广东省2013-2014学年高一寒假作业数学(七) 解析

广东省2013—2014学年高一寒假作业(七)数学
一、选择题
1．函数cos sin y x x =-的图象可由函数2sin y x =
的图象（ ）
A ．向左4
π平移个长度单位
B ．向右4
π平移个长度单位
C ．向左34
π
平移个长度单位 D ．向右34
π
平移个长度单位
2．已知角α是第二象限角，角α的终边经过点(),4P x ，且5
cos x =α，则tan α=
A ．43
B ．34
C ．34
-
D ．43
-
3．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．
是（ )
4．和
30终边在同一条直线上的角的集合是（ ）
A ．⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+=Z k k ,6
2π
παα
B ．⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+=Z k k ,3
π
παα
C ．⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+=Z k k ,3
2ππαα
D ．⎭
⎬⎫⎩
⎨⎧∈+=Z k k ,6
ππαα
5．将函数sin 2y x =的图象向左平移6
π个单位后的图象的函数解析式为
（ ）
A ．sin(2)3
y x π=+
B ．sin(2)3
y x π=-
C ．sin(2)
6
y x π=+
D ．sin(2)6y x π=-
6．方程|sin |(0)x k k x
=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关
两根关系的结论正确的是
A ．sin cos ϕϕθ=
C ．cos sin ϕθθ=
D ．sin sin θθϕ=-
7．已知0ω>，函数()cos()4
f x x πω=+在(,)2
ππ上单调递减。

则ω的取值范围
是
A ．15[,]24
B ．
13[,]24
C ．
3(0,]4
D ．(0,2]
8．已知函数)2
||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为 （ ）
A ．)4
8
sin(
2)(π
π
+
=x x f
B ． )4
8
sin(
2)(π
π
-
=x x f
C ．)438sin(
2)(π
π
+
=
x x f
D ．)4
38sin(2)(π
π-=x x f
二、填空题
9．函数的图象向左平移
个单位后，与
的
图象重合，则实数的最小值为 .
10．函数sin()y A x ωφ=+ （A ＞0,0＜ϕ＜π）在一个周期内的图象如右图,此函数的解析式为___________________。

则f （0）=
12．设α为锐角,若4
cos 65
απ⎛⎫+= ⎪
⎝
⎭
,则)12
2sin(π+a 的值为 ． 13．函数y=2cos 2x+sin2x 的最小值 14．对函数()sin f x x x =，现有下列命题： ①函数()f x 是偶函数；
②函数()f x 的最小正周期是2π;
③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；
④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在区间,02
π⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上单调递减。

其中是真命题的是 三、解答题
15．已知：在ABC ∆中, a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，且角C 为锐角，
1cos 24
C =-
(Ⅰ)求C sin 的值；
（Ⅱ)当2=a ,C A sin sin 2=时，求b 及c 的长．
Ks5u
16．（本题满分12分)已知函数2
3
cos sin sin 3)(2-
+=x x x x f ()R x ∈．
（Ⅰ）若)2
,0(π∈x ，求)(x f 的最大值;
（Ⅱ)在ABC ∆中，若B A <，21
)()(=
=
B f A f ,求AB
BC 的值．
Ks5u
17．(本小题满分12分） 已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．
（Ⅰ)讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；
（Ⅱ)若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ∀∈),0(+∞，2)(-≥bx x f 恒成立， 求实数b 的取值范围；
(Ⅲ）当2
0e y x <<<且e x ≠时,试比较x
y x y ln 1ln 1--与的大小．
Ks5u
18．（12分） 已知函数()2sin()sin()6
3
f x ωx ωx ππ=-+（其中ω为正常数，R ∈x ）
的最小正周期为π． (1)求ω的值;
(2）在△ABC 中，若B A <，且2
1)()(==B f A f ，求AB
BC
Ks5u
19．(本题满分10分）已知函数()4cos sin()1
6
f x x x π
=⋅+
-。

(1）求()f x 的最小正周期：
（2）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

Ks5u
20．（本小题满分14分）已知向量
(cos sin ,sin )
x x x ωωω=-a ，
(cos sin ,)
x x x ωωω=--b ，设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称，
其中ω，λ为常数,且1(,1)2ω∈.
(1）求函数()f x 的最小正周期；
(2）若()y f x =的图象经过点π(,0)4
，求函数()f x 在区间3π
[0,]5上的取值范围.
广东省2013—2014学年高一寒假作业(七）数学
一、选择题 1．C
【解析】因为函数
cos sin sin(
)
4
=-=
-y x x x π
的图象可由函数y x =的图
象向左34
π平移个长度单位得到，故选C 2．D Ks5u
【解析】因为角α是第二象限角,角α的终边经过点(),4P x ,且5
cos x =α，
故x=－3,则tan α=43
-,选D
3．D
【解析】解：对于振幅大于1时,三角函数的周期为：T=2|a |
π，∵|a｜
＞1，∴T＜2π，而D 不符合要求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2π．对于选项A ，a ＜1，T ＞2π，满足函数与图象的对应关系，故选D ． 4．D
【解析】和
30终边在同一条直线上的角即终边落在直线y x =
上的角α可表示为()6
k k Z παπ=+∈ 5．A
【解析】本试题主要是考查了三角函数图像变换的运用。

因为将函数sin 2y x =的图象向左平移6
π个单位后的图象的函数解析式
为sin 2()sin(2)6
3
=-=-y x x ππ故选A 。

解决该试题的关键是对于平移变换中ϕ的准确运用。

6．B
【解析】依题意可知x ＞0（x 不能等于0)
令y 1=｜sinx|，y 2=kx ，然后分别做出两个函数的图象．
因为原方程有且只有两个解，所以y 2与y 1仅有两个交点，而且第二个交点是y 1和y 2相切的点，即点（θ，|sinθ｜）为切点，因为(－sinθ）′=－cosθ，所以切线的斜率k=－cosθ．而且点(φ，sinφ)在切线y 2=kx=－cosθx 上．
于是将点（φ，sinφ）代入切线方程y 2=xcosθ可得:sinφ=－φcosθ． 故选B ． 7．C
【解析】因为0ω>,函数()cos()4
f x x πω=+在(,)2
ππ递减则可知
[2,2],4
+
∈+∈x k k k z π
ωπππ，这样利用不等式得到
w 的取值范围是3(0,]4
，选
C
8．A
【解析】根据图像可知哈数的最大值为
2,周期为16，那么w=8
π，
代入一个点可得到4
πϕ=，因此可知解析式为)4
8
sin(
2)(π
π
+
=x x f ，选A 。

二、填空题 9．
【解析】因为y=,y=，所以函
数至少向左平移个单位,即m 的最小值为.
10．
)322sin(2π+
=x y
【解析】由振幅为2可知2A =，由半周期5212122
T
πππ=+=得2T πω=∴= ()2sin 2y x ϕ∴=+带入点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭得23πϕ=22sin 23y x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝
⎭ 11．
26
【解析】由f （x ）=Asin （ωx+φ)（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）的部分图象可得：
T A 2,
T W 2,24433
πππ
==∴=π∴=⨯+ϕ=π∴ϕ=,因此可知函数f （0)=
6
2
故答案为62
12．17
2
50
【解析】
22447
cos(),cos(2)2cos ()12()16536525
πππααα+=∴+=+-=⨯-=
4(0,),2(,),2333ππππαα∈∴+∈2(,)332πππα∴+∈，24sin(2)325
πα∴+=，
sin(2)sin[(2)]sin(2)cos cos(2)sin 12343434
π
ππππππ
αααα∴+
=+-=+-+ 2247172
()2252550
=
-=
13．1—2
【解析】因为函数y=2cos 22)4
π
+的最
小值1-
2
14．①④
【解析】解:对于①，由于f （－x ）=－xsin(－x ）=xsinx=f （x ），故函数f(x)是偶函数①正确；对于②,由于f(x+2π）=（x+2π）sinx≠f （x ），故函数f （x ）的最小正周期是2π,②不正确；对于③，由于f （2
π)+f(32
π）=2
π－32
π=－π≠0故点（π,0）不是函数f （x ）的图象的
一个对称中心，故③不正确；
对于④，由于f'（x ）=sinx+xcosx,在区间［0，2
π］上f’（x ）＞0，
在区间[－2
π，0］上f’(x）＜0，由此知函数f （x ）在区间[0,2
π］上
单调递增，在区间［－2
π,0］上单调递减，故④正确．
故答案为:①④ 三、解答题
15．（Ⅰ）
（Ⅱ）b =4c = 【解析】（Ⅰ)因为2
1
cos 212sin 4C C =-=-
,及2
0π<<C ，
所以
sin C =
4。

……4分
（Ⅱ）当2=a ,C A sin sin 2=时，由正弦定理a c
sin A sin C
=，得4c = ……
7分
由2
1cos 22cos
14C C =-=-
，及2
0π
<<C 得cos C . (9)
分
由余弦定理2
222cos c
a b ab C =+-,
得2120b -=, ……
12分 解得
b =。

……13分 16．(Ⅰ）1
【解析】(Ⅰ）2
)2cos 1(3)(x x f -=
+23
2sin 21-
x x x 2cos 2
3
2sin 21-=
)32sin(π-=x ． ……………3分
因为2
0π<<x ， 3
23
23
πππ<-<-∴x ．
∴
当232
x ππ
-=
时，即12
5π=x 时,)(x f 的最大值为1． …………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）)3
2sin()(π-=x x f ,
若x 是三角形的内角，则π<<x 0，∴35323π
<π-<π-x ． 令2
1)(=x f ，得21)32sin(=π-x ，∴632π=π-x 或6532π
=π-x ， 解得4
π=x 或12
7π=x ． ……………8分
由已知，B A ,是△ABC 的内角，B A <且2
1)()(==B f A f ，
∴4π=A ，127π=B ,∴6
π=--π=B A C ． ……………10分 又由正弦定理，得22
122
6sin 4sin
sin sin ====ππ
C
A A
B BC
． ……………12分
17．(Ⅰ)当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点，当0>a 时,)(x f 在),0(+∞上有一
个极值点(Ⅱ）2
11b e ≤-（Ⅲ）当0x e <<时，x y
x y ln 1ln 1-->，当2
e x e <<时,x
y
x y ln 1ln 1--<。

【解析】（Ⅰ)由已知得
x
ax x a x f 1
1)(-=-
='，
所以当0≤a 时,()0f x '<在),0(+∞上恒成立，函数)(x f 在),0(+∞单调递减， ∴)(x f 在),0(+∞上没有极值点；
当0>a 时,由()0f x '<得10x a
<<，()0f x '>得1x a
>,
∴)(x f 在(10,)a
上递减，在(1),a
+∞上递增，即)(x f 在a
x 1=处有极小值．
∴当0≤a 时)(x f 在),0(+∞上没有极值点， 当0>a 时，)(x f 在),0(+∞上有一个极值
点． ……3分 （Ⅱ）∵函数)(x f 在1=x 处取得极值,∴1=a ， ∴
b x
x x bx x f ≥-+
⇔-≥ln 112)(,
……5分
令x
x
x x g ln 11)(-
+=，可得)(x g 在(]2
,0e 上递减，在[)+∞
,2
e 上递增，
∴2
2min
11)()
(e
e g x g -
==，即
2
11b e ≤-
． (7)
（Ⅲ)由(Ⅱ）知x x
x g ln 11)(-+=在（0，e 2）上单调减,
∴2
0x y e <<<时，)()(y g x g >，
即y
y
x x ln 1ln 1->-.
当0x e <<时，1ln 0x ->，∴(1ln )(1ln )y x x y ->-，
∴
x
y x y ln 1ln 1-->， 当2
e x e <<时，1ln 0x -<,∴(1ln )(1ln )y x x y ->-， ∴x
y x y ln 1ln 1--<.
……12分
18．（1）1=ω；（2）22
122
6sin 4sin
sin sin ==π
π==C A AB BC 【解析】（1）因为()2sin()sin()
63f x ωx ωx ππ=-+化为单一函数，然后分析得
到W 的值
（2）利用第一问的结论,求解方程得到角A ，B 的值，结合正弦定理得到结论.
（1）()2sin()sin()6
3
f x ωx ωx ππ=-+)3
2sin(π-=x ω得1=ω
(2）由(1）得)3
2sin()(π-=x x f ．π<<x 0，
∴3
53
23
π<π-<π-x ．令2
1)(=x f ,得2
1)3
2sin(=π-x ，
∴6
32π=π-x 或6532π=π-x ,得4π=x 或12
7π=x ．B A <且21
)()(==B f A f
∴4
π=A ，127π
=B ，
∴6π
=--π=B A C
又由正弦定理,得22
122
6sin 4sin
sin sin ==π
π==C A AB BC 19．(Ⅰ）)(x f 的最小正周期为π Ks5u
(Ⅱ）当6,2
6
2π
π
π
=
=
+
x x 即时，)(x f 取得最大值2;
当
)
(,6,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1。

【解析】本事主要是考查了三角函数的图像与性质以及最值的求解。

（1）因为函数化为单一函数为f （x ）=2sin(2x+6
π）,然后利用周
期公式得到周期，
（2）同时利用定义域求解战术的值域。

解：（Ⅰ)因为1)6
sin(cos 4)(-+
=π
x x x f 1)cos 21
sin 23(
cos 4-+=x x x
1cos 22sin 32-+=x x x
x 2cos 2sin 3+=
)
62sin(2π
+
=x 所以)(x f 的最小正周期为π
（Ⅱ）因为.326
26
,4
6
ππ
π
π
π
≤
+
≤-
≤
≤-
x x 所以
于是，当6,2
6
2π
π
π
=
=
+
x x 即时，)(x f 取得最大值2；
当
)(,6,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1。

20．（1）()f x 的最小正周期是6π5。

(2）
[12-.
【解析】本试题主要是考查了三角函数的性质以及向量的数量积的运用,
(1）因为
2
2
()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+
cos22x x ωωλ=-+π
2sin(2)6x ωλ
=-+.，化简变形，等于π2sin(2)6
x ωλ
=-+，然后结
合周期公式得到结论。

（2）由由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π
()04
f =,
即5πππ
2sin()2sin 6264
λ=-⨯-=-=，即λ=结合定义域，求解得到值域。

(1）因为
2
2
()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+⋅+
cos22x x ωωλ=-+π
2sin(2)6
x ωλ
=-+.
由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴,可得πsin(2π)16
ω-=±，
所以ππ2ππ()62k k ω-=+∈Z ，即1
()
23
k k ω=+
∈Z ．
又1(,1)2
ω∈，k ∈Z ，所以1k =,故5
6ω=。

所以()f x 的最小正周期是6π5. －－－－－－－－－－－－－－－－7分
（2）由()y f x =的图象过点π(,0)4,得π
()04
f =，
即5πππ
2sin()2sin 6264
λ=-⨯-=-=,即λ=
故5π
()2sin()36
f x x =-
由3π05x ≤≤，有π5π5π
6366x -≤-≤
, 所以15π
sin()1236
x -≤-≤，得5π
12sin()236
x --
故函数
()f x 在3π[0,]5上的取值范围为[12-.－－－－－－－－－－
－14分 Ks5u。