2014北京市门头沟区初三(一模)数 学

2014北京市门头沟区初三（一模）数学
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．（4分）﹣2的绝对值是（）
A．2 B．﹣2 C．D．
2．（4分）法国《费加罗报》4月7日报道，根据来自其他媒体的数据，自从搜索马航失联航班MH370之日起，到目前为止，搜寻费用已超过50000000美元，请将50000000用科学记数法表示（）
A．5×107B．5×108
C．0.5×108D．0.5×109
3．（4分）如图，小红随意在地板上踢毽子，则毽子恰落在黑色方砖上的概率为（）
A．B．C．D．
4．（4分）下列图案中既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
5．（4分）小亮和小强进行投飞镖比赛，比赛结束后对他们的成绩进行统计，小亮的平均得分是9.1环，方差是2.5；小强的平均得分是9.1环，方差是1.9，请问谁的综合技术更稳定些（）
A．小亮B．小强C．都稳定D．无法判断
6．（4分）如图，直线AB∥CD，∠BAE=28°，∠ECD=50°，则∠E=（）
A．68°B．78°C．92°D．102°
7．（4分）一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是（）
A．πB．2πC．3πD．4π
8．（4分）如图，是由矩形和半圆组成的一个封闭图形，其中AB=8，AD=DE=FC=2，点P由D点出发沿DE→半圆→FC
运动，到达C点停止运动．设AP的长为x，△ABP的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．（4分）函数y=中，自变量x的取值范围是．
10．（4分）因式分解：x2y﹣9y=．
11．（4分）如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，AB=2，∠A=30°，则⊙O的直径为．
12．（4分）如图，已知直线l：y=，过点A1（1，0）作x轴的垂线交直线l于点B1，在线段A1B1右侧作等边三角形A1B1C1，过点C1作x轴的垂线交x轴于A2，交直线l于点B2，在线段A2B2右侧作等边三角形A2B2C2，按此作法继续下去，则B2的坐标为；B n的坐标为．（n为正整数）
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．（5分）计算：2﹣1﹣tan60°+．
14．（5分）求不等式组的整数解．
15．（5分）已知a2﹣4a﹣3=0，求代数式2a（a﹣1）﹣（a+1）2的值．
16．（5分）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF．
求证：AB=DE．
17．（5分）一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（﹣2，n）两点，
（1）求m的值；
（2）求k和b的值；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
18．（5分）某建筑集团完成一路段的高架桥铺设任务，在合同期内高效完成了任务，这是记者与该集团工程师的一
段对话：
通过这段对话，请你求出该建筑集团原来每天铺设的米数．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．（5分）如图，菱形ABCD的对角线交于O点，DE∥AC，CE∥BD，
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若AD=5，BD=8，计算sin∠DCE的值．
20．（5分）如图所示，⊙O的直径AB=4，点P是AB延长线上的一点，
过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC．
（1）若∠CPA=30°，求PC的长；
（2）若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点M，
你认为∠CMP的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；
若不变化，求出∠CMP的大小．
21．（5分）某市对初三学生的体育成绩进行了一次监测，体育成绩评定分为四个等级：A，B，C，D；A代表优秀；
B代表良好；C代表合格；D代表不合格，为了准确监测出全区体育成绩的真实水平，特别从农村、县镇、城市三地抽取5000人作为检测样本，相关数据如下扇形统计图（图1）和条形统计图（图2）
（1）请你通过计算补全条形统计图；
（2）若该市今年有100000人参加中考体育考试，请你估算一下今年大约有多少学生中考体育考试成绩能在合格以上．
22．（5分）折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图1中①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形﹣“叠加矩形”．请按照上述操作过程完成下面的问题：
（1）若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为；
（2）已知△ABC在正方形网格的格点上，在图2中画出△ABC的边BC上的叠加矩形EFGH（用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹）；
（3）如图3所示的坐标系，OA=3，点P为第一象限内的整数点，使得△OAP的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的P点的坐标．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．（7分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m=0．
（1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m的取值范围；
（3）抛物线y=﹣x2+（5m+1）x﹣4m2﹣m与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），现坐标系内有一矩形OCDE，如图，点C（0，﹣5），D（6，﹣5），E（6，0），当m取第（2）问中符合题意的最小整数时，将此抛物线上下平移|h|个单位，使平移后的抛物线与矩形OCDE有两个交点，请结合图形写出h的取值或取值范围（直接写出答案即可）．
24．（7分）已知：在△ABC中，∠ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E．
（1）如图1，当α=60°时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；；
（2）如图2，当α=45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：．（用含α的式子表示，其中0°＜α＜90°）
25．（8分）概念：点P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“理想距离”．已知O（0，0），A（，1），B（m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述概念，完成下面的问题（直接写答案）
①当m=2，n=1时，如图1，线段BC与线段OA的理想距离是；
②当m=2，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的理想距离为；
③当m=2，若线段BC与线段OA的理想距离为，则n的取值范围是．
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为1的圆上，当n≥1时，线段BC与线段OA的理想距离记为d，则d的最小值为（说明理由）
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的中点为G，求点G随线段BC运动所走过的路径长是多少？
数学试题答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．【解答】﹣2的绝对值是2，即|﹣2|=2．故选：A．
2．【解答】50 000 000=5×107，故选：A．
3．【解答】因为黑色方砖的面积为5，所有方砖的面积为25，于是根据几何概率的定义：毽子恰落在黑色方砖上的概率为P（A）==．故选：D．
4．【解答】A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误．
故选B．
5．【解答】∵小亮的平均得分是9.1环，平均得分是9.1环，
∴小亮和小强的平均数相同，
∵小亮的方差是2.5，小强的方差是1.9，
∴小亮的方差大于小强的方差，
∴小强综合技术更稳定一些；
故选B．
6．【解答】延长CE交AB于N，
∵AB∥CD，∠ECD=50°，
∴∠ANE=∠ECD=50°，
∵∠BAE=28°，
∴∠AEC=∠ENA+∠BAE=50°+28°=78°，
故选B．
7．【解答】这个扇形的面积==3π．故选C．
8．【解答】点P与点E重合时，AP=x==2，
点P在半圆最高点时，AP=x==4，
点P与点F重合时，AP=x==，
点P到达点C时，AP==2，
①点P在线段DE上时，2≤x≤2，点P到AB的距离不变，为2，△ABP的面积为y=×8×2=8不变，
②点P在半圆上时，2＜x≤2，△ABP的面积为y逐渐变大，
点P到AB的距离为AP•sin∠BAP，
∵sin∠BAP先变大后变小，
∴y先增大然后减小，
当点P到达半圆顶点，即x=4时，y最大为×8×4=16；
③2＜x≤2时，点P到AB的距离不变，为2，△ABP的面积为y=×8×2=8不变，
纵观各选项，只有D选项图形符合．
故选D．
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9．【解答】由题意得，x+3≠0，解得x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．
10．【解答】x2y﹣9y=y（x2﹣9）=y（x+3）（x﹣3）．
11．【解答】：连结OB，如图，
∵半径OC⊥AB于点D，
∴AD=BD=AB=，
∵∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴OD=BD=1，
∴OB=2OD=2，
∴⊙O的直径为4．
故答案为4．
12．【解答】把x=1代入y=x得y=，
∴B1的坐标为（1，），
∵△A1B1C1为等边三角形，
∴A1C1=A1B1=，∠B1A1C1=60°，
∴A1A2=cos30°=，
∴A2的坐标为（，0），
把x=代入y=x得y=，
∴B2的坐标为（，），即；
同理得到B3的坐标为（，）；
∴B n的坐标为（，）．
故答案为：（，），（，）．
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．【解答】原式=﹣+1+3=+2．
14．【解答】
解：解不等式①，得，；
解不等式②，5x+1＞2x﹣2，；
5x﹣2x＞﹣2﹣1，3x＞﹣3，x＞﹣1；
∴这个不等式组的解集是．
∴这个不等式组的整数解为：0，1．
15．【解答】∵a2﹣4a﹣3=0，
∴a2﹣4a=3，
2a（a﹣1）﹣（a+1）2=2a2﹣2a﹣（a2+2a+1）=2a2﹣2a﹣a2﹣2a﹣1=a2﹣4a﹣1=3﹣1=2．
16．【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠C=∠F．
在△ACB和△DFE中，
∴△ACB≌△DFE（SAS）．
∴AB=DE．
17．【解答】（1）∵反比例函数的图象过点A（1，4），B（﹣2，n）
∴把A点和B点的坐标代入函数解析式得：m=4，
（2）∵点B（﹣2，n）在反比例函数的图象上
∴n=﹣2．
∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
∵直线y=kx+b过点A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∴，解得．
（3）如图所示：
不等式的解集可以看作函数y=的图象在y=kx+b的图象的上方的x的取值范围．由图象可得：不等式的解集为：x＜﹣2或0＜x＜1．
18．【解答】设原来每天铺设x米，根据题意，得解得：x=300．
经检验：x=300是分式方程的解并且符合实际意义．
答：该建筑集团原来每天铺设300米．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19．【解答】（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∴四边形OCED是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=8，
∴=4，OC=OA，AD=CD，
∵AD=5，
∴OC==3，
∵四边形OCED是矩形，
∴DE=OC=3，
在Rt△DEC中，sin∠DCE=．
20．【解答】（1）连接OC，
∵AB=4，∴OC=2
∵PC为⊙O的切线，∠CPO=30°
∴PC=；
（2）∠CMP的大小没有变化．
理由如下：∵∠CMP=∠A+∠MPA（三角形外角定理），∠A=∠COP（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠MPA=∠CPO（角平分线的性质），
∴∠CMP=∠A+∠MPA=∠COP+∠CPO=（∠COP+∠CPO）=×90°=45°．
21．【解答】（1）根据题意得：5000×45%﹣（400+1260+90）=500（人），补全条形统计图，如图所示：
（2）样本中全市中考体育成绩的合格率为：×100%=97.4%，
则今年该市中考体育成绩合格人数大约为：100000×97.4%=97400（人）．
22．【解答】（1）叠加矩形的面积为6÷2=3．故答案为：3；
（2）如图所示：
（3）满足P点的横坐标不大于3，纵坐标等于3，有P1（1，3）；P2（2，3）；P3（3，3）．
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．【解答】（1）证明：△=[﹣（5m+1）]2﹣4×1×（4m2+m）=9m2+6m+1=（3m+1）2
∵（3m+1）2≥0，
∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根．
（2）解关于x的一元二次方程x2﹣（5m+1）x+4m2+m=0，得x1=m，x2=4m+1．
由题意得解得．
（3）h=5或﹣9＜h＜﹣4．
∵m取第（2）问中符合题意的最小整数是1，
∴抛物线的解析式是y=﹣x2+6x﹣5，
∴解析式y=﹣x2+6x﹣5的顶点为（3，4）
∵OC=ED=5，
∴抛物线向上移动5个单位长度正好经过O、E两点；
有2个交点，继续向上平移没有交点；
∴向下平移4个单位长度如图所示，有3个交点；
∴当向下平移大于4个单位长度，如图所示，有2个交点；
∴当继续移动的如图所示，有一个交点；24．【解答】（1）BD=AE；
（2）BD=AE；理由如下：
过点D作DF∥AC，交BC于F．
∵DF∥AC，
∴∠ABC=∠DFB．
∵∠ABC=∠ACB=α，α=45°，
∴∠ABC=∠ACB=∠DFB=45°．
∴△DFB是等腰直角三角形
∴BD=DF=BF．
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠BAE=180°．
∵∠DFB+∠DFC=180°
∴∠BAE=∠DFC．
∵∠ABC+∠BCD=∠ADC，∠ABC=∠CDE=α，∴∠ADE=∠BCD．
∴△ADE∽△FCD．
∴．
∵DF∥AC，
∴．
∴．
∴BD=AE．
（3）补全图形如图，连接EC，由AE∥BC，∠EAC=∠ACB=α，
∴A、D、C、E四点共圆，
∴∠ADE=∠BCD=∠ACE，∠ABC=∠ACB=α，
∴△BDC∽△ACE，
∴，
又∵α，
∴BD=2cosα•AE．
25．【解答】（1）①．
分析如下：
如图1，理想距离为线段AB，由AB∥x轴，故AB=﹣=．
②2．分析如下：
如图2作辅助线，AB记为理想距离．此时，AD=，BD=1，所以由勾股定理，AB=2．③﹣1≤n≤1．分析如下：
如图3，若理想距离为，则以点A为圆心，为半径画圆，⊙A内部不能包含线段BC的点，由B点横坐标为，所以BC线段只能为从B为（2，1）的线段向下平移至C为（2，1）线段过程中所有的线段，如此n的范围﹣1≤n≤1．
（2）．理由如下：
如图4，过点A作x轴的平行线，交⊙A于B，过点B作BD⊥OA于D．
由n≥1，且B点在圆上，则运动过程中，此时BC到OA的理想距离最小，即为BD．
过点A作AE⊥x轴于E，
在Rt△AOE中，
∵A（，1），
∴OE=，AE=1，
∴OA=2=2AE，
∴∠AOE=30°．
∵AB∥OE，
∴∠BAD=∠AOE=30°，
在Rt△ABD中，
∵AB=1，
∴BD=AB=．
（3）如图所示：
依题意，如图5，过A作OA的垂线交⊙A于B1、E，过点A作x轴的平行线交⊙A的右半弧与B2，以O为圆心，作同⊙A同半径的圆，交x轴于B7，过O作OA的垂线交⊙O于B8、F，以B2、E、F、B7分别向下2个单位长度，记为B3、B4、B5、B6．
则若动线段BC与线段OA的距离始终为1，线段BC的点B的运动轨迹应为：
从B1沿劣弧运动至B2；再垂直x轴向下沿B2B3运动2个单位到B3；
再由B3运动到B4，此时因为C点恰从B2沿劣弧运动到E，所以B3运动到B4的轨迹路程=；
再由B4运动到B5，此时因为C点恰从E沿线段EF运动到F，所以B4运动到B5的轨迹路程=EF；
再由B5运动到B6，此时因为C点恰从F沿劣弧运动到B7，所以B5运动到B6的轨迹路程=；
再垂直x轴向上沿B6B7，运动2个单位到B7；从B7沿劣弧运动至B8；最后沿线段B8B1回到B1．
∵C在B上方2个单位长度，G为线段BC的中点，
∴G在B上方1个单位长度，
∴B点的运动轨迹向上平移1个单位长度得G点的运动轨迹，
∴G随线段BC运动所走过的路径长=B点运动所走过的路径长=+B2B3++EF++B6B7++B8B1．
∵⊙A的半径=⊙O的半径=，
∴C⊙A=C⊙O=2•π•1=2π，
∴+=•C⊙A=π，+==π．
∵B8B1=EF=OA=2，B2B3=2，B6B7=2，
∴
+B2B3++EF++B6B7++B8B1=B2B3+EF+B3+B1B2^++B6B7+B8B1++=2+2+π+2+2+π=8+2π，∴G随线段BC运动所走过的路径长为8+2π．。