北京师范大学第三附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
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16．设集合 ， .
（1）求集合
（2）若不等式 的解集为 ，求 的值
17．已知函数 图象过点 ．
（1）求实数 的值，并证明函数 是奇函数；
（2）利用单调性定义证明 在区间 上是增函数．
18．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 （万元）满足 ，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
因为 ，所以 ．
10．
【解析】
试题分析：因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
.
考点：函数奇偶性的应用.
11．
【解析】
注意到 为偶函数，故 ，通过对比可知 .
12．-1
【分析】
令 再代入 求解即可.
【详解】
当 时 ,故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.
13．
C．[ ，+∞）D．（3，+∞）
3．命题“ ”的否定是（）
A． ห้องสมุดไป่ตู้．
C． D．
4．若 ，则 的最小值为（）
A．4B．5C．6D．7
5．设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分叶非必要条件
6．已知函数 的图象是两条线段（如图，不含端点），则 （）
A． B． C． D．
13．若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围为________
14．定义在区间 上的偶函数 ,当 时 单调递减,若 ，则实数 的取值范围是____________．
三、解答题
15．设集合 ， .
（1）若 ，求实数 的值
（2）是否存在实数 使得 .若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
因为 ，所以 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
5．A
【分析】
首先根据 得到 或 ，从而得到答案.
【详解】
由 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.
3．B
【分析】
全称命题的否定是特称命题，运用全称命题的否定方法即可求解结果.
6．B
【分析】
根据函数图象先用分段函数的形式写出 的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出 的值.
【详解】
由图象可知： ，
所以 .
故选B.
【点睛】
本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.
7．C
【分析】
A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由 ，利用一次函数的性质判断；
北京师范大学第三附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ， ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．函数 的定义域为（ ）
A．[ ，3）∪（3，+∞）B．（-∞，3）∪（3，+∞）
8．C
【分析】
首先根据题意画出 的图象，再根据图象即可得到 的最小值.
【详解】
分别画出 ， ， 的图象，
则函数 的图象为图中实线部分.
由图知：函数 的最低点为 ， ，解得 .
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.
9．3
【解析】
【分析】
首先根据 得到 ，再根据题意得到 ，即可得到答案.
【详解】
由 解得 ，
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，即 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查根据充分不必要条件求参数，同时考查绝对值不等式的解法，属于简单题.
14．
【解析】
不等式等价于： ，
求解关于实数m的不等式组可得实数 的取值范围是 .
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，只需要将全称量词改为存在量词，然后否定结论.
故命题“ ”的否定是
故选：
【点睛】
本题主要考查了全称命题的否定，解答方法分两步：首先将全称量词改为存在量词，其次是否定结论，即可求出结果，本题较为简单.
4．C
【分析】
首先将 转化为 ，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
7．下列四个函数中，在 上为增函数的是（）
A． B．
C． D．
8．定义 为 中的最大值，设 ，则 的最小值为（）
A． B．3C． D．4
二、填空题
9．已知集合 ，若 ，则实数 =____
10．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 .
11．设函数 为偶函数，则 __________．
12．若函数 ，则 ______________．
点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
15．（1） 或 ；（2）不存在实数 使得
【分析】
（1）首先根据题意得到 ，再分类讨论 和 即可得到答案.
【详解】
A.由一次函数的性质知： 在 上为减函数，故错误；
B.由二次函数的性质知： 在 递减，在 上递增，故错误；
C.由反比例函数的性质知： 在 上递增，在 递增，则在 上为增函数，故正确；
D.由 知：函数在 上为减函数，故错误；
故选：C
【点睛】
本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.
（1）求利润函数 的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由题意得， ，所以 ，故选C.
考点：集合的运算.
2．A
【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】
因为函数 ，
解得 且 ；
函数 的定义域为 ,故选A．
（1）求集合
（2）若不等式 的解集为 ，求 的值
17．已知函数 图象过点 ．
（1）求实数 的值，并证明函数 是奇函数；
（2）利用单调性定义证明 在区间 上是增函数．
18．近年来，雾霾日趋严重，雾霾的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题，某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律，每生产该型号空气净化器 （百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入 （万元）满足 ，假定该产品销售平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
因为 ，所以 ．
10．
【解析】
试题分析：因为函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
.
考点：函数奇偶性的应用.
11．
【解析】
注意到 为偶函数，故 ，通过对比可知 .
12．-1
【分析】
令 再代入 求解即可.
【详解】
当 时 ,故 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了抽象函数求值的问题,属于基础题.
13．
C．[ ，+∞）D．（3，+∞）
3．命题“ ”的否定是（）
A． ห้องสมุดไป่ตู้．
C． D．
4．若 ，则 的最小值为（）
A．4B．5C．6D．7
5．设 ，则“ ”是“ ”的（）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分叶非必要条件
6．已知函数 的图象是两条线段（如图，不含端点），则 （）
A． B． C． D．
13．若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则实数 的取值范围为________
14．定义在区间 上的偶函数 ,当 时 单调递减,若 ，则实数 的取值范围是____________．
三、解答题
15．设集合 ， .
（1）若 ，求实数 的值
（2）是否存在实数 使得 .若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
因为 ，所以 ，
所以 .
当且仅当 ，即 时取等号.
所以 的最小值为 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查基本不等式求最值，同时考查学生分析问题的能力，属于简单题.
5．A
【分析】
首先根据 得到 或 ，从而得到答案.
【详解】
由 ，解得 或 ，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】
本题主要考查充分不必要条件的判断，同时考查二次不等式的解法，属于简单题.
【点睛】
定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3)若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.
3．B
【分析】
全称命题的否定是特称命题，运用全称命题的否定方法即可求解结果.
6．B
【分析】
根据函数图象先用分段函数的形式写出 的解析式，然后根据分段函数的解析式计算出 的值.
【详解】
由图象可知： ，
所以 .
故选B.
【点睛】
本题考查分段函数求值问题，难度较易.对于给定图象的函数，首先可考虑通过图象求出函数的解析式，然后再考虑计算函数值.
7．C
【分析】
A.利用一次函数的性质判断；B.利用二次函数的性质判断；C.利用反比例函数的性质判断；D.由 ，利用一次函数的性质判断；
北京师范大学第三附属中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ， ， ，则 （）
A． B．
C． D．
2．函数 的定义域为（ ）
A．[ ，3）∪（3，+∞）B．（-∞，3）∪（3，+∞）
8．C
【分析】
首先根据题意画出 的图象，再根据图象即可得到 的最小值.
【详解】
分别画出 ， ， 的图象，
则函数 的图象为图中实线部分.
由图知：函数 的最低点为 ， ，解得 .
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查根据函数的图象求函数的最值，考查了数形结合的思想，属于中档题.
9．3
【解析】
【分析】
首先根据 得到 ，再根据题意得到 ，即可得到答案.
【详解】
由 解得 ，
因为“ ”是“ ”的充分不必要条件，所以 ，即 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查根据充分不必要条件求参数，同时考查绝对值不等式的解法，属于简单题.
14．
【解析】
不等式等价于： ，
求解关于实数m的不等式组可得实数 的取值范围是 .
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，只需要将全称量词改为存在量词，然后否定结论.
故命题“ ”的否定是
故选：
【点睛】
本题主要考查了全称命题的否定，解答方法分两步：首先将全称量词改为存在量词，其次是否定结论，即可求出结果，本题较为简单.
4．C
【分析】
首先将 转化为 ，再利用基本不等式求最值即可.
【详解】
7．下列四个函数中，在 上为增函数的是（）
A． B．
C． D．
8．定义 为 中的最大值，设 ，则 的最小值为（）
A． B．3C． D．4
二、填空题
9．已知集合 ，若 ，则实数 =____
10．已知 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 .
11．设函数 为偶函数，则 __________．
12．若函数 ，则 ______________．
点睛：关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．
15．（1） 或 ；（2）不存在实数 使得
【分析】
（1）首先根据题意得到 ，再分类讨论 和 即可得到答案.
【详解】
A.由一次函数的性质知： 在 上为减函数，故错误；
B.由二次函数的性质知： 在 递减，在 上递增，故错误；
C.由反比例函数的性质知： 在 上递增，在 递增，则在 上为增函数，故正确；
D.由 知：函数在 上为减函数，故错误；
故选：C
【点睛】
本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.
（1）求利润函数 的解析式（利润=销售收入-总成本）；
（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由题意得， ，所以 ，故选C.
考点：集合的运算.
2．A
【分析】
根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可.
【详解】
因为函数 ，
解得 且 ；
函数 的定义域为 ,故选A．