高三数学上学期期中试题含解析 试题 11

西城区外国语2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕
本套试卷一共4页，分第I 卷和第II 卷，其中第I 卷40分，第II 卷110分，全卷一共150分，考试时长120分钟，所有考生必须将答案写在答题纸上，在试卷上答题无效.在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题纸一起交回.
第一卷〔一共40分〕
一、选择题：本大题一一共10个小题，每一小题4分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
，B ＝{|(1)(3)0}x x x --<，那么A∩B=〔 〕
A. {|1}x x >
B. {|23}x x <<
C. {|13}x x <<
D. {|2x x >或者1}x <
【答案】B 【解析】
试题分析：{|(1)(3)0}{|13}B x x x x x x =--<=<< 又{}
2A x x =
所以{|23}A B x x ⋂=<< 故答案选B
考点：集合间的运算．
2.设向量()()2,1,0,2a b ==-，那么2a b +的模长为〔 〕 A. ()2,3- B. (32)-，
135【答案】C 【解析】 【分析】
利用向量加法的坐标公式，得到2a b +的坐标，再利用向量模长的坐标公式即得解.
【详解】因为向量222(2,1)2(0,2)(2,3)|2|=2+(3)a b a b +=+⨯-=-∴+-=应选：C
【点睛】此题考察了向量加法、模长的坐标公式，考察了学生的数学运算才能，属于根底题. 3.以下函数中，在区间()0,∞+上单调递增的是〔 〕 A. 1y x =-+ B. 1y x =-
C. sin y x =
D. 1
2
y x =
【答案】D 【解析】
1y x =-+在()0,∞+上是单调减函数，1y x =-在(),1-∞是单调减函数，在()1,+∞上是
单调增函数，sin y x =在()0,∞+不是单调函数，1
2y x =是幂函数，它在()0,∞+上是单调增函数，应选D ．
4.数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
3n n S +=，那么34a a +=〔 〕
A. 81
B. 243
C. 324
D. 216
【答案】D 【解析】 【分析】
利用项和关系，1n n n a S S -=-代入即得解.
【详解】利用项和关系，1332443=54=162n n n a S S a S S a S S -=-∴=-=-，
34216a a ∴+=
应选：D
【点睛】此题考察了数列的项和关系，考察了学生转化与划归，数学运算才能，属于根底题.
5.将函数y sinx =的图象作如下哪种变换，可以得到函数23y sin x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象〔 〕
A. 向左平移3π个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变
B. 向左平移
3π
个单位长度，再将横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变 C. 向右平移
3π
个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变 D. 向左平移
3
π
个单位长度，再将横坐标缩短为原来的
1
2
倍，纵坐标不变 【答案】D 【解析】 【分析】
利用sin()y A wx ϕ=+图像的变换规律，即可得解. 【详解】由题意：sin y x =向左平移
3π
个单位长度得到sin()3
y x π=+再将横坐标缩短为原来的
1
2倍得到sin(2)3
y x π=+. 应选：D
【点睛】此题考察了正弦型函数的图像变换，考察了学生数形结合，转化与划归的才能，属于中档题.
6.设,a b 是两个实数，那么“11
33a b >〞是 “a b >〞的〔 〕 A. 充分不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
利用幂函数y =
3y x =的单调性断定两个条件的互推关系，即得解.
【详解】由幂函数的性质，函数3
y x =
在R 上单调递增，因此假设a b >，那么11
33a b >；
函数3
y x =在R 上单调递增，因此假设1
1
33a b >，那么a b >，因此“1
1
33a b >〞是 “a b >〞的充分必要条件. 应选：C
【点睛】此题考察了充分必要条件的断定，考察了学生的逻辑推理才能，属于根底题. 7.函数()33f x log x x =+-的零点个数是〔 〕 A. 0 B. 1
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】 【分析】
由题意，判断此函数的零点的个数的问题可转化为两个函数3,3y log x y x ==-的交点个数结合两个函数的图像得出两个函数图像的交点个数问题，即得解.
【详解】函数()33f x log x x =+-的零点个数，即两个函数3,3y log x y x ==-的交点个数，
由图像知，两个函数仅有一个交点. 应选：B
【点睛】此题考察了函数的零点个数断定问题，考察了学生转化与划归，数形结合的才能，属于根底题.
8.定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递减且102f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，那么满足()0f x <的x 集合为〔 〕
A. 11,,22⎛⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B. 1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
C. 11,22⎛⎫
-
⎪⎝⎭ D. 11,0,22⎛⎫⎛⎫
-
+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意，由偶函数的性质11()022f f ⎛⎫
=-=
⎪
⎝⎭
，结合函数的单调性，()()11
0()||22
f x f x f x <⇒<∴>，即得解.
【详解】根据题意，函数()f x 为偶函数，那么11()022f f ⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
，又()f x 在[0,)+∞上单调递减，
那么：()()1
10()||22
f x f x f x <⇒<∴
> 11,,22x ⎛⎫⎛⎫
∴∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
应选：A
【点睛】此题考察了抽象函数的奇偶性，单调性，不等式的综合应用，考察了学生综合分析，转化，数学运算的才能，属于中档题.
x y a =，b y x =，log c y x =的图象如下图，那么〔 〕
A. a b c >>
B. a c b >>
C. c a b >>
D.
c b a >>
【答案】C 【解析】
试题分析：由图象有1,01,1a b c ><<>,所以b 最小,对于,1,x
y a x y a ===,看图象有
12x <<,所以12a <<对于log ,1,c y x y c x ===,看图象有23x <<,所以23c <<,故c a b >>,选C.
考点：根本初等函数的图象.
10.设x ∈R 记不超过的最大整数为[]x ,令{x}=x-[x]，那么51
+ }，51+51
+ 〔 〕 A. 是等差数列但不是等比数列 B. 是等比数列但不是等差数列 C. 既是等差数列又是等比数列 D. 既不是等差数列也不是等比数列
【答案】B 【解析】
因为51
+}51-=51
+]=151511-+=,5151 -+2≠ ,即
成等比数列但不成等差数列,选B.
第二卷〔一共110分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是30分，将答案填在答题纸上〕 11.计算()23
lg 2lg58+⨯=__________． 【答案】4 【解析】 【分析】
利用指数幂，对数的运算律即得解.
【详解】()2
223lg 2lg58lg101(2)4+⨯=⨯=⨯= 故答案为:4
【点睛】此题考察了指数幂，对数的运算律，考察了学生数学运算的才能，属于根底题. 12.角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin α=______． 【答案】45
- 【解析】
由题意5r ==，那么44sin 55
α-=
=-. 13.数列{}n a 中，111,1n n a a a n -=-=-，那么4a =__________n a =___________．
【答案】 (1). 7 (2). 2+2
2
n n -
【解析】 【分析】
由题意，用叠加法，可得{}n a 的通项公式，即得解.
【详解】在数列{}n a 中，11,a =
211a a -= 322a a -=
……
11n n n a a -=--
21(11)(1)1+2+...+122n n n n n
a a n +---∴-=-==
24+2
72n n n a a -∴==，
故答案为：2+2
72
n n -，
【点睛】此题考察了利用叠加法求数列的通项公式，考察了学生转化与划归，数学运算的才能，属于中档题.
14.正方形ABCD 边长为1,E 是线段CD 的中点，那么AE AB ⋅=__________． 【答案】
12
【解析】 【分析】
由条件，将AE AB ⋅进展拆分，根据向量加法原那么及几何意义，可将其转化为
1
()()2
AB AD DE AB AD AB AB =+⋅=+
⋅，即得解. 【详解】由题意可得：0,AD AB ⋅=||||1AD AB ==； 故：111()()=222
AE AB AD DE AB AD AB AB AD AB AB AB ⋅=+⋅=+
⋅=⋅+⋅ 故答案为：
1
2
【点睛】此题考察了学生对平面向量的应用，向量的加法，数量积等知识点，考察了学生转化与划归，数学运算的才能，属于中档题. 15.在ABC 中，,5,73
A c a π
∠=
==，那么ABC 的面积为__________．
【解析】 【分析】
结合条件，由余弦定理求解边b ，再利用面积公式，即得解.
【详解】利用余弦定理：222
cos 2b c a A bc
+-=
225491102
b b +-∴=-
2125240
3,8
b b b b ∴+-=∴==-
1sin 2ABC S bc A ∆∴==
故答案为：
4
【点睛】此题考察了余弦定理和面积公式，考察了学生综合分析，数学运算的才能，属于根底题.
16.函数()f x 的定义域为R ，a ∀，b ∈R ，假设此函数同时满足：
①当0a b +=时，有()()0f a f b +=；②当0a b +>时，有()()0f a f b +>，那么称函数()f x 为Ω函数．在以下函数中：
①sin y x x =+；②133x
x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；③0,01,0x y x x
=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩是Ω函数的为__________．〔填出所
有符合要求的函数序号〕 【答案】①② 【解析】
对于①，函数sin y x x =+为奇函数，当0a b +=，即a b =-时，有
()()()f a f b f b =-=-，所以()()0f a f b +=．又1cos 0y x '=-≥，所以为增函数，
因此当0a b +>，即a b >-时，有()()()f a f b f b >-=-，故()()0f a f b +>．因此
函数sin ?
y x x 为=+Ω函数． 对于②，函数133x
x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
为奇函数，当0a b +=，即a b =-时，有()()()f a f b f b =-=-，所以()()0f a f b +=．又ln 3(33)0x x y -+'=>，所以为增函
数，因此当0a b +>，即a b >-时，有()()()f a f b f b >-=-，故()()0f a f b +>．因
此函数13?3x
x
y ⎛⎫=-Ω ⎪⎝⎭
为函数．
对于③，函数0,01,0x y x x
=⎧⎪
=⎨-≠⎪⎩为奇函数，当0a b +=，即a b =-时，有
()()()f a f b f b =-=-，所以()()0f a f b +=．又函数在定义域R 上没有单调性，因
此不能由0a b +>，得到()()0f a f b +>．因此函数不是 Ω函数． 综上①②是Ω函数 答案：①② 点睛：
此题为新概念问题，在给出了“Ω函数〞概念的根底上考察学生的理解、运用才能．解答此类问题的关键是对所给概念的理解，并从中抽取出解题的方法及要求，然后通过对所给问题的分析，到达求解的目的．对于此题中给出的“Ω函数〞，实际上就是在定义域上单调
递增的奇函数，解题时要注意这一点．
三、解答题 〔本大题一一共6小题，一共80分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕
17.{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． 〔1〕求{}n a 的通项公式；
〔2〕设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．
【答案】〔1〕21n a n =-；〔2〕2
31
2
n n -+
【解析】 【分析】
〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，运用通项公式，可得
3,2q d ==，进而得到所求通项公式；
〔2〕由〔1〕求得1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，运用等差数列和等比数列的求和公式，即
可得到数列{}n c 和．
【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 因为233,9b b ==，可得3
2
3b q b =
=，所以2212333n n n n b b q ---==⋅=， 又由111441,27a b a b ====，所以141
2141
a a d -=
=-，
所以数列{}n a 的通项公式为1(1)12(1)21n a a n d n n =+-⨯=+-=-．
〔2〕由题意知1
(21)3n n n n c a b n -=+=-+，
那么数列{}n c 的前n 项和为
1
2
(121)1331[13(21)](1393)2132
n n n n n n n -+---+++-++++
+=+=+
-．
【点睛】此题主要考察了等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于根底题．
18.函数()2,)23(f x sinxcosx cos x x R =+∈的局部图象如下图.
〔1〕求6f π⎛⎫
⎪⎝⎭
； 〔2〕求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
〔3〕设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求tan BAO ∠的值. 【答案】(1) 26f π⎛⎫
=
⎪⎝⎭
; (2) 函数()f x 的最小正周期π,单调递增区间为：[,],36
k k k Z π
π
ππ-
+∈;
(3) 3tan 8
BAO π
∠=
. 【解析】 【分析】
〔1〕利用二倍角公式和辅助角公式可得()2sin(2)6
f x x π
=+
，计算即得解；
〔2〕利用周期公式可得最小正周期，令222
2
26
k k x π
π
π
ππ+
≤+
≤-
可得单增区间；
〔3〕过点B 作线段BC 垂直于x 轴于点C ，由题意得33,248
T AC BC π=
==，由题意可得解.
【详解】〔1〕()2cos 22sin(2)6
f x x x x π
=+=+
2sin 262f ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
.
〔2〕由周期公式可得：T π= 所以函数()f x 的最小正周期π. 由222
2
26
k k x π
π
π
ππ+
≤+
≤-
可解得：3
6
x k k π
π
ππ≤≤-
+
所以函数()f x 的单调递增区间为：[,],36
k k k Z π
π
ππ-
+∈.
〔3〕过点B 作线段BC 垂直于x 轴于点C ，由题意得33,244
T AC BC π
=
== 3tan 8
BC BAO AC π
∴∠=
=. 【点睛】此题是三角函数综合题，考察了二倍角公式，辅助角公式，正弦型函数得周期，单调性等，考察了学生综合分析，转化划归，数学运算才能，属于中档题. 19.函数(),f x n l x a x ax R -∈=.
〔1〕当1a =时，求函数()f x 在点()()
,e f e 处的切线方程； 〔2〕求函数()f x 在区间[]1,e 上的最小值；
〔3〕假设对所有1x ≥都有()f x e ≥-，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕y x e =-；
〔2〕当1a ≤时， min ()x f a =-；当12a <<时，1
min ()a f x e -=-；当2a ≥时，
min ()f x e ae =-；
〔3〕2a ≤. 【解析】 【分析】
〔1〕求出函数得导数，分别计算())',(f e f e ，求出切线方程即可； 〔2〕求出函数得导数，解关于导函数得不等式，分别求出单调区间即可； 〔3〕转化为函数得最小值问题，求出a 得范围即可. 【详解】〔1〕()1'ln f x a x =-+，当1a =时，()n 'l f x x =
()1,()0'k f e f e ===
因此函数()f x 在点()()
,e f e 处的切线方程为: y x e =-. 〔2〕令()1
'n ,10l a f x a x e x -=+-==
令()1
)'0,,(a f x e f x x ->>∴在1(,)a e -+∞单调递增；
令()1
)'0,,(a f x e
f x x -<<∴在1(0,)a e -单调递减.
〔i 〕当11a e -≤即1a ≤时，()f x 在区间[]1,e 单调递增，因此min ()(1)f x f a ==-；
〔ii 〕当11<a e e -<即12a <<时，()f x 在区间1[1,)a e -单调递减，1
[,)a e e -单调递增，因
此1
1min ()()a a f x f e
e --==-；
〔iii 〕当1a e e -≥即2a ≥时，()f x 在区间[]1,e 单调递减，因此min ()()f x f e e ae ==-； 〔3〕对所有1x ≥都有()f x e ≥-，即min ()f x e ≥-；
〔i 〕当11a e -≤即1a ≤时，()f x 在区间[1,)+∞单调递增，因此min ()(1)f x f a ==-；
a e a e ∴-≥-∴≤，综上：1a ≤；
〔ii 〕当11<a e -即1a <时，()f x 在区间1[1,)a e -单调递减，1
[,+)a e -∞单调递增，因此
11min ()()a a f x f e e --==-，即12a e e a -∴-≥-∴≤，综上：1<2a ≤
因此：2a ≤.
【点睛】此题是函数与导数综合问题，考察了导数在切线，单调性，不等式恒成立问题中的应用，考察了学生转化与划归，数学运算才能，属于较难题.
20.如图，ABC 是边长为2x 等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2BC CD =，
7AD =.
〔1〕求x 的值； 〔2〕求sin BAD ∠的值. 【答案】〔1〕1；
〔2321
. 【解析】 【分析】
〔1〕ABD ∆中使用余弦定理，即得解； 〔2〕ABD ∆中使用正弦定理，即得解； 【详解】〔1〕2,AB x ABD =∆中有余弦定理：
2222cos =AB BD AB BD ABD AD +-⋅∠
22(2)(3)2(2)(3)cos 60=7o x x x x +-⋅
1x ∴=
〔2〕3,BD ABD =∆中有正弦定理：
sin sin BD AD
BAD ABD
=∠∠
3sin sin 14
BAD BAD ∴
=∠=∠ 【点睛】此题考察了正弦定理、余弦定理，考察了学生综合分析，数学运算的才能，属于根底题.
21.某商场的销售部经过场调查发现，该商场的某种商品每日的销售量y 〔单位：千克〕与销售价格x 〔单位：元/千克〕满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中36x <<，a 为常数，销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． 〔Ⅰ〕求a 的值；
〔Ⅱ〕假设该商品的本钱为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使该商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【答案】〔Ⅰ〕2；〔Ⅱ〕当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【解析】
试题分析：〔Ⅰ〕由题意可得5x =时，11y =，代入函数解析式可得a 的值；〔Ⅱ〕 根据利润等于销量乘以销售价格与本钱的差，列函数关系式〔三次函数〕，利用导数研究函数单调性变化规律，确定函数最值.
试题解析：解：〔Ⅰ〕因为5x =时，11y =，所以10112a
+=，故2a = 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知，该商品每日的销售量()2
21063
y x x =
+-- 所以商场每日销售该商品所获得的利润为
()()()2
21036f x x x =+--
从而()()()3064f x x x -'=-
于是，当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
由上表可得，4x =是函数()f x 在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点. 所以，当4x =时，函数()f x 获得最大值，且最大值等于42
答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.
22.函数()x
f x e ax =-.
〔1〕求函数()f x 的单调区间；
〔2〕函数()f x 在区间(0)+∞，
存在极值，务实数a 的取值范围； 〔3〕假设1a ≥-，当()3
2
53312
a xf x x x ax m +≥-
+-+对于任意[0,)x ∈+∞恒成立时，m 的最大值为1，务实数a 的取值范围.
【答案】〔1〕当0a ≤时， ()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，(ln ,)a +∞单调递增. 〔2〕0<1a < 〔3〕1
[1,]3
a ∈- 【解析】 【分析】
〔1〕()'x
f x e a =-，对a 分类讨论，即得解；
〔2〕由〔1〕单调性的分析，即得解； 〔3〕转化为2
3(1)
()302
x
a g x e x x a +=-+
-≥恒成立，利用导数分析函数单调性，得到min ()(0)130g x g a ==-≥，即得解.
【详解】〔1〕因为()x
f x e ax =-，所以()'x
f x e a =-所
当0a ≤时，()'0,x
f x e a =->()f x 在R 上单调递增；
当0a >时，令()'0,x
f x e a =->得ln x a >；令()'0,x
f x e a =-<得ln x a <
因此，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，(ln ,)a +∞单调递增. 〔2〕由〔1〕当0a ≤时，()f x 无极值；
当0a >时，()f x 在(,ln )a -∞单调递减，(ln ,)a +∞单调递增，函数()f x 在区间(0)+∞，
存在极值，那么ln 01a a <∴<.
因此：0<1a <. 〔3〕()3
253312
a xf x x x ax m +≥-
+-+，即32
53()312x a x e ax x x ax m +-≥-+-+对于任意[0,)x ∈+∞恒成立，
所以3
223(1)3(1)
31(3)1(0)22x
x a a m xe x x ax x e x x a x ++≤-+
-+=-+-+≥ 令2
3(1)()3(0)2
x a g x e x x a x +=-+-≥ 因为m 的最大值为1，
所以2
3(1)
()302x
a g x e x x a +=-+
-≥恒成立 由于3(1)'()2''()20,ln 22
x
x a g x e x g x e x +=-+=-==， min 3(1)
'()'(ln 2)22ln 202
a g x g +==-+>
'()0g x ∴>恒成立，因此()g x 在[0,)x ∈+∞单调递增，
因此min ()(0)130g x g a ==-≥
1
[1,]3
a ∴∈-
【点睛】此题是函数与导数综合问题，考察了学生综合分析，转化，数学运算才能，属于难题.
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奋勇冲击，永争第一。

奋斗冲刺，誓要蟾宫折桂;全心拼搏，定能金榜题名。

放心去飞，勇敢去追，追一切我们为完成的梦。

翻手为云，覆手为雨。

二人同心，其利断金。

短暂辛苦，终身幸福。

东隅已逝，桑榆非晚。

登高山，以知天之高;临深溪，以明地之厚。

大智若愚，大巧若拙。

聪明出于勤奋，天才在于积累。

把握机遇，心想事成。

奥运精神，永驻我心。

“想”要壮志凌云，“干”要脚踏实地。

**燃烧希望，励志赢来成功。

楚汉名城，喜迎城运盛会，三湘四水，欢聚体坛精英。

乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。

不学习，如何养活你的众多女人。

不为失败找理由，要为成功想办法。

不勤于始，将悔于终。

不苦不累，高三无味;不拼不搏，高三白活。

不经三思不求教不动笔墨不读书，人生难得几回搏，此时不搏，何时搏。

不敢高声语，恐惊读书人。

不耻下问，学以致用，锲而不舍，孜孜不倦。

博学强识，时不我待，黑发勤学，自首不悔。

播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

保定宗旨，砥砺德行，远见卓识，创造辉煌。

百尺高梧，撑得起一轮月色;数椽矮屋，锁不住五夜书声。