高中导数经典知识点及例题讲解(良心出品必属精品)

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题
自学引导
1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．
2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身
1.函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为Δy
Δx
＝________.
2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy
Δx
＝
________，表示函数y ＝f(x)从x 0到x 的平均变化率.
1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1
答 案
2.
f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
名师讲解
1.如何理解Δx ，Δy 的含义
Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f(x 2)－f(x 1)．
2．求平均变化率的步骤
求函数y ＝f(x)在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f(x 2)－f(x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.
(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2f x 1
x 2－x 1
.
对平均变化率的认识
函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sinx 在区间[0，π]上的
平均变化率为0，而在[0，π2]上的平均变化率为sin π
2－sin0
π2
－0＝2
π
.
在平均变化率的意义中，f(x 2)－f(x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.
典例剖析
题型一 求函数的平均变化率
例1 一物体做直线运动，其路程与时间t 的关系是S ＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；
(2)求t ＝0到t ＝1的平均速度．
分析 t ＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变
量ΔS ＝S(1)－S(0)，再求时间改变量Δt ＝1－0＝1.求商ΔS
Δt
就可以
得到平均速度．
解 (1)由于v ＝S t ＝3t －t 2
t
＝3－t.
∴当t ＝0时，v 0＝3，即为初速度． (2)ΔS ＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt ＝1－0＝1
∴v ＝ΔS Δt ＝2
1
＝2.
∴从t ＝0到t ＝1的平均速度为2. 误区警示
1
t ＝0时，S ＝0.所以初速度是零.
变式训练1 已知函数f(x)＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)
及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy)，则Δy
Δx
＝( )
A ．3
B ．3Δx －(Δx)2
C ．3－(Δx)2
D ．3－Δx
解析 Δy ＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝x 2＋3Δx Δx ＝－Δx ＋3 答案 D
题型二 平均变化率的快慢比较
例2 求正弦函数y ＝sinx 在0到π6之间及π3到π
2
之间的平均变
化率．并比较大小．
分析 用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．
解 设y ＝sinx 在0到π
6
之间的变化率为k 1，则
k 1＝sin π
6－sin0
π6
－0＝3
π.
y ＝sinx 在π3到π
2之间的平均变化率为k 2，
则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－
32π6
＝32－3
π.
∵k 1－k 2＝3π－32－3π＝33－1
π
>0，
∴k 1>k 2.
答：函数y ＝sinx 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π
2
之
间的平均变化率为32－3π，且3π>32－3
π
.
变式训练2 试比较余弦函数y ＝cosx 在0到π3之间和π3到π
2
之
间的平均变化率的大小．
解 设函数y ＝cosx 在0到π
3
之间的平均变化率是k 1，则k 1＝
cos π
3－cos0
π3
－0＝－3
2π.
函数y ＝cosx 在π3到π
2之间的平均变化率是k 2，
则k 2＝cos π2－cos
π3π2－π3＝－3
π.
∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝3
2π
>0，
∴k 1>k 2.
∴函数y ＝cosx 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π
2
之间的
平均变化率．
题型三 平均变化率的应用
例3 已知一物体的运动方程为s(t)＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．
分析 由物体运动方程―→写出位移变化量Δs ―→Δs
Δt
解 物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的位移增量 Δs＝s(1＋Δt)－s(1)
＝[(1＋Δt)2＋2(1＋Δt)＋3]－(12＋2×1＋3) ＝(Δt)2＋4Δt.
物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度为 Δs Δt ＝2
＋4Δt
Δt
＝4＋Δt.
变式训练3 一质点作匀速直线运动，其位移s 与时间t 的关系为s(t)＝t 2＋1，该质点在[2,2＋Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5，求Δt 的取值范围．
解 质点在[2,2＋Δt]上的平均速度为
v －＝s 2＋Δt s 2Δt
＝[2＋Δt 2＋1]22＋1Δt
＝4Δt t 2Δt
＝4＋Δt.
又v －≤5，∴4＋Δt ≤5. ∴Δt ≤1，又Δt>0，
∴Δt 的取值范围为(0,1].
§ 1.1 函数的单调性与极值
1.1.2 导数的概念
自学引导
1.经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念建立的一些实际背景．
2．了解瞬时变化率的含义，知道瞬时变化率就是导数．
3．掌握函数f(x)在某一点x 0处的导数定义，并且会用导数的定义求一些简单函数在某一点x 0处的导数.
课前热身
1.瞬时速度．
设物体的运动方程为S ＝S(t)，如果一个物体在时刻t 0时位于S(t 0)，在时刻t 0＋Δt 这段时间内，物体的位置增量是ΔS ＝S(t 0＋Δt)－S(t 0)．那么位置增量ΔS 与时间增量Δt 的比，就是这段时间
内物体的________，即v ＝S t 0＋Δt S t 0
Δt .
当这段时间很短，即Δt 很小时，这个平均速度就接近时刻t 0的速度．Δt 越小，v 就越接近于时刻t 0的速度，当Δt →0时，这个平均速度的极限v ＝lim Δt →0
ΔS Δt ＝lim Δt →0
S t 0＋Δt S t 0
Δt
就是物
体在时刻t 0的速度即为________． 2．导数的概念．
设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无
限趋近0时，比值Δy Δx ＝f x 0＋Δx f x 0
Δx
无限趋近于一个常数
A ，这个常数A 就是函数f(x)在点x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′
|x＝x0.用符号语言表达为f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝________
1.平均速度瞬时速度答
案 2.lim
Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)
Δx
名师讲解
1.求瞬时速度的步骤
(1)求位移增量ΔS＝S(t＋Δt)－S(t)；
(2)求平均速度v＝ΔS Δt
；
(3)求极限lim
Δt→0ΔS
Δt
＝lim
Δt→0
S t＋Δt S t
Δt
；
(4)若极限存在，则瞬时速度v＝lim
Δt→0ΔS Δt
.
2．导数还可以如下定义
一般地，函数y＝f(x)在x＝x 0处的瞬时变化率是lim
Δx→0
f x0＋Δx f x0
Δx ＝lim
Δx→0
Δy
Δx
.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0
处的导数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
f x0＋Δx f x0
Δx
.
3．对导数概念的理解
(1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的一个概念，所以
我们应很自然的理解这个概念的提出与其实际意义．
(2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包含着两层含义：
①lim Δx →0
Δy
Δx
存在，则称f(x)在x ＝x 0处可导并且导数即为极限值；
②lim Δx →0
Δy
Δx
不存在，则称f(x)在x ＝x 0处不可导．
(3)Δx 称为自变量x 的增量，Δx 可取正值也可取负值，但不可以为0.
(4)令x ＝x 0＋Δx ，得Δx ＝x －x 0，于是
f ′(x 0)＝lim x →x
f x f x 0
x －x 0
与定义中的f ′(x 0)＝lim Δx →0
f x 0＋Δx f x 0
Δx
意义相同．
4．求函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的步骤 (1)求函数的增量：Δy ＝f(x 0＋Δx)－f(x 0)；
(2)求平均变化率：Δy Δx ＝f x 0＋Δx f x 0
Δx
；
(3)取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
.
典例剖析
题型一 物体运动的瞬时速度
例1 以初速度v 0(v 0>0)竖直上抛的物体，t 秒时高度为s(t)＝v 0t －12
gt 2
，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．
分析 先求出Δs ，再用定义求Δs
Δt ，当Δt →0时的极限值．
解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt)－12g(t 0＋Δt)2
－(v 0t 0－12
gt 20)＝(v 0－
gt 0)Δt －1
2g(Δt)2，
∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－1
2
g ·Δt.
∴当Δt →0时，Δs
Δt
→v 0－gt 0.
故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.
规律技巧 瞬时速度v 是平均速度v 在Δt →0时的极限.因此，v ＝lim Δt →0
v ＝lim Δt →0
Δs
Δt
.
变式训练1 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝5t －t 2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度。

解 ∵Δs ＝5(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(5×2－22) ＝Δt －(Δt)2， ∴Δs
Δt
＝1－Δt. ∴v ＝lim Δt →0
Δs
Δt
＝lim Δt →0
(1－Δt)＝1.
∴物体在t ＝2时的瞬时速度为1. 题型二 求函数在某点处的导数
例2 求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．
分析 根据导数的定义求导数是求函数的导数的基本方法．
解法1 ∵Δy ＝1＋Δx －1，
∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝Δx Δx 1＋Δx ＋1
＝1
1＋Δx ＋1.
∴lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 11＋Δx ＋1＝12.
∴y ′|x ＝1＝12.
解法2 (先求导数，再求导数值) ∵Δy＝x ＋Δx－x ， ∴Δy Δx ＝x ＋Δx－x Δx ＝1x ＋Δx＋x
.
∴y′＝lim Δx→0 1x ＋Δx＋x ＝1
2x .
∴y′|x ＝1＝1
2
.
规律技巧 求函数y ＝f x x ＝x 0处的导数有两种方法：一是应用导数定义；二是先求导数再求导数值.
变式训练2 利用定义求函数y ＝x ＋1
x 的导数，并据此求函数在x ＝1
处的导数．解 ∵Δy ＝(x ＋Δx)＋1x ＋Δx －(x ＋1
x
)
Δy Δx ＝1－1
x x ＋Δx
， ∴y ′＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
[1－
1
x x ＋Δx
]
＝1－1x
2.
∴y ′|x ＝1＝1－1
12＝0.
＝Δx －Δx
x x ＋Δx ，
题型三 导数的应用
例3 某物体按照s(t)＝3t 2＋2t ＋4的规律作直线运动，求自运动开始到4s 时，物体运动的平均速度和4s 时的瞬时速度．
分析 解答本题，可先求自运动开始到ts 时的平均速度v(t)及函数值的增量Δs ，自变量的增量Δt ，再利用公式求解即可．
解 自运动开始到ts 时，物体运动的平均速度v －(t)＝s t t
＝3t ＋2＋4t ，故前4秒物体的平均速度为v －(t)＝3×4＋2＋44＝15. 由于Δs ＝3(t ＋Δt)2＋2(t ＋Δt)＋4－(3t 2＋2t ＋4) ＝(2＋6t)Δt ＋3(Δt)2， ∴Δs
Δt
＝2＋6t ＋3Δt.
∴lim Δt →0
Δs
Δt
＝2＋6t.
∴4s 时物体的瞬时速度为2＋6×4＝26.
规律技巧 导数的物理意义：
1s 与时间t 的函数关系s ＝s
t t 0时刻的瞬时速度v ＝s t
2v 与时间t 的函数关系v ＝v
t
t 0
时刻的瞬时加速度a ＝v t 0.
变式训练3 竖直上抛一小球，其位移与时间的关系为h(t)＝
100t －1
2gt 2，试求小球何时瞬时速度为0(g ≈9.8)．
解 小球的运动方程为h(t)＝100t －12
gt 2
，
∴Δh ＝[100(t ＋Δt)－12g(t ＋Δt)2
]－(100t －12
gt 2)
＝∴lim Δt →0
Δh
Δt
＝100－gt ，
令100－gt＝0，得t＝100
g
＝
100
9.8
≈10.2(s)．
因此，小球被上抛10.2s时速度变为0.
100Δt－gtΔt－1
2
g(Δt)2.
例4 已知质点M按规律s＝at2＋3(单位：cm)做直线运动，且质点M在t＝2s时的瞬时速度为8cm/s，求a的值．
分析这是一道逆向思维的题目，知导数s′|t＝2＝8，求系数a，先对s求导，可得含a的方程．解出a即可．
解Δs＝a(2＋Δt)2＋3－(a·22＋3)
＝4a·Δt＋a(Δt)2
∴lim
Δt→0Δs
Δt
＝lim
Δt→0
(4a＋a·Δt)＝4a.
依题意有4a＝8，∴a＝2.
变式训练4 已知f(x)＝ax＋b，且f′(1)＝2，求实数a的值．
解Δy＝f(1＋Δx)－f(1)
＝a(1＋Δx)＋b－(a＋b)
＝aΔx.
∴f′(1)＝lim
Δx→0Δy
Δx
＝lim
Δx→0
a＝a.
又f′(1)＝2，∴a＝2.
§ 1.1 函数的单调性与极值
1.1.3 导数的几何意义
自学引导
1.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义．
2．会求函数在点(x0，y0)处的切线方程.
课前热身
1.几何意义：f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)即为f(x)所表示的曲线在x＝x0处的切线的斜率，即k＝f′(x0)＝lim
Δx→0
f x0＋Δx f x 0
Δx
.过点(x0，f(x0))的切线方程为________．
2．物理意义：如果把函数y＝f(x)看作是物体的运动方程(或叫位移公式)，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻t0的速度，即在
x0的________．即vx0＝f′(x0)＝lim
Δx→0Δy Δx
.
3．如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x的导数都存在，那么称f(x)在区间(a，b)内可导．这样对开区间(a，b)内每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的________，记为
________，简称为________．今后，如不特别指明某一点的导数，求导数就是指求导函数.
答案1.y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
2.瞬时速度
3.导函数f′(x)(或y′x、y′) 导数
名师讲解
1.“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别与联系：
“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值；“导函数”简称“导数”，是一个函数．所以求函数在某点处的导数时，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．
2．可以利用导数求曲线的切线方程．由于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，表示曲线在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．因此，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程可如下求得：
(1)求出f′(x0)，则f′(x0)就是点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．
(2)代入直线的点斜式方程可得切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
如果曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴时(此时导数不存在)，切线方程为x＝x0.
典例剖析
题型一求曲线上某点处的切线方程
例1 已知曲线C：y＝x3.
(1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点．
分析先求出函数y＝x3在x＝1处的导数，即切线的斜率，然后写出切线方程，最后列方程看交点个数．
解(1)将x＝1代入曲线C的方程得y＝1，
∴切点P(1,1)．
∵y′＝lim
Δx→0Δy Δx
＝lim Δx →0
x ＋Δx 3－x 3
Δx
＝lim Δx →0
3x 2Δx ＋3x x 2
x
3
Δx
＝lim Δx →0
[3x 2＋3x Δx ＋(Δx)2]＝3x 2，
∴y ′|x ＝1＝3.
∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.
(2)由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝3x －11
y ＝x
3
可得
(x －1)(x 2＋x －2)＝0，
解得x 1＝1，x 2＝－2，
从而求得公共点为P(1,1)或P(－2，－8)．
说明切线与曲线C 的公共点除了切点外，还有另外的公共点．
规律技巧 先求出函数y ＝f
x
x ＝x 0处的导数，即曲线在该
点处的切线斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程. 变式训练1 求双曲线y ＝1x 在点(1
2，2)处的切线的斜率，并写出切线
方程．
解 ∵y ＝1
x
，
∴k ＝lim Δx →0
Δy
Δx ＝lim Δx →0
1x ＋Δx －1
x Δx
＝lim Δx →0
－1x 2＋x Δx ＝－1
x
2.
∴当x ＝1
2
时，k ＝－4，∴切线斜率为k ＝－4.
切线方程为y －2＝－4(x －1
2
)，
即4x ＋y －4＝0.
题型二 求过某点的切线方程
例2 求抛物线y ＝x 2
过点(5
2
，6)的切线方程．
分析 点(5
2
，6)不在抛物线上，先设出切点坐标，求出切线的斜
率，利用等量关系，求出切点坐标，最后写出切线方程．
解 设此切线在抛物线上的切点为(x 0，x 20)，则
y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0
x 0＋Δx 2－x 20
Δx
＝lim Δx →0
(2x 0＋Δx)＝2x 0，
∴x 20－6x 0－
52
＝2x 0，即x 20－5x 0＋6＝0，解得
x 0＝2，或x 0＝3.
即切线经过抛物线y ＝x 2上的点(2,4)，(3,9)． 故切线方程分别为
y －4＝4(x －2)，y －9＝6(x －3)，
即4x －y －4＝0，或6x －y －9＝0为所求的切线方程．
规律技巧 求切线方程时，注意两种说法：一是在某点处的切线方程，此时点在曲线上，且以此点为切点；二是过某点的切线方程，如本例，此时求解时，首先要设出切点坐标，然后求解. 变式训练2 求抛物线y ＝14x 2过点(4，7
4)的切线方程．
解 设切线在抛物线上的切点为(x 0，14
x 2
0)，
∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0
14x 0＋Δx 2
－14
x 20
Δx
＝lim Δx →0
(12x 0＋14Δx)＝1
2
x 0.
∴14x 20－74x 0－4＝12x 0. 即x 20－8x 0＋7＝0， 解得x 0＝7，或x 0＝1，
即切线过抛物线y ＝14x 2上的点(7，494)，(1，1
4
)，
故切线方程分别为
y －494＝72(x －7)，或y －14＝1
2
(x －1)，
化简得14x －4y －49＝0，或2x －4y －1＝0， 此即所求的切线方程．
题型三 导数几何意义的综合应用
例3 求曲线y ＝x 2在点(3,9)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．
分析 由题设知切线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，故需求出切线方程及其在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式计算．
解 Δy ＝(3＋Δx)2－32
＝6Δx ＋(Δx)2，
∴f ′(3)＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
(6＋Δx)＝6.
∴点(3,9)处的切线方程为y －9＝6(x －3)， 即y ＝6x －9.
切线与两坐标轴的交点分别为(3
2
，0)，(0，－9)．
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为 S ＝12×32×9＝274
. 变式训练3 在曲线y ＝x 2上求一点P ，使过点P 的切线与直线y ＝4x －5平行．
解 设P(x 0，x 20)，
则f ′(x 0)＝lim Δx →0
Δy
Δx
＝lim Δx →0
x 0＋Δx
2
－x 20
Δx
＝lim Δx →0
(2x 0＋Δx)＝2x 0.
由题意可得
2x 0＝4，∴x 0＝2.
故点P 的坐标为(2,4).
§ 1.2 导数的计算
1.2.1 几种常用函数的导数及导数的运算法则 自学引导
1.能根据导数的定义，会求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y
＝1
x
，y ＝x 的导数． 2．能利用给出的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则求简单函数的导数.
课前热身
1.基本初等函数的导数公式. 原函数 导函数 (1)f(x)＝c f ′(x)＝________ (2)f(x)＝x n (n ∈Q) f ′(x)＝________ (3)f(x)＝sinx f ′(x)＝________ (4)f(x)＝cosx f ′(x)＝________ (5)f(x)＝a x f ′(x)＝________
原函数 导函数 (6)f(x)＝e x f ′(x)＝________ (7)f(x)＝log a x f ′(x)＝________ (8)f(x)＝lnx f ′(x)＝________ 2.导数的运算法则．
(1)[f(x)±g(x)]′＝________； (2)[f(x)·g(x)]′＝________；
(3)[f x g x
]′＝________.
答案1.(1)0
(2)nx n－1
(3)cos x
(4)－sin x
(5)a x ln a(a>0)
(6)e x
(7)
1
x ln a(a>0，且a≠1) (8)
1
x
答案2.(1)f′(x)±g′(x)
(2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
(3)
－
2
(g(x)≠0)
名师讲解
(3)公式中n∈Q，但对于n∈R公式也成立．
(4)特别注意n为负数或分数时，求导不要搞错．如
2．两函数和差的求导法则的推广 (1)[f(x)±g(x)]′＝f ′(x)±g ′(x) 此法则可以推广到有限个可导函数的情形．[f 1(x)±f 2(x)±…±f n (x)]′＝f 1′(x)±f 2′(x)±…±f n ′(x)．
(2)[af(x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg ′(x)(a ，b 为常数)．
3．两函数商的求导法则 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f x g x ′＝f x g x f x g x g 2x (g(x)≠0)， 当f(x)＝1时，则有⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1g x ′＝－g x
g 2x (g(x)≠0)． 这是一个函数倒数的求导法则．
4．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数表示形式很复杂，直接求导比较困难，但经过化简整理，有可能很简单，这时再求导可能很简便，也就是说，先把复杂式子化简后再求导，减少运算量.
题型一 求导函数
例1 求下列函数的导数． (1)y ＝x 12；
(2)y ＝1
x
3；
(3)y ＝3
x 2.
分析 这三个小题都可归为x n 类，用公式(x n )′＝nx n －1完成．
典例剖析
解 (1)y ′＝(x 12
)′＝12x 12－1＝12x 11.
(2)y ′＝(1
x
3)′＝(x －3)′＝－3x －3－1＝－3x －4.
变式训练1 求下列函数的导数．
(1)f(x)＝10x ； (2)f(x)＝log 2x ； (3)g(t)＝e t .
解 (1)f ′(x)＝(10x )′＝10x ln10.
(2)f ′(x)＝(log 2x)′＝1
xln2
.
(3)g ′(t)＝(e t )′＝e t .
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)求函数y ＝a x ，在点P(3，f(3))处的导数； (2)求函数y ＝lnx 在点Q(5，ln5)处的导数．
分析 先按求导公式求出导函数，再求导函数在相应点的函数值．
解 (1)∵y ＝a x ，
∴y ′＝(a x )′＝a x lna. 则y ′|x ＝3＝a 3lna.
(2)∵y ＝lnx ，∴y ′＝(lnx)′＝1
x
.
则y ′|x ＝5＝1
5
.
规律技巧
是：①先求导函数；②把定点的横坐标代入导函数求出导数值.
变式训练2 求下列函数在某点处的导数．
(1)y ＝log a x ，x ＝2；
(2)y ＝cosx ，x ＝π
4；
(3)y ＝2x 3
＋3
x ，x ＝1；
(4)y ＝sinx ，x ＝
π3
. 解 (1)∵y ＝log a x ，∴y ′＝1
xlna
.
则y ′|x ＝2＝1
2lna
.
(2)∵y ＝cosx ，∴y ′＝－sinx.
则y ′|x ＝π4＝－sin π4＝－2
2.
则y ′|x ＝1＝6＋13＝19
3
.
(4)∵y ＝sinx ，∴y ′＝cosx.
则y ′|x ＝π3＝cos π3＝1
2
.
题型三 利用运算法则求导数 例3 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2·sinx ＋cosx ；
(2)y ＝lnx
x ＋1
；
(3)f(x)＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；
(4)f(x)＝1＋x 1－x ＋1－x
1＋x
.
分析 对于(1)、(2)可以利用公式直接求导，(3)、(4)先化简再求导．
解 (1)y ′＝(x 2sinx ＋cosx)′ ＝(x 2sinx)′＋(cosx)′ ＝2xsinx ＋x 2cosx －sinx ＝(2x －1)sinx ＋x 2cosx.
(2)y ′＝(lnx
x ＋1
)′
＝1x
x ＋1－lnx x ＋12＝1－lnx ＋
1
x x ＋12＝x －xlnx ＋1
x x ＋12
.
(3)∵f(x)＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)
＝2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5
f ′(x)＝(2x 5＋8x 4－5x 3＋2x 2＋8x －5)′ ＝10x 4＋32x 3－15x 2＋4x ＋8.
(4)∵f(x)＝1＋x 1－x ＋1－x
1＋x
＝1＋x 21－x ＋1－x 21－x ＝21＋x 1－x ＝41－x
－2，
∴f ′(x)＝(41－x －2)′＝4′1－x －41－x ′
1－x 2
＝
4
1－x 2.
规律技巧 运用求导法则和导数公式求可导函数的导数，一定要先分析函数y ＝f(x)的结构特征，对于直接求导很繁琐的，一定要先化简，再求导．
变式训练3 求下列函数的导数． (1)y ＝tanx ；
(2)y ＝11－x ＋1
1＋x
；
(3)y ＝1＋sin x 2cos x
2；
(4)y ＝x
x ＋1
－2x .
解 (1)y ＝tanx ＝sinx
cosx
，
∴y ′＝(sinx cosx )′＝
sinx cosx －sinx cosx
cos 2x
＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝1cos 2x
. (2)∵y ＝11－x ＋11＋x ＝2
1－x ，
∴y ′＝(21－x )′＝－21－x 1－x 2＝
2
1－x
2
.
(3)∵y ＝1＋sin x 2cos x 2＝1＋1
2sinx ，
∴y ′＝(1＋12sinx)′＝1
2cosx.
(4)y ′＝(x
x ＋1)′－(2x )′
＝x ＋1－x x ＋12－2x
ln2
＝1x ＋12－2x
ln2.
题型四 求切线方程
例4 求过点(1，－1)的曲线y ＝x 3－2x 的切线方程．
分析 点(1，－1)虽然在曲线上，但它不一定是切点，故应先求切点．
解 设P(x 0，y 0)为切点，则切线的斜率为f ′(x 0)＝3x 20－2，故切线方程为y －y 0＝(3x 20－2)(x －x 0)，
即y －(x 30－2x 0)＝(3x 2
0－2)(x －x 0)， 又知切线过点(1，－1)代入上述方程，
得－1－(x 30－2x 0)＝(3x 2
0－2)(1－x 0)，
解得x 0＝1，或x 0＝－1
2
，
∴切点为(1，－1)或(－12，7
8
)．
故所求的切线方程为y ＋1＝x －1，
或y －78＝－54(x ＋12
)，
即x －y －2＝0，或5x ＋4y －1＝0.
规律技巧 1
求曲线在点P 处的切线方程和求曲线过点P 的切线方程.在点P 处的切线，一定是以点P 为切点，过点P 的切线， 不论点P 在不在曲线上，点P 不一定是切点.
2P 的曲线的切线方程的步骤为：先设出切点坐标为x
0，y 0y －y 0＝f x 0x －x 0点P x 0，y 0.
变式训练4 已知曲线y ＝x 3－3x ，过点(0,16)作曲线的切线，求曲线的切线方程．
解 设切点为(x 1，y 1)，则切线的斜率
k ＝y ′ |x ＝x 1＝3x 21－3， ∴切线方程为y ＝(3x 21－3)x ＋16. 又切点在切线上， ∴y 1＝(3x 21－3)x 1＋16. ∴x 3
1－3x 1＝(3x 21－3)x 1＋16， 解得x 1＝－2.
∴切线方程为y ＝9x ＋16， 即9x －y ＋16＝0
§ 1.2 导数的计算
1.2.2 复合函数的导数
自学引导
能利用出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数.
课前热身
1.复合函数的概念．
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y 可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数________和________的复合函数，记作________．
2．复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为________．即y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积.
答案1.y＝f(u) u＝g(x) y＝f(g(x))
2.y′x＝y′u·u′x
名师讲解
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节
(1)中间变量的选择应是基本函数结构；
(2)关键是正确分析出复合过程；
(3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导；
(4)善于把一部分表达式作为一个整体；
(5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．
典例剖析
2．求复合函数导数的方法步骤
(1)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量；
(2)求每一层基本初等函数的导数；
(3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.
题型一复合函数的求导方法
例1 求下列函数的导数．
(1)y＝
1
－4
；
(2)y＝cosx2；
(3)y＝sin(2x－π
3 )；
(4)y＝1＋x2.
分析注意中间变量的选取，分层求导．
解 (1)令u ＝1－3x ，则y ＝1
u 4＝u －4，
∴y ′u ＝－4u －
5，u ′x ＝－3.
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝12u －5
＝12
(1－3x )5
.
(2)令u ＝x 2，则y ＝cos u ， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－sin u ·2x ＝－2x sin x 2.
(3)令u ＝2x －
π
3
，则y ＝sinu ， ∴y′x ＝y′u ·u′x ＝cosu·2 ＝2cos(2x －π
3
)．
(4)令u ＝1＋x 2，则y ＝u
12 ， ∴y′x ＝y′u ·u′x ＝12u - 12
·2x
＝x·u - 12 ＝
x
1＋x
2. 规律技巧 求复合函数的导数，要分清函数的复合关系，对于分式型的可化为幂的形式求导，关键选好中间变量．最后将中间变量代回到原自变量的函数．
变式训练1 求下列函数的导数．
(1)y ＝
1
1＋3x
5
；
(2)y ＝sin(x 2－π
6
)；
(3)y ＝ln(lnx)； (4)y ＝e
2x 2＋1
.
解 (1)令u ＝1＋3x ，则y ＝1
u
5＝u －5，
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝－5u －6·3
＝－15u －6＝－15
1＋3x
6. (2)令u ＝x 2－π
6
，则y ＝sinu ，
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x
＝cosu ·(x 2－π6)′＝2xcosu ＝2xcos(x 2－π
6)．
(3)令u ＝lnx ，则y ＝lnu ，
∴y ′x ＝y ′u ·u ′x
＝1u ·1x ＝1xlnx
. (4)令u ＝2x 2＋1，则y ＝e u ， ∴y ′x ＝y ′u ·u ′x ＝e u ·4x
＝4x ·e 2x 2
＋1
.
例2 求下列函数的导数． (1)y ＝(x 2－4)2；
(2)y ＝log 2(2x 2＋3x ＋1)； (3)y ＝e sin(ax ＋b)
分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合函数求导公式y ′＝y ′u ·u ′x 进行求导．
解 (1)方法1：y ＝(x 2－4)2＝x 4－8x 2＋16
∴y ′＝(x 4－8x 2＋16)′ ＝4x 3－16x.
方法2：y ′＝2(x 2－4)(x 2－4)′ ＝2(x 2－4)·2x ＝4x 3－16x.
(2)y ′＝[log 2(2x 2＋3x ＋1)]′
＝12x 2＋3x ＋1ln2
·(2x 2＋3x ＋1)′ ＝4x ＋32x 2＋3x ＋1ln2
. (3)y ′＝[e sin(ax ＋b)]′＝e sin(ax ＋b)[sin(ax ＋b)]′
＝e sin(ax ＋b)·cos(ax ＋b)·(ax ＋b)′
＝acos(ax ＋b)·e sin(ax ＋b)．
规律技巧 求复合函数的导数，当复合步骤熟练后，可以直接求导．
变式训练2 求下列函数的导数．
(1)y ＝3
3x 2＋1；
(2)y ＝sin 3x ＋sinx 3.
解 (1)y ＝33x 2＋1＝(3x 2＋1) 13 ，
∴y ′＝13
(3x 2＋1)- 23 (3x 2＋1)′ ＝13(3x 2＋1)- 23 ·6x ＝2x 33x 2＋12
.
(2)y ′＝(sin 3x ＋sinx 3)′
＝3sin 2x ·(sinx)′＋cosx 3·(x 3)′
＝3sin 2x ·cosx ＋3x 2cosx 3.
题型二 求导法则的综合应用
例3 已知函数f(x)是关于x 的二次函数，其导函数为f ′(x)，
且∀x ∈R ，x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)＝1恒成立，求函数f(x)的解析式．
分析 可设f(x)＝ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，利用待定系数法求出a ，b ，c 的值．
解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，
则f ′(x)＝2ax ＋b.
又x 2f ′(x)－(2x －1)f(x)
＝x 2(2ax ＋b)－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c)
＝(a －b)x 2＋(b －2c)x ＋c ＝1恒成立，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝0，b －2c ＝0，
c ＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝2，c ＝1. ∴f(x)＝2x 2＋2x ＋1.
变式训练3 已知函数f(x)是关于x 的三次函数，且f(0)＝3，f ′(0)＝0，f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，求f(x)的解析式．
解 设f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d(a ≠0)，
则f ′(x)＝3ax 2＋2bx ＋c.
由f(0)＝3，得d ＝3，
由f ′(0)＝0，得c ＝0，
由f ′(1)＝－3，f ′(2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋2b ＝－3，12a ＋4b ＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝－3.
∴f(x)＝x 3－3x 2＋3.。