成都师大附中外国语学校学校八年级数学下册第二单元《勾股定理》测试题(有答案解析)

一、选择题
1．如图，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，连结AD ，把ABD △沿AD 翻折，得到AB D '，连接CB '，若2BD CB '==，3AD =，则AB C '的面积为（ ）
A ．332
B ．23
C ．3
D ．2
2．已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m 和3（m <3），过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ）
A ．m 2+6m +9＝0
B ．m 2﹣6m +9＝0
C ．m 2+6m ﹣9＝0
D ．m 2﹣6m ﹣9＝0 3．下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A ．a ＝7，b ＝25，c ＝24
B ．a ＝11，b ＝41，c ＝40
C ．a ＝12，b ＝13，c ＝5
D ．a ＝8，b ＝17，c ＝15
4．如图所示，有一块直角三角形纸片，90C ∠=︒，12AC cm =，9BC cm =，将斜边AB 翻折使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CD 的长为（ ）
A ．4cm
B ．5cm
C 17cm
D ．94
cm 5．如图，在Rt ABC △中，6AB =，8BC =，AD 为BAC ∠的平分线，将ADC 沿直线AD 翻折得ADE ，则DE 的长为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
6．如图，90ABC ︒∠=，//AD BC ，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，与射线AD 相交于点E ，连接BE ，过点C 作CF BE ⊥，垂足为F ．若6AB =，10BC =，则EF 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm 、3cm 、12cm ，现有一长为16cm 的吸管插入到盒的底部，则吸管漏在盒外面的部分()h cm 的取值范围为（ ）
A ．34h <<
B ．34h ≤≤
C ．24h ≤≤
D ．4h = 8．如图，将一根长为20cm 的筷子置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（ ）
A ．13cm
B ．8cm
C ．7cm
D ．15cm 9．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古代《周髀算经》中早有记载．如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内．若图中阴影部分图形的面积为3，则较小两个正方形重叠部分图形的面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．5
D ．6
10．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在边BC 上，AD =BD ，DE 平分∠ADB 交AB 于点E ．若AC =12，BC =16，则AE 的长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
11．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用x 、y 表示直角三角形的两直角边（x y >），下
列四个说法：①2225x y +=，②1x y -=，③2125xy +=，④7x y +=．其中说法
正确的是（ ）
A ．①②
B ．①②③
C ．①②④
D ．①②③④ 12．1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两个全等的直角三角形的边A
E ，EB 在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（ ）
A ．EDA CE
B S S =△△
B ．EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形
C ．EDA CEB CDE S S S +=△△△
D ．AECD DEBC S S =四边形四边形
二、填空题
13．如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，分别以AC 、BC 为斜边作等腰直角三角形 S 1、S 2，以AB 为边作正方形S ．若S 1与S 2的面积和为9，则正方形S 的边长等于_______．
14．如图，90MON ∠=︒，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，点C 是线段AB 的一点，且2BC AC OC ===，A OC '与AOC 关于直线OC 对称，A O '与AB 相交于点D ，当A DC ∆'是直角三角时2OB 等于__________．
15．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝10，AD ＝5，AC ＝4，则△ABD 的面积为 ____________．
16．如图，在长方形ABCD 中，4AB =，8BC =，点E 是BC 边上一点，且AE EC =，点P 是AD 边上一动点，连接PE 、PC ．给出下列结论：
①3BE =；
②当5AP =时，//AE CP ；
③当256AP =时，AE 平分BEP ∠； ④若PBE EPC ∠=∠，则BPC PEC ∠=∠．其中正确的是______．
17．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB 生长在它的中央，高出水面部分BC 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B 恰好碰到岸边的B '（示意图如图，则水深为__尺．
18．如图，在四边形ABCD 中，22AD =，27AB =，10BC =，8CD =，90BAD ∠=︒，那么四边形ABCD 的面积是___________．
19．直角三角形两边长分别为3和4，则它的周长为__________．
20．《九章算术》是我国传统数学中重要的著作之一，奠定了我国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术．其中，方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》“勾股”一章记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意：有一扇形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，那么门的高为_____尺．（1丈＝10尺，1尺＝10寸）
三、解答题
21．在四边形ABCD 中，90A B ∠=∠=︒，E 为AB 边上的点．
（1）连接CE ，DE ，CE DE ⊥；
①如图1，若AE BC =，求证：AD BE =；
②如图2，若AE BE =，求证：CE 平分BCD ∠；
（2）如图3，F 是BCD ∠的平分线CE 上的点，连接BF ，DF ，若4BC =，6CD =，36BF DF ==，求CF 的长． 22．如图，//,90AD BC A ∠=︒，E 是AB 上的点，且,12AD BE =∠=∠．
（1）求证：ADE BEC ≌△△．
（2）若30,3AED AE ∠=︒=，求线段CD 的长度．
23．利用所学的知识计算：
（1）已知a b >，且2213a b +=，6ab =，求-a b 的值；
（2）已知a 、b 、c 为Rt △ABC 的三边长，若222568a b a b ++=+，求Rt △ABC 的周长．
24．如图，每个小正方形的边长均为1可以得到每个小正方形的面积为1．
（1）请在图中的55⨯13
（2）请在数轴上表示出113-+
25．如图，已知等腰△ABC 的腰AB =13cm ，D 是腰AB 上一点，且CD =12cm ，AD =5cm ． （1）求证：△BDC 是直角三角形；
（2）求△BDC 的面积．
26．如图：AB =AC ，AD ⊥BC 于D ，AE =DE ．
求证：（1）DE ∥AB ；
（2）若∠B =60°，DE =2，求AD 的长．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
证明AD ∥CB′，推出S △ACB′=S △CDB′即可解决问题．
【详解】
∵D 是BC 的中点，
∴BD DC =，
由翻折的性质可知ADB ADB '∠=∠，DB DB '=，
∴2BD CB '==，
∴2CD DB CB ''===，
∴
CDB '是等边三角形， ∴
60CDB DCB ''∠=∠=︒，120BDB '∠=︒， ∴
120ADB ADB '∠=∠=︒， ∴
60ADC CDB '∠=∠=︒， ∴
ADC DCB '∠=∠， ∴//AD CB '，
∴23234
ACB CDB S S ''==
⨯=△△． 故选：C ．
【点睛】 本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
2．C
解析：C
【分析】
如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得m 2+m 2＝（3﹣m ）2，整理即可解答．
【详解】
解：如图，
m 2+m 2＝（3﹣m ）2，
2m 2＝32﹣6m +m 2，
m 2+6m ﹣9＝0．
故选：C ．
【点睛】
考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质，根据勾股定理得到等量关系．
3．B
解析：B
【分析】
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
【详解】
解：A 、72+242＝52，能构成直角三角形，不符合题意；
B 、112+402≠412，不能构成直角三角形，符合题意；
C 、52+122＝132，能构成直角三角形，不符合题意；
D 、82+152＝172，能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，准确分析计算是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据勾股定理可将斜边AB 的长求出，根据折叠的性质知，AE=AB ，已知AC 的长，可将CE 的长求出，再根据勾股定理列方程求解，即可得到CD 的长．
【详解】
解：在Rt △ABC 中，12AC cm =，9BC cm =，
，
根据折叠的性质可知：AE=AB=15cm ，
∵AC=12cm ，
∴CE=AE-AC=3cm ，
设CD=xcm ，则BD=9-x=DE ，
在Rt △CDE 中，根据勾股定理得
CD 2+CE 2=DE 2，即x 2+32=（9-x ）2，
解得x=4，
即CD 长为4cm ．
故选：A ．
【点睛】
本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠前后的对应相等关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
5．B
解析：B
【分析】
由勾股定理求出AC ＝10，求出BE ＝4，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，得出（8−x ）2＋42＝x 2，解方程求出x 即可得解．
【详解】
∵AB ＝6，BC ＝8，∠ABC ＝90°，
∴
10=，
∵将△ADC 沿直线AD 翻折得△ADE ，
∴AC ＝AE ＝10，DC ＝DE ，
∴BE ＝AE−AB ＝10−6＝4，
在Rt △BDE 中，设DE ＝x ，则BD ＝8−x ，
∵BD 2＋BE 2＝DE 2，
∴（8−x ）2＋42＝x 2，
解得：x ＝5，
∴DE ＝5．
故选B ．
【点睛】
本题考主要查了勾股定理，直角三角形的性质，折叠的性质等知识，熟练掌握勾股定理是
解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
根据题意结合勾股定理可求出AE 长，再根据//AD BC ，可证明AEB CBF ∠=∠，即可证明()ABE FCB AAS ≅，得出结论BF=AE ，即可求出EF ．
【详解】
根据题意可知BC=BE=10，90BAE BFC ∠=∠=︒．
在Rt ABE △中，22221068AE
BE AB ． ∵//AD BC ，
∴AEB CBF ∠=∠，
∴()ABE FCB AAS ≅，
∴BF=AE=8，
∴EF=BE-BF=10-8=2．
故选：B ． 【点睛】
本题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质以及勾股定理．利用“角角边”证明ABE FCB ≅是解答本题的关键．
7．B
解析：B
【分析】
根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的最长长度；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在杯口外的最短长度．
【详解】
①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16−12＝4（cm ）； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长，高为12cm ，
由勾股定理可得：杯里面管长＝13cm ，则露在杯口外的长度最短为16−13＝3（cm ），
∴34h ≤≤
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出露在杯外面吸管最长和最短时，吸管在杯中所处的位置．
8．C
解析：C
【分析】
根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案．
【详解】
解：由题意可得：
杯子内的筷子长度为：22
+=13cm，
512
则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm）．
故选：C．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
由图①结合勾股定理可得三个正方形面积之间的关系，在图②中，可知两个小正方形的面积与阴影部分面积之和减去大正方形的面积即可得到重叠部分的面积．
【详解】
设以直角三角形三边为边长的正方形面积分别为S1，S2，S3，大小正方形重叠部分的面积为S，
则由勾股定理可得：S1+S2=S3，
在图②中，S1+S2+3-S=S3，
∴S=3，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查勾股定理与图形面积，灵活运用勾股定理处理图形面积之间的转化是解题关键．
10．C
解析：C
【分析】
首先根据勾股定理求得斜边AB的长度，然后结合等腰三角形的性质来求AE的长度．【详解】
解：如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=16，
由勾股定理知：2222
=+=+=，
AB AC BC
121620
∵AD=BD，DE平分∠ADB交AB于点E．
∴1102AE BE AB ==
=， 故选：C ．
【点睛】 本题主要考查了勾股定理和等腰三角形三线合一．在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
11．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可．
【详解】
①∵ABC 为直角三角形，
∴22225x y AB +==，
故①正确；
②由图可知：11x y CE -===，
故②正确；
③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积，
由此可得：141252
xy ⨯
+=，即：2125xy +=， 故③正确；
④由①③相加可得：222150xy x y +++=，
即()249x y +=，
故7x y +=，
故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是解答本题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
直接根据梯形ABCD 的面积的两种算法进行解答即可．
【详解】
解：由图形可得：EDA CDE CEB ABCD S S S S ++=△△△四边形
故答案为B ．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的证明方法，将图形的面积用两种方式表示出来成为解答本题的关键．
二、填空题
13．6【分析】过D 作DE ⊥AC 于E 根据等腰直角三角形的性质推出
DE=AE=CE=AC 求得同理：求出=36根据勾股定理得求出S==36即可得到答案
【详解】如图：过D 作DE ⊥AC 于E ∵△ACD 是等腰直角三角
解析：6
【分析】
过D 作DE ⊥AC 于E ，根据等腰直角三角形的性质推出DE=AE=CE=12
AC ，求得21111224S AC AC AC =⋅=，同理：2214
S BC =，求出22AC BC +=36，根据勾股定理得222AC BC AB +=，求出S=2AB =36，即可得到答案．
【详解】
如图：过D 作DE ⊥AC 于E ，
∵△ACD 是等腰直角三角形，
∴AD=CD ，90D ∠=︒，45CAD ACD ∠=∠=︒，
∴AE=CE ，45ADE CDE ∠=∠=︒，
∴CAD ACD ADE CDE ∠=∠=∠=∠，
∴DE=AE=CE=
12AC ， ∴21111224
S AC AC AC =⋅=， 同理：2214
S BC =， ∴221211944S S AC BC +=
+=， ∴22AC BC +=36，
在△ABC 中，∠ACB ＝90°，222AC BC AB +=，
∴S=2AB =36，
∴正方形S 的边长等于6，
故答案为：6．
．
【点睛】
此题考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握与运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
14．4或【分析】分两种情况讨论：①当时和②当时分别利用轴对称性质和勾股定理求解即可【详解】解：分两种情况讨论：①当时如图1此时由折叠可知；②当时如图2过点作于点由折叠可知在中在中在中；综上或故答案为：4 解析：4或82-【分析】
分两种情况讨论：①当90A DC '∠=︒时和②当90A CD '∠=︒时，分别利用轴对称性质和勾股定理求解即可．
【详解】
解：2BC AC OC ===，
4AB BC AC ∴=+=．
分两种情况讨论：
①当90A DC '∠=︒时，如图1，
此时90ADO ∠=︒，
由折叠可知，
CA CA '=，
OC CA =，
OC CA '∴=，
COA CA O ''∴∠=∠，
COA CAO ∠=∠，
COA COA CAO '∴∠=∠=∠，
90COA COA CAO '∠+∠+∠=︒，
30COA COA CAO '∴∠=∠=∠=︒， ∴114222
OB AB ==⨯=， 24OB ∴=；
②当90A CD '∠=︒时，如图2，过点O 作OH AB ⊥于点H ．
90A CA ∴='∠︒， 由折叠可知，11(360)(36090)13522A CO ACO A CA ''∠=∠=︒-=︒-︒=︒， 1359045HCO A CO A CD ''∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
45HOC ∴∠=︒，
在Rt OHC ∆中，2OC =，
22OH CH OC ∴===， 22AH CH CA ∴=+=+，
在Rt OHA ∆中，
22222(2)(22)842OA OH AH =+=++=+，
在Rt AOB ∆中，
22224(842)842OB AB OA -==-+=-；
综上，24OB =或842-．
故答案为：4或842-．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，正确利用勾股定理，能分类讨论是解题的关键．
15．15【分析】过D 作DE ⊥AB 垂足为E 根据角平分线定理可得DE=CD=3然后根据三角形的面积公式计算即可【详解】解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ∵∠C=90°∴在Rt △ACD 中∵∠C=90°DE ⊥A
解析：15
【分析】
过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，根据角平分线定理可得DE=CD=3,然后根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】
解：如图：过D 作DE ⊥AB 垂足为E ，
∵∠C=90°，
∴在Rt △ACD 中，2222543CD AD AC =-=-=,
∵∠C=90°，DE ⊥AB ，AD 平分∠BAC ，
∴DE=CD=3，
∴△ABD 的面积为111031522
AB DE ⨯⨯=⨯⨯=．
故答案为：15．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键． 16．①②③④【分析】设BE=x 则=8－x 利用勾股定理列出方程即可判断①；利用SAS 证出△AEP ≌△CPE 即可证出∠AEP=∠CPE 从而判断②；过点E 作EH ⊥AD 于H 利用勾股定理求出PE 从而得出PA=PE
解析：①②③④
【分析】
设BE=x ，则AE EC ==8－x ，利用勾股定理列出方程即可判断①；利用SAS 证出△AEP ≌△CPE ，即可证出∠AEP=∠CPE ，从而判断②；过点E 作EH ⊥AD 于H ，利用勾股定理求出PE ，从而得出PA=PE ，利用等边对等角可得∠PAE=∠PEA ，再根据平行线的性质可得∠AEB=∠PAE ，从而判断③；根据三角形的内角和定理即可判断④．
【详解】
解：设BE=x ，则AE EC ==8－x ，
在Rt △ABE 中，AB 2＋BE 2=AE 2
∴42＋x 2=（8－x ）2
解得：x=3
即BE=3，故①正确；
∴BE=EC=5
若5AP =
∴AP=CE ，
∵四边形ABCD 为长方形
∴AD ∥BC
∴∠APE=∠CEP
∵PE=EP
∴△AEP≌△CPE
∴∠AEP=∠CPE
∴//
AE CP，故②正确；
当
25
6
AP=时，过点E作EH⊥AD于H，
∴AH=BE=3，HE=AB=4∴PH=AP－AH=7
6
∴22
PH HE
+25 6
∴PA=PE
∴∠PAE=∠PEA
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠PAE，
∴∠AEB=∠PEA
∴EA平分BEP
∠，故③正确；
∵∠BPC=180°－∠PCB－∠PBE
∠PEC=180°－∠PCB－∠EPC
∵PBE EPC
∠=∠
∴BPC PEC
∠=∠，故④正确；
综上：正确的有①②③④
故答案为：①②③④．
【点睛】
此题考查的是勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质和三角形内角和定理的应用，掌握勾股定理、全等三角形的判定及性质、平行线的判定及性质和三角形内角和定理是解题关键．
17．12【分析】依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC=（x﹣1）尺因为BE=10尺所以BC=5尺利用勾股定理求出x的值即可得到答案【详解】解：依题意画出图形设芦苇长AB=AB=x尺则水深AC
解析：12
【分析】
依题意画出图形，设芦苇长AB=AB'=x尺，则水深AC=（x﹣1）尺，因为B'E=10尺，所以
B'C=5尺，利用勾股定理求出x的值即可得到答案．
【详解】
解：依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x ﹣1）尺，
因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，
在Rt △AB 'C 中，52+（x ﹣1）2=x 2
，
解之得x =13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12． ．
【点睛】
此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．
18．+24【分析】连结BD 可求出BD=6再根据勾股定理逆定理得出△BDC 是直角三角形两个三角形面积相加即可【详解】解：连结
BD ∵∴∵∴BD=6∵BD2=36CD2=64BC2=100BD2+CD2=BC 解析：214+24
【分析】
连结BD ，可求出BD=6，再根据勾股定理逆定理，得出△BDC 是直角三角形，两个三角形面积相加即可．
【详解】
解：连结BD ，
∵90BAD ∠=︒， ∴22BD AD AB =
+ ∵22AD =，27AB = ∴BD=6，
∵BD 2=36，CD 2=64，BC 2=100，
BD 2+CD 2=BC 2，
∴∠BDC=90°，
S △ABD =
122272142⨯=， S △BDC =168242
⨯⨯=， 四边形ABCD 的面积是= S △ABD + S △BDC =14+24
故答案为：214+24．
【点睛】
本题考查勾股定理以及逆定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19．12或7+【分析】分两种情况求出第三边即可求出周长【详解】分两种情况：①当3和4都是直角边时第三边长==5故三角形的周长=3+4+5=12；②当3是直角边4是斜边时第三边长故三角形的周长=3+4+=
解析：12或7
【分析】
分两种情况求出第三边，即可求出周长．
【详解】
分两种情况：
①当3和4都是直角边时，第三边长22
34
+，故三角形的周长=3+4+5=12；
②当3是直角边，4是斜边时，第三边长22
=-=，故三角形的周长
437
77，
故答案为：12或7．
【点睛】
此题考查勾股定理的应用，题中不明确所给边长为直角三角形的直角边或是斜边时，应分情况讨论求解．
20．6【分析】设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据勾股定理即可列方程求解【详解】解：设长方形门的宽x尺则高是（x+68）尺根据题意得x2+
（x+68）2＝102解得：x＝28或﹣96（舍去）则宽是
解析：6．
【分析】
设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，根据勾股定理即可列方程求解．
【详解】
解：设长方形门的宽x尺，则高是（x+6.8）尺，
根据题意得x2+（x+6.8）2＝102，
解得：x＝2.8或﹣9.6（舍去）．
则宽是6.8+2.8＝9.6（尺）．
答：门的高是9.6尺；
故答案为：9.6．
【点睛】
本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键．
三、解答题
21．（1）①见解析；②见解析；（2）562FC =
． 【分析】
（1）①根据条件得出EDA CEB △≌△，即可求证；
②延长DE 交CB 的延长线于点G ，得出EDA EGB △≌△再证明GCE DCE △≌△即可；
（2）解法1：过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，得到FCM FCN △≌△，由222BN BF FN =-，222DM DF FM =-，得到DM BN =，设DM BN x ==，求得5CN =，在Rt FBN △和Rt FCN △中，由勾股定理即可求得CF 的长．
解法2：在CD 上截取CF BC '=，得出36FF FD '==，过F 作FG CD ⊥，根据22222FC CG FG F F F G ''-==-，即可求得CF 的长．
【详解】
（1）①证明：90A B DEC ∠=∠=∠=︒，
90ADE AED ∴∠+∠=︒，1809090DEA BEC ∠+∠=︒-︒=︒，
ADE BEC ∴∠=∠，
在DEA △和ECB 中
ADE BEC ∠=∠，A B ∠=∠，AE BC =， EDA CEB ∴△≌△，
AD BE ∴=．
②证明：延长DE 交CB 的延长线于点G ，
AED BEG ∴∠=∠，
E 90A BG ∠=∠=︒，AE BE =，
EDA EGB ∴△≌△，
EG ED ∴=，
90DEC =︒∠，
18090GEC DEC ∴∠=︒-∠=︒，
GEC DEC ∴∠=∠，
CE CE =，
GCE DCE ∴△≌△，
GCE DCE ∴∠=∠，
CE ∴平分BCD ∠．
（2）解法1：如图，过点F 分别作FM CD ⊥，FN CB ⊥，分别交CD 及CB 的延长线于点M ，N ．
CE 平分BCD ∠，
BCF FCD ∴∠=∠，
又FM CD ⊥，FN CB ⊥，
90CNF FMC ∴∠=∠=︒，
在FCM △和FCN △中
BCF FCD ∠=∠，CNF FMC ∠=∠，CF CF =，
FCM FCN ∴△≌△，
FM FN ∴=，CM CN =，
在Rt FDM △和Rt FBN △中
MF FN =，FB DF =，222BN BF FN =-，222DM DF FM =-
DM BN ∴=，
设DM BN x ==，
6CD =，4CB =，
4CN x ∴=+，6CM x =-，
CN CM =，
46x x ∴+=-，
1x ∴=，
415CN CB BN ∴=+=+=，
在Rt FBN △和Rt FCN △中
222FN FB BN =-，222FC FN CN =+，362BF =，
2
22223625122
FN FB BN ⎫⎛∴=-=-=⎪ ⎪⎝⎭ 22225
5
(41)622FC FN CN =+=++=．
解法2：如图，在CD 上截取CF BC '=，
4BC =，6CD =，
642DF CD CF ''∴=-=-=，
在FCB 和FCF '△中
BCF FCD ∠=∠，CF CF =，CB CF '=，
FCB FCF '∴△≌△，
FF FB '∴=，
FB FD =，
36
FF FD '∴==
过F 作FG CD ⊥，垂足为G ，
1
12GF GD DF ''∴===，
145CG GF CF ''∴=+=+=，
在Rt FCG △和Rt FF G '△中
22222FC CG FG F F F G ''-==-
2
22251FC ∴-=-⎝⎭
FC ∴=
． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线以及利用方程解决问题．
22．（1）证明见详解；（2）
【分析】
（1）根据已知可得到∠A =∠B =90°，DE =CE ，AD =BE 从而利用HL 判定两三角形全等； （2）由三角形全等可得到对应角相等，对应边相等，由已知可推出∠DEC =90°，由30,3AED AE ∠=︒=，可求得AD 、DE 的长，再利用勾股定理求得CD 的长即可．
【详解】
（1）∵AD ∥BC ，∠A =90°，
∴∠A =∠B =90°，
∵∠1=∠2，
∴DE =CE ．
∵AD =BE ，
在Rt △ADE 与Rt △BEC 中
AD BE DE CE
=⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADE ≌Rt △BEC （HL ）
（2）由△ADE ≌△BEC 得∠AED =∠BCE ，AD =BE ．DE=CE ,
∴∠AED +∠BEC =∠BCE +∠BEC =90°．
∴∠DEC =90°．
在Rt △ADE 中
又∵30,3AED AE ∠=︒=
设AD =x ，则DE =2x,
由勾股定理222AD AE DE +=，即2294x x +=
解得x =∴
在Rt △CDE 中
由勾股定理，DC 2=DE 2+CE 2
∴
CD
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定与性质的运用，熟练掌握等三角形的判定与性质的运用是
解题关键．
23．（1）1；（2）12或77+ 【分析】 (1)根据完全平方公式变形解答； (2)先移项，将25变形为9+16，利用完全平方公式变形为22(3)(4)0a b -+-=，求得a=3，b=4，分情况，利用勾股定理求出c ，即可得到周长．
【详解】
（1）∵2213a b +=，6ab =，
∴222()213261a b a b ab =+-=-⨯=-，
∴a-b=1或a-b=-1（舍去）；
（2）222568a b a b ++=+
2225680a b a b ++--=
22698160a a b b -++-+=
22(3)(4)0a b -+-=
∴a-3=0，b-4=0，
∴a=3，b=4，
当a 与b 都是直角边时，c=2222435b a +=+=，∴Rt △ABC 的周长=3+4+5=12； 当a 为直角边，b 为斜边时，c=2222437b a -=-=，∴Rt △ABC 的周长=77+．
【点睛】
此题考查完全平方公式的变形计算，勾股定理，正确掌握并熟练应用完全平方公式是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可知，作13的长的线段时，可以作一个直角边分别为2和3的直角三角形，它的斜边长即所求；
（2）先作出边长是13的线段，再以原点为圆心，13为半径画弧，与数轴的正半轴相交于点A ，再以A 为圆心，1为半径画弧，与OA 相交于点B ，则OB 为所求．
【详解】
解：（1）如图所示，ABCD 为所求作正方形．
（2）如图所示，OB=113-+为所求．
．
【点睛】
本题考查了勾股定理，利用勾股定理作图时找出相应线段是解题的关键．
25．（1）证明见解析；（2）48cm 2．
【分析】
（1）由AB=AC=13cm ，CD=12cm ，AD=5cm ，知道AC 2=AD 2+CD 2，所以△BDC 为直角三角形，
（2）根据三角形面积公式解答．
【详解】
证明：（1）∵AB =AC =13cm ，CD =12cm ，AD =5cm ，
∴AC 2=AD 2+CD 2，
∴∠ADC =90°，
∴∠BDC =90°，
∴△BDC 为直角三角形；
（2）∵AB =13cm ，AD =5cm ，
∴BD =13﹣5=8cm ．
∵CD =12cm ，
∴281248()2
BDC S cm ∆⨯=
=． 【点睛】
本题考查勾股定理逆定理的应用．理解如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形是解题关键．
26．（1）证明见解析；（2）3【分析】
（1）根据三线合一得BAD =∠CAD ，由AE =DE ，得∠CAD =∠EDA ，从而∠BAD =∠EDA ，所以DE ∥AB ；
（2）由AB =AC ，∠B =60°，DE ∥AB ，得∠C =60°，∠EDC =∠B =60°，从而△DEC 为等边三角形， DE =DC =EC =AE =2，最后在Rt △ADC 中，由勾股定理求AD ．
【详解】
解：（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，
∴∠BAD =∠CAD ，
∵AE=DE，
∴∠CAD=∠EDA，
∴∠BAD=∠EDA，
∴DE∥AB
（2）∵AB=AC，∠B=60°，
∴∠C=60°
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△DEC为等边三角形，
∴DE=DC=EC=AE=2
在Rt△ADC中，AD
【点睛】
本题考查了等腰三角形三线合一、等边对等角、平行线的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等内容，灵活运用是解题的关键．。