2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级(上)期中数学试卷(含答案)

2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4
2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（ ）
A．25B．30C．35D．40
4．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别C取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
5．（3分）如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A ．（﹣3，﹣2）
B ．（﹣3，2）
C ．（3，2）
D ．（﹣2，3）
7．（3分）如图，在△ABC 中D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，且BD ＝BF ，CF ＝CE ，∠A ＝62°，则∠DFE 的度数为（ ）
A ．58°
B ．59°
C ．62°
D ．76°
8．（3分）如图．AD 为△ABC 的中线．AB ＝6．AC ＝3，则AD 的长可能是（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2.7
D ．5
9．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的的顶点都在格点上．则∠ABC 的度数为（ ）
A ．120°
B ．135°
C ．150°
D ．165°
10．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，点D 、E 、F 分别为边AC 、AB 、CB 上的点，且
△DEF 为等边三角形，若AD =34CD ．则AE BE
的值为（ ）
A ．23
B ．34
C ．713
D ．1117
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）五边形的对角线一共有 条．
12．（3分）等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为 ．
13．（3分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ．点D 为△ABC 外一点，AE ⊥BD 于E ．∠BDC ＝∠BAC ，DE ＝
3，CD＝2，则BE的长为 ．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB和直线AC于D、E两点，且∠EBC＝30°，则∠A的度数为 ．
15．（3分）如图，在四边形ABDE中，点C为BD边上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB+DE＝BD；②△BDM 为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是 ．
16．（3分）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP 的度数为 ．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．
19．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
20．（8分）如图．在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是AB与网格线的交．点且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）作AB边上高CE．
（2）画出点D关于AC的对称点F；
（3）在AB上画点M，使BM＝BC；
（4）在△ABC内两点P，使S△ABP＝S△ACP＝S△BCP．
21．（8分）如图，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，AB与DE交于点M．
（1）求证：AB＝DE；
（2）连MC，求证：MC平分∠BMD．
22．（10分）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．
23．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC＝BD．∠DAC＝∠DBC＝α．
（1）如图1，点D在△ABC内．
①若α＝10°，求∠BAD的度数；
②求证：∠ABD＝2∠ACD；
（2）如图2．点D在△ABC外．且BC＝8．CD＝5，直接写出△BCD的面积．
24．（12分）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），a≠0且（a+b）2+c―4=0．
（1）直接写出△ABC的形状是 ．
（2）如图1，点D为BC上一点，E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120°，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；
（3）如图2，点P在AB的延长线上，过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB的延长线于N 点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．
2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A．1，2，6B．2，2，4C．1，2，3D．2，3，4
【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；
B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；
故选：D．
2．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
3．（3分）已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（ ）
A．25B．30C．35D．40
【解答】解：由题意得：x°+35°+115°＝180°．
∴x＝30．
故选：B．
4．（3分）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别C取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C连OC．可
知△OMC≌△ONC，OC便是∠AOB的平分线．则△OMC≌△ONC的理由是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【解答】解：由题意得：MC＝NC．
在△OMC和△ONC中，
OM=ON
OC=OC
，
MC=NC
∴△OMC≌△ONC（SSS）．
故选：A．
5．（3分）如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）
A．AB＝DE B．AC＝DF C．AB∥DE D．BC＝EF
【解答】解：∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝EF，
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；
C．∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEF，
条件∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BC＝EF符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；
D ．BC ＝EF ，∠A ＝∠D 不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不符合题意；
故选：C ．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P （3，﹣2）关于x 轴的对称点的坐标是（ ）
A ．（﹣3，﹣2）
B ．（﹣3，2）
C ．（3，2）
D ．（﹣2，3）
【解答】解：点P （3，﹣2）关于x 轴的对称点的坐标为（3，2）．
故选：C ．
7．（3分）如图，在△ABC 中D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 上的点，且BD ＝BF ，CF ＝CE ，∠A ＝62°，则∠DFE 的度数为（ ）
A ．58°
B ．59°
C ．62°
D ．76°
【解答】解：△ABC 中，∠B +∠C ＝180°﹣∠A ＝180°﹣62°＝118°，
△BDF 中，BD ＝BF ，
∴∠BFD =12
（180°﹣∠B ）；同理，得：∠CFE =12
（180°﹣∠C ）；∴∠BFD +∠CFE ＝180°―12（∠B +∠C ）＝180°―12
×118°＝121°，∵∠BFD +∠CFE +∠DFE ＝180°，
∴∠DFE ＝180°﹣121°＝59°．
故选：B ．
8．（3分）如图．AD 为△ABC 的中线．AB ＝6．AC ＝3，则AD 的长可能是（ ）
A ．1
B ．1.5
C ．2.7
D ．5
【解答】解：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连接CE ，如图所示：
则AE ＝2m ，
∵AD 是△ABC 的中线，
∴BD＝CD，
在△ADB和△EDC中，
AD=ED
∠ADB=∠EDC
BD=CD
，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴EC＝AB＝6，
在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜EC+AC，即6﹣3＜2AD＜6+3，
∴3
2
＜AD＜
9
2
，
故选：C．
9．（3分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【解答】解：延长CB交网格于E，连接AE，
由勾股定理得：AE＝AB=22+12=5，BC＝BE=12+32=10，
∴AE2+AB2＝BE2，
∴△EAB是等腰直角三角形（∠EAB＝90°），
∴∠EBA ＝∠AEB ＝45°，
∴∠ABC ＝180°﹣45°＝135°，
故选：B ．
10．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，点D 、E 、F 分别为边AC 、AB 、CB 上的点，且
△DEF 为等边三角形，若AD =34CD ．则AE BE
的值为（ ）
A ．23
B ．34
C ．713
D ．1117
【解答】解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，设AC ＝1，则AB ＝2AC ＝2，
∴BC =AB 2―AC 2=3，
∵AD =34
CD ，AD +CD ＝1，∴AD =37
，CD =47，过点D 作DH ⊥AB 于H 点，
∴∠ADH ＝90°﹣∠A ＝30°，
∴AH =12AD =314，DH =AD 2―AH 2=3314
，∵△DEF 是等边三角形，
∴DF ＝DE ，∠C ＝∠DHE ＝90°，∠FDE ＝60°，
∴∠CFD +∠CDF ＝∠CDF +∠HDE ＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴∠CFD ＝∠HDE ，
∵∠FCD ＝∠DHE ＝90°，DF ＝ED ，
∴△DCF ≌△EHD （AAS ），
∴CF ＝DH =3314
，HE ＝CD =47，∴BF =3―3314=11314，
BE＝2―4
7
―
3
14
=
17
14
，
AE=4
7
+
3
14
=
11
14
，
∴AE
BE
=
11
14
17
14
=
11
17
，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）五边形的对角线一共有　5　条．
【解答】解：五边形的对角线共有5×(5―3)
2
=5；
故答案为：5
12．（3分）等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为　22　．
【解答】解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；
②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，能构成三角形，则其周长＝9+9+4＝22．
故答案为：22．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为　5　．
【解答】解：方法一：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示：
则∠AFC＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝∠AED＝90°，
∵∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABE＝∠ACF，
在△ABE和△ACF中，
∠AEB=∠AFC=90°
∠ABE=∠ACF
AB=AC
，
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴BE＝CF，AE＝AF，
在Rt△ADF和Rt△ADE中，
AD=AD
AF=AE，
∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），
∴DF＝DE＝3，
∴CF＝CD+DF＝5，
∴BE＝CF＝5，
故答案为：5．
方法二：在BD上截取BN＝CD，连接AN，设BD交AC于H，如图2所示：
∵∠ABN+∠BAC+∠AHB＝180°，∠ACD+∠BDC+∠CHD＝180°，∠AHB＝∠CHD，∠BDC＝∠BAC，
∴∠ABN＝∠ACD，
在△ABN和△ACD中，
AB=AC
∠ABN=∠ACD
，
BN=CD
∴△ABN≌△ACD（SAS），
∴AN＝AD，
∵AE⊥BD，
∴NE＝DE，
∴BE＝BN+NE＝CD+DE＝2+3＝5，
故答案为：5．
14．（3分）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB和直线AC于D、E两点，且∠EBC＝30°，则∠A的度数为　40°或160°　．
【解答】解：如图1，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∵DE垂直且平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABE+∠EBC＝∠A+30°，
∴∠A+2（∠A+30°）＝180°，
解得∠A＝40°；
如图2，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE垂直且平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠BAE，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠EBC﹣∠ABE＝∠EBC﹣∠BAE＝30°﹣∠BAE，∵∠ABC+∠ACB＝∠BAE，
∴2（30°﹣∠BAE）＝∠BAE，
解得∠BAE＝20°，
∴∠A＝180°﹣20°＝160°．
如图3，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵DE垂直且平分AB，
∴EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝ABC+∠EBC＝∠ABC+30°，
∴∠ABC+30°+∠ABC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝50°．
∴∠A＝80°．
故答案为：40°或160°或80°．
15．（3分）如图，在四边形ABDE中，点C为BD边上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，AC＝CE，点M为AE中点．连BM．DM，分别交AC，CE于G．H两点下列结论：①AB+DE＝BD；②△BDM 为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是　①②④　．
【解答】解：∵∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，
∴∠BCA+∠ECD＝90°＝∠BCA+∠BAC，
∴∠BAC＝∠ECD，
又∵AC＝CE，
∴△ACB≌△CED（AAS），
∴AB＝CD，BC＝DE，
∴AB+DE＝BC+CD＝BD，故①正确；
如图，连接MC，
∵AC＝CE，∠ACE＝90°，点M是AE的中点，
∴AM＝CM＝ME，∠CAE＝∠ACM＝∠ECM＝45°，
∴∠BAM＝∠MCD，
又∵AB＝CD，
∴△ABM≌△CDM（SAS），
∴∠AMB＝∠CMD，BM＝DM，
∴∠AMB+∠BMC＝∠BMC+∠DMC＝90°，
∴∠BMD＝90°，
∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确；
∵点C不是BD的中点，
∴BD≠2MC，
∴AE≠BD，
∴△ACE与△BMD不全等，故③错误；
∵△BMD是等腰直角三角形，
∴∠MBD＝∠MDB＝45°，
∵∠AMC＝∠GMH＝90°，
∴∠AMG＝∠CMH，
又∵AM＝CM，∠MAG＝∠MCH，
∴△AMG≌△CMH（ASA），
∴MG＝MH，
∴∠MGH＝45°＝∠MBD，
∴GH∥BD，故④正确；
故答案为：①②④．
16．（3分）如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP 的度数为　15°　．
【解答】解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，
∴PH=1
2 BP，
∴BP+2AP＝2（1
2
BP+AP）=
1
2
（PH+AP），
∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，
过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'，
在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°，
∴∠BAG＝15°，
∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°，
故答案为：15°．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．
【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．
【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BE平分∠B，DF平分∠D，
∴∠EBF+∠FDC＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠DFC+∠FDC＝90°，
∴∠EBF＝∠DFC，
∴BE∥DF．
19．（8分）如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．
【解答】证明：在△ABE与△ACD中，
∠A=∠A
AB=AC
，
∠B=∠C
∴△ACD≌△ABE（ASA），
∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．
20．（8分）如图．在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是AB与网格线的交．点且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）作AB边上高CE．
（2）画出点D关于AC的对称点F；
（3）在AB上画点M，使BM＝BC；
（4）在△ABC内两点P，使S△ABP＝S△ACP＝S△BCP．
【解答】解：（1）如图，线段CE即为所求；
（2）如图，点F即为所求；
（3）如图，点M即为所求；
（4）如图，点P即为所求．
21．（8分）如图，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，AB与DE交于点M．（1）求证：AB＝DE；
（2）连MC，求证：MC平分∠BMD．
【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECD，
在△ABC和△DEC中，
BC=EC
∠BCA=∠ECD
，
AC=DC
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE；
（2）过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H，
∵△ABC≌△DEC，
∴∠A＝∠D，AC＝DC，
∵∠AGC＝∠DHC＝90°，
在△AGC和△DHC中，
∠A=∠D
∠AGC=∠DHC
AC=DC
，
∴△AGC≌△DHC（AAS），
∴CG＝CH，
∴MC平分∠BMD．
22．（10分）已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数；
（2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．
【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°，
∴∠B＝25°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1
2
∠BAC＝40°，
∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°，
∵AE⊥BC，
∴∠AED＝90°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，
（2）证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=1
2
∠BAC，
∵DF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α，∵∠AFD＝∠B+∠BDF，
∴∠BDF＝α＝∠B，
∴BF＝DF．
23．（10分）已知在△ABC中，AB＝AC＝BD．∠DAC＝∠DBC＝α．
（1）如图1，点D在△ABC内．
①若α＝10°，求∠BAD的度数；
②求证：∠ABD＝2∠ACD；
（2）如图2．点D在△ABC外．且BC＝8．CD＝5，直接写出△BCD的面积．
【解答】（1）①解：设∠BAD＝x，则∠ABD＝180°﹣2x，
∴2（180°﹣2x+10°）+x+10°＝180°，
解得：x＝70°，
∴∠BAD＝70°；
②证明：在BC取点E，使BE＝AD，
∵∠DAC＝∠DBC，BD＝AC，
在△ADC和△BED中，
BE=AD
∠DAC=∠DBC
，
BD=AC
∴△ADC≌△BED（SAS），
∴∠BDE＝∠ACD，DE＝DC，
设∠ACD＝β，则∠DEC＝∠DCE＝α+β，
∴∠ACB＝α+2β，
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD+α＝α+2β，
∴∠ABD＝2β，
即∠ABD＝2∠ACD；
（2）在AD取点F，使AF＝BC，过点B作BM⊥DC交DC的延长线于M，
同理可得△AFC≌△BCD（SAS），
∴∠BDC＝∠ACF，CD＝CF，
设∠BDC＝∠ACF＝β，则∠CFD＝∠CDF＝α+β，
∴∠ACB＝3α+2β，∠BAC＝2β，
∴2（3α+2β）+2β＝180°，
∴α+β＝30°，
∴∠AFC＝∠BCD＝150°，
∴BM=1
2
BC＝4，
∴S△BCD=1
2
BC⋅DC=10．
24．（12分）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），a≠0且（a+b）2+c―4=0．
（1）直接写出△ABC的形状是　等腰三角形　．
（2）如图1，点D为BC上一点，E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120°，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；
（3）如图2，点P在AB的延长线上，过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB的延长线于N 点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵A（a，0），B（b，0），
∴OA＝﹣a，OB＝b，
∵a≠0且（a+b）2+c―4=0，
∴a+b＝0，c﹣4＝0，
∴b＝﹣a，c＝4，
∴OA＝OB，
又∵OC⊥AB，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形；
（2）在CE上取点F，使CF＝CD，连接DF，如图1所示：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴∠ACO＝∠BCO＝60°，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠CFD＝60°，CD＝FD，
∴∠EFD＝120°，
∵∠ACO＝∠ADE＝60°，
∴∠CAD＝∠CED，
又∵∠ACD＝∠EFD＝120°，
∴△ACD≌△EFD（AAS），
∴AC＝EF，
由（1）得：c＝4，
∴OC＝4，
∵∠AOC＝90°，∠ACO＝60°，
∴∠OAC＝30°，
∴BC＝AC＝2OC＝8，EF＝AC＝8，
∵CD＝2BD，
∴BD=8
3
，CF＝CD=
16
3
，
∴CE＝EF+CF＝8+16
3
=
40
3
，
∴OE＝CE﹣OC=40
3
―4=
28
3
，
∴E（0，―28
3
）；
（3）CM＝BN+PN，证明如下：
过A作AQ⊥AM交y轴于Q，过Q作QT⊥MN交MN的延长线于T，连接BQ、NQ，如图2所示：则∠QAC＝90°，
∴∠ACQ+∠CQA＝90°，
∵∠AOC＝90°，
∴∠PAM+∠ACQ＝90°，
∴∠PAM＝∠CQA，
∵PM⊥AC，
∴∠M＝90°＝∠QAC，
由（1）得：OA＝OB，AC＝BC，
∵PM＝BC，
∴PM＝AC，
∴△AMP≌△QAC（AAS），
∴AM＝QA，
∵QT⊥MN，
∴∠QTM＝90°＝∠QAC＝∠M，
∴四边形AMTQ是矩形，
∵AM＝QA，
∴矩形AMTQ是正方形，
∴AM＝TM＝TQ＝AQ＝BQ，
∵AC＝BC，CQ⊥AB，
∴△ACQ和△BCQ关于y轴对称，
∴AQ＝BQ，∠QBC＝∠QAC＝90°，
∴∠QBN＝90°，
∵QN＝QN，
∴Rt△QBN≌Rt△QTN（HL），
∴BN＝TN，
∴BN+PN＝TN+PN＝PT，
∵AC＝BC，PM＝BC，∴AC＝PM，
∴CM＝PT，
∴CM＝BN+PN．。