不定积分的概念及性质4116页PPT
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2
例 例77 x d 3x xx 3 4 d x x4 4 3 1 1C33 xC．
3
55 1 1
例 8例 例8 8 x ( x x 2 (x 5 2 ) 5 d )d x x ( x 2 ( x 2 5 x 2 )d 5 x x2) d x
55
1 1
55 1 1
x 2 d x x 2 d x 5 x 5 x 2 2 d d x x x 2 x d 2 x d x 5 x 5 2 d x x 2 d x
f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分，记作
f ( x ) d x ． 其 中 记 号 称 为 积 分 号 ， f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表
达式，x 称为积分变量．
根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x)C就是 f(x)的不定积分，即
f ( x ) d x F ( x ) C ．
x d x 3 d x 3 1 x d x x 1 2d x
1 x 2 3 x 3 l n |x | 1 C ．
2
x
例 例1 10 0 ( e x 3 c o s x ) d x e x d x 3 c o s x d x e x 3sin x C ． 例 例11 1 1 2 x e x d x ( 2 e ) x d x (2 e )x C 2 x e x C ．
l2 n e )( 1 l2 n
因 为 2 x d x x 2 C ， 所以曲线方程为yx 2C．
因所求曲线通过点(1，2)，故 21C， C1．
于是所求曲线方程为yx 21．
积分曲线： f(x)的原函数的图形称为f(x)
的积分曲线．
y
y=x3+C
2
微分与积分的关系：
C=2 1
从不定积分的定义可知：
1
C=1
d d [ f ( x ) d x x ] f ( x ) ，C=0
或 d [ f ( x ) d x ] f ( x ) d x ；
01x
1
C=1.5
2
又由于F(x)是F (x)的原函数，所以
F ( x ) d x F ( x ) C ， 3x2积分曲线：
或 记 作 d F ( x ) F ( x ) C ．
三、不定积分的性质和基本积分公式
1、不定积分的性质
2 x 7 2 5 · 2 x 2 3 C 2 x 3 x 1 x x 0 C ． 73 7 3
例 9 例 例9 9
(x ( x 1 ) 1)3 3d dx x xx 33 3x3 2x 2 3x 3 1 x dx 1 d x
x2 x2
x2x2
( x 3 3 x x 1 2 ) d x
§4．1 不定积分的概念及性质
一、原函数与不定积分的概念
原函数、原函数存在定理 不定积分、积分曲线 微分与积分的关系
二、不定积分的性质 三、基本积分表
一、原函数
定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为 f(x)，即对 任一x I，都有
F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx， 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．
例如，sin x 是cos x 的原函数． 又如当x (1，)时，
[ ln ( x x 2 1 ) ] 1， x 2 1
所 以 ln (x x 2 1 )是 1 在区间(1，)内的原函数． x 2 1
原函数存在定理： 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数
F(x)，使对任一 x I 都有 F (x)f(x)．
2、基本积分公式
( 1 ) k d x k x C (k是常数)，
( 2 ) x d x 1 x 1 C ， 1
( 3 ) 1 x d x ln |x|C ， ( 4 ) 1 1 x 2 d x arctan x C ， ( 5 )1 1 x 2 d x arcsin x C ， ( 6 ) c o s x d x sin x C ，
例例 例 11 1 x x 2 2 d d x x 1 1 x x 3 3 C C ． ．
3 3
例例 22 1 x d x ln|x|C ．
例3 设曲线通过点(1，2)，且其程．
解 设所求的曲线方程为yf(x)， 按题设 dy 2x ， dx
简单地说就是：连续函数一定有原函数．
两点说明：
(1)如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C 也是f(x)的原函数， 其中C是任意常数．
(2)如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则 (x)F(x)C (C为某个常数)．
二、不定积分的概念： 定义2 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为
( 7 ) s i n x d x cos x C ，
( 8 )c1 2 o x d x s s e c 2 x d x ta n x C ， (9 )s1 2 ix d n x c s c 2 x d x c o tx C ， ( 1 0 ) s e c x t a n x d x s e c x C ，
( 1 1 )c s c x c o t x d x c s c x C ，
(12) e x dx ex C ， ( 1 3 ) a x d x a x C ，
la n
四、直接积分法
例 例5 5 x 1 3 d x x 3 d x 3 1 1 x 3 1 C 2 1 x 2 C ． 例 例6 6 x 2x d x x 5 2 d x 51 1x5 2 1C 7 2x3xC．
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即
[ f ( x ) g ( x ) ] d x f ( x ) d x g ( x ) d x ．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提 到积分号外面来，即
k f ( x ) d x k f ( x ) d x ( k 是 常 数 ， k 0 ) ．
例 例77 x d 3x xx 3 4 d x x4 4 3 1 1C33 xC．
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例 8例 例8 8 x ( x x 2 (x 5 2 ) 5 d )d x x ( x 2 ( x 2 5 x 2 )d 5 x x2) d x
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x 2 d x x 2 d x 5 x 5 x 2 2 d d x x x 2 x d 2 x d x 5 x 5 2 d x x 2 d x
f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分，记作
f ( x ) d x ． 其 中 记 号 称 为 积 分 号 ， f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表
达式，x 称为积分变量．
根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么F(x)C就是 f(x)的不定积分，即
f ( x ) d x F ( x ) C ．
x d x 3 d x 3 1 x d x x 1 2d x
1 x 2 3 x 3 l n |x | 1 C ．
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x
例 例1 10 0 ( e x 3 c o s x ) d x e x d x 3 c o s x d x e x 3sin x C ． 例 例11 1 1 2 x e x d x ( 2 e ) x d x (2 e )x C 2 x e x C ．
l2 n e )( 1 l2 n
因 为 2 x d x x 2 C ， 所以曲线方程为yx 2C．
因所求曲线通过点(1，2)，故 21C， C1．
于是所求曲线方程为yx 21．
积分曲线： f(x)的原函数的图形称为f(x)
的积分曲线．
y
y=x3+C
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微分与积分的关系：
C=2 1
从不定积分的定义可知：
1
C=1
d d [ f ( x ) d x x ] f ( x ) ，C=0
或 d [ f ( x ) d x ] f ( x ) d x ；
01x
1
C=1.5
2
又由于F(x)是F (x)的原函数，所以
F ( x ) d x F ( x ) C ， 3x2积分曲线：
或 记 作 d F ( x ) F ( x ) C ．
三、不定积分的性质和基本积分公式
1、不定积分的性质
2 x 7 2 5 · 2 x 2 3 C 2 x 3 x 1 x x 0 C ． 73 7 3
例 9 例 例9 9
(x ( x 1 ) 1)3 3d dx x xx 33 3x3 2x 2 3x 3 1 x dx 1 d x
x2 x2
x2x2
( x 3 3 x x 1 2 ) d x
§4．1 不定积分的概念及性质
一、原函数与不定积分的概念
原函数、原函数存在定理 不定积分、积分曲线 微分与积分的关系
二、不定积分的性质 三、基本积分表
一、原函数
定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为 f(x)，即对 任一x I，都有
F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx， 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数．
例如，sin x 是cos x 的原函数． 又如当x (1，)时，
[ ln ( x x 2 1 ) ] 1， x 2 1
所 以 ln (x x 2 1 )是 1 在区间(1，)内的原函数． x 2 1
原函数存在定理： 如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数
F(x)，使对任一 x I 都有 F (x)f(x)．
2、基本积分公式
( 1 ) k d x k x C (k是常数)，
( 2 ) x d x 1 x 1 C ， 1
( 3 ) 1 x d x ln |x|C ， ( 4 ) 1 1 x 2 d x arctan x C ， ( 5 )1 1 x 2 d x arcsin x C ， ( 6 ) c o s x d x sin x C ，
例例 例 11 1 x x 2 2 d d x x 1 1 x x 3 3 C C ． ．
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例例 22 1 x d x ln|x|C ．
例3 设曲线通过点(1，2)，且其程．
解 设所求的曲线方程为yf(x)， 按题设 dy 2x ， dx
简单地说就是：连续函数一定有原函数．
两点说明：
(1)如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C 也是f(x)的原函数， 其中C是任意常数．
(2)如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则 (x)F(x)C (C为某个常数)．
二、不定积分的概念： 定义2 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为
( 7 ) s i n x d x cos x C ，
( 8 )c1 2 o x d x s s e c 2 x d x ta n x C ， (9 )s1 2 ix d n x c s c 2 x d x c o tx C ， ( 1 0 ) s e c x t a n x d x s e c x C ，
( 1 1 )c s c x c o t x d x c s c x C ，
(12) e x dx ex C ， ( 1 3 ) a x d x a x C ，
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四、直接积分法
例 例5 5 x 1 3 d x x 3 d x 3 1 1 x 3 1 C 2 1 x 2 C ． 例 例6 6 x 2x d x x 5 2 d x 51 1x5 2 1C 7 2x3xC．
性质1 函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即
[ f ( x ) g ( x ) ] d x f ( x ) d x g ( x ) d x ．
性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提 到积分号外面来，即
k f ( x ) d x k f ( x ) d x ( k 是 常 数 ， k 0 ) ．