数学上学期期中试题-重点中学2013-2014学年高二上学期期中考试数学试题及答案3

北京市重点中学2013-2014学年高二上学期期中
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 命题“若4
π
α=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）
A ．若4
π
α≠
，则tan 1α=. B. 若4
π
α=
，则tan 1α≠.
C ．若tan 1α≠，则4
π
α≠. D. 若tan 1α≠，则4
π
α=
.
2. 设点(),P x y ，则“2x =且1y =-”是“点P 在直线:10l x y +-=上”的（ ） A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（ ）
① 命题“p q ∧”是真命题； ② 命题“p q ∧”是假命题；
③ 命题“p q ∨”是真命题； ④ 命题“p q ∨”是假命题.
A. ① ③
B. ② ④
C. ② ③
D. ① ④ 4. 下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∀∈，1
2
0x -> B. x N *∀∈，()2
10x ->
C ．x R ∃∈，lg 1x < D. x R ∃∈，tan 2x = 5. 抛物线2
:8C y x =的焦点到准线的距离是（ ）
A ．1 B. 2 C ．4 D. 8
6. 圆221:6490C x y x y ++-+=与圆22
2:612190C x y x y +-+-=的位置关系是
（ ）
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离
7. 双曲线22
:
1412
x y C -=的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
8. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体
的表面积（单位：2
cm ）为（ ）
A ． 84
B ．104
C ． 124
D ．144
9. 设0a b >>，0k >且1k ≠，则 椭圆22122:1x y C a b += 和 椭圆22
222:x y C k a b
+=
具有相同的（ ）
A ．顶点 B. 焦点 C. 离心率 D. 长轴和短轴
10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-= >>的两条渐近线与抛物线()2
20y px p =>的准
线
分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，AOB ∆，
则p =（ ） A ．1 B. 3
2
C ．2 D. 3
11. 若椭圆:C ()2
2
10,0,mx ny m n m n +=>>≠与直线:10l x y +-=交于A ，B 两
点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为
2，则m
n
=（ ）
A ．2 B. 1
2
C D.
12. 已知1F ，2F 分别为双曲线22
:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，
则12PF PF ⋅=（ ）
A ．2 B. 4 C ．6 D. 8
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分. 把答案填在题中横线上）
13. 命题“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是 .
14. 已知直线:1l y kx =+与抛物线2
:C y x =，则“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个 不同交点”的 条件.
15. 过原点的直线与圆2
2
:430C x y y +-+=相切，若切点在第二象限，则该直线方程 为 .
16. 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点()3,0P ，且长轴长是短轴长的3倍，
则其标准方程为 .
17. 若抛物线2
:C y x =上一点P 到()3,1A -的距离与到焦点F 的距离之和最小，则点P
的坐标为 .
18. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 .
19. 过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 作倾斜角为60︒
的直线与抛物线分别交于A ，
B 两点（点A 在x 轴上方），则AF
BF
= .
20. 已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2
21:42C x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭
上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC
于M ，则动点M 的轨迹方程为 .
三、解答题（本大题共2个小题，每小题10分. 共20分. 解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
21. 已知两个定点()0,0O ，()3,0A ，动点M 满足 1
2
MO MA =，
记动点M 的轨迹为C . （I ）求C 的方程；
（II ）求直线:20l x y ++=被C 截得的弦长.
22. 已知点1F ，2F 分别是椭圆 ()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的
上顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1260F AF ︒
∠=.
（I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）已知1AF B ∆的面积为a ，b 的值.
答案
高 二 数 学
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1. 命题“若4
π
α=，则tan 1α=”的逆否命题是（ ）
A ．若4
π
α≠
，则tan 1α=. B. 若4
π
α=
，则tan 1α≠.
C ．若tan 1α≠，则4
π
α≠. D. 若tan 1α≠，则4
π
α=
.
解：选C ．
2. 设点(),P x y ，则“2x =且1y =-”是“点P 在直线:10l x y +-=上”的（ ） A ．充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：选A.
3. 若命题“()()p q ⌝∨⌝”是假命题，则在下列各结论中，正确的为（ ）
① 命题“p q ∧”是真命题； ② 命题“p q ∧”是假命题；
③ 命题“p q ∨”是真命题； ④ 命题“p q ∨”是假命题.
A. ① ③
B. ② ④
C. ② ③
D. ① ④
解：命题“p q ⌝∨⌝”是假命题⇒,p q ⌝⌝都是假命题⇒,p q 都是真命题，选A.
4. 下列命题中的假命题是（ ） A ．x R ∀∈，1
2
0x -> B. x N *∀∈，()2
10x ->
C ．x R ∃∈，lg 1x < D. x R ∃∈，tan 2x =
解：对选项B ，当1x =时不成立，选B.
5. 抛物线2
:8C y x =的焦点到准线的距离是（ ） A ．1 B. 2 C ．4 D. 8
解：由2
8y x =，知p ＝4，又交点到准线的距离就是p ，故选C ．
6. 圆221:6490C x y x y ++-+=与圆22
2:612190C x y x y +-+-=的位置关系是
（ ）
A. 相交
B. 外切
C. 内切
D. 相离
解：圆()()2
2
1:324C x y ++-=， 圆心()13,2C -，半径12r =；
圆()()2
2
2:3664C x y -++=，圆心()13,6C -，半径28r =.
圆心距1210C C ==，因1212C C r r =+，故两圆外切. 选B.
7. 双曲线22
:
1412
x y C -=的焦点到其渐近线的距离等于（ ）
A. 1
B.
C. 2
D.
解：焦点坐标为()4,0±，渐近线方程为y =，不妨求右焦点到渐近线y =的距
为选D.
8. 一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体
的表面积（单位：2
cm ）为（ ）
A ． 84
B ．104
C ． 124
D ．144
解：21
85481442
⨯⨯⨯+=，选D ．
9. 设0a b >>，0k >且1k ≠，则 椭圆22122:1x y C a b += 和 椭圆22
222:x y C k a b
+=
具有相同的（ ）
A ．顶点 B. 焦点 C. 离心率 D. 长轴和短轴
解：椭圆22222:x y C k a b += 即22
221x y ka kb +=，
离心率22222
2
2122
ka kb a b e e ka a
--===，选C. 10. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-= >>的两条渐近线与抛物线()2
20y px p =>的准
线
分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2，AOB ∆， 则p =（ ） A ．1 B. 3
2
C ．2 D. 3
解：由已知得2c a =，222
4a b a +=，b
a
=y =.而抛物线的准线
方程为2p
x =-
，于是,22p A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，22p B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
,从而A O B ∆的面积为
122
p
⨯= 2p =. 选C ．
11. 若椭圆:C ()2210,0,mx ny m n m n +=>>≠与直线:10l x y +-=交于A ，B 两点，
过原点与线段AB
中点的直线的斜率为
2，则m
n
=（ ） A ．2 B. 1
2
C
D.
解：设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,M x y ，
()2221
21010mx ny m n x nx n x y ⎧+=⇒+-+-=⎨
+-=⎩， 122n x x m n +=
+，1202x x n x m n +==+，001m
y x m n
=-=+.
由OM k =
002
y x =
，m n =选D.
12. 已知1F ，2F 分别为双曲线22
:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ︒∠=，
则12PF PF ⋅=（ ）
A ．2 B. 4 C ．6 D. 8
解：记1122,PF r PF r ==，则
(
)(()122221212212cos 602r r r r r r ︒
⎧-=⎪
⎨=+-⎪⎩
将（1）式平方，得22
121242r r r r =+-（3）
（2）-（3）得124r r =. 选B.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分. 把答案填在题中横线上）
13. 命题“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是 .
解：0x R ∃∈，0sin 1x > 或写成：x R ∃∈，sin 1x >
14. 已知直线:1l y kx =+与抛物线2
:C y x =，则“0k ≠”是“直线l 与抛物线C 有两个 不同交点”的 条件.
解：直线l 与抛物线C 有两个不同交点⇔方程组21
y kx y x
=+⎧⎨=⎩ 有两组不同的实数解
⇔方程()22
2110k x k x +-+=有两个不同的实根()222
0214410
k k k k ⎧≠⎪⇔⎨∆=--=-+>⎪⎩ 1
4
k ⇔<且0k ≠，故填必要而不充分条件.
15. 过原点的直线与圆2
2
:430C x y y +-+=相切，若切点在第二象限，则该直线方程 为 .
解：圆()2
2
21x y +-=
，该直线方程为y =.
16. 若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点()3,0P ，且长轴长是短轴长的3倍，
则其标准方程为 .
解：22
19x y +=或221819
y x +=
17. 若抛物线2
:C y x =上一点P 到()3,1A -的距离与到焦点F 的距离之和最小，则点P
的坐标为 .
解：根据抛物线定义。

问题转化为在抛物线上求一点P ，使得P 到()3,1A -的距离与到准线的距离之和最小，过()3,1A -作准线的垂线，则垂线与抛物线的交点为所求，为()1,1-.
18. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 .
解：棱长为2的正方体中挖去一个底面半径为1高为2的倒立的圆锥， 它的体积为3
212212833
π
π-⨯⨯=-
.
19. 过抛物线()2
:20C y px p =>的焦点F 作倾斜角为60︒
的直线与抛物线分别交于A ，
B 两点（点A 在x 轴上方），则AF
BF
= .
解法一：记AF a =，BF b =，准线为l ，分别过A ，B 作1AA l ⊥，1BB l ⊥， 则1AA AF a ==，1BB BF b ==，再过B 作1BM AA
⊥于M .在Rt BMA ∆中， 30ABM ︒∠=，AM a b =-，AB a b =+，于是()2a b a b +=-，3a b =，故所求为3.
解法二：2211213262,2x p y px x p p y x y y p ⎧
⎧==⎧⎪=⎪⎪⎪
⇒⎨⎨⎨⎫
=-⎪⎪⎪⎪==⎭⎩⎩⎪⎩
32A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1,6B p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭ 2AF p =，23
p
BF =
，故所求为3.
20. 已知1,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，B 是圆2
21:42C x y ⎛
⎫-+= ⎪⎝⎭
上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC
于M ，则动点M 的轨迹方程为 .
解：连结MA ，利用中垂线的性质，有MA MB =，
21MA MC MB MC CB AC +=+==>=，
根据椭圆定义知动点M 的轨迹是以A ，C 为焦点的椭圆.22a =，1a =. 又1
2
c =
，于是 2
2
2
13144b a c =-=-=. 故方程为22
134
y x +=（也可写成22413x y +=）
三、解答题（本大题共2个小题，每小题10分. 共20分. 解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤）
21. 已知两个定点()0,0O ，()3,0A ，动点M 满足 1
2
MO MA =，
记动点M 的轨迹为C . （I ）求C 的方程；
（II ）求直线:20l x y ++=被C 截得的弦长.
解：（I ）设(),M x y ， 1分 由12MO MA =
= 3分
化简得2
2
230x y x ++-=. 5分
（II ）2
2
230x y x ++-=，即()2
2
14x y ++=. 6分
C 是以()1,0-为圆心，2为半径的圆. 7分
d =
=
8分
弦长为==. 10分
或2223020
x y x x y ⎧++-=⎨++=⎩， 6分
11x y ⎧=⎪⎪⇒⎨
⎪=⎪⎩
21x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 8分
10分
22. 已知点1F ，2F 分别是椭圆 ()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，A 是椭圆C 的
上顶点，B 是直线2AF 与椭圆C 的另一个交点，1260F AF ︒
∠=.
（I ）求椭圆C 的离心率；
（II ）已知1AF B ∆
的面积为a ，b 的值.
解：（I ）由题意知12AF F ∆为正三角形， 1分
2a c =，1
2
c e a =
=. 3分 （II ）直线AB
的方程为)y x c =- 4分
)()22
22222222221
3630x y a
b a b x a cx a
c a b y x c ⎧+=⎪⇒+-+-=⎨⎪=-⎩
（1） 5分 由2a c =，得2
2
4a c =，2
2
2
2
3b a c c =-=. 代入（1）中得 2580x cx -=，
0x =或85
c x =
，
得()
A
，8,5c B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. AB =165c
.（或用弦长公式求） 7分 由1AF B ∆
的面积为
11
sin 602
AB AF ︒=
，11625c ⋅⋅= 8分
（或
12AB d =
11625
c
⋅= 解得5c =，10a =
，b = 10分。