安徽省巢湖市高三数学上学期期末教学质量检测测试(文)新人教版

高三第一次教学质量检测试题
数学(文科)
参考公式：
锥体的体积公式 1
3
V S h =
(其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将你认为正确的选项前面的代号填入答题卷相应的表格中.
1.已知集合U ，A ，B 间的关系如图所示，则集合()U A B ð中元素的个数为( ).
A.1
B.2
C.3
D.44
2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若9180S =，则37a a +=( ). A.10 B.20 C.30 D.40
3.函数sin()23y x ππ
=-的最小正周期和初相分别是( ).
A.4 3ππ-，
B.4 3π-，
C.4 3
π， D.1 3π
-，
4.三个数073a ⋅=，30.7b =，3log 0.7c =的大小顺序为( ). A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.b c a <<
5.已知O 为ABC ∆的重心， 设,,AB a AC b ==则OB 等于( ).
A.2133a b -+
B.21
33
a b - C.1122a b -+
D.11
22
a b - 6.AB 是半径为1的半圆的直径，点C 是弧AB 的中点，若在弧
AB 上随机取一点P ，则弧CP 的长度小于6
π
的概率为( ).
A.13
B.2
3
C.2π
D.34
7.如果执行右边的程序框图，那么输出的k =( ). A.4 B.5 C.6 D.7
8.右下图是某几何体的三视图，其中侧视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( ).
B.1
2
π
9.过圆2240x y x my +-+=上一点(1 1)P ，
的圆的切线方程为( ). A.230x y +-= B.210x y --= C.210x y --= D ．210x y -+=
10.定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1212()x x R x x ∈≠，，
1212
()()
1f x f x x x -<--.记()()()F x f x f x =--，则( ).
A.()F x 是偶函数且在R 上是增函数
B.()F x 是偶函数且在R 上是减函数
C.()F x 是奇函数且在R 上是增函数
D.()F x 是奇函数且在R 上是减函数
巢湖市2009—2010学年度第一学期期末教学质量检测试题
高三数学(文科)答题卷
一、选择题：(每小题5分，满分50分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分.
11.已知(0)x y ∈+∞，，，且21x y +=，则xy 的最大值是 .
12.若实数x y ，满足1000x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪⎩
≤，，，则2z x y =-的最小值是 .
13.已知双曲线22
13
x y a -=的一条渐近线方程为y =，则抛物线24y ax =上一点
()02M y ，到该抛物线焦点F 的距离是 .
14.已知函数3log (0)()1()(0)3
x x x f x x >⎧⎪
=⎨≤⎪⎩，则不等式()1f x ≥的解集为 .
15.下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号).
①在ABC ∆中，sin sin A B >的充要条件是A B >；
②αβγ，，为空间三个平面，若αβαγ⊥⊥，，则βγ//；
③命题“x R ∃∈，使20x x m -+≤”的否定是“对于x R ∀∈，使20x x m -+>”；
④若函数2()(0)f x ax bx c a =++>，(1)2
a
f =-，则函数()f x 在区间(0 2)，
内必有零点.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.(本小题满分12分)
已知向量3
(sin ) (cos 1).2
m x n x ==-，，，设()
()f x m n n =+⋅，[]0x π∈，．
(Ⅰ)求函数()f x 的表达式，并求()f x 的单调递减区间；
(Ⅱ)在ABC △中，a b c ，，分别是角A B C ，，的对边，若1()12f A b ==，，1
2
ABC S ∆=，求
a 的值．
从参加2010年上海世博会知识竞赛的学生成绩中抽取一个容量为60的样本，数据的分组及频率如下表：
(Ⅰ)
(Ⅱ)估计这次世博会知识竞赛的及格率(60分及以上为及格)；
(Ⅲ)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此，估计参加这次世博会知识竞赛的学生的平均成绩.
18.(本小题满分12分)
如图，在平行四边形ABCD中，21
，，将ABD
===
AB AD BD
∆沿
BD折起到PBD
∆的位置，使点P在平面A BCD内的射影恰好为D点，M
为BC边中点，N为PD的中点.
(Ⅰ)求证：AD PD
⊥；
(Ⅱ)求证：MN∥平面PAB.
已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率e ；
(Ⅱ)若F '为焦点F 关于原点的对称点，动点M 满足
MF e MF ||
='||
，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
20.(本小题满分13分) 若数列{}n a 满足n T n a a +=，其中T 为非零正常数，则称数列{}n a 为周期数列，T 为数列{}n a 的周期.
(Ⅰ)设{}n b 是周期为9的数列，其中129 b b b ⋅⋅⋅，，，是等差数列，且2539b b ==，，求2009b ；
(Ⅱ)设{}n c 是周期为10的数列，其中1210 c c c ⋅⋅⋅，，，是等比数列，且11418c c ==，.若12c c ++⋅⋅⋅+
2010n c >，求n 的最小值.
21.(本小题满分14分)
已知函数321
()(2)13
f x x x a a x =-+-+，其中0.a >
(Ⅰ)当1a =时，求曲线()f x 在(3(3))P f ，处的切线方程； (Ⅱ)试讨论函数()f x 的单调区间；
(Ⅲ)当1a ≥时，若不等式()1f x ≤对任意[0 1]x ∈，恒成立，求实数a 的取值范围.
巢湖市2010届高三第一次教学质量检测
数学（文科）参考答案
一、 B D B C B A D C D C
二、11. 1
8
；12. 2-； 13.3； 14. {0x x ≤|，或3}x ≥； 15. ①③④.
三、16. （I ）
1(sin cos ,)2m n x x +=+1
()()(sin cos )cos 2
f x m n n x x x =+⋅=+-∴
21sin cos cos )24
x x x x π
=+-
+ 令
32222
4
2k x k π
π
πππ+≤+
≤
+，得588
k x k ππ
ππ+≤≤+
()k Z ∈， 又[]0,x π∈， 5,88x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
∴，
所以函数()f x 的单调递减区间是5,88ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． …………………………6分
（Ⅱ）由1()2f A =
得()1)42f A A π=+=sin(2)4A π+=
∴ 又A 为ABC △的内角 324
4
4
A A π
π
π
+==
∴
1
,12
S b =
=△ABC ∵ 11sin 22
S bc A c =
==△ABC ∴∴
2222cos 11a b c bc A a =+-==∵∴ ……………………………12分
(错一空扣一分，扣完为止) …………………………………4分 （Ⅱ）从样本可以估计这次世博会知识竞赛的及格率为0.15+0.3+0.25+0.05=0.75=75％；
…………………………………8分
（Ⅲ）样本的平均数为
450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 据此，可以估计参加这次世博会知识竞赛的学生的平均成绩为71.
…………………………………12分
18.（Ⅰ）由题知，21AB AD BD ===， ,90ADB AD BD ∴∠=∴⊥
又,
,PD ABCD PD AD PD
BD D AD PBD ⊥∴⊥=∴⊥平面平面.
PB PBD AD PB ⊂∴⊥平面
…………………………………6分
（Ⅱ）证法1：取PA 的中点E ，连结NE BE 、. 因为N 为PD 的中点，所以1
2
EN AD EN AD =
∥,且 又M 为平行四边形ABCD 的边BC 的中点，所以1
2
BM AD BM AD =∥,且 所以,BM EN BM EN =∥且，所以四边形M BEN 为平行四边形．
所以MN BE ∥，又,BE PAB MN PAB ⊂⊄平面平面，所以MN PAB ∥平面．
…………………………………12分
（Ⅱ）证法2：取DA 的中点G ，连结NG MG 、.
因为N 为PD 的中点， 所以GN AP //,所以NG PAB //平面； 又M 为BC 边中点，所以G M AB //， 所以MG PAB //平面； 又,,NG GMN MG GMN NG MG G ⊂⊂=平面平面 所以GMN PAB 平面∥平面 .
又MN GMN ⊂平面，所以MN PAB ∥平面．
…………………………………12分
19. （Ⅰ）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a c ，，由已知得
44,26,
a a c a c =⎧==⎨
+=⎩，解得.
所以椭圆的标准方程为22
11612
y x +=.
离心率21
.42
e =
= ………………………………………6分 （Ⅱ）(0,2),(0,2)F F '-,设(,),M x y 由
MF e MF ||
='||
得
12
=
化简得223320120x y y +-+= 即222108
)()33
x y +-
=（ 故存在一个定点10(0,
)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为8
.3
………………………………12分
20. （Ⅰ）52
2,52
b b d -=
=-
()()2200922392222219,3.
n b b n n n b b b ⨯+∴=+-⨯=-≤∴===
………………………………………4分
（Ⅱ）34
1441
8,8,2,c c c q q c ==∴=
=∴=()1112210.n n n c n --∴=⨯=≤ ……………………………………8分
当10n ≤时，1221
...2 1.21
n n n c c c -=+++==--n S
…………………………………10分
由5111023==910S ，S 知
12191220102351115342010,1023102320462010.
c c c c c c +++=+=<++
+=+=>
又0,n c >满足12...2010n c c c +++>的最小值20n =.
………………………13分 21. . (Ⅰ)当1a =时，321
()13
f x x x x =-++
2'()21f x x x =-+ (3)4,'(3)4f f ==
曲线在点P 处的切线方程为48.y x =- ……………………………3分 (Ⅱ)2'()2(2)()[(2)]f x x x a a x a x a =-+-=---
（１） 当01a <<时，2a a <-，()f x 的递增区间为(,),(2,)a a -∞-+∞；递减区间为(,2)a a -． （２） 当1a =时，'()0f x ≥恒成立，()f x 的递增区间为(,)-∞+∞；
（３） 当1a >时，2a a >-，()f x 的递增区间为(,2),(,)a a -∞-+∞；递减区间为
(2,)a a -． ………………………………………8分
（Ⅲ）不等式()1f x ≤对于一切的[0,1]x ∈恒成立等价于
max [0,1],()1x f x ∀∈≤
（１）当1a =时，()f x 在[0,1]递增，2max 1
()(1)213
f x f a a ==-++≤，不成立；
（２）当1a >时，21a a -<<，()f x 在(,2)a -∞-递增；在(2,)a a -递减． ()f x 在2x a =-时取极大值321
(2)(2)(2)(2)(2)13f a a a a a a -=---+--+.
若12,2[0,1]a a <<-∈，由321
(2)(2)(2)(2)(2)113
f a a a a a a -=---+--+≤
解得.a ∈∅
若2,20,a a ≥-≤()f x 在[0,1]递减，max ()(0)11f x f ==≤，恒成立. 综上，使不等式()1f x ≤对于一切[0,1]x ∈恒成立的实数a 的取值范围为.
……………………………………14分。