安徽省望江中学高三数学上学期期中试题 理(含解析)新

安徽省望江中学2014届高三数学上学期期中试题 理（含解析）新人
教A 版
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的. 1.设p ∶2
2,x x q --＜0∶12
x
x +-＜0，则p 是q 的 （ ）
A 充分不必要条件
B 必要不充分条件
C 充要条件
D 既不充分也不必
要条件
2.若112
2
2
(21)(1)m m m +>+-，则实数m 的取值范围是 ( ）
51
51
51
.(,
].[
,).(1,2).[
,2)A B C D -----∞+∞-
3.若方程02
3
2
=--
k x x 在（-1，1）上有实根，则k 的取值范围为 （ ） A.)21,169[-- B.)25,21[- C.)25,169[- D.),16
9[+∞-
4.若()f x 是偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，f (x) = x －1，则f (x －1) < 0的解集是 （ ） A ．{x |－1 < x < 0} B ．{x | x < 0或1< x < 2} C ．{x | 0 < x < 2}
D ．{x
| 1 < x < 2}
5.函数f (x) =Asin(()(0,0),1x A x ωϕω+>>=-和x=1是函数f （x ）图象相邻的两条对
称轴，且x∈[-1，1]时f (x)单调递增，则函数y=f （x －1）的 ( )
A ．周期为2，图象关于y 轴对称
B ．周期为2，图象关于原点对称
C ．周期为4，图象关于原点对称
D ．周期为4，图象关于y 轴对称
【答案】D ．
6.要得到函数π
sin (2)3
y x =-的图象，只需将函数）
—（—πx 2cos y =的图象 ( ) A ．向左平移
π
6
个单位； B ．向左平移5π12个单位； C ．向右平移5π12个单位； D ．向右平
移
π
3
个单位
7.已知0ω>，函数()sin()4
f x x πω=+
在(,)2π
π上单调递减，则ω的取值范围是（ ）
A 、(0,2]
B 、1(0,]2
C 、13[,]24
D 、15
[,]24
8.把函数sin()0,||2y A x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝
⎭
的图象向左平移3
π
个单位得到()y f x =的图象（如图）
，则ϕ=
（
）
A ．6
π
-
B ．
6
π
C. 3
π- D.
3
π
9.定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数)(x f y '=的图象如图所示．若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则2
2
b a ++的取值范围是 （ ） A ．11(,
)32 B ．()1(,)3,2-∞+∞U
C ．1
(,3)2 D ．(,3)-∞-
【答案】C ． 【解析】
6
42
2
4
6
510
A
B
O
P (-2,
-2)
10.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，
若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ） A ．)22,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)6
6,0( 【答案】B ．
x
y
O
2
2
4
510
y
x
g(x)=l og
a
x+1
()
g(x)=l og3
3
x+1
()
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）
11.已知
tan1
2
5tan
α
α
+
=
-
，则
sin cos
sin2cos
αα
αα
+
=
-
________________．
【答案】4．
【解析】
试题分析：
tan1sin cos tan131
2,tan3,4
5tan sin2cos tan232
αααα
α
αααα
++++
=∴=∴===
----
Q．
考点：利用三角函数恒等变换解决知值求值问题．
12.已知函数()x f在[)
+∞
,0上是增函数，()()x f
x
g-
=，若()()1
lg g
x
g>，则x的取值范围是________________．
13.已知函数⎩
⎨
⎧>≤≤=)1(log )
10(sin )(2013x x x πx x f ,若c b a ，，互不相等，且f(c)f(b)f(a)==,则
c b a ++的取值范围是________________．
14.已知函数⎩⎨⎧<≥++=)1-(),2()
1-(,)(2x -x-f x c bx ax x f ,在其图象上点(1，(1)f )处的切线方程为
12+=x y ,则图象上点(-3，(-3)f )处的切线方程为________________．
15.设()sin2cos2f x a x b x ＝＋，其中,,0a b R ab ∈≠. 若()6f x f π⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
对一切x R ∈恒成立，则 ① 11012f π
⎛⎫=
⎪⎝⎭； ② 7125f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； ③ ()f x 既不是奇函数也不是偶函数； ④ ()f x 的单调递增区间是()2,6
3k k k Z π
πππ⎡
⎤
+
+
∈⎢⎥⎣
⎦
； ⑤ 存在经过点(),a b 的直线与函数()f x 的图象不相交．
以上结论正确的是__________________（写出所有正确结论的编号）．
三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16. (12分) 已知sin ,cos θθ是关于x 的方程()20x ax a a R -+=∈的两个根．
(1)求)2
3sin(
)
2
cos(
θπ
θπ
+++的值； (2)求()1
tan tan πθθ
--
的值． 【答案】(1)21-；(2) 21+．
()11sin cos 1tan tan ,tan tan cos sin sin cos θθπθθθθθθθθ⎛⎫
--
=--=-+=- ⎪⋅⎝⎭
代入即可求其值． 试题解析：由已知原方程判别式Δ≥0，即()2
40,0a a a --≥∴≤或4a ≥，又
⎩⎪⎨⎪⎧
sin θ＋cos θ＝a ，
sin θcos θ＝a ，
∴(sin θ＋cos θ)2
＝1＋2sin θcos θ，即a 2
－2a －1＝0.
∴a ＝1－2或a ＝1＋2(舍去)．∴sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2. (1))2
3sin(
)2
cos(
θπ
θπ
+++=-(sin θ＋cos θ)＝2-1 (2)tan(π－θ)－1tan θ＝－tan θ－1
tan θ
＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋1tan θ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos θ＋cos θsin θ＝－
1sin θcos θ＝－11－2＝2＋1. 考点：1．韦达定理；2．三角函数求值．
17.（12分）命题p:实数x 满足2
2
430x ax a -+<（其中0a >），命题q:实数x 满足⎪⎩⎪
⎨⎧>+≤02
32
1x-x x-
（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
考点：1．常用逻辑用语（ “且”命题真值表、充分不必要条件）；2．简单不等式的解法．
18.(12分) 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知3
C π=.
（Ⅰ）若2a =，3b =，求ABC ∆的外接圆的面积；
（Ⅱ）若2c =，sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积. 【答案】（Ⅰ）73
π；（Ⅱ）23ABC S ∆=
（Ⅱ）(),sin sin 2sin 2,A B C C B A A π++=+-=Q
()()()()2sin 2sin sin sin sin 2sin cos ,A A B B A A B B A B A π∴=-++-=++-=⎡⎤⎣⎦即
()2sin cos sin cos ,2sin sin cos 0,cos 0A A B A A B A A =∴-=∴=或2sin sin 0.A B -=
当cos 0A =时，,2A π=
又2c =且2
,tan ,33C b
ππ=∴=即23,b =此时12323
22ABC S ∆=⨯=
； 当2sin sin 0A B -=时，由正弦定理得2,b a =又2c =且221
,442232
C a a a a π
=∴=+-⋅⋅⨯（或得到2B π=
求解），解得24
,3
a =此时21323sin .23ABC S a
b a π∆== 综上知23
.ABC S ∆=
…………………………………………………………………………………………12分
考点：应用正余弦定理解三角形、求三角形的面积．
19.（13分）设函数()ln f x a x =，2
1()2
g x x =
． （1）记()g x '为()g x 的导函数，若不等式()2()(3)()f x g x a x g x '+≤+- 在[1,]x e ∈上有
解，求实数a 的取值范围；
（2）若1a =，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立，求m （m ∈Z ，m ≤1）的值．
试题解析：（1）不等式()()()()23,f x g x a x g x '+≤+-即为()2
1ln 23,2
a x x a x x +≤+-
化简得()2
1ln .2a x x x x -≥-由[]1,x e ∈知ln 0x x ->，因而212,ln x x a x x -≥-设212,
ln x x
y x x -=-由()()()()()
222
111
1ln 111ln 22.ln ln x x x x x x x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+- ⎪⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭'==--
Q 当()1,x e ∈时1
10,1ln 0,02
x x x y '->+->∴>在[]1,x e ∈上恒成立．
由不等式有解，可得知min 1,2
a y ≥=-即实数a 的取值范围是1,.2⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
20.（13分）设函数()*() ,,n n f x x bx c n N b c R =++∈∈
（Ⅰ）设2n ≥，1b =，1c =-，证明：()n f x 在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设2n =，若对任意[]12,1,1x x ∈-，均有()()21224f x f x -≤，求b 的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）2,1,1n b c ≥==-时，() 1.n
n f x x x =+-
()()
111110,222n n n n f f f x ⎛⎫⎛⎫
⋅=-⨯<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
Q 在区间
1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内有零
点．……………………………………2分
()()
110,n n n f x nx f x -=+>∴Q 在区间
1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内是单调递增函
数，………………………………………3分
()
n f x ∴在区间
1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭
内存在唯一的零
点．…………………………………………………………………4分
21.（13分）已知2
()3ln f x ax x x
=--，其中a 为常数.
（Ⅰ）当函数()f x 的图象在点22,33f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
处的切线的斜率为1时，求函数()f x 在3,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上的最
小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在(0,)+∞上既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，过点()1,4P -作函数[]2()()3ln 3F x x f x x =+-图象的切线，试问这样的切线有几条？并求这些切线的方程.
【答案】（Ⅰ）()()min 213ln 2f x f ==-；（Ⅱ）9
08
a <<
；（Ⅲ）510x y +-=．
故()()()()2
122
3ln ,,x x f x x x f x x x --'=-
-=由()0f x '=得2.x =……………………………2分
()(),f x f x '随x 的变化关系如下表：
x
3
2
3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
2 ()2,3
3
()f x '
-
0 +
()f x
↘
13ln 2-
↗
……………………………………………………………………………………………………………………3分 于是可得：
()()min 213ln 2.f x f ==- (4)
分 （Ⅱ）
()()222
2332
0ax x f x a x x x x -+'=+-=>………………………………………………………
…5分
由题设可得方程2
320ax x -+=有两个不等的正实根，不妨设这两个根为12,,x x 并令
()2
32,h x ax x =-+则12129803020a x x a x x a ⎧
⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩
（也可以()980300200a a a h ⎧∆=->⎪
⎪-
>⇒>⎨⎪⎪>⎩），解得9
0.8
a <<
…………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）()2
3ln 2,f x x x
=-
-故()()()()322320,3620F x x x x x F x x x x '=-->=-->
………………………………………………………………………………………………………………9分
设切点为()00,,T x y 由于点P 在函数()F x 的图象上，。