C 'D 'E ' 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征 ：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥定义 ：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示 ：用各顶点字母，如五棱锥 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 ：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。
（ 3）棱台：定义 ：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类 ：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示 ：用各顶点字母，如五棱台 P A 'B 'C 'D 'E '几何特征 ：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （ 4）圆柱：定义 ：以矩形的一边所在的直线为轴旋转 ,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征 ：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（ 5）圆锥：定义 ：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征 ：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（ 6）圆台：定义： 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征： ①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
高中数学第一章立体几何初步1.2.2第1课时平行直线学案新人教B版必修2
第1课时 平行直线学习目标 1.掌握空间中两条直线的位置关系，理解空间平行性的传递性.2.理解并掌握基本性质4及等角公理．知识点一 基本性质41．文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2．符号表达：⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c .知识点二 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 等角定理如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 知识点三 空间四边形顺次连接不共面的四点A ，B ，C ，D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．1．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则∠BAC ＝∠B ′A ′C ′.( × ) 2．没有公共点的两条直线是异面直线．( × )3．若a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，且a ⊂α，b ⊂β，则a ，b 是异面直线．( × )类型一 基本性质4的应用例1 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ，F ，G ，H 分别为PA ，PB ，PC ，PD 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形．解 在△PAB 中，因为E ，F 分别是PA ，PB 的中点， 所以EF ∥AB ，EF ＝12AB ，同理GH ∥DC ，GH ＝12DC .因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以AB ∥CD ，AB ＝CD . 所以EF ∥GH ，EF ＝GH .所以四边形EFGH 是平行四边形．反思与感悟 证明两条直线平行的两种方法(1)利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点．(2)利用基本性质4：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据基本性质4，显然这两条直线平行．若题设条件中含有中点，则常利用三角形的中位线性质证明直线平行．跟踪训练1 如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点． 求证：四边形B 1EDF 是平行四边形．证明 设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1.∵E 是AA 1的中点， ∴EQ 綊A 1D 1. 又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1，∴EQ綊B1C1(基本性质4)．∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綊C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C的中点，∴QD綊C1F.∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q綊DF，∴B1E綊DF.∴四边形B1EDF为平行四边形．类型二等角定理的应用例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．求证：(1)四边形BB1M1M为平行四边形；(2)∠BMC＝∠B1M1C1.证明(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.反思与感悟有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径(1)利用等角定理及其推论．(2)利用三角形相似．(3)利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．跟踪训练2 已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1. 证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质，得AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形．(2)由(1)可知MN ∥A 1C 1，又∵ND ∥A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.类型三 空间四边形的认识例3 如图，设E ，F ，G ，H 分别是四面体A －BCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且AE AB ＝AH AD＝λ，CF CB ＝CGCD＝μ，求证：(1)当λ＝μ时，四边形EFGH 是平行四边形； (2)当λ≠μ时，四边形EFGH 是梯形． 证明 (1)∵AE AB ＝AH AD ＝λ，∴EH ∥BD ，∴EHBD ＝λ.同理，GF ∥BD ，GF BD＝μ.又∵λ＝μ，∴EH ＝GF ，∴EH 綊GF . ∴四边形EFGH 是平行四边形．(2)由(1)知EH ∥GF ，又∵λ≠μ，∴EH ≠GF . ∴四边形EFGH 是梯形．反思与感悟 因空间图形往往包含平面图形，在解题时容易混淆，所以把相似的概念辨析一下，区分异同，有利于解题时不出错，如本例中明确给出了“空间四边形ABCD ”，不包含平面四边形，说明“A ，B ，C ，D 四点必不共面”，不能因直观图中AD 与BC 看似平行的关系认为它们是平行的．跟踪训练3 已知空间四边形ABCD 中，AB ≠AC ，BD ＝BC ，AE 是△ABC 的边BC 上的高，DF 是△BCD 的边BC 上的中线，判定AE 与DF 的位置关系． 解 由已知，得E ，F 不重合． 设△BCD 所在平面为α， 则DF ⊂α，A ∉α，E ∈α，E ∉DF ， 所以AE 与DF 异面．1．直线a ∥b ，直线b 与c 相交，则直线a ，c 一定不存在的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．无法判断答案 B解析如图，a与c相交或异面．2．下列四个结论中假命题的个数是( )①垂直于同一直线的两条直线互相平行；②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．A．1 B．2 C．3 D．4答案 B解析①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．④如图甲时，c、d与异面直线l1、l2交于四个点，此时c、d异面；当点A在直线l1上运动(其余三点不动)时，会出现点A与B重合的情形，如图乙所示，此时c、d共面相交．3．下列结论正确的是( )A．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C．空间四边形的两条对角线可以相交D．空间四边形的两条对角线不相交答案 D解析空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.4．下面三个命题，其中正确的个数是( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A．1 B．2 C．3 D．0答案 D解析空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.5．两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形( )A．全等B．不相似C．仅有一个角相等D．相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．一、选择题1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对答案 B解析由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故答案为B.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面答案 D3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) A．OB∥O1B1且方向相同B．OB∥O1B1C．OB与O1B1不平行D．OB与O1B1不一定平行答案 D解析等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB与O1B1有可能平行，也可能不在同一平面内，位置关系不确定．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是平面AA1D1D、平面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．垂直答案 C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理知，EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别为AA1，CC1的中点，则四边形D1PBQ是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．空间四边形答案 B解析设正方体棱长为2，直接计算可知四边形D1PBQ各边均为5，又D1PBQ是平行四边形，所以四边形D1PBQ是菱形．6.已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中(如图)，l⊂平面A1B1C1D1，且l与B1C1不平行，则下列一定不可能的是( )A．l与AD平行B．l与AD不平行C．l与AC平行D．l与BD垂直答案 A解析假设l∥AD，则由AD∥BC∥B1C1知，l∥B1C1，这与l与B1C1不平行矛盾，所以l与AD 不平行．7．长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有( )A．6条 B．8条 C．10条 D．12条答案 B解析所在直线与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．8．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( ) A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交答案 D解析若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由基本性质4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．二、填空题9．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β＝________.答案60°或120°10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面11．a，b，c是空间中三条直线，下面给出几个说法：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；③若a，b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行．则上述说法中正确的为________．(仅填序号)答案①解析由基本性质4知①正确．若a与b相交，b与c相交，则a与c可能平行，也可能相交或异面，②错误；若平面α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∥l，b∥l，则a∥b，③错误．三、解答题12.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中的面A 1C 1内有一点P ，经过点P 作棱BC 的平行线，应该怎样画？并说明理由．解 如图所示，在面A 1C 1内过点P 作直线EF ∥B 1C 1，交A 1B 1于点E ，交C 1D 1于点F ，则直线EF 即为所求．理由：因为EF ∥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以EF ∥BC .13.如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O ＝23.(1)证明：AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′； (2)求S △ABCS △A ′B ′C ′的值．(1)证明 ∵AA ′与BB ′相交于O 点， 且AO OA ′＝BO OB ′，∴AB ∥A ′B ′. 同理AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′.(2)解 ∵AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′且AB 和A ′B ′，AC 和A ′C ′的方向相反， ∴∠BAC ＝∠B ′A ′C ′. 同理∠ABC ＝∠A ′B ′C ′， 因此△ABC ∽△A ′B ′C ′，又AB A ′B ′＝AO A ′O ＝23. ∴S △ABCS △A ′B ′C ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49. 四、探究与拓展14.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD ) B ．MN ≤12(AC ＋BD ) C ．MN ＝12(AC ＋BD ) D ．MN <12(AC ＋BD ) 答案 D解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD )． 在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD )． 15.如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)判断C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为FA 的中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面． 又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．。
2021版新高考数学一轮复习第八章8.3空间中的平行关系课件新人教B版
第三节ꢀ空间中的平行关系内容索引【教材·知识梳理】1.直线与平面平行的判定定理和性质定理文字语言此平面内图形语言符号语言平面外一条直线与_________l∥a，因为______判定的一条直线平行，则该直线定理与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)a⊂α，l⊄α___________，所以l∥α一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与l∥α，因为_______ _______α∩β=b_________，l⊂β，性质定理交线此平面的_____与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)所以l∥b2.平面与平面平行的判定定理和性质定理文字语言图形语言符号语言a∥β，因为________相交直线判一个平面内的两条_________b∥β，a∩b=P，________________a ⊂α，b ⊂α定与另一个平面平行，则定这两个平面平行(简记为理“线面平行⇒面面平行”)____________，所以α∥βα∥β，因为_________性如果两个平行平面同时和质α∩γ=a，___________β∩γ=b 相交第三个平面_____，那么它定理_________，交线们的_____平行所以a∥b【常用结论】1.两个平面平行，则其中任意一个平面内的直线与另一个平面平行.2.三种平行关系的转化：线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向.【知识点辨析】ꢀ(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(ꢀꢀ)(2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.(ꢀꢀ)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(ꢀꢀ)(4)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(ꢀꢀ)(5)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(ꢀꢀ)(6)平行于同一条直线的两个平面平行.(ꢀꢀ)提示：(1) ×.若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α或a⊂α.(2)×. 一条直线与一个平面平行，那么它与平面内的直线可能平行，也可能是异面直线.(3)×.如果一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(4)×.若平面外的一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.(5)√.这两条直线没有公共点.(6)×.平行于同一条直线的两个平面平行或相交.【易错点索引】序号易错警示典题索引考点一、T3 1证明线面平行时忽略该直线不在平面内致误考点二、T2利用线面平行的性质定理时不会找过该直线的2考点二、T1平面3证明面面平行时忽略两直线相交致误考点三、角度1【教材·基础自测】1.(必修2 P44练习BT2改编)平面α∥平面β的一个充分条件是(ꢀꢀ)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α【解析】选D.若α∩β=l,a∥l,a⊄α,a⊄β,则a∥α,a∥β,故排除A.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,则a∥β,故排除B.若α∩β=l,a⊂α,a∥l,b⊂β,b∥l,则a∥β,b∥α,故排除C.2.(必修2 P46练习AT1改编)下列命题中正确的是(ꢀꢀ)A.若a,b是两条直线,且a∥b,那么a平行于经过b的任何平面B.若直线a和平面α满足a∥α,那么a与α内的任何直线平行C.平行于同一条直线的两个平面平行D.若直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,则b∥α【解析】选D.A中,a可以在过b的平面内;B中,a与α内的直线可能异面;C中,两平面可相交;D中,由直线与平面平行的判定定理知,b∥α,正确.3.(必修2 P44 练习BT4改编)如图,长方体ABCD-ABCD中,E为DD的中点,则BD与111111平面AEC的位置关系为________.ꢀ【解析】连接BD,设BD∩AC=O,连接EO,在△BDD1中,O为BD的中点,所以EO为△BDD1的中位线,则BD∥EO,而BD⊄平面ACE,EO⊂平面ACE,所以BD∥平面ACE.111答案:平行考点一ꢀ直线、平面平行的基本问题ꢀ【题组练透】1.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,Q为PA的中点,O为AC与BD的交点,下面说法错误的是(ꢀꢀ)A.OQ∥平面PCD C.AQ∥平面PCDB.PC∥平面BDQ D.CD∥平面PAB2.已知a,b表示直线,α,β,γ表示平面,则下列推理正确的是(ꢀꢀ)A.α∩β=a,b⊂α⇒a∥bB.α∩β=a,a∥b⇒b∥α且b∥βC.a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥βD.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a∥b3.如图是正方体的平面展开图.关于这个正方体,有以下判断:①EC⊥平面AFN;②CN∥平面AFB;③BM∥DE;④平面BDE∥平面NCF.其中正确判断的序号是(ꢀꢀ)A.①③B.②③C.①②④D.②③④4.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为________.世纪金榜导学号ꢀꢀ【解析】1.选C.因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,所以AO=OC,又Q为PA的中点,所以QO∥PC.由线面平行的判定定理,可知A、B正确,又四边形ABCD为平行四边形,所以AB∥CD,故CD∥平面PAB,故D正确.2.选D.选项A中,α∩β=a,b⊂α,则a,b可能平行也可能相交,故A不正确;选项B中,α∩β=a,a∥b,则可能b∥α且b∥β,也可能b在平面α或β内,故B不正确;选项C中,a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据面面平行的判定定理,再加上条件a∩b=A,才能得出α∥β,故C不正确;选项D为面面平行性质定理的符号语言.3.选C.由已知中正方体的平面展开图,得到正方体的直观图如图所示:由⇒FN⊥平面EMC,故FN⊥EC;同理AF⊥EC,故EC⊥平面AFN,故①正确;由CN∥BE,则CN∥平面AFB,故②正确;由图可知BM∥DE显然错误,故③不正确;由BD∥NF得BD∥平面NCF,DE∥CF得DE∥平面NCF,由面面平行判定定理可知平面BDE∥平面NCF,故④正确.4.因为平面ABFE∥平面CDHG,又平面EFGH∩平面ABFE=EF,平面EFGH∩平面CDHG=HG,所以EF∥HG.同理EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形.答案:平行四边形【规律方法】ꢀ直线、平面间平行的判定方法(1)关注是否符合判定定理与性质定理,并注意定理中易忽视的条件.(2)结合题意构造或绘制图形,结合图形作出判断.(3)利用实物进行空间想象,比较判断.(4)熟记一些常见结论,如垂直于同一条直线的两个平面平行等.【秒杀绝招】ꢀ直接法解T1,因为Q是AP的中点,故AQ∩平面PCD =P,所以AQ∥平面PCD是错误的.考点二ꢀ直线、平面平行的判定与性质ꢀ【典例】1.在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为6的正三角形,SA=SB=SC=15,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA交于D,E,F,H.D,E分别是AB,BC的中点,如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH的面积为________.ꢀ2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为正三角形,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.求证:A1C∥平面DEF.【解题导思】序号1联想解题由直线SB∥平面DEFH,联想到利用线面平行的性质,判定四边形DEFH的形状,进而得到其面积.求证A C∥平面DEF,只要设法在平面DEF上找到与A C 112平行的直线即可,因为CD=3BD,故联想到连接A1B,在△BA1C中由比例关系证明平行关系.【解析】1.取AC的中点G,连接SG,BG.易知SG⊥AC,BG⊥AC,SG∩BG=G,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SB⊂平面SAB,平面SAB∩平面DEFH=HD,则SB∥HD.同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中点,则H,F也为AS,SC的中点,从而得HF∥AC∥DE,且HF=AC=DE,所以四边形DEFH为平行四边形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形,其面积S=HF·HD=答案:2.如图,连接AB,A B,交于点H,A B交EF于点K,连接DK,111因为ABB A为矩形,所以H为线段A B的中点,因为点E,F分别为棱AB,BB的中点,所1111K=3BK,以点K为线段BH的中点,所以A1又因为CD=3BD,所以A C∥DK,又A C⊄平面DEF,DK⊂平面DEF,所以A C∥平面DEF.111【规律方法】1.利用判定定理判定直线与平面平行,关键是找平面内与已知直线平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线.2.判断或证明线面平行的常用方法(1)利用线面平行的定义(无公共点).(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α,b⊂α,a∥b⇒a∥α).(3)利用面面平行的性质(α∥β,a⊂α⇒a∥β;α∥β,a⊄β,a∥α⇒a∥β).【变式训练】1.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度为________.ꢀ【解析】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2.又E为AD中点,EF∥平面AB C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB C=AC,11所以EF∥AC,所以F为DC中点,所以EF=AC=.答案:2.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,∠BAD=60°,AB=2,CD=4,E 为PC的中点.求证:BE∥平面PAD.【证明】设F为PD的中点,连接EF,FA.因为EF为△PDC的中位线,所以EF∥CD,且EF=CD=2.又AB∥CD,AB=2,所以AB EF,故四边形ABEF为平行四边形,所以BE∥AF.又AF⊂平面PAD,BE⊄平面PAD,所以BE∥平面PAD.考点三面面平行的判定与性质及平行的综合问题命考什么:(1)考查面面平行的判定与性质定理的应用.(2)考查直线、平题面平行的综合问题.(3)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素精养.解怎么考:以柱、锥等几何体为载体,考查证明线线、线面、面面平行.读新趋势:考查作已知几何体的截面或求截面面积问题.1.证明面面平行的方法学(1)面面平行的定义.霸(2)面面平行的判定定理.好(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.方(4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行.法(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的性质相互转化.2.交汇问题:常联系柱、锥等几何体命题,考查平行、垂直或空间角.命题角度1面面平行的判定与性质【典例】如图所示,在三棱柱ABC-A B C中,E,F,G,H分别是AB,AC,A B,A C的中1111111点,求证:(1)B,C,H,G四点共面.∥平面BCHG.(2)平面EFA1【证明】(1)因为G,H分别是A B,A C的中点,1111所以GH是△A B C的中位线,所以GH∥B C.11111又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC,所以B,C,H,G四点共面.(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG,所以EF∥平面BCHG.又G,E分别为A B,AB的中点,A B∥AB且A B=AB,所以A G∥EB,A G=EB, 11111111所以四边形A EBG是平行四边形,所以A E∥GB.11E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG,又因为A1所以AE∥平面BCHG.1又因为A E∩EF=E,A E,EF⊂平面EFA,111∥平面BCHG.所以平面EFA1命题角度2平行关系的综合应用【典例】如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内,有BE⊥PC于E,且BE=a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.世纪金榜导学号【解析】在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连接AG,在AB上取点F,使AF=EG,因为EG∥CD∥AF,EG=AF,所以四边形FEGA为平行四边形,所以FE∥AG.又AG⊂平面PAD,FE⊄平面PAD,所以EF∥平面PAD.所以F即为所求的点.又PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,又BC⊥AB,所以BC⊥平面PAB.所以PB⊥BC.所以PC2=BC2+PB2=BC2+AB2+PA2.设PA=x则PC=,由PB·BC=BE·PC得:a,所以x=a,即PA=a,所以PC= a.又CE=所以即GE=CD=a,所以AF= a.故点F是AB上靠近B点的一个三等分点.【题组通关】【变式巩固·练】1.如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.已知AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,则AC的长为______ cm.【解析】因为平面α∥平面β∥平面γ,两条直线a,b分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F,过D作直线平行于a交β于M,交γ于N.连接AD,BM,CN,ME, NF,所以AD∥BM∥CN,ME∥NF,所以因为AB=2 cm,DE=4 cm,EF=3 cm,所以解得BC=cm,所以AC=AB+BC=2+=(cm).答案:2.如图,在正方体ABCD-A B C D中,S是B D的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点,111111求证:(1)直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)平面EFG∥平面BDD1B 1 .【证明】(1)如图,连接SB,因为E,G分别是BC,SC的中点,所以EG∥SB.又因为SB⊂平面BDD B,EG⊄平面BDD B,1111所以直线EG∥平面BDD1B 1 .(2)连接SD,因为F,G分别是DC,SC的中点,所以FG∥SD.又因为SD⊂平面BDD B,FG⊄平面BDD B,1111所以FG∥平面BDD1B 1 ,又EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,所以平面EFG∥平面BDD1B 1 .【综合创新·练】1.在四面体ABCD中,M,N分别是面△ACD、△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.【解析】如图,连接AM并延长交CD于E,连接BN并延长交CD于F,由重心性质可知, E,F重合为一点,且该点为CD的中点E,由,得MN∥AB,因此,MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.答案:平面ABC、平面ABD。
人教版高中数学必修二第2章2.22.2.3直线与平面平行的性质
223直线与平面平行的性质学习目标1. 了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过 程.2. 理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应用.（重点） 3. 能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定 理进行线面平行的相互转化.（难点） 自主预习。
播新和 zizHi jyt xi口新知初探I直线与平面平行的性质定理 文字语言一条直线与一个平面平行, 面的交线与该直线平行• 过该直线的任意一个平面与已知平符号语言a // a, a? 3, aA b? a /b 图形语言思考：若a // a b? a,则直线a 一定与直线b 平行吗？［提示］不一定.由a / a,可知直线a 与平面a 无公共点，又b? a,,所以a 与b 无公共点,所以直线a 与直线b 平行或异面.口初试身^□1. 如图，过正方体 ABCD-A'B C 'D 的棱BB '作一平面交平面 CDD'C 于EE : 则BB 与EE 的位置关系是（）核心素养通过学习直线与平面 平行的性质，提升直观 想象、逻辑推理的数学 素养•A .平行B .相交C•异面D .不确定A ［因为BB'// 平面CDD C ；BB 7 平面BB'E'E，平面BB'E^G 平面CDD C=EE 所以BB ' // EE '.］2. 设m、n是平面a外的两条直线，给出以下三个论断：①m// n；②m// a；③n// a以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：________ .(用序号表示)①②？③(或①③？②)［设过m的平面B与a交于I •因为m//a,所以m//l，因为m // n，所以n // I，因为n?a, I? a，所以n // a］合作探究。
I星驀养直线与平面平行性质定理的应用［探究问题］1. 直线与平面平行性质定理的条件有哪些?［提示］线面平行的性质定理的条件有三个：(1) 直线a与平面a平行，即a / a；(2) 平面a、B相交于一条直线，即aG b;(3) 直线a在平面B内，即a? B三个条件缺一不可.2. 直线与平面平行的性质定理有什么作用?［提示］定理的作用：(1) 线面平行？线线平行；(2) 画一条直线与已知直线平行.3. 直线与平面平行的判定定理和性质定理有什么联系?［提示］经常利用判定定理证明线面平行，再利用性质定理证明线线平行.【例1】 如图，用平行于四面体 ABCD 的一组对棱AB , CD 的平面截此 四面体•求证：截面 MNPQ 是平行四边形.［证明］ 因为AB //平面 MNPQ ,平面 ABC A 平面 MNPQ = MN ,且 AB?平面 ABC ,所以由线面平行的性质定理,知AB / MN ,同理，AB//PQ ,所以MN // PQ.同理可得 MQ // NP.所以截面MNPQ 为平行四边形.对蕊凍吭 将本例变为：如图所示，四边形 ABCD 是矩形，P ■ 平面ABCD , 过BC 作平面BCFE 交AP 于E ,交DP 于F.［证明］因为四边形ABCD 为矩形,所以BC / AD ,因为AD?平面PAD , BC?平面PAD ,所以BC /平面PAD.因为平面BCFE G 平面FAD = EF ,所以 BC //EF. 求证：四边形因为AD = BC, AD托F,所以BC M EF,所以四边形BCFE是梯形.1.利用线面平行性质定理解题的步骤:2 •证明线线平行的方法：(1) 定义：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行.(2) 平行公理：平行于同一条直线的两条直线平行.a //a(3) 线面平行的性质定理：a? B ? a//b,应用时题目条件中需有线面aA b平行.【例2】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，且PA=3,点F在棱RA上，且AF = 1,点E在棱PD上，若CE//平面BDF，求PE : ED 的值.B［解］过点E作EG // FD交AP于点G,连接CG,连接AC交BD于点O, 连接FO.因为EG// FD , EG?平面BDF, FD?平面BDF ,所以EG//平面BDF ,又EG A CE= E, CE//平面BDF, EG?平面CGE, CE?平面CGE,所以平面CGE//平面BDF,又CG?平面CGE,所以CG//平面BDF,又平面BDF A平面PAC= FO, CG?平面PAC,所以FO // CG,又O为AC的中点，所以F为AG的中点,所以FG = GP= 1,所以E为PD的中点,PE : ED= 1 : 1.利用线面平行的性质定理计算有关问题的三个关键点：(1) 根据已知线面平行关系推出线线平行关系.(2) 在三角形内利用三角形中位线性质、平行线分线段成比例定理推出有关线段的关系.(3) 利用所得关系计算求值.働跟礙训练I如图所示，在棱长为6的正方体ABCD-A i B i C i D i 中，点E, F 分别是棱C i D i , B i C i 的中点，过A , E , F 三点作该正方体的截面，则截面的周长为 ____________ .6 13+ 3 2 [如图所示，延长EF ，A i B i 相交于点M ，连接AM ，交BB i 于 点H ，连接FH ，延长FE , A i D i 相交于点N ，连接AN 交DD i 于点G ，连接EG ,可得截面五边形AHFEG ,因为几何体ABCD-A i B i C i D i 是棱长为6的正方体，且ii E 、F 分别是棱 C i D i , B i C i 的中点，所以 EF = 3 2,易知 B i M = C i E = QC i D i = 2 A i B i ,又 B i H //AA i ,所以 B i H = iAA i = 2, J 则 BH = 4,易知 AG = AH = 62 + 42= 2 i3, EG = FH =、32 + 22= i3,所以截面的周长为 6 i3+ 3,2]i •在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面, 以便运用线面平行的性质.2 •要灵活应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化•在解决立体几 何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的 最有效的方法.当堂达标科固观基1 •如图，在三棱锥SABC中，E, F分别是SB SC上的点，且EF //平面ABC，则（）A. EF与BC相交B. EF // BCC. EF与BC异面D. 以上均有可能B ［因为平面SBC n平面ABC= BC,又因为EF //平面ABC，所以EF // BC.］2 .直线a//平面a, a内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有（）A. 0条B . 1条C. 0条或1条 D .无数条C ［过直线a与交点作平面B,设平面B与a交于直线b，则a// b，若所给n 条直线中有1条是与b重合的，则此直线与直线a平行，若没有与b重合的，则与直线a平行的直线有0条.］3. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1, C1, B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为I，则I与A1C1的位置关系是__________ .平行［因为A1C1 /平面ABCD，A1C1?平面A1C1B，平面ABCD n平面A1C1B= I，由线面平行的性质定理，所以A1C1//IJ4. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1延长线的交点，且PB1//平面BDA1,求证：CD = C1D.［证明］如图，连接AB1与BA1交于点0,连接0D,因为PB i // 平面BDA i, PB i?平面AB i P,平面AB i P n平面BDA i = OD,所以OD // PB i, 又AO= B i O,所以AD = PD,又AC// C i P,所以CD = C i D.。
人教版必修二高一数学：直线、平面平行的判定及其性质
人教版必修二高一数学：直线、平面平行的判定及其性质一、直线与平面平行的判定定理语言文字_______一条直线与此平面内的一条直线________，则该直线与此平面平行图形语言符号语言a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α作用证明直线与平面______________二、平面与平面平行的判定定理语言文字一个平面内的两条________直线与另一个平面________，则这两个平面平行图形语言符号语言a⊂β，b⊂β，__________，a∥α，b∥α⇒α∥β作用证明两个平面__________1．要证明两平面平行，需要在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面，注意“相交”二字不能丢．2．可以通过证明线线平行来证明面面平行．三、直线与平面平行的性质定理（1）自然语言：一条直线与一个平面______________，则过这条直线的任一平面与此平面的______________与该直线平行．（2）图形语言：如图．（3）符号语言：,,a a b a b αβαβ⊂=⇒∥∥．（4）直线与平面平行的性质定理的作用①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交线，从而得到两条直线平行．②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平面，要在平面内画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线． 四、平面与平面平行的性质定理（1）自然语言：如果______________同时和第三个平面______________，那么它们的交线平行． （2）图形语言：如图．（3）符号语言：,,.∥∥a b a b αβαγβγ==⇒1．已知两个平面平行，虽然一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定互相平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 2．应用该定理证明线线平行．五、两个平面平行的其他性质（1）两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． （2）夹在两个平行平面间的平行线段相等．（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． （4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． （5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．答案一、平面外平行平行二、相交平行a b P平行三、（1）平行交线四、（1）两个平行平面相交帮—重点1．直线与平面平行的判定、平面与平面平行的判定；2．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行；3．掌握平面与平面平行的性质定理，并会应用性质定理解决问题．帮—难点1．线面平行、面面平行的综合应用；2．掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的平行关系的相互转化．帮—易错1．忽略线面平行、面面平行的判定定理使用的前提条件；2．忽略定理的必备条件致误．1．直线与平面平行的判定应用判定定理证明线面平行的步骤：上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．1）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP的图形序号是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【解析】①连接AC ，AC ∥MN ，BC ∥PN 可得出面ACB ∥面MPN .∴AB ∥面MPN ；④AB ∥PN ，∴AB ∥面PMN ；②③中，AB 与面PMN 不平行．2）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，AC BC =，点D 是AB 的中点. 求证：1BC ∥平面1CA D ．【答案】证明详见解析．【解析】如图所示，连接1AC ，交1A C 于点O ，连接OD ，则O 是1AC 的中点． ∵点D 是AB 的中点， ∴1∥OD BC ．又∵OD ⊂平面1CA D ，1BC ⊄平面1CA D ， ∴1BC ∥平面1CA D ．3）如图所示的几何体中，△ABC 是任意三角形，AE ∥CD ，且AE ＝AB ＝2a ，CD ＝a ，F 为BE 的中点，求证：DF ∥平面ABC .【证明】 如图所示，取AB 的中点G ，连接FG ，CG ，∵F ，G 分别是BE ，AB 的中点，∴FG ∥AE ，FG ＝12AE .又∵AE ＝2a ，CD ＝a ，∴CD ＝12AE .又AE ∥CD ，∴CD ∥FG ，CD ＝FG ，∴四边形CDFG 为平行四边形，∴F ∥CG .又CG ⊂平面ABC ，DF ⊄平面ABC ，∴DF ∥平面ABC . 2．平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定方法有如下三种：（1）根据定义：证明两个平面没有公共点，但有时直接证明非常困难．（2）根据判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．（3）根据平面平行的传递性：若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，有以下结论：①m ，n 相交且都在平面α，β外，m ∥α，m ∥β，n ∥α，n ∥β，则α∥β；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β； ③若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β. 其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】设m ∩n ＝P ，则直线m ，n 确定一个平面，设为γ，由面面平行的判定定理知，α∥γ，β∥γ，因此，α∥β，即命题①正确；如图，在长方体中，直线EF 平行于平面ADD 1A 1和平面A 1B 1C 1D 1，即满足命题②的条件，但平面A 1B 1C 1D 1与平面ADD 1A 1不平行，因此命题②不正确；图中，EF ∥平面ADD 1A 1，BC ∥平面A 1B 1C 1D 1，EF ∥BC ，但平面ADD 1A 1与平面A 1B 1C 1D 1不平行，所以命题③也不正确．2）如图，在长方体ABCD A B C D -''''中，,,,E F E F ''分别是,,,AB CD A B C D ''''的中点．求证：平面A EFD ''∥平面BCF E ''．【答案】证明详见解析．【解析】∵E E '，分别是AB A B ''，的中点，∴=A E BE ''∥．∴四边形A EBE ''为平行四边形， ∴A E BE ''∥．∵A E '⊄平面BCF E ''，BE '⊂平面BCF E ''，∴A E '∥平面BCF E ''．同理，A D ''∥平面BCF E ''． 又A EA D A '''='，∴平面A EFD ''∥平面BCF E ''．利用判定定理证明两个平面平行的一般步骤： 第一步：在一个平面内找出两条相交直线；第二步：证明这两条相交直线分别平行于另一个平面； 第三步：利用平面与平面平行的判定定理得出结论． 3．线面平行、面面平行的综合应用在立体几何中，常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的． 在解决问题的过程中，要灵活运用平行关系的判定定理．一般地，证明线面平行可以转化为证明线线平行；证明面面平行可以转化为证明线面平行；证明线线平行可以利用线面平行或面面平行的性质定理来实现．1）如果AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．AC 在此平面内D ．平行或相交【答案】 A【解析】 把这三条线段放在正方体内如图，显然AC ∥EF ，AC ⊄平面EFG .EF ⊂平面EFG ，故AC ∥平面EFG .故选A.2）如图所示，在四棱锥C ABED -中，四边形ABED 是正方形，点,G F 分别是线段,EC BD 的中点.（1）求证：∥平面GF ABC ；（2）线段BC 上是否存在一点H ，使得平面∥GFH 平面ACD ，若存在，请找出点H 并证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）由四边形ABED 为正方形可知，连接AE 必与BD 相交于中点F ，故∥GF AC . ∵GF ⊄平面ABC ，∴∥GF 平面ABC .（2）线段BC 上存在一点H 满足题意，且点H 是BC 的中点. 理由如下：由点,G H 分别为,CE CB 中点可得：∥∥GH EB AD .∵GH ⊄平面ACD ，∴∥GH 平面ACD .由（1）可知，∥GF 平面ACD ，且GF GH G =，.故平面∥GFH 平面ACD .本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行，着重考查了推理与论证能力． 4．直线与平面平行的性质定理的应用应用线面平行的性质定理时，关键是过已知直线作辅助平面与已知平面相交，所得交线与已知直线平行．还可以利用交线判断已知平面内任意一条直线与已知直线的位置关系，即在已知平面内所有与交线平行的直线都与已知直线平行，所有与交线相交的直线都与已知直线异面．1）若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（）A．直线a上的点到平面α的距离相等B．直线a平行于平面α内的所有直线C．平面α内有无数条直线与直线a平行D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角【答案】B【分析】直线a与平面α内的所有直线平行或异面．【解答】解：由直线a平行于平面α，知：在A中，直线a上的点到平面α的距离相等，故A正确；在B中，直线a与平面α内的所有直线平行或异面，故B错误；在C中，平面α内有无数条直线与直线a平行，故C正确；在D中，平面α内存在无数条直线与直线a成90°角，故D正确．故选：B．2）已知m，n表示两条不同的直线，α表示平面．下列说法正确的是（）A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α【答案】B【分析】在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由线面垂直的性质定理得m∥n；在C中，n∥α或n ⊂α；在D中，n与α相交、平行或n⊂α．【解析】由m，n表示两条不同的直线，α表示平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理得m∥n，故B正确；在C中，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错误；在D中，若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故D错误．故选：B．3）在如图所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．【答案】 是【解析】 因为侧面AA 1B 1B 是平行四边形，所以AB ∥A 1B 1， 因为AB ⊄平面A 1B 1C 1，A 1B 1⊂平面A 1B 1C 1，所以AB ∥平面A 1B 1C 1， 同理可证：BC ∥平面A 1B 1C 1.又因为AB ∩BC ＝B ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ∥平面A 1B 1C 1.4）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC =2FB =2，若∥MB 平面AEF ，试判断点M 的位置．【答案】M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF ．【解析】如图，过F ，B ，M 作平面FBMN ，交AE 于N ．因为∥BF 平面11AAC C ，BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN 平面11AAC C MN =，所以∥BF MN ．又∥MB 平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN 平面AEF FN =，所以∥MB FN ，所以四边形BFNM 是平行四边形，所以MN =BF =1． 又EC ∥FB ，EC =2FB =2，所以MN ∥EC ，MN =12EC ，故MN 是△ACE 的中位线．所以M 是AC 的中点时，MB ∥平面AEF ． 5．平面与平面平行的性质定理的应用利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤：（1）先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条； （2）判定这两个平面平行；（3）再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上； （4）由定理得出结论．1）设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当点A 、B 分别在平面α，β内运动时，动点C ( )A ．不共面B ．当且仅当点A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当点A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．无论点A ，B 如何移动都共面 【答案】 D【解析】 无论点A 、B 如何移动，其中点C 到α、β的距离始终相等，故点C 在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．2）下列命题中不正确的是( )A ．两个平面α∥β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面βB ．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 【答案】 A【解析】 选项A 中直线a 可能与β平行，也可能在β内，故选项A 不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C 正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B ，D 也正确，故选A.3）设α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS ＝8，BS ＝9，CD ＝34，则CS 的长是________． 【答案】272或16【解析】有两种情况，当点S 在α，β面同侧时，如图(a )所示，∵α∥β，平面SBD ∩α＝AC ，平面SBD ∩β＝BD ，∴AC ∥BD ，AS BS ＝CSDS ，且AS AB ＝CS CD， ∴CS ＝AS ·CD AB ＝8×349－8＝272.同理，当点S 在α，β两平面之间，如图(b )所示，可证得AC ∥DB 及SA SB ＝CSDS ，∴CS CD －CS ＝89. ∴9CS ＝8CD －8CS ，∴CS ＝8CD 17＝8×3417＝16.4）已知三个平面α、β、γ满足α∥β∥γ，直线a 与这三个平面依次交于点A 、B 、C ，直线b 与这三个平面依次交于点E 、F 、G ．求证：AB EFBC FG=．【答案】证明详见解析．【解析】如图，连接AG 交β于H ，连接BH 、FH 、AE 、CG ．∵∥βγ，平面ACG ∩β＝BH ，平面ACG CG γ=，∴BH ∥CG ．同理AE ∥HF ， ∴AB AH EF BC HG FG ==，即AB EFBC FG=． ①当a 与b 共面时，有AE ∥BF ∥CG ．上述证明过程也是正确的，只是此时B 、H 、F 三点共线． ②连接CE ，可同理证明．③当a 与b 异面时，可过A （或B 、C ）作b 的平行线或过E （或F 、G ）作a 的平行线，再利用面面平行的性质定理可证得结论．以上思路都遵循同一个原则，即“化异为共”．6．忽略定理使用的前提条件致错如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α．这个命题正确吗？为什么？【错解】这个命题正确．∵a∥α，∴在平面α内一定存在一条直线c，使a∥c．又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α．【错因分析】忽略了b⊂α这种情况，从而导致错误，本题条件中的直线b与平面α有两种位置关系：b∥α和b⊂α．【正解】这个命题不正确．若b⊄α，∵a∥α，∴在平面α内必存在一条直线c，使a∥c．又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α．若b⊂α，则不满足题意．综上所述，b与α的位置关系是b∥α或b⊂α．【易错警示】错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行．7．对平面与平面平行的性质定理理解不正确，忽略“第三个平面”这一条件如图，α∥β，AB，CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，则AC所在的直线与BD所在的直线平行，这个说法正确吗？【错解】这个说法正确．【错因分析】忽略了AB，CD可能异面的情况．当AB，CD异面时，AC与BD不平行．【思路分析】AB，CD共面时，AC∥BD；AB，CD异面时，AC∥β，但AC与BD不平行．同理BD∥α，但BD与AC不平行．【正解】这个说法错误．【易错警示】使用定理证明或判断线线平行和线面平行时，一定要注意定理成立的条件，缺一不可．1.能保证直线a与平面α平行的条件是（）A．b⊂α，a∥bB．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥cC．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BDD．a⊄α，b⊂α，a∥b【答案】D【解答】在A中，b⊂α，a∥b，则直线a与平面α平行或a⊂α，故A错误；在B中，b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c，则直线a与平面α平行或a⊂α，故B错误；在C 中，b⊂α，A，B∈a，C，D∈b，且AC＝BD，则直线a与平面α平行、相交或a⊂α，故C错误；在D中，a⊄α，b⊂α，a∥b，由此利用线面平行的判定定理得直线a与平面α平行．故选：D．在A中，直线a与平面α平行或a⊂α；在B中，直线a与平面α平行或a⊂α；在C中，直线a与平面α平行、相交或a⊂α；在D中，利用线面平行的判定定理得直线a与平面α平行．2．在正方体ABCD–A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条【答案】A【解析】如图所示，正方体ABCD–A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱是BB1和DD1，共有2条．故选A．3.下列条件中，能判断平面α与平面β平行的是（）A．α内有无穷多条直线都与β平行B．α与β同时平行于同一条直线C．α与β同时要垂直于同一条直线D．α与β同时垂直于同一个平面【答案】C【解析】对于A，若α内有无穷多条平行的直线与β平行，则不能说明α平行β；对于B，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；对于C，垂直于同一条直线的两平面平行；对于D，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．综上，选项C正确．故选：C．4．若平面α∥平面β，则（ ） A ．平面α内任一条直线与平面β平行B ．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行C ．平面α内存在一条直线与平面β不平行D ．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交 【答案】A【解析】根据平面与平面平行的性质可知，若a ⊂平面α，平面∥α平面β，则∥a 平面β.故选A. 5．已知a ，b 为不同的直线，α、β、γ为不同的平面.在下列命题中，正确的是（ ） A ．若直线//a 平面α，直线//a 平面β，则∥αβ B ．若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，则∥αβ C ．若直线a α⊂，直线b β⊂，且∥a β，∥b α，则∥αβ D ．若平面∥α平面γ，平面∥β平面γ，则∥αβ 【答案】D【解析】若∥a α且∥a β，则α和β平行或相交，A 错误；若平面α内的无数条相互平行的直线均平行于平面β，则α和β可能相交，B 错误； 若∥a b ，此时直线a α⊂，直线b β⊂，且∥a β，∥b α，则α和β可能相交，C 错误； 由平面平行的性质可知，平行于同一平面的两平面互相平行，D 正确.本题正确选项为D.本题考查空间中的平行关系，涉及线线关系、线面关系、面面关系.求解时，根据空间中平行关系的判定和性质依次判断各个选项即可得到结果.6．设α、β是两个平面，a 、b 是两条直线，下列推理正确的是（ ）A ．∥∥∥a b a b ⎫⇒⎬⎭ααB ．∥∥a a a b b ⊂⎫⎪⇒⎬⎪=⎭αβαβC ．∥∥a b a b ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭αβαβD ．∥∥a b a b ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭αβαβ 【答案】 B【解析】对于A ，也可能a α⊂，故A 错误，对于B ，根据线面平行的性质定理可知B 正确； 对于C ，由α，β平行可知a ，b 没有公共点，故a ，b 平行或异面，故C 错误； 对于D ，若α，β相交，a ，b 均与交线平行，显然结论不成立，故D 错误．故选B ．本题考查线线、线面、面面位置关系的判定及性质，属于基础题.求解时，根据空间线面位置关系的定义、判定定理和性质进行判断．7．如图，在平行六面体ABCD −1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱,,AB CD BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法：①1A M ∥1D P ； ②1A M ∥1B Q ； ③1A M ∥平面11DCC D ； ④1A M ∥平面11D PQB .则以上正确说法的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】连接PM ，因为M 、P 分别为AB 、CD 的中点，故PM 平行且等于AD .由题意知AD 平行且等于11A D ，故PM 平行且等于11A D ，所以四边形11PMA D 为平行四边形，所以1A M ∥1D P ，故①正确. 显然1A M 与1B Q 为异面直线.故②错误.由①知1A M ∥1D P .由于1D P 在平面11DCC D 内，又在平面11D PQB 内，且1A M 不在平面11DCC D 内，又不在平面11D PQB 内.故1A M ∥平面11DCC D ，1A M ∥平面11D PQB ，故③④均正确. 所以正确说法的个数为3，故选C.本题主要考查线面平行的判断.其中通过证明平行四边形得到线线平行是解题的关键.8．如图，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，过BD 1的平面，分别与AA 1，CC 1交于M ，N ，则四边形BND 1M 的形状为________．【答案】平行四边形【解析】由题意知，平面A1B∥平面C1D，∴MB∥D1N，同理，D1M∥BN. ∴四边形BND1M是平行四边形．9．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，则这两个平面的位置关系为________.【答案】平行或相交【解析】三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行；当三条平行线段不共面时，两平面一定平行. 故填平行或相交.10．三棱锥S−AB C中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE=2ES，则EG与平面SBC的关系为________.【答案】平行【解析】连接AG并延长交BC于点M，连接SM，则AG=2GM，又AE=2ES，所以EG∥SM，又EG⊄平面SBC，所以EG∥平面SB C.故填平行.11.如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个结论中，正确结论的序号是________．【答案】①②③④【解析】展开图可以折成如图①所示的正方体．图①在正方体中，连接AN ，如图②所示，图②∵AB ∥MN ，且AB ＝MN ，∴四边形ABMN 是平行四边形．∴BM ∥AN ，∴BM ∥平面DE ，同理可证CN ∥平面AF ，∴①②正确；如图③所示，图③可以证明BM ∥平面AFN ，BD ∥平面AFN ，则平面BDM ∥平面AFN ，同理可证平面BDE ∥平面NCF ，所以③④正确．12．如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知122DC DD AD AB ===，AD DC ⊥，∥AB DC .设E 是DC 的中点，求证：1∥D E 平面1A BD .【答案】见解析. 【解析】连接BE .∵E 是DC 的中点，22DC AD AB ==，AD DC ⊥，∴四边形DABE 为正方形， ∴11BE AD A D ==，且11∥∥BE AD A D ，∴四边形11A D EB 为平行四边形，∴11∥D E A B ， ∵1D E ⊄平面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，∴1∥D E 平面1A BD .本题主要考查线面平行的判定定理，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两面平行，在其中一平面内的直线平行于另一面.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 上一点，且1∥A B 平面1AC D ，1D 是11B C 的中点.求证：平面11A BD ∥平面1AC D . 【答案】见解析.【解析】连接1A C 交1AC 于点E ，连接ED ， ∵四边形11A ACC 是平行四边形，∴E 是1A C 的中点，1A B ∥平面1AC D ，平面1A BC 平面1AC D DE =，∴根据线面平行的性质定理，可得1ED A B ∥，E 是1A C 的中点，D ∴是BC 的中点，又1D 是11B C 的中点，11BD C D ∴∥且11BD C D =，∴四边形11C D BD 为平行四边形，11C D BD ∴∥，1BD ∴∥平面1AC D ，又11A BBD B =，∴平面11A BD ∥平面1AC D .本题主要考查了线面平行的性质定理的应用，以及面面平行的判定与证明，其中解答中把握几何体的结构特征，熟练应用线面平行的性质定理和面面平行的判定定理是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．求解时，连接1A C 交1AC 于点E ，连接ED ，利用线面平行的性质定理，证得1ED A B ∥，又由四边形11C D BD 为平行四边形，得11C D BD ∥，证得1BD ∥平面1AC D ，利用面面平行的判定定理，可得平面11A BD ∥平面1AC D .14．已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点.求证：（1）1∥C O 平面11AB D ； （2）平面11∥AB D 平面1C BD . 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）连接11A C 交11B D 于点1O ，连接1AO ，1111ABCD A B C D -是正方体，∴四边形11A ACC 是平行四边形，11∥A C AC ∴且11A C AC =，又1,O O 分别是11,A C AC 的中点，11∥O C AO ∴且11O C AO =，∴四边形11AOC O 是平行四边形，11,∥C O AO ∴又1AO ⊂平面11AB D ，1C O ⊄平面11AB D ，1∥C O ∴面11AB D .（2）1111ABCD A B C D -是正方体，1111,∥∥AB DC AD BC ∴，∴1∥AB 平面1,C BD 1∥AD 平面1C BD ，又11,AB AD A =1AD ⊂平面111,AB D AB ⊂平面11AB D ，∴平面11∥AB D 平面1C BD .本题主要考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面平行的证明，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.15.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，关于直线A 1O ，下列说法正确的是（ ） A ．A 1O ∥D 1C B ．A 1O ⊥BC C ．A 1O ∥平面B 1CD 1 D ．A 1O ⊥平面AB 1D 1【答案】C【解析】∵在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点O 是四边形ABCD 的中心，∴A 1D ∥B 1C ，OD ∥B 1D 1， ∵A 1D ∩DO ＝D ，B 1D 1∩B 1C ＝B 1，∴平面A 1DO ∥平面B 1CD 1， ∵A 1O ⊂平面A 1DO ，∴A 1O ∥平面B 1CD 1．故选：C ．推导出A 1D ∥B 1C ，OD ∥B 1D 1，从而平面A 1DO ∥平面B 1CD 1，由此能得到A 1O ∥平面B 1CD 1．16.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对于B ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ； 对于C ，易知AB ∥MQ ，则直线AB ∥平面MNQ ；对于D ，易知AB ∥NQ ，则直线AB ∥平面MNQ ．故排除B ，C ，D ，选A ．本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力，属容易题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面．17．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（ ）A ．若m ⊂α，∥n β，m ，n 是异面直线，则α，β相交B ．若m ⊥α，m ⊥β，∥n α，则∥n βC ．若m ⊂α，∥n α，m ，n 共面于β，则∥m nD ．若m ⊥α，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线 【答案】C【解析】正方体1111ABCD A B C D -中，取，m n 分别为棱11，BC C D ，平面α为平面，ABCD β为与平面1111A B C D 平行的平面，满足选项A 中的条件，但是∥αβ，选项A 错误；取，m n 分别为棱1，BB BC ，平面，αβ为1111，A B C D ABCD ，满足选项B 中的条件，但是n ⊂β，选项B 错误；取，m n 分别为棱1，AB AA ，平面，αβ分别为平面111111，BCC B A B C D ，满足选项D 中的条件，但是m n A =，选项D 错误.本题选择C 选项.18．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G ，P ，Q 分别为棱AB ，11C D ，11D A ，1D D ，1C C 的中点.则下列叙述中正确的是（ ）A ．直线∥BQ 平面EFGB ．直线1∥A B 平面EFGC ．平面∥APC 平面EFGD ．平面1∥A BQ 平面EFG【答案】B【解析】过点,,E F G 的截面如图所示（,H I 分别为1,AA BC 的中点）1∥A B HE ，1A B ⊄平面EFG ，HE ⊂平面EFG ，1∥A B ∴平面EFG .本题正确选项为B.本题考查了直线与平面、平面与平面平行的判定，关键在于能够准确地找到截面，从而判断出结果.求解时，将平面EFG 扩展，可作出过,,E F G 的正方体的截面，易证得1∥A B 平面EFG .19.如图所示的四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号为（ ）A ．①②B ．③④C ．①②③D ．②④【答案】C【解析】正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点， 在图①中，∵BC ∥PN ，AC ∥PM ，AC ∩BC ＝C ，PN ∩PM ＝P ，∴平面ABC ∥平面PMN ， ∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故①能得出AB ∥平面MNP ；在图②中，∵AC ∥MN ，BC ∥PN ，AC ∩BC ＝C ，MN ∩PN ＝N ，∴平面ABC ∥平面PMN ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故②能得出AB ∥平面MNP ；在图③中，BC ∥MN ，AC ∥PN ，BC ∩AC ＝C ，MN ∩PN ＝N ，∴平面ABC ∥平面PMN ，∵AB ⊂平面ABC ，∴AB ∥平面MNP ，故③能得出AB ∥平面MNP ；在图④中，AB ∩PB ＝B ，PB ⊂平面PMN ，∴AB ∩平面PMN ＝B ，故④不能得出AB ∥平面MNP ．故选：C ．在图①中，由BC ∥PN ，AC ∥PM ，推导出AB ∥平面MNP ；在图②中，由AC ∥MN ，BC ∥PN ，推导出AB ∥平面MNP ；在图③中，由BC ∥MN ，AC ∥PN ，推导出AB ∥平面MNP ；在图④中，AB ∩平面PMN ＝B ．20．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G H ，，则HG 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A 【解析】,E F 分别是11,AA BB 的中点，∥EF AB ∴.又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，AB ∴∥平面EFGH . 又AB平面ABCD ，平面ABCD平面EFGH GH =，AB GH ∴∥.本题考查线面平行的判定和性质，属于简单题.求解时，由EF AB ∥得到∥AB 平面EFGH ，从而得到AB GH ∥.21．正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E 在A 1B 1上，且B 1E =1，记图中阴影平面为平面α，平面α∥平面BC 1E ，若平面α∩平面AA 1B 1B =A 1F ，则AF 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．3【答案】A【解析】因为平面α∥平面BC 1E ，平面α∩平面AA 1B 1B =A 1F ，平面BC 1E ∩平面AA 1B 1B =BE ， 所以A 1F ∥BE .又A 1E ∥BF ，所以四边形A 1EBF 是平行四边形，所以A 1E =BF =2，所以AF =1.故选A.本题考查平面与平面平行的性质定理.属于中档题.平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行;平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线互相平行.特别提醒：线线平行、面面平行有传递性，而线面平行没有传递性. 22．如图（1）所示，已知正方形ABCD 中，E F ，分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.【答案】平行【解析】∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴EB ＝FD ．又∵EB ∥FD ，。
人教版高一数学必修二《直线与平面平行的性质》评课稿
人教版高一数学必修二《直线与平面平行的性质》评课稿一、课程介绍1.1 课程背景本课程是人教版高一数学必修二中的一节课，主题为《直线与平面平行的性质》。
通过本节课的学习，学生可以了解直线与平面之间的关系，掌握平行线的判定方法和平行平面的特性。
这些知识在解决实际问题中具有重要的应用价值。
1.2 授课目标本节课的主要授课目标包括：•理解平行线的定义和特性；•掌握平行线的判定方法；•了解平行平面的特性；•能够运用所学知识解决实际问题。
1.3 教学重点本节课的教学重点主要包括：•平行线的定义和判定方法；•平行平面的特性。
1.4 教学难点本节课的教学难点主要包括：•平行线和平行平面的实际应用问题。
二、教学内容与方法2.1 教学内容本节课的教学内容主要包括以下几个方面：2.1.1 平行线的定义和判定方法在本节课中，我们将首先介绍平行线的定义，即两条直线平行的条件是什么。
接着，我们将介绍几种常见的平行线判定方法，如同位角相等、内错角相等和同旁内角相等等。
通过理论的讲解和实例的演示，让学生掌握判定平行线的方法。
2.1.2 平行平面的特性在本节课的第二部分，我们将介绍平行平面的特性。
平行平面的定义和平行线的定义类似，即两个平面平行的条件是什么。
我们将引入带有平行线的平面图形，并通过推理和证明，让学生理解平行平面的性质。
2.2 教学方法本节课采用以下教学方法进行教学：2.2.1 讲授法通过老师的讲解和示范，结合课件和书本上的案例，向学生介绍平行线和平行平面的定义、性质和判定方法。
讲解过程中，可以通过引入生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣。
2.2.2 演示法通过具体的实例演示，让学生亲自操作和观察，加深他们对平行线和平行平面的理解。
演示过程中，教师可以引导学生思考和分析，培养他们的逻辑思维能力和问题解决能力。
2.2.3 练习法在理论讲解和实例演示之后，组织学生进行练习。
练习题可以包括填空题、选择题和解答题等，旨在让学生进一步巩固所学知识，并提高他们的应用能力。
高中数学(人教版必修2)直线、平面平行的判定及其性质配套练习(有答案)
§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立． 上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角． 二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角． 三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明 由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解 由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角． 连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明 假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解 取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解 如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)． 则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°， 若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)． 又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形， 所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°， 即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明 由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明 连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解 由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明 如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理， 则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， 则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明 因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ， 又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明 连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由． 三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ， 使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明 连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解 取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点， 求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积． 三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明 在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ， 且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明 在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解 过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高． 又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明 由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。
高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案
2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】 因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形， 所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ， 又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】 应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
第五节两个面平行的判定和性质
学科: 数学年级：高二版本：人教版期数：2331本周教学内容：第五节两个平面平行的判定和性质【基础知识精讲】1.两个平面的位置关系(1)两平面平行——没有公共点，若α与β平行，记作α∥β.(2)两平面相交——有一条公共直线，若α与β有交线a，记作α∩β＝a.注意：画两个互相平行的平面时，表示平面的两个平行四边形的对应边应画平行，如图：画两个相交平面时：(i)先画表示两个平面的平行四边形的相交的两边.(ii)再画出表示两个平面交线的线段；(iii)过第(i)步图中线段的端点分别引线段，使它平行且等于第(ii)步图中表示交线的线段.(iv)最后画表示两个平面的平行四边形的第四边，其演示过程如下：2.两个平面平行的判定(1)两个面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.aβ,bβ,a∩b＝A,a∥α,b∥α⇒α∥β.在实际生活中要判断一个平面是否水平时，把水准器在该平面上交叉放两次如果汽泡居中，就可利用该定理判定该平面与水平面平行.(2)书中粗体字：垂直于同一直线的两个平面平行.也可以用来作面面平行的判定.即α⊥AA′，β⊥AA′⇒α∥β.3.两个平面平行的性质(i)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.这为线面平行进一步提供了证明方法，但分居两平行平面的直线有平行与异面两种可能.(ii)两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.α∥β，γ∩α＝a,γ∩β＝b⇒a∥b.(iii)一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，它也垂直于另一个平面.(iv)经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.4.两个平行平面的距离首先我们可以验证夹在两个平行平面间的平行线段相等.(1)两个平行平面的公垂线：和两个平行平面同时垂直的直线.这与两异面直线公垂线不同的是两平行平面的公垂线有无数条.根据线面垂直的性质定理可知这些公垂线相互平行.(2)两个平行平面的公垂线段：两个平行平面的公垂线夹在两平行平面间的部分.由上可知，两个平行平面的公垂线段都相等，我们把夹在两个平行平面间的公垂线段的长度叫做两个平行平面间的距离.【重点难点解析】两个平面平行的判定和性质是本节的重点，平行平面间的距离是本节的重点概念，判定定理的证明是本节的难点，要深刻理解面面平行的概念和一些重要定理，在验证中应注意线线平行，线面平行，面面平行之间的相互转化.例1已知a、b是异面直线，a⊂α,a∥β,b⊂β,b∥α,求证α∥β.分析证明两个平面平行通常利用判定定理来证.证明如图，过a作任一平面γ和平面β交于a′,∵a∥β∴a∥a′.又a′⊂β,a′⊄α∴a′∥α且a′与b相交，∵b⊂β，b∥α.∴α∥β.另证设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面γ，设γ∩β＝a′∵α∥β，∴a′∥a,∵c⊥a,∴c⊥a′又∵c⊥b,a′,b相交，∴c⊥β同理可证：c⊥α，∴α∥β例2已知：平面α∥平面β，且aα，b平面β，a,b为两条异面直线.求证：异面直线a、b间的距离等于平面α，β之间的距离.证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B，作直线a′，使a′∥a.∵α∥β，a⊂β,∴a∥β,∴a′⊂β.∵AB⊥a,∴AB⊥a′又AB⊥b，且a′∩b＝B.∴AB⊥β∵α∥β，∴AB⊥α∴AB的长是平行平面α，β间的距离.说明求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.例3如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.已知：α∥β,l∩α＝A.求证：l与β相交.证明：∵α∥β,l∩α＝A∴Aβ.假设l与β不相交，则l∥β在平面β内任取一点D，则D l.∴点D，l确定平面PBD，如图∵α与平面PBD相交于过A的一条直线AC，β与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.又α∥β∴AC与BD无公共点.∵AC和BD都在平面PBD内，∴AC∥BD.由l∥β可知l∥BD.∴AC∥l且l与AC相交于A.∴AC与l重合，又AC在平面α内.∴l在α内与l∩α＝A矛盾.∴假设不成立，∴l与β必相交.例4如图，正四棱锥S—ABCD的底面积长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC 上，并且BP∶PD＝1∶2，PQ∥平面SAD，求线段PQ的长.分析要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.作PM ∥AD 交CD 于M 连QM ，∵PM ∥平面SAD ，PQ ∥平面SAD.∴平面PQM ∥平面SAD ，而平面SCD 分别与此两平行平面相交于QM ，SD. ∴QM ∥SD.∵BC ＝a,SD ＝2a.∴PD BP ＝21. ∴BC MP ＝BD PD ＝32,MP＝32a, SD MQ ＝CDMC ＝BD BP ＝31.∴MQ ＝31SD ＝32a,又∠PMQ ＝∠ADS.∴cos ∠PMQ ＝cos ∠ADS ＝a a221＝41. 在ΔPMQ 中由余弦定理得 PQ 2＝(32a)2+(32a)2-2·32a ·32a ·41＝96a 2. ∴PQ ＝36a. 评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.例5 已知：如图，α∥β，异面直线AB 、CD 和平面α、β分别交于A 、B 、C 、D 四点，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：(1)E 、F 、G 、H 共面；(2)面EFGH ∥平面α.证明 (1)∵E 、H 分别是AB 、DA 的中点，∴EH ∥21BD.同理FG ∥21BD.∴FG ∥EH.∴四边形EFGH 是平行四边形，即E 、F 、H 、G 共面.(2)平面ABD 和平面α有一个公共点A ，设两平面交于过点A 的直线AD ′∴α∥β，∴ AD ′∥BD.又∵BD ∥EH ，∴EH ∥BD ∥AD ′.∴EH ∥平面α，EH ∥平面β，同理EF ∥平面α，EF ∥平面β.∴平面EFHG ∥平面α∥平面β.【难题巧解点拨】例1 点A 为异面直线a 、b 外一点，过A 与a 、b 都平行的平面( ) A.只有一个 B.只有两个 C.至多有一个 D.有无数个分析：本题考查线线位置关系，线面位置关系，平面基本性质，以及空间想象能力解法一：过点A 作a ′∥a,b ′∥b ，根据公理3，a ′与b ′确定一个平面为α，则异面直线a 与b 至多有一条在α内，当a 、b 都不在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面恰有一个，即α；当a 、b 中有一条在α内时，过A 与a 、b 都平行的平面不存在，故选C.解法二：过异面直线a 、b 分别作平面α、β使α∥β，若点A 在α或β上，则过A 与a 、b 都平行的平面不存在；若点A 在α外且在β上，则过A 恰有一个平面平行于α、β，则过点A 与a 、b 都平行的平面恰有一个.例2 有四个命题(1)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平行 (2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 (3)平行于同一平面的两条直线平行(4)如果直线a ∥平面α，a ⊂平面β，且α∩β＝b,则a ∥b. 其中假命题共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解 此题考查线线位置关系和线面位置关系，以及空间想象能力.一条直线和另一条直线平行，它可能在经过另一条直线的平面内，故(1)是假命题.一条直线和另一个平面平行，它与这个平面的直线可能平行，也可能异面，故(2)也是假命题，平行于同一平面的两条直线，也可能平行，也可能异面或相交，故(3)也是假命题，而命题(4)是真命题，也是线面平行的性质定理.例3 已知直线a 、b 、c ，平面α∩平面β＝a,b ⊂α，c ⊂β，且b 与c 无公共点，则b 与c 不平行的充要条件是( )A.b 、c 都与α相交B.b 、c 中只有一条与α相交C.b 、c 中至多一条与α相交D.b 、c 中至少有一条与α相交分析：本题考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，充要条件，以及空间想象能力和等价转化能力.解法一：若直线b 与c 不平行，又由b 与c 无公共点，则b 与c 必定异面，根据异面直线的定义和线面位置关系可知或者b 与c 都与a 相交，或者b 、c 中有一条与a 相交，另一条与a 平行，即b 、c 中至少有一条与α相交，即D 成立；反之，当D 成立时，不难证明b 与c 必不平行，所以应选D.解法二：由题设及异面直线的定义可知，若b 、c 都与a 相交能推出b 与c 异面，即b 与c 不平行；反过来，b 与c 不平行不一定推出b 、c 都与a 相交，即A 是充分非必要条件，而不是充要条件，同理，B 也是充分非必要条件，而非充要条件，又由b 、c 中至多有一条与a 相交，包含b 、c 中有一条与a 相交和b 、c 都不与a 相交两种情形，而对于后者，即b ∥a 且c ∥a ，则b ∥c.故c 既非充分又非必要条件，综上所述，排除A 、B 、C 三个选择项，从而选择D.例4 已知A ，B ∈平面α，C ，D ∈平面β，α∥β，AB ＝13，BD ＝15，AC 、BD 在平面α上的射影长之和是14，求AC 、BD 在平面α上的射影长，以及平面α、β的距离.解 如图，设α、β的距离是h ，则AC 在α内的射影长是2213h -，BD 在α内的射影长是2215h -.根据题意，2213h -+2215h -＝14. 解这个方程，h ＝12.∴ 2213h -＝5, 2215h -＝9.故AC 、BD 在平面α上的射影长分别是5和9，平面α、β的距离是12.点评 平行平面间距离通常转化为点面距离或线面距离最终转化为点面距离.例5 如图，已知线段PQ 、PD 、QF 分别和平行平面α、β交于A 、B 、C 、D 、E 、F ，若AP ＝BQ ，求证：S ΔACF ＝S ΔBDE .略证 由已知得AC ∥BD ，EB ∥AF ，∠CAF ＝∠EBD ，又AC ∶BD ＝PA ∶PB ＝QB ∶QA ＝EB ∶AF ，∴AC ·AF ·sin ∠CAF ＝BE ·BD ·sin ∠DBE.∴S ΔACF ＝S ΔBDE .例6 如图，在三棱锥S —ABC 中，A 1、B 1、C 1分别是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，(1)求证：平面A 1B 1C 1∥平面ABC ；(2)求三棱锥S —A 1B 1C 1与S —ABC 体积之比.分析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出“线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.证：(1)：∵ A 1、B 1、C 1是ΔSBC 、ΔSCA 、ΔSAB 的重心，连SA 1、SC 1并延长交BC 、AB 于N 、M ，则N 、M 必是BC 和AB 的中点.连MN∵SMSC 1＝SN SA 1＝32， ∴A 1C 1∥MN.∵MN ⊂平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC.同理可证 A 1B 1∥平面ABC. ∴ 平面A 1B 1C 1∥平面ABC. (2)由(1)MN C A 11＝32，MN ∥21AC ， ∴A 1C 1∥31AC. 同理可证：A 1B 1∥1AB ， B 1C 1∥1BC. ∴ ΔA 1B 1C 1∽ΔABC ， S 111C B A △＝91S ΔABC . 设三棱锥S —ABC 的高为h ，S —A 1B 1C 1的高为h 1则有：h h 1＝SN SA 1＝32,∴h 1＝32h.∴ABCS C B A S V V --111＝h S hS ABC ABC ⋅⋅⋅⋅△△91313231＝272. 评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形和线段成比例的基础.例7 如图，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，求证：(1)平面AB 1D 1∥平面C 1BD ；(2)对角线A 1C 被平面AB 1D 1和平面C 1BD 三等分.分析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB 1D 1∥平面C 1BD 的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法.证：(1)连AC ，∵BD ⊥AC ，AC 是A 1C 在底面上的射影，由三条垂线定理得A 1C ⊥BD ，同理可证A 1C ⊥BC 1.∴A 1C ⊥平面C 1BD ，同理也能证得A 1C ⊥平面AB 1D 1. ∴平面AB 1D 1∥平面C 1BD.(2)设A 1到平面AB 1D 1的距离为h ，正方体的棱长为a ，则有：31h ·43(2a)2＝31a · 21a 2. ∴h ＝33a.同理C 到平面C 1BD 的距离也为33a ，而A 1C ＝3a.故A 1C 被两平行平面三等分.评析：论证A 1C 被两平行平面三等分，关键是求A 1到平面AB 1D 1的距离，C 到平面C 1BD 的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A 1ACC 1中去考虑：连A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，AC ∩BD ＝0，如图连AO 1，C 1O ，AC 1，设AC 1∩A 1C ＝K.A 1C ∩AO 1＝M ，C 1O ∩A 1C ＝N.可证M 为ΔA 1AC 1的重心，N 为ΔACC 1的重心，则可推知MN ＝NC ＝A 1M.另外值得说明的是：A 1C 是面AB 1D 1和面BC 1D 的公垂线. 异面直线AD 1和C 1D 的距离也等于MN.例8 如图，已知直线a ∥平面α；求证：过a 有且只有一个平面平行于α.证明 (1)存在性：设过a的平面γ与α交于a′，∵a∥α，∴a∥a′.在α上，设直线b′∩a′＝A′,在a上取点A，A与b′确定平面δ，在δ上过A作b∥b′.则a、b是相交直线(若重合，则显然b′∥a′，矛盾).∴a,b确定平面β，则β∥α.(2)唯一性：设过a还有一个平面π∥α，∵π与δ有公共点A，∴π与δ相交于过A 的直线b″，又π∥a，δ∩b′，∴b″∥b′,∴b″∥b,而b″与b都过点A，故重合，故π与β重合.【课本难题解答】1.经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.已知：Aα，A∈β，β∥α求证：β是唯一的.证：设l过A点，且l⊥α，这样的直线是唯一的.又β∥α，则β⊥l，过点A与α平面的平行一定和l垂直.∵过点A和直线l垂直的平面是唯一的.∴过点A和α平行的平面是唯一的.2.一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.已知：α∥β，直线a分别与α和β相交于点A和A′.求证：a与α所成的角与a与β所成的角相等.(1)当a⊥α时，∵α∥β，∴α⊥β.即a与α所成的角与a与β所成的角都是直角.(2)当a是α的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A′的任意一点，过点P引a′⊥α, a′∩α＝B,a′∩β＝B′.连结AB和A′B′.∵α∥β，a′⊥α.∴a′⊥β由此可知，∠PAB是a和α所成的角，∠P′A′B是a和β所成的角，而AB∥A′B′.∴∠PAB＝∠PA′B′即 a和α所成的角等于a和β所成的角.3.a 和b 是两条异面直线，求证：过a 且平行b 的平面必平行于过b 且平行于a 的平面. 已知：a,b 是异面直线，a ⊂α，b ⊂β,a ∥β,b ∥α. 求证：α∥β.证：过b 作平面γ与平面α交于b ′4.如图，直线AC 、DF 被三个平行平面α、β、γ所截. 求证：BC AB ＝EFDE 证：(i)当AC ，DF 共面S 时，连AD ，BE ，CF 则AD ∥BE ∥CF 从而BC AB ＝EFDE (ii)当AC 、DE 异面时，连CD 设CD ∩β＝G 连AD 、BG 、GE 、CF ，如图∵α∥β 平面ACD ∩β＝BG ，平面ACD ∩α＝AD. ∴BG ∥AD ∴BCAB ＝GC DG同理可证：EG ∥CF ，∴GCDG ＝EF DE∴BC AB ＝EFDE 综合(i)(ii)知：BC AB ＝EF DE .【命题趋势分析】本节应掌握两平面平行的概念、判定定理及性质定理，能运用这些概念、定理进行论证和解决有关问题.面面平行这一节直接出题的情况不多，各年高考中基本上都与其他章节知识综合出题，常以同学科知识间的单综合形式命题.【典型热点考题】例1 设直线a 在平面α内，则“平面α∥平面β”是“直线a ∥平面β”的( )条件A.充分但不必要B.必要但不充分C.充分且必要D.不充分也不必要解 若α∥β，∵a α，∴a 与β无公共点，∴a ∥β.若a ∥β，a α，则α，β的关系不能确定，所以应选A.例2 设a 、b 是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是( )A.经过直线a 有且只有一个平面平行于直线bB.经过直线a 有且只有一个平面垂直于直线bC.存在分别经过直线a 和b 的两个互相平行的平面D.存在分别经过直线a 和b 的两个互相垂直的平面解 A 、C 、D 均为真命题，B 为假命题；∵若过a 的平面α⊥b,则b 垂直α内的直线a ，从而a ⊥b ，那么限制a,b 必须垂直，而条件中没有指明a 、b 是否垂直.例3 α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面α∥β的是( )A.α、β都垂直于平面γB.α内不共线的三点到β的距离相等C.l 、m 是α内的直线，且l ∥β，m ∥βD.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α,l ∥β,m ∥α,m ∥β解 显然B 、C 不能推出α∥β，有α、β相交的情况存在，对于A 、D ，学了“面面垂直”后，就可以说明A 不能推出α∥β，α、β有相交的可能，从而选D.事实上，l ∥α，m ∥α，在α内任取一点A ，过A 作l ′∥l ，m ′∥m,因为l,m 异面，所以l ′,m ′相交，则可推出l ′∥β，m ′∥β.由面面平行的判定定理可推出α∥β.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.一直线平行于两个平行平面中的一个，必与另一个( )A.平行B.相交C.平行或相交D.平行或在平面内2.平行于同一个平面的两个平面( )A.平行B.平行或者重合C.有可能相交D.以上都不对3.若平面α∥β，a α，b β，则a 与b( )A.平行B.异面C.平行或异面D.以上都不对4.两个平面都与二条直线平行，则这两个平面( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对5.若平面α与两异面直线所成角相等，平面β与它们所成的角也相等，则α与β( )A.平行B.平行或相交C.相交D.以上都不对6.若a 、b 为异面直线，P 为空间一点，过P( )A.必可作一个平面与a 、b 都平行B.最多可作一个平面与a 、b 都平行C.可作一个平面与a 、b 都垂直D.可作一个平面与a 、b 都成定角α(0＜α＜2π)7.若空间三个不同的平面两两相交，则( )A.不可能只有两条交线B.必定相交于一点C.必定相交于一条直线D.必相交于三条平行直线8.下列命题中正确的是( )A.过平面外一点平行于此平面的直线在同一平面内B.平行于同一个平面的两条直线平行C.直线在平面外就是直线与平面没有交点D.空间两个平面不平行便垂直9.使平面α和平面β平行的条件是( )A.平面α内有无穷多条直线都与平面β平行B.直线a ∥α,a ∥β，且直线a 不在平面α内也不在平面β内C.直线a ⊂α直线b ⊂β，且a ∥β，b ∥βD.平面M 内的任何直线都与平面N 平行10.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线PAC 、PBD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA ＝6，AC ＝9，AB ＝8，则CD 的长为( )A.20B.4C.12D.20或411.a、b为互不垂直的两异面直线，过a、b分别作平面α、β，那么下列四种情形中：①b∥α;②b⊥α；③α∥β;④α⊥β，不可能出现的情形有( )A.1种B.2种C.3种D.4种12.已知AB、CD是夹在两平行平面α、β间的两条线段，AB⊥CD，｜AB｜＝2，AB与平面α成30°的角，则线段CD的长度范围是( )A.(332，23) B.［332,+∞］C.(1，332) D.［1,+∞)二、填空题1.若直线l与平面α，β所成的角均为θ，则α与β .2.若直线a∥直线b,a⊂α，b⊂β，则平面α与β .3.若平面α∩平面β＝1，A∈1,B∈1,AC⊂α，BD⊂β，则AC，BD .4.夹在两个互相平行的平面间有一条长4cm的垂线和一条长6cm的斜线，在每一个平面内，这两线段端点的距离都是3cm，则这垂线中点到斜线中点的距离是 .5.已知平面α∥平面β，在α内取四个点，在β内取三个点，这七个点最多可以确定_______个与α和β都相交的平面.三、解答题1.两条直线与两个平行平面相交，求证夹在两平行平面间的两条线段的中点的连线与两个平面平行.2.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：(1)AP⊥MN；(2)平面MNP∥平面A1BD.【素质优化训练】1.如图，空间折线ABCD的各段分别交两个平行平面α，β于点M、M′、N、N′、P、P′，已知｜BN′｜＝16,｜CN｜＝9,｜MN′｜＝12,SΔMNP＝72.求SΔM′N′P′的值是多少?2.已知平面α∥平面β，AB、CD为夹在平面α、β之间的线段，并且AB+CD＝342.AB、CD在β内的射影分别为78，36.求平面α，β之间的距离.3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、M、N、Q分别为棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点.求证：平面EFG∥平面MNQ.4.试证明：平行且相等的三条线段，如果不在同一平面内，那么它们对应端点所在的两个平面平行.5.以空间一点O为中点作三条不共面线段，AA1、BB1、CC1，求证：平面ABC∥平面A1B1C1.6.两条异面直线AC，DF，依次与三个平行平面α、β、r相交于A、B、C和D、E、F，又AF，CD与平面β的交点为G，H，求证：HEGB为平行四边形.7.夹在两个平行平面α、β间有一条长8cm的垂线段AB和一条长12cm的斜线段CD，其中A、B为垂足，C、D为斜足，若AC＝BD＝6cm，E为AB中点，F为CD中点，求EF的长度.【生活实际运用】长方体AC1容器内注入一定数量的水以后，把容器底面一边BC置于水平桌面上，再将容器倾斜，当水面与长方形的四条侧棱分别交于E、F、G、H四点时(如图所示)，随着倾斜角度的变化，如下四个命题：①水的部分ABCDEFGH始终是直棱柱；②水面EFGH始终与棱A1D1平行；③水面EFGH的面积始终保持不变；④AE+BF始终不变其中正确的命题是( )A.①②B.①③C.①②③D.①②④提示：水平EFGH始终平行水平桌面，EH∥AD∥GF.从而②正确.AD⊥面A1B，从而①正确，因为水的体积未变，把面ABFE当作底面，高AD没发生改变，从而ABFE的面积没有变，则AE+BF始终不变，从而④正确，由S射＝S·cosθ知，随着角度的变化，而EFGH的射影面积始终是ABCD，所以EFGH的面积在发生变化，从而③不正确.∴应选D.【知识验证实验】小明到他父亲的木工房，看到一个如图所示，棱长为50cm的立方体工件，从立方体的前、后、左、右、上、下看，都有两个相通的正方形孔，请你算一算这个立体剩下的体积是多少?解 若没有孔的话，体积应为503＝125000(cm 3)，现在前后、左右、上下有6个“通孔”，每一个体积为10×10×50＝5000(cm)3，还应当看到任一“通孔”与另外两个“通孔”有交叉部分，这样共有6个交叉部分，每个部分体积为10×10×10＝1000(cm 3)，所以，所求体积为503-6×5000+6×103＝101000(cm 3).【知识探究学习】已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中：(1)若AB ＝5，AA 1＝4，AD ＝3.试求在长方体表面上从A 到C 1的最短路线.(2)若AB ＝a,AA 1＝b,AD ＝c ，且a ＞b ＞c ，试求长方体表面上从A 到C 1的最短距离.解 (1)将有关平面折直.(i)沿表面经过A 1D 1(或BC)到C 1点：AC 1＝212DC AD +＝22)54(3++＝90(ii)沿表面经过A 1B 1(或DC)到C 1点AC 1＝212BC AB +＝22)43(5++＝74(iii)沿表面经过B 1B(或DD 1)到C 1点AC 1＝212CC AC +＝224)35(++＝80从而，从A 经A 1B 1(或CD)到C 1距离最短，从而最短距离为74(2)由(1)的解及a ＞b ＞c 可知：22)(c b a ++＜22)(c a b ++＜22)(b a c ++即从A 点经过A 1B 1(或CD)到达C 1的路线最短. 其最短长度为22)(c b a ++参考答案【同步达纲练习】1.D2.A3.C4.B5.B6.B7.A8.A9.D 10.D 11.B 12.B二、1.若θ＝2π时，α∥β，若θ≠2π时，α、β平行或相交. 2.平行或相交.3.异面4.2cm5.30三、1.提示：分两种情况考虑.(i)当两直线共面时，可利用面面平行的性质定理进行证明；(ii)当两直线异面时，可利用面面平行的判定定理证明.(可参考课本难题解答第4题)2.(1)提示：AP 在平面BC 1内的射影BC 1⊥MN.∴AP ⊥MN(2)利用面面平行的判定定理.【素质优化训练】1.962.1603.略4.略5.略6.提示：连结AD ，证明BH ∥GE.7.4cm。
【新人教版】数学必修二第八章 8.5.1直线与直线平行
【新人教版】数学必修二第八单元8.5 空间直线、平面的平行8.5.1 直线与直线平行学习目标 1.会判断空间两直线的位置关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.知识点一基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性知识点二空间等角定理1.定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.思考如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？答案不一定，这两条直线可能相交、平行或异面.1.如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行.(√)2.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等.(×)3.如果两条平行线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条也与这条直线垂直.(√)4.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.(√)一、基本事实4的应用例1(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.证明∵E，E′分别是AB，A′B′的中点，∴BE∥B′E′，且BE＝B′E′.∴四边形EBB′E′是平行四边形，∴EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.∴EE′∥FF′.(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.证明如图所示，取BB1的中点G，连接GC1，GE. 因为F为CC1的中点，所以BG∥FC1，且BG＝FC1.所以四边形BFC1G是平行四边形.所以BF∥GC1，BF＝GC1，又因为EG∥A1B1，EG＝A1B1，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1.所以四边形EGC1D1是平行四边形.所以ED1∥GC1，ED1＝GC1，所以BF∥ED1，BF＝ED1，所以四边形BFD1E是平行四边形.反思感悟 基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.跟踪训练1 如图，在三棱锥P －ABC 中，G ，H 分别为PB ，PC 的中点，M ，N 分别为△P AB ，△P AC 的重心，且△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，求证：GH ∥MN .证明 如图，取P A 的中点Q ，连接BQ ，CQ ，则M ，N 分别在BQ ，CQ 上.∵M ，N 分别为△P AB ，△P AC 的重心，∴QM MB ＝QN CN ＝12，则MN ∥BC .又G ，H 分别为PB ，PC 的中点，∴GH ∥BC ，∴GH ∥MN .二、等角定理的应用例2如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G 分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.求证：∠BGC＝∠FD1E.证明因为E，F，G分别是正方体的棱CC1，BB1，DD1的中点，所以CE∥GD1，CE＝GD1，BF∥GD1，BF＝GD1，所以四边形CED1G与四边形BFD1G均为平行四边形. 所以GC∥D1E，GB∥D1F.因为∠BGC与∠FD1E的两边方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.反思感悟等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.跟踪训练2如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明(1)如图，连结AC，在△ACD中，∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，∴MN∥AC，且MN＝12AC.由正方体的性质，得AC∥A1C1，且AC＝A1C1.∴MN∥A1C1，且MN＝12A1C1，即MN≠A1C1，∴四边形MNA1C1是梯形.(2)由(1)可知，MN∥A1C1.又ND∥A1D1，且∠DNM与∠D1A1C1的两边的方向相同，∴∠DNM＝∠D1A1C1.1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A.一定平行B.一定相交C.一定异面D.相交或异面答案 D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).2.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则有()A.∠BAC＝∠B′A′C′B.∠BAC＋∠B′A′C′＝180°C.∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°D.∠BAC＋∠B′A′C′＝90°答案 C解析由已知可知∠BAC和∠B′A′C′的两条边分别对应平行，所以∠BAC与∠B′A′C′相等或互补.3.如图，空间四边形ABCD的对角线AC，BD相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是()A.矩形B.正方形C.菱形D.空间四边形答案 C解析利用E，F，G，H分别为各边中点，可得这个四边形是平行四边形，再由对角线相等可得四边形EFGH一定是菱形.4.两等角的一组对应边平行，则()A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边不可能垂直D.以上都不对答案 D解析另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.注意和空间等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.5.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A.全等B.不相似C.仅有一个角相等D.相似答案 D解析由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故选D.1.知识清单：(1)基本事实4的应用.(2)等角定理的应用.2.方法归纳：转化思想.3.常见误区：用等角定理时，角度有可能相等或互补.1.空间两条互相平行的直线指的是()A.在空间没有公共点的两条直线B.分别在两个平面内的两条直线C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线D.在同一平面内且没有公共点的两条直线答案 D2.不平行的两条直线的位置关系是()A.相交B.异面C.平行D.相交或异面答案 D3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O 和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()A.3条B.4条C.5条D.6条答案 B解析EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.4.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A.一定平行B.一定垂直C.一定是异面直线D.一定相交答案 B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.5.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交答案 B解析假设a与b是异面直线，而c∥a，则c显然与b不平行(否则c∥b，则有a∥b，矛盾)，c与b可能相交或异面.6.过直线l外两点可以作l的平行线的条数为________. 答案0条或1条解析以如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1为例.令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l 平行.7.对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________.答案矩形解析如图所示.∵点M，N ，P ，Q 分别是四条边的中点，∴MN ∥AC ，且MN ＝12AC ，PQ ∥AC ，且PQ ＝12AC ，∴MN ∥PQ ，且MN ＝PQ ，∴四边形MNPQ 是平行四边形，又∵AC ⊥BD ，NP ∥BD ，∴PQ ⊥NP ，∴四边形MNPQ 是矩形.8.如图所示，两个三角形△ABC 和△A ′B ′C ′的对应顶点的连线AA ′，BB ′，CC ′交于同一点O ，且AO A ′O ＝BO B ′O ＝CO C ′O＝23，则S △ABC S △A ′B ′C ′＝________.答案4 9解析如图，AOA′O＝BOB′O＝COC′O＝23，可证AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′.由等角定理∠CAB＝∠C′A′B′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴S△ABCS△A′B′C′＝49.9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由.解如图所示，在面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求.理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC. 10.在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形.证明∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB且EF＝12(AB＋CD)，又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB. ∵G，H分别为AD′，BC′的中点，∴GH∥AB且GH＝12(AB＋C′D′)＝12(AB＋CD)，∴GH∥EF且GH＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形.11.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是()A.异面B.平行C.相交D.相交、平行、异面均可能答案 D12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直答案 C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点.由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.13.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下结论正确的是()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线AM与BN是平行直线C.直线BN与MB1是异面直线D.直线AM与DD1是异面直线答案CD解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN 也是异面直线，故AB错误；CD正确.14.已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若AEAB＝AHAD＝12，CFCB＝CGCD＝13，则四边形EFGH的形状为________. 答案梯形解析如图，在△ABD中，∵AEAB＝AHAD＝12，∴EH ∥BD 且EH ＝12BD .在△BCD 中，∵CF CB ＝CG CD ＝13，∴FG ∥BD 且FG ＝13BD ，∴EH ∥FG 且EH >FG ，∴四边形EFGH 为梯形.15.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是( )A.MN ≥12(AC ＋BD )B.MN ≤12(AC ＋BD )C.MN ＝12(AC ＋BD )D.MN <12(AC ＋BD )答案 D 解析 如图所示，取BC 的中点E ，连接ME ，NE ，则ME ＝12AC ，NE ＝12BD ，所以ME ＋NE ＝12(AC ＋BD ).在△MNE 中，有ME ＋NE >MN ，所以MN <12(AC ＋BD ).16.如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且有AE ∶EB ＝AH ∶HD ＝m ，CF ∶FB ＝CG ∶GD ＝n .(1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？(3)在(2)的条件下，若AC ⊥BD ，试证明：EG ＝FH .(1)证明 ∵AE ∶EB ＝AH ∶HD ，∴EH ∥BD .又∵CF ∶FB ＝CG ∶GD ，∴FG ∥DB .∴EH ∥FG .∴E ，F ，G ，H 四点共面.(2)解 当且仅当EH ∥FG 且EH ＝FG 时，四边形EFGH 为平行四边形.∵EH BD ＝AE AE ＋EB ＝m m ＋1，∴EH ＝m m ＋1BD . 同理FG ＝n n ＋1BD ，由EH ＝FG ，得m ＝n . 故当m ＝n 时，四边形EFGH 为平行四边形.(3)证明 当m ＝n 时，AE ∶EB ＝CF ∶FB ，∴EF ∥AC . 又∵AC ⊥BD ，EH ∥BD ，∴∠FEH ＝90°，从而平行四边形EFGH 为矩形， ∴EG ＝FH .。
线面面面平行的判定和性质
[例 3] 在三棱锥 P－ABC 中，E、F、G 分别在侧棱 PA、PB、PC 上，且PEEA＝PFFB＝GPGC＝12，求证平面 EFG∥平 面 ABC.
[解析] 在△PAB中， ∴EF∥AB， ∵EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴EF∥平面ABC，同理FG∥平面ABC， ∵EF∩FG＝F，且EF、FG⊂平面EFG， ∴平面EFG∥平面ABC.
证明：如图4， 在△ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 旳中点， ∴AC∥EF，AC ⊄平面 EFG，
EF⊂平面 EFG.
图4
于是 AC∥平面 EFG.
同理可证，BD∥平面 EFG.
走向高考 ·高考一轮总复习 ·人教A版 ·数学
练习3. 如图，M、N为棱旳中点， 证明MN//面AC1．
第九章 第四节
简朴几何体（视图、面积与体积）
空间点、线、面位置关系
空间里旳平行与垂直 （鉴定与性质）
2.2 线面、面面平行的判定与性质
央美附中 kinaqiao 2023年10月19日星期四
新课导学
点与线 点与面 线与线
线与面
面与面
线面平行和面面平行旳鉴定（小推大）：
（图形语言
文字语言
符号语言）
平面外旳一条直线 与此平面内旳一条 直线平行，则该直 线与此平面平行．
①平面外直线与平面内旳一条直线平行，则直线与平面平
行；②直线与平面内旳两条直线平行，则直线与平面平行；③
直线与平面内旳任意一条直线平行，则直线与平面平行；④直
线与平面内旳无数条直线平行，则直线与平面平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第九章 第四节
典例讲练
例 2：已知：空间四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD
【新教材】11.3.2 直线与平面平行(第1课时)教学设计(1)-人教B版高中数学必修第四册
11.3.2 直线与平面平行（1）本节课是人教B版必修2《立体几何初步》第三大节的第2小节内容，在高中立体几何中占有很重要的地位，因为它与前面所学习的平面几何中的两条直线的位置关系以及立体几何中的线线关系等知识都有密切的联系，而且其本身就是判定直线与平面平行的一个重要方法；同时又是后面将要学习的平面与平面的位置关系的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且也为判断直线与平面平行增添了一种新的方法，同时又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。
在教学过程中，通过观察探究，通过合理推理发现直线与平面的判定定理和性质定理，并能准确地使用数学语言表达该定理；能够对直线和平面的判定定理和性质定理作出严密的逻辑论证，能进行一些简单的运用。
通过自主学习，主动参与，积极探究的学习过程，激发学生的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透转化与划归的数学思想.【教学重点】直线与平面平行的判定定理、性质定理的形成过程及应用【教学难点】线线平行与线面平行的转化一.引入问题1：通过前面几何体的学习，直线和平面有哪几种位置关系？答：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交问题2：上述三种位置关系，直线与平面分别有几个公共点？直线在平面内：直线l 与平面α有无数个公共点，记作l α⊂ 直线与平面平行：直线l 与平面α没有公共点，//l l αα⇔=∅直线与平面相交：直线l 与平面α仅有一个公共点，lP α=二：直线与平面平行的判定证明：如图所示，假设lP α=，因为直线l 与直线m 平行，所以它们可以确定一个平面（记为β）。
由于,m m αβ⊂⊂，所以m αβ=，又因为,P l P βα∈⊂∈，因此根据平面的基本事实3，点P 一定在α与β的交线m 上，于是直线l 与m 相交，这与//l m 矛盾，所以lα=∅，即//l α.知识点1 直线与平面平行的判定定理1．文字叙述：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行． 2．符号表示：如果l ⊄α，m ⊂α，且l ∥m ，则l ∥α. 3．图形表示：注：根据上述定理，画一条直线与已知平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平行. 4．作用：证明直线与平面平行.利用线面平行的判定定理，以及棱柱的侧面都是平行四边形，可以证明棱柱一个底面上的边所在直线一定平行于另一个底面。
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2.如图，已知直线 a , b ，平面 ，且 a ∥ b ， a ∥ ， a , b 都在平面 外.求证：b ∥ a.
图形语言；符号语言： 自学教材 43 页，完成下列练习： 1. 如果直线 a 与平面 平行，那么 a 和平面 内的直线具有什么样的关系呢？ 2. 如图 7-1，直线 a 与平面 平行.请在图中的平面 内画出一条和直线 a 平行的 直线 b .
3. 直线与平面平行的性质定理：
强调： （1）判定定理的运用； （2）证明的步骤书写。 反馈：练 1. 如图所示，已知 a ∥ b ， a ， b ， l ， 求证： a ∥ b ∥ l .
图形语言：
符号语言： . 定理的作用是什么？ 典例剖析： 1.如图所示的一块木料中，棱 BC 平行于 面AC . ⑴要经过 面AC 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯开,应怎样画线? ⑵所画的线与平面 AC 是什么位置关系?
课堂小结
本节课学了哪些重要内容？试着写下吧
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总结： 1. 直线和平面平行的性质定理运用； 2. 体会线线平行与线面平行之间的关系.
※ 当堂检测（时量：5 分钟 满分：10 分）计分： 1. a 、 b 、 c 表示直线， M 表示平面，可以确定 a ∥ b 的条件是（ ）. A. a ∥ M , b M B. a ∥ c , c ∥ b C. a ∥ M , b ∥ M D. a 、 b 和 c 的夹角相等 2. 下列命题中正确的个数有（ ）. ①若两个平面不相交，则它们平行； ②若一个平面内有无数条直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行； ③空间两个相等的角所在的平面平行. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 3. 平行四边形 EFGH 的四个顶点 E 、 F 、 G 、 H 分别在空间四边形 ABCD 的四 条边 AB 、 BC 、 CD 、 ）. AD 上，又 EH ∥ FG ，则（ A. EH ∥ BD ， BD 不平行于 FG B. FG ∥ BD ， EH 不平行于 BD C. EH ∥ BD ， FG ∥ BD D.以上都不对 4. a 和 b 是异面直线，则经过 b 可作___个平面与直线 a 平行.
人教 B 版必修二直线与平面平行的性质
编者:侯宇虹 审稿人：全组人员 （）月（）日 授课类型： 新授课
学习目标
1. 掌握直线和平面平行的性质定理； 2. 能灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线” “线面”平行的转化.
课堂内容展示
回顾：直线与平面平行的判定定理： __________________________________ _____ _________. 规律总结
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练 2. 求证：如果一条直线和两个相交平面平行，那么这条直线和它们的交线平行.
课后作业
1. 如图， 在 ABC 所在平面外有一点 P ，D 、E 分别是 PB与AB上的点 ， 过 D, E 作 平面平行于 BC ，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.
2. 已知异面直线 AB, CD 都平行于平面 ，且 AB 、 CD 在 两侧，若 AC , BD 与平 AM BN 面 相交于 M 、 N 两点，求证： . MC ND