北京市2020学年高二数学上学期期中试题B卷

高二数学上学期期中试题（B卷）
考试时间： 90 分钟
第Ⅰ卷（选择题共 40 分）
一、单项选择题共
10 小题；每题 4 分，共 40 分。

在每题列出的四个选项中，选出切合题目要求的一项。

1．已知命题p : x R, x2 2≥ 0 ，则命题 p 的否认是
A．x R,x2 2≤ 0 B．x R , x2 2≥ 0
C．x R, x2 2 0 D．x R, x2 2 0
2．已知a b 0 ，则以下不等式中正确的选
项是
A．a b B．
1 1
．
a b D．a 2 b 2
a b C
3．已知a,b R ，且ab 2，那么以下结论必定建立的是
A．a b≥4 B．a b≤4
C．a2 b2≥ 4 D．a2 b2≤ 4
4．“a 5”是“a 3 ”的
A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件
C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件5．已知等比数列a n 的前 n项和为 S n,且 S3 7a1，则数列a n 的公比为
A．2 B．3 C．2或3 D．2或3
6．若函数f ( x) sin x 1
, 则f ( x)的导函数f '( x)
x
A．cosx x 2 B．cosx x 2
C．cosx x 2 D．cosx x 2
7．已知函数 f ( x) x ln x 的导函数为 f '( x) ，若 f '( x0 ) 1 ，则 x0的值为
A． 1 B．2 C．e D．0
8.已知函数 f ( x) 的导函数 f '( x) 的图象如右图所示，
y
则对于 f ( x) 的结论正确的选项是
A．在区间( 2,2)上为减函数
- 2O2x
B．在x 2 处获得极小值
C．在区间(, 2),(2,) 上为增函数D．在x0 处获得极大值
9．化简式子1 1 1 1 1
+ + +
n( n 1)
12233445
A．
1
1 B．
n 1
C．
n
n D．
n 1
n n 1 1 n 10．已知函数y f ( x) 是可导函数.如图，直线
y kx 2 是曲线 y f ( x) 在 (3,1) 处的切线，
令
g (x) f ( x)
， g '(x) 是 g( x) 的导函数，则x
g '(3)
A．2
B．
1
C．
2
D．0
9 3 3
第Ⅱ卷（非选择题共60 分）
二、填空题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分。

11．已知数列a n 知足 a n 1 3a n，且a1 1 ，那么 a4 ____．
12．函数y
4
2(x 0) 的最小值为____．x
x
13．已知函数 f ( x) a ln x x 在 (0,2) 上是减函数，在(2, ) 上是增函数，那么 a 的值为____．14．等差数列a n 中，若a3 a11 10 ，则 a6 a7 a8 ____．
15．若不等式ax2 bx - 2 0 的解集是, 2 1, , 则a b ____ ．
16．已知数列a n 是公比为 q 的等比数列，S n是数列a n 的前 n 项和．
（ 1）假如a1 1
4 ，那么q____；, a4
2
（ 2）假如若干个能独一确立一个数列的量称为该数列的“基本量”，在以下对于
a n的三组量
．．．．
中，必定能成为数列a n的“基本量”的是____．（写出全部切合要求的组号）
① S1与 a3；② S2与 S3；③q与 S3；
三、解答题共 4 个小题，共36 分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.（本小题 8 分）
已知函数 f ( x) 1 x3 ax 1(a R) ， f '(x) 是 f ( x) 的导函数，
且 f '(2) 0.
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）求函数 f ( x) 在区间 [ 3,3] 上的最值.
18.( 本小题8分）
已知等差数列a n的前n项和为S n，a1a50,a2 2 .
（Ⅰ）求数列a n的通项公式；
（Ⅱ）求 S n的最大值及相应的n 的值.
19.( 本小题 10 分）
已知等差数列a n知足a1a2 10 ， a4 a3 2 ．等比数列b n知足b2 a3， b3 a7.
（Ⅰ）求数列a n的通项公式；
（Ⅱ）设 c n a n b n，求数列c n的前n
项和S n.
20.（本小题 10 分）
已知函数 f ( x) e x[ x2 - (1 a)x 1](a R)．
（Ⅰ）若 a 1 时，求曲线y f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）求函数 f ( x) 的单一区间.
（考生务势必答案写在答题卡上，在试卷上做答无效）
(440 )
12345678910
D B C B C D A B C A
424
11. 27 12. 6 13. -2
14. 15 15. 2 16. -2 , 2
436
178
f ( x) 1 x3 ax 1( x R )
3
f '(x) x 2 a 2
f '(2) 4 a0
a 4 3
f ( x) 1 x3 4 x1, f '(x) x2 4
3
f (x) x2 4 0x 2 .4
x ( , 2) 2 ( 2,2) 2 (2, )
f ( x) + 0 0 +
f ( x) 19
13
3 3
6
f ( 3) 4 19
, f (3) 2 13 .7 3 3
f (x)[ 3,3]
19
13 8 3 3
18.(8 )
a n a1a50,a2 2
2 a1 4d 0
2 a1 d 2
a1 4
3
d 2
a n
1 (
n
1)
d
6 2
..4 a n
S n (a1 a n )n
n 2
5
...6
2 n
n 2 n 3S n6 8 19.10
:
2 a1 d 10
..2
a n d 2
a1 4 3
2
d
a n 2n 2 ..4
b n
b1 q 8
b1q2 16
1 4 ..6
b
2
q
b n 4
n 1 n 1
..7
2 2
c n 2n 2 2n 1
S n 2 3 4 2n 2 2n 1 (
4 2
n
2
)n
4 1 2n
) 426282 (
2
2 1
2
3n 2
n 2
4 10
n
20.(10 )
a = -1 f ( x) = e x ( x2 + 1)
f '( x) e x ( x22x1)
f '(0) 1 2 分
又 f ( 0) 1,因此切点坐标为(0,1) 3 分故切线方程为 : x - y 1 0 4 分（Ⅱ） f ( x) e x[ x2 (1 a) x 1] （定义域为R）
f '(x) e x[ x2 + (1 a)x - a] e x ( x - a)( x 1) 5 分
e x 0
，令 f '(x) 0, 解得x a 或 x 1
（ 1）当a 1时， f '(x) ≥ 0 ，因此函数 f ( x) 在R上单一递加 6 分
（ 2）当a 1时，
x (- , -1) -1 (-1 , a) a (a, )
f '( x) 0 0
f ( x) 极大值极小值
函数 f ( x) 的单一递加区间为( , 1),( a, ) , 单一递减区间为 ( 1,a)
8 分
当 a 1时，
x (- ,a) a ( a, -1 ) 1 (1, )
f '(x) 0 0
f (x) 极大值极小值
函数 f ( x) 的单一递加区间为( ,a),( 1, ) ,单一递减区间为(a,-1 )
10 分。