2023学年第一学期上大附中高三数学诊断测试

2023学年第一学期上大附中诊断测试
高三年级 数学试卷
试卷满分150分 答题时间：120分钟 本卷为试题部分，考生应将试题答案写在答题纸上．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
一、填空题（1~6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）
1. 已知集合{1,3,21}A m =-，2{3,}B m =，若B A ⊆，则实数m = 1-
2. 不等式
1
0x x
+≤的解集为 [)-1,0
3. 在6(12)x -的二项展开式中，3x 项的系数为 -160
4. 已知复数z 满足：2
1i
z =
+（i 为虚数单位），则Im z = -1 5. 设实数0ω>，若函数()cos()sin()f x x x ωω=+的最小正周期为π，则ω= 2 6. 正四棱锥P ABCD -中所有棱长均相等，则侧棱与底面所成角的大小为
4
π
7. 已知抛物线24y x =上一点0(M x ，则点M 到抛物线焦点的距离为 4 8. 从4名男生和3名女生中，选2人参加校园辩论赛，则至少有一名女生的概率是
5
7
9. 关于x 的方程|21||3||2|x x x -+-+=+的解集为 1,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
10. 已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，且满足123123{,,}{,,}a a a b b b ==
{,,2}a b -，其中0a >，0b >，则a b +的值为 5
11.函数()x f y =1的定义域1D ,它的零点组成的集合是1E ,()x g y =2的定义域2D ,它的零
点组成的集合是2E ，则函数()()x g x f y =零点组成的集合是 (1E 2E )
()12D D
（答案用1E 、2E 、1D 、2D 的集合运算来表示） 12.若分段函数3sin20
()230x
x x f x x ≤⎧=⎨
->⎩
，将函数()()y f x f a =-，],[n m x ∈的最大值记作[,]a Z m n ，那么当22m -≤≤时，]4,[2+m m Z 的取值范围是_[]60,4____
二、选择题（18分=4+4+5+5） 13. 已知a ∈R ，则“1a >”是“
1
1a
<”的（ A ）条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要
14. 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ D ）
A ． 3
1
B ．
3
3 C ．
2
1 D ．
2
3 15. 设m 、n 为两条直线， α、β为两个平面，则下列命题中假命题是（ C ）.
A.若m n ⊥，m α⊥，n β⊥，则αβ⊥
B.若//m n ，m α⊥，//n β，则αβ⊥
C.若m n ⊥，//m α，//n β，则//αβ
D.若//m n ，m α⊥，n β⊥，则//αβ. 16.已知ω∈R ，函数3()(6)sin()f x x x ω=-⋅，存在常数a ∈R ，使得()f x a +为奇函数，则ω的值可以为（ B ） A.
3π B. 4
π C. 5π D. 6π 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出
必要的步骤.
17. （本题满分14分=6+8分）
已知函数2()1f x ax x =+-（0a >）.
（1）若关于x 的不等式()0f x <的解集为(1,)b -，求实数a 和b 的值； （2）若函数()y f x =在[3,1]--上的最小值为2，求实数a 的值．
17. 解: (1) 由已知可得210ax x +-=的两根是1,b -，
所以1110,a b a ---=-=，解得2
12a b =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
(2) 2
2
11()1124f x ax x a x a a ⎛
⎫=+-=+-- ⎪⎝
⎭，
（i ）1
32a
-
<-时 m i n
()(3)942f x f a =-=-=，所以23a =；(舍) （ii ）1312a -≤-≤-时min 11
()()1224f x f a a =-=--=，所以112
a =-
；（舍） （iii ）1
12a
-
>-时 min ()(1)22f x f a =-=-=，所以4a = 综上：4a =
18. （本题满分14分=6+8分）
已知向量11(,sin )22a x x =+
和向量(1,())b f x =，且a ∥b . （1）求函数()f x 的单调增区间和最大值； 52,266k k ππππ⎡⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
k Z ∈ 2
（2）已知△ABC 的三个内角分别为A 、B 、C ，若有(2)16
f A π
-=，BC =ABC
周长的取值范围 (
19．（本题满分14分=7+7分） 如图，菱形ABCD 的边长为1，3
ABC π
∠=
，O 是平面ABCD 外的一点，OA ABCD ⊥平面,
2OA =,,M N 分别为,OA BC 的中点，求：（1）异面直线AB 与MD 所成角的大小 （2）B 到平面OCD 的距离
(1)
20．（本题满分18分=4+6+8分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为1
2
，短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线2x =与椭圆C 交于P ，Q 两点（点P 在第一象限），A ，B 是椭圆C 上位于直线PQ 两侧的动点，且直线AB 的斜率为
12
． ①求四边形APBQ 面积的最大值；
②设直线PA 的斜率为1k ，直线PB 的斜率为2k ，判断12k k +的值是否为常数，并说明理由．
20.解：（1）设椭圆的标准方程为22
221x y a b
+=（0a b >>），
则1
2
c e a =
=
，2b =222a b c =+，解得216a =，212b =， ∴椭圆的标准方程为22
11612x y +=． ……………4分
（2）①把2x =代入22
11612
x y +=，得3y =±，即6=PQ ， ……………5分
设直线AB 的方程为1
2
y x t =
+，11(,)A x y ，22(,)B x y ， 联立22
11612
12
x y y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得22120.x tx t ++-= ……………6分
由0∆>，解得44t -<<， ……………7分
由根与系数的关系得122
1212
x x t x x t +=-⎧⎨=-⎩，四边形APBQ 的面积
121632
S x x =⨯⨯-==∣∣ ……………9分 故当0t =
，max S = ……………10分
②由题意知，直线PA 的斜率11132y k x -=
-，直线PB 的斜率2223
2
y k x -=-， 则12112121212111133(2)2
3322222222
+-+--+---+=+=+=-----x t x t x t y y k k x x x x x
21221212121
(2)2
(2)(4)222112222()4
x t t x x t t x x x x x x x -+--+---+=++=+
----++， ……………14分 由①知122
1212
x x t x x t +=-⎧⎨=-⎩， 可得122(2)(4)11224t t k k t t ---+=+-++2228
111028
t t t t --+=+=-=+-， ……………17分
所以12+k k 的值为常数0． ……………18分
21．（本题满分18分=4+6+8分） 已知函数1
()ln f x a x x
=+
，a R ∈ (1)若2a =，且直线y x m =+是曲线()y f x =的一条切线，求实数m 的值； (2)若不等式()1f x >对任意(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围； (3)若函数()()h x f x x =-有两个极值点12,x x 12()x x <，且214
()()h x h x e
-≤，求a 的取值范围．
【答案】解：(1)当a =2时，f(x)=2lnx +1x ，f′(x)=2x −1
x 2．
设直线y =x +m 与曲线y =f(x)相切于点 (x 0,2lnx 0+1
x 0
)，
则 2x 0−1
x 0
2=1，即x 02
−2x 0+1=0，
解得 x 0=1，即切点为(1,1)，
因为切点在y =x +m 上，所以1=1+m ，解得m =0. (2)不等式f(x)>1可化为alnx +1
x
−1>0．
记g(x)=alnx +1
x
−1，则g(x)>0对任意x ∈(1,+∞)恒成立． 考察函数g(x)=alnx +1
x −1，x >1，g′(x)=a
x −1
x 2=ax−1
x 2．
当a ≤0时，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)上单调递减，又g(1)=0， 所以g(x)<g(1)=0，不合题意；
当a >0时，x ∈(0,1a )，g′(x)<0；x ∈(1
a ,+∞)，g′(x)>0，
所以g(x)在(0,1a
]上单调递减，在[1a
,+∞)上单调递增， 若1
a ≤1，即a ≥1时，g(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以x ∈(1,+∞)时，g(x)>g(1)=0，符合题意； 若1
a >1，即0<a <1时，g(x)在[1,1
a )上单调递减， 所以当x ∈(1,1
a
)时，g(x)<g(1)=0，不符合题意； 综上所述，实数a 的取值范围为[1,+∞)．
(3)方法一：ℎ(x)=f(x)−x =alnx +1x
−x ，x >0，ℎ′(x)=a x
−1x
2−1=−x 2+ax−1x
2， 因为ℎ(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，
所以ℎ′(x)=0，即x 2−ax +1=0的两实数根为x 1，x 2，0<x 1<x 2， 所以x 1+x 2=a ，x 1x 2=1，△=a 2−4>0，所以a >2，0<x 1<1<x 2， 从而ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=(alnx 2+1x 2
−x 2)−(alnx 1+1x 1
−x 1)=2(alnx 2+1
x 2
−x 2)
=2[(x 2+
1x 2)lnx 2+1x 2
−x 2]. 记m(x)=2[(x +1
x )lnx +1
x −x]，x >1．
则m′(x)=2[(1−
1x 2)lnx +(x +1x )⋅1x −1x 2
−1]=2(1−1
x 2)lnx >0，
所以m(x)在(1,+∞)上单调递增，又m(e)=4
e
，
不等式ℎ(x 2)−ℎ(x 1)≤4
e
可化为m(x 2)≤m(e)，所以1<x 2≤e ．
因为a =x 2+1
x 2
，且y =x +1x 在(1,+∞)上递增，所以2<a ≤e +1
e
，
即a 的取值范围为(2,e +1
e ]. 方法二：ℎ(x)=f(x)−x =
alnx +1
x
−x ，x
>0，ℎ′(x)=a x
−1x
2−1=−x 2+ax−1
x
2
． 因为ℎ(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)，
所以ℎ′(x)=0，即x 2−ax +1=0的两实数根为x 1，x 2，0<x 1<x 2， 所以x 1+x 2=a ，x 1x 2=1，△=a 2−4>0，所以a >2，0<x 1<1<x 2．
设t 2=x
2x 1
(t >1)，则x 1+t 2x 1=a ，t 2x 12
=1，所以x 1=1t ，a =t +1t ，x 2=t ，
从而ℎ(x 2)−ℎ(x 1)≤4e 等价于 ℎ(t)=(t +1t )lnt +1t −t ≤2
e ，t >1．
记m(x)=(x +1x
)lnx +1x
−x ，x >1． 则m′(x)=(1−
1x 2)lnx +1x (x +1x )−1x 2−1=(1−1
x 2)lnx >0，
所以m(x)在(1,+∞)上单调递增． 又t >1，m(e)=2e
，所以1<t ≤e ．
因为a =t +1t
，且y =x +1x
在(1,+∞)上递增，所以2<a ≤e +1e
， 即a 的取值范围为(2,e +1
e
].
【解析】(1)代入a 的值，根据切线方程得到关于x 0的方程，求出切点坐标，解出m 即可； (2)问题转化为alnx +1
x −1>0，记g(x)=alnx +1
x −1，通过讨论a 的范围，求出函数
的单调区间，从而确定a 的范围即可；
(3)法一：求出ℎ(x 2)−ℎ(x 1)的解析式，记m(x)=2[(x +1
x )lnx +1
x −x]，x ≥1，根据函
数的单调性求出a 的范围即可；
法二：由ℎ(x)=f(x)−x =alnx +1
x
−x ，x >0，以及ℎ(x)有两个极值点x 1，x 2(x 1<
x 2)，得到x 1+x 2=a ，x 1x 2=1，设t 2
=x 2x 1
(t >1)，从而ℎ(x 2)−ℎ(x 1)≤4e 等价于 ℎ(t)=
(t +1t )lnt +1t −t ≤2e ，t >1，记m(x)=(x +1x )lnx +1
x −x ，x ≥1，根据函数的单调性求出a 的范围即可．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题．。