(常考题)人教版高中数学必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》测试卷(有答案解析)

一、选择题
1．现有以下结论： ①函数1
y x x
=+
的最小值是2； ②若a 、b R ∈且0ab >，则
2b a
a b
+≥；
③y =2；
④函数()4
230y x x x
=-->
的最小值为2-. 其中，正确的有（ ）个
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．已知,,a b c ∈R ，0a b c ++=，若2320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ，
则1211
2121
x x +--的最小值是（ ） A
B
C
D
．3．若正数a ，b 满足1a >，1b >，且3a b +=，则1411a b +--的最小值为（ ） A ．4
B ．6
C ．9
D ．16
4．在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上，不等式2410mx x -+<有解，则m 的取值范围为（ ）
A ．4m ≤
B ．74
m <
C ．4m <
D ．3m <
5．设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xy
z
取得最大值时，212x y z +-
的最大值为（ ） A ．0
B ．3
C ．
9
4
D ．1
6．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,4
B ．[)0,4
C ．(]
[),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞
7．若直线220ax by +-=(),a b R +
∈平分圆2
22460x
y x y +---=，则21
a b
+的最小
值是（ ）. A ．1
B ．5
C
．D
．3+
8．若不等式()()2
||20x a b x x
---≤对任意实数x 恒成立，则a b +=（ ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
9．若过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点
(),P x y ，则PA PB ⋅的最大值是（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
10．已知正实数a ，b 满足21a b +=，则12
a b
+的最小值为（ ） A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
11．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则
c c a b
> C ．若a b >，则a c b c +>+ D ．若a b >，则a c b c ->-
12．下列命题正确的是（ ） A ．若a b
c c
>，则a b > B ．若22a b >，则a b >
C ．若
22
11a b >，则a b < D <
a b <
二、填空题
13．若对(,1]x ∈-∞-时，不等式2
1()2()12
x
x
m m --<恒成立，则实数m 的取值范围是
____________..
14．已知a 、b 都是正数，且0a b ab +-=，则
1911
b a b +--的最小值是__________． 15．已知函数2()21f x x ax =-+，若对∀(]
0,2x ∈，恒有()0f x ≥，则实数a 的取值范围是___________．
16．设x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝4，则
(4)(2)
x y xy ++的最小值为_________.
17．若不等式2
56x xt <--对于1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣
⎦
恒成立，则实数t 的取值范围是______.
18．若关于x 的不等式2410x x m -+->的区间[]1,4内有解，则实数m 的取值范围为______．
19．已知实数x ，y ，z 满足：222
3
36x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
，则x y z ++的最大值为_________. 20．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120,ABC ABC ∠=︒∠的平分线交
AC 于点D ，且1BD =，则9a c +的最小值为________．
参考答案
三、解答题
21．已知函数()()2
23f x x bx b R =-+∈.
（1）若()f x 在区间[22]-，
上单调递减，求实数b 的取值范围； （2）若()f x 在区间[22]-，
上的最大值为9，求实数b 的值.
22．已知2,()23a f x ax x ∈=+-R ．
（Ⅰ）关于x 的方程()0f x =有且只有正根，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若()30f x a -≥对[1,0]a ∈-恒成立，求实数x 的取值范围．
23．（Ⅰ）已知不等式220(2)x ax a a -+->>的解集为12(,)
(,)x x -∞+∞，求
1212
1
x x x x
++
的最小值． （Ⅱ）若正数a b c 、、满足2a b c ++=，求证：222
2b c a a b c
++≥．
24．已知函数2
1()(2)()2
f x x m x m R =
+-∈ （1）若关于x 的不等式()4f x <的解集为(2,4)-，求m 的值；
（2）若对任意[0x ∈，4]，()20f x +恒成立，求m 的取值范围.
25．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是x| x<－3或x> 1}． （1）求实数a 的值；
（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．
26．已知ABC 内接于
O ，AB c =，BC a =，=CA b ，O 的半径为r .
（1）若230OA OB OC ++=，试求BOC ∠的大小；
（2）若A 为动点，60BAC ∠=︒，AO OC OB λμ=+，试求λμ+的最大值.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
取0x <，可判断①的正误；利用基本不等式可判断②③④的正误. 【详解】
对于①，当0x <时，1
0y x x
=+
<，①错误； 对于②，若a ，b R ∈且0ab >，说明
0b a >，0a b >
，则2b a a b +≥=，当且仅当22a b =时取等号，显然成立，②正确； 对于③
，2y =
≥=，
=
231x +=，显然这样的x 不存在，所以结论不正
确，③错误；
对于④，因为0x >
，所以4
3x x
+≥ 函数()4
230y x x x
=-->
的最大值为2-，所以结论不正确，④错误. 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．D
解析：D 【分析】
根据12112121x x +--
≥. 【详解】
因为2
320(0)ax bx c a ++=≠的两个实根是1x ，2x ， 所以1223b
x x a +=-
，123c x x a
=，
所以
1211
2121
x x +--
≥=
=
==， 因为0a b c ++
=，
所以=.即12
1121
21x x +--≥122121x x -=-时，等号成立.
所以1211
2121
x x +--的最小值是 故选：D 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．C
解析：C 【分析】
由等式3a b +=可以得到111a b -+-=，由1411
a b +--乘以111a b -+-=所求得式子和基本不等式进行求解即可. 【详解】
由3a b +=，可得111a b -+-=，10,10a b ->->， 所以
()141414(1)511111111
a b a a b b a b a b --⎛⎫+=+=++ ⎪------⎝⎭
-+- 59≥+= 当且仅当12(1)b a -=-，即54
,33
b a ==时等号成立. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题注意观察待求式的分母，1,1a b --，结合已知条件，可变形为关于分母的式子111a b -+-=，这样就转化为“1”的常规技巧的应用.
4．C
解析：C 【分析】
令()2
41f x mx x =-+，对二次项系数m 分三种情况讨论，再对二次函数的对称轴分类
讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可； 【详解】
解：令()2
41f x mx x =-+
当0m =时，原不等式为410x -+<，解得1
4
x >，满足条件； 当0m <时，函数的对称轴为20x m =<，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有解，只需()20f <，即470
m m -<⎧⎨
<⎩解得0m <
当0m >时，函数的对称轴为20x m =
>，要使不等式2410mx x -+<在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦
有解，当2103m <<，即6m >时，只需103f ⎛⎫
< ⎪⎝⎭，即1
1093
6
m m ⎧-<⎪⎨⎪>⎩无解； 当
2
2m >，即01m <<时，只需()20f <，即47001
m m -<⎧⎨<<⎩解得01m <<； 当1223m ≤≤，即16m ≤≤时，只需20f m ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即48
1016
m m m ⎧-+<⎪⎨⎪≤≤⎩解得14m ≤<；
综上可得4m < 故选：C 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解，一元二次方程根的分布问题，解答的关键是对对称轴即二次项系数分类讨论，分别求出各种情况的参数的取值范围，最后取并集；
5．D
解析：D 【分析】
利用22
340x xy y z -+-=可得1
43xy x y z y x =+-，根据基本不等式最值成立的条件可得2
2,2x y z y ==，代入212
x y z
++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可.
【详解】
由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，
2234z x xy y ∴=-+．
∴2211
434432?xy xy x y z
x xy y x y y x
==
=-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时2
2z y =．
∴
222122121(1)1122x y z y y y y
+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即
212
x y z
+-的最大值是1． 故选：D 【点睛】
本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.
6．B
解析：B 【分析】
讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式2
10ax ax -+>恒成立，
当0a =时，10>恒成立，满足题意
当0a ≠时，即函数()2
1f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可， 所以0
a >⎧⎨
∆<⎩，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，
所以实数a 的取值范围是[0,4). 故选：B 【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
7．D
解析：D 【分析】
根据条件可知直线过圆心，求解出,a b 的关系式，利用常数代换法以及基本不等式求解出
21
a b +的最小值. 【详解】
因为直线220ax by +-=(
),a b R
+
∈平分圆2
22460x
y x y +---=，所以直线
220ax by +-=过圆心，
又因为圆的方程()()2
2
1211x y -+-=，所以圆心为()1,2，所以222a b +=，即
1a b +=，
所以
()21212333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+=++≥+=+ ⎪⎝⎭
取等号时222a b =即a =，此时21a b ==，
故选：D. 【点睛】
本题考查圆的对称性与基本不等式的综合应用，其中涉及到利用常数代换法求解最小值，对学生的理解与计算能力要求较高，难度一般.利用基本不等式求解最值时注意说明取等号的条件.
8．D
解析：D 【分析】
可采用分类讨论法，分别讨论22x x -与x a b --的正负，确定,a b 之间的关系即可求解. 【详解】
当220x x -≥时，即[]02x ,∈
时，||0x a b --≤恒成立，
所以b a x b a -+≤≤+恒成立，所以2a b +≥且a b ≤； 当220x x -≤时，即(][),02,x ∈-∞+∞时，||0x a b --≥恒成立
所以x a b ≥+或x a b ≤-恒成立，所以2a b +≤且a b ≥，
综上，2a b += 故选：D 【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题
9．B
解析：B 【分析】
先计算出两条动直线经过的定点，即A 和B ，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有
PA PB ⊥；再利用基本不等式放缩即可得出||||PA PB 的最大值． 【详解】
解：由题意可知，动直线0x my +=经过定点(0,0)A ，
动直线30mx y m --+=即(1)30m x y --+=，经过点定点()1,3B ，
注意到动直线0x my +=和动直线30mx y m --+=始终垂直，P 又是两条直线的交
点，
则有PA PB ⊥，222||||||10PA PB AB ∴
+==．
故22
||||||||
52
PA PB PA PB +=（当且仅当||||PA PB ==时取“=” ) 故选：B ． 【点睛】
本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有2
2
||||PA PB +是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
10．B
解析：B 【分析】 由题意，得到121222()(2)5b a a b a b a b a b
+=++=++，结合基本不等式，即可求解，得到答案. 【详解】
由题意，正实数a ，b 满足21a b +=，
则
121222()(2)55549b a a b a b a b a b +=++=++≥+=+=， 当且仅当22b a a b =，即1
3
a b ==等号成立， 所以
12
a b +的最小值为9. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟记基本不等式的使用条件，合理构造是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与运算能，属于据此话题.
11．B
解析：B 【分析】
根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若
2,1,1a b c ===，则
c c
a b
<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题.
12．D
解析：D 【分析】
A 项中，需要看分母的正负；
B 项和
C 项中，已知两个数平方的大小只能比较出两个数绝对值的大小. 【详解】
A 项中，若0c <，则有a b <，故A 项错误；
B 项中，若22a b >，则a b >，故B 项错
误；C 项中，若2211a b
>则22a b <即a b <，故C 项错误；D <定有a b <，故D 项正确.
故选：D 【点睛】
本题主要考查不等关系与不等式，属于基础题.
二、填空题
13．【分析】运用换元法参变分离法来求解不等式恒成立问题【详解】不等式转化为化简为令又则即恒成立令又当时取最小值所以恒成立化简得解不等式得故答案为：【点睛】方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题在求解过程中 解析：()2,3-
【分析】
运用换元法,参变分离法来求解不等式恒成立问题. 【详解】
不等式()
21212x
x
m m ⎛⎫--< ⎪⎝⎭
转化为2214x x
m m +-<,化简为2211()22x x m m -<+， 令1
2
x t =
,又(],1x ∈-∞-,则[)2,t ∈+∞, 即22m m t t -<+恒成立，令2
()f t t t =+，又[
)2,t ∈+∞， 当2t =时，()f t 取最小值min ()(2)6f t f ==，
所以，26m m -<恒成立,化简得260m m --<，解不等式得23m -<<. 故答案为：()2,3- 【点睛】
方法点晴：本题考查了不等式恒成立问题,在求解过程中运用了参变分离法,注意题目中变量的取值范围.
14．【分析】由可得出根据已知条件得出将代入所求代数式可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】所以由解得则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必
解析：15
【分析】
由0a b ab +-=可得出1b a b =
-，根据已知条件得出1b >，将1b a b =-代入所求代数式可得出()19919111
b b a b b +=-++---，利用基本不等式可求得1911b a b +--的最小值. 【详解】
0a b ab +-=，所以，()1a b b -=-，1
b a b ∴=
-， 由010
b a b b ⎧=>⎪-⎨⎪>⎩，解得1b >，则10b ->， 所以，()()
919191919915111111
b b b b a b b b b -++=+=-++≥=------， 当且仅当4b =时，等号成立，
因此，1911
b a b +--的最小值为15. 故答案为：15.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．【分析】利用参变分离得在上恒成立结合双勾函数性质求出的最小值即可
【详解】解：由题意知：在上恒成立所以在上恒成立又因为函数在上单调递减在上单调递增所以当时最小为2所以即故答案为：【点睛】方法点睛：在解 解析：1a ≤
【分析】
利用参变分离得2112x a x x x
+≤=+在(]02x ∈，上恒成立，结合双勾函数性质求出1y x x
=+
的最小值即可． 【详解】
解：由题意知：()2
210f x x ax =-+≥在(]02x ∈，上恒成立，所以2112x a x x x +≤=+在(]02x ∈，
上恒成立， 又因为函数1y x x
=+在()01x ∈，上单调递减，在()12x ∈，上单调递增，所以当1x =时，1x x
+最小为2， 所以2a ≤2，即1a ≤，
故答案为：1a ≤．
【点睛】
方法点睛：在解决二次函数的恒成立问题，常常采用参变分离法，如此可以避免对参数进行分类讨论．
16．9【分析】将分式展开利用基本不等式求解即可【详解】又x ＋2y ＝4即当且仅当等号成立故原式故填9【点睛】本题考查基本不等式求最值考查等价变换思想与求解能力注意等号成立条件
解析：9
【分析】
将分式展开，利用基本不等式求解即可
【详解】
(4)(2)82416161x y xy x y xy xy xy xy xy
++++++===+
又x ＋2y ＝4≥即2xy ≤，当且仅当2,1x y ==等号成立，故原式9≥ 故填9
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，考查等价变换思想与求解能力，注意等号成立条件 17．【分析】整理已知条件得到对于恒成立利用二次函数的特点求解范围即可
【详解】由得则对于恒成立令则；令则；综上：故答案为：【点睛】本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式属于中档题 解析：57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
【分析】
整理已知条件得到2211010
x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，利用二次函数的特点求解范围即可.
【详解】 由2
56x xt <--，
得222
65565xt x x xt x -<-⇒-<-<-， 则2211010
x xt x xt ⎧+-<⎨-+<⎩对于1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立， 令()2
11f x x xt =+-， 则()431072272202t f t t f ⎧⎧⎛⎫<⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒<⎝⎭⎨⎨⎪⎪<<⎩⎪⎩
； 令()21g x x xt =-+， 则()51052252202t g t t g ⎧⎧⎛⎫>⎪<⎪⎪ ⎪⇒⇒>⎝⎭⎨⎨⎪⎪><⎩⎪⎩
； 综上：5722
t <<. 故答案为：57,22⎛⎫
⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式和一元二次不等式.属于中档题.
18．【分析】不等式在区间内有解等价于然后求出的值域即可【详解】不等式在区间内有解等价于因为函数在上单调递减在单调递增所以的值域为所以故答案为：【点睛】本题考查的是不等式存在性问题考查了学生对基本方法的掌 解析：(],1-∞
【分析】
不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，然后求出
()24+1f x x x =-的值域即可.
【详解】
不等式2410x x m -+->在区间[]1,4内有解等价于()2max 4+1x x m ≤-，
因为函数()2
4+1f x x x =-在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()12,23,41f f f =-=-=，
所以()f x 的值域为[]31-，
，所以1m ≤， 故答案为：(],1-∞.
【点睛】
本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情况，属于中档题.
19．【分析】按的正负分类讨论由得至少有一个正数然后分全正一负二负然后利用基本不等式可得结论【详解】首先至少有一个正数（1）如果则由得不成立；（2）若中只有一个负数不妨设则又∴即当且仅当时等号成立；（3）
解析：1+【分析】
按,,x y z 的正负分类讨论，由3x y z ++=得,,x y z 至少有一个正数，然后分全正，一负，二负，然后利用基本不等式可得结论．
【详解】
首先,,x y z 至少有一个正数，
（1）如果0,0,0x y z ≥≥≥，则由3x y z ++=得,,[0,3]x y z ∈，
2222736x y z ++<<，不成立；
（2）若,,x y z 中只有一个负数，不妨设0,0,0x y z ≥≥<，
则3z x y -=+-，22()6()9z x y x y =+-++，又2
222
()36()362x y z x y +=-+≤-， ∴2
()6()9x y x y +-++2()362x y +≤-，即2()4()180x y x y +-+-≤，
2x y +≤
2231x y z x y z x y ++=+-=+-≤+1x y ==
1z =时等号成立；
（3）若,,x y z 中有两个负数，不妨设0,0,0x y z ≥<<，
则3y z x --=-，2
222()362y z y z x ++=-≥， ∴22
(3)
362x x --≥，整理得22210x x --≤，01x ≤≤+
231x y z x y z x ++=--=-≤+
1x =+12
y z ==-时等号成立；
综上所述，x y z ++的最大值是1+
故答案为：1+【点睛】 本题考查用基本不等式求最值，解题关键是根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号，然后利用基本不等式．
20．【分析】先根据三角形面积关系列等量关系再根据基本不等式求最值【详解】因为所以因此当且仅当即时取等号即的最小值为故答案为：【点睛】本题
考查三角形面积公式利用基本不等式求最值考查综合分析求解能力属中档题 解析：16
【分析】
先根据三角形面积关系列,a c 等量关系，再根据基本不等式求最值.
【详解】
因为ABC ABD BDC S
S S =+, 所以11111sin1201sin 601sin 601222ac a c a c
=⨯⨯+⨯⨯∴+=
因此1199(9)()101016c a a c a c a c a c +=++=+
+≥+= 当且仅当911,1c a a c a c =+=即44,3
a c ==时取等号 即9a c +的最小值为16
故答案为：16
【点睛】
本题考查三角形面积公式、利用基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无。