高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达标测试综合卷学能测试试卷

高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达标测试
综合卷学能测试试卷
一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．已知当0x >时，2()24f x x x =-+；0x ≤时(2)y f x =+，以下结论正确的是
（ ）
A ．()f x 在区间[]6,4--上是增函数；
B ．()()220212f f -+-=；
C ．函数()y f x =周期函数，且最小正周期为2；
D ．若方程()1f x kx =+恰有3个实根，则1
42
k <<-4k =； 【答案】BD 【分析】
利用函数的性质，依次对选项加以判断，ABC 考查函数的周期性及函数的单调性，重点理解函数周期性的应用，是解题的关键，D 选项考查方程的根的个数，需要转化为两个函数的交点个数，在同一图像中分别研究两个函数，临界条件是直线与函数()f x 相切，结合图像将问题简单化. 【详解】
对于A ，0x ≤时(2)y f x =+，
即()f x 在区间[]6,4--上的单调性与()f x 在区间[]
0,2上单调性一致， 所以()f x 在[]6,5--上是增函数，在[]
5,4--上是减函数，故A 错误； 对于B ，当0x ≤时，()2()f x f x +=，
()()22=22242=0f f -=-⨯+⨯，
()()()()20211=1+2=1=2+42f f f f -=---=，故B 正确；
对于C ，当0x ≤时，()2()f x f x +=， 当0x >时，()f x 不是周期函数，故C 错误； 对于D ，由0x >时，2
()24f x x x =-+；
0x ≤时(2)y f x =+，可求得当20x -<<时，2()24f x x x =--；
直线1y kx =+恒过点(0,1)，方程()1f x kx =+恰有3个实根， 即函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点，
当0k >时，直线1y kx =+与函数()f x （0x >）相切于点00(,)x y ，
则0200012
44124k k x
kx x x
⎧
>⎪⎪=-+⎨⎪+=-+⎪⎩
，解得04222=2k x ⎧=-⎪
⎨⎪⎩，
要函数()f x 和函数1y kx =+的图像有三个交点， 则k 的取值范围为：
1
4222
k <<-； 当0k <时，当0x >时，直线1y kx =+与函数()f x 有两个交点， 设直线1y kx =+与函数()f x （0x ≤）相切于点00(,)x y ''，
则020*******k x kx x x =-'-⎧⎨'+=-'-'⎩，解得0224
2=k x ⎧=-⎪
⎨'-
⎪⎩
综上，方程()1f x kx =+有3个实根， 则
1
4222
k <<-或224k =-,故D 正确.
故选：BD. 【点睛】
本题考查函数的性质，单调性，及函数零点个数的判断，主要考查学生的逻辑推理能力，数形结合能力，属于较难题.
2．已知()x x f x e ke -=+（k 为常数），那么函数()f x 的图象不可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】AD 【分析】
根据选项，四个图象可知备选函数都具有奇偶性．当1k =时，()x
x f x e e -=+为偶函数，
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，再根据单调性进行分析得出答案．
【详解】
由选项的四个图象可知，备选函数都具有奇偶性． 当1k =时，()x x f x e
e -=+为偶函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=+在1) [,t ∈+∞上单调递增， 故函数()x
x f x e
e -=+在0) [,x ∈+∞上单调递增，故选项C 正确，D 错误；
当1k =-时，()x
x f x e e -=-为奇函数，
当0x ≥时，1x t e =≥且单调递增，而1y t t
=-在1) [,t ∈+∞上单调递减， 故函数()x
x f x e e -=-在0) [,x ∈+∞上单调递减，故选项B 正确，A 错误.
故选:AD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查函数性质与图象，本题的关键是根据函数图象的对称性，可知1k =或1k =-，再判断函数的单调性.
3．下列说法中，正确的有（ ） A ．若0a b >>，则
b a a b
> B ．若0a >，0b >，1a b +=，则11
a b
+的最小值为4 C ．己知()11212
x
f x =
-+，且()()2
110f a f a -+-<，则实数a 的取值范围为()2,1-
D ．已知函数()()
2
2log 38f x x ax =-+在[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是
(]11,6--
【答案】BCD 【分析】
利用不等式的基本性质可判断A 选项的正误；将+a b 与
11
a b
+相乘，展开后利用基本不等式可判断B 选项的正误；判断函数()f x 的单调性与奇偶性，解不等式
()()2110f a f a -+-<可判断C 选项的正误；利用复合函数法可得出关于实数a 的不等
式组，解出a 的取值范围，可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，0a b >>，则1a b
b a
>>，A 选项错误； 对于B 选项，
0a >，0b >，1a b +=，
(
)1111224b a a b a b a b a b ⎛⎫
∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当12a b ==
时，等号成立，所以，11
a b
+的最小值为4，B 选项正确； 对于C 选项，函数()f x 的定义域为R ， 任取1x 、2x R ∈且12x x <，则21220x x >>， 所以，
()()()()
2112121
2121
1111122021221221212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-=> ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，
即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为R 上的减函数，
()()()()
2211112212221212x
x
x x x f x -+-=-==+++，
则()()()()()
()2121221
2122212221x x x x x x x x
f x f x --------====-+⋅++， 所以，函数()f x 为R 上的奇函数，且为减函数， 由()(
)2
110f a f a
-+-<可得()()()2
2
111f a f a f a
-<--=-，
所以，211a a -<-，即220a a +-<，解得21a -<<，C 选项正确； 对于D 选项，对于函数()()
2
2log 38f x x ax =-+，令238u x ax =-+，
由于外层函数2log y u =为增函数，则内层函数238u x ax =-+在[)1,-+∞上为增函数，
所以min 16380
a
u a ⎧≤-⎪⎨⎪=++>⎩，解得116a -<≤-，D 选项正确.
故选：BCD. 【点睛】
方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；
（2）判断函数()f x 的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“f ”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
4．高斯是德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.有这样一个函数就是以他名字命名的：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]
()f x x =称为高斯函数，又称为取整函数.如：(2.3)2f =，( 3.3)4f -=-.则下列正确的是（ ） A ．函数()f x 是R 上单调递增函数
B ．对于任意实数a b ，
，都有()()()f a f b f a b +≤+ C ．函数()()g x f x ax =-（0x ≠）有3个零点，则实数a 的取值范围是
34434532⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
，， D ．对于任意实数x ，y ，则()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件 【答案】BCD 【分析】
取反例可分析A 选项，设出a ，b 的小数部分，根据其取值范围可分析B 选项，数形结合可分析C 选项，取特殊值可分析D 选项． 【详解】
解：对于A 选项，()()1 1.21f f ==，故A 错误；
对于B 选项，令[]
a a r =+，[]
(,b b q r =+q 分别为a ，b 的小数部分)， 可知[]01r a a =-<，[]01q b b =-<，[]0r q +≥， 则()[][][][][][][]()()f a b a b r q a b r q a b f a f b ⎡⎤+=+++=++++=+⎣⎦，故B 错
误；
对于C 选项，可知当1k x k ≤<+，k Z ∈时，则()[]
f x x k ==， 可得()f x 的图象，如图所示：
函数()()()0g x f x ax x =-≠有3个零点，
∴函数()f x 的图象和直线y ax =有3个交点，且()0,0为()f x 和直线y ax =必过的
点，
由图可知，实数a 的取值范围是][34
43,,45
32⎛⎫⋃
⎪⎝⎭，故C 正确；
对于D 选项，当()()f x f y =时，即r ，q 分别为x ，y 的小数部分，可得01r ≤<，
01q ≤<，
[][]101x y x r y q r q -=+--=-<-=；
当1x y -<时，取0.9x =-，0.09y =，可得[]1x =-，[]
0y =，此时不满足
()()f x f y =，
故()()f x f y =是1x y -<成立的充分不必要条件，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查函数新定义问题，解答的关键是理解题意，转化为分段函数问题，利用数形结合思想；
5．已知21,1,()ln ,
1,x
x f x x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，下列正
确的是（ ）
A ．存在实数k ，使得方程恰有1个不同的实数解；
B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实数解；
C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实数解；
D ．存在实数k ，使得方程恰有6个不同的实数解； 【答案】ACD 【分析】
令()0f x t =≥，根据判别式确定方程2210t t k -+-=根的个数，作出()f x 的大致图象，根据根的取值，数形结合即可求解. 【详解】
令()0f x t =≥，则关于x 的方程2
[()]()210f x f x k -+-=，
可得2210t t k -+-=， 当58k =时，()14210k ∆=--=，此时方程仅有一个根12t =； 当5
8
k <
时，()14210k ∆=-->，此时方程有两个根12,t t ， 且121t t +=，此时至少有一个正根； 当5
8
k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根； 作出()f x 的大致图象，如下：
当5
8k =时，此时12
t =，由图可知()f x t =，有3个不同的交点，C 正确； 当5
8
k <
时，此时方程有两个根12,t t ，且121t t +=，此时至少有一个正根， 当()10,1t ∈、()20,1∈t ，且12t t ≠时，()f x t =，有6个不同的交点，D 正确； 当方程有两个根12,t t ，一个大于1，另一个小于0，
此时()f x t =，仅有1个交点，故A 正确；
当方程有两个根12,t t ，一个等于1，另一个等于0，()f x t =，有3个不同的交点，
当5
8k >
时，()14210k ∆=--<，此时方程无根. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题考查了根的个数求参数的取值范围，解题的关键是利用换元法将方程化为2210t t k -+-=，根据方程根的分布求解，考查了数形结合的思想，分类讨论的思想.
6．设函数cos2cos2()22x x f x -=-，则（ ） A ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增
B ．()f x 的值域为33,22⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦ C ．()f x 的一个周期为π D ．4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称
【答案】BC 【分析】
根据余弦函数及指数函数的单调性，分析复合函数的单调区间及值域，根据周期定义检验所给周期，利用函数的对称性判断对称中心即可求解. 【详解】
令cos2t x =，则12222t
t
t t y -=-=-
，显然函数12222
t t t
t
y -=-=-为增函数， 当0,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
时，cos2t x =为减函数， 根据复合函数单调性可知，()f x 在0,2π⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递减， 因为cos2[1,1]t x =∈-， 所以增函数12222t
t
t t y -=-=-
在cos2[1,1]t x =∈-时，3322
y -≤≤， 即()f x 的值域为33,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
； 因为cos2()
cos2(cos2c )os222
)(2()2x x x x x x f f πππ+-+-=-=+-=，
所以()f x 的一个周期为π，
因为sin 2sin 2224x x f x π-⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭，令sin 2sin 22(2
)x
x h x --=， 设(,)P x y 为sin 2sin 22(2
)x
x h x --=上任意一点，
则(,)2P x y π
'--为(,)P x y 关于,04π⎛⎫
⎪⎝⎭对称的点， 而sin 2(sin 2()
)
2
2
sin 2sin 2(
)2
2
2
22x x x x h y x y π
π
π
-----=-==≠--，
知点(
,)2
P x y π
'--不在函数图象上，
故()h x 的图象不关于点,04π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，即4f x π⎛
⎫+ ⎪⎝⎭的图像不关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭
对称.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查了余弦函数的性质，指数函数的性质，复合函数的单调性，考查了函数的周期性，值域，对称中心，属于难题.
7．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D ．12x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x
y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，
设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2211320222f e e ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛⎫
⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<，
12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D ，由12122x x x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
8．已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不断，若存在常数()t t R ∈，使得
()()0f x t tf x ++=对任意的实数x 成立，则称()f x 是回旋函数.给出下列四个命题中，正确
的命题是（ ）
A ．常值函数()(0)f x a a =≠为回旋函数的充要条件是1t =-；
B ．若(01)x y a a =<<为回旋函数，则1t >；
C ．函数2()f x x =不是回旋函数；
D ．若()f x 是2t =的回旋函数，则()f x 在[0]4030，
上至少有2015个零点. 【答案】ACD 【分析】
A.利用回旋函数的定义即可判断；
B.代入回旋函数的定义，推得矛盾，判断选项；
C.利用回旋函数的定义，令0x =，则必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，推得矛盾；
D.根据回旋函数的定义，推得()()22f x f x +=-，再根据零点存在性定理，推得零点的个数. 【详解】
A.若()f x a =，则()f x t a +=，则0a ta +=，解得：1t =-，故A 正确；
B.若指数函数()01x
y a a =<<为回旋函数，则0x t x a ta ++=，即0t a t +=，则0t <，
故B 不正确；
C.若函数()2
f x x =是回旋函数，则()2
20x t tx ++=，对任意实数都成立，令0x =，则
必有0t = ，令1x =，则2310t t ++=，显然0t =不是方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C 正确；
D. 若()f x 是2t =的回旋函数，则()()220f x f x ++=，对任意的实数x 都成立，即有
()()22f x f x +=-，则()2f x +与()f x 异号，由零点存在性定理得，在区间(),2x x +上必有一个零点，可令0,2,4,...20152x =⨯，则函数()f x 在[]
0,4030上至少存在2015个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】
本题考查以新定义为背景，判断函数的性质，重点考查对定义的理解，应用，属于中档题型.
9．已知函数()22,21
ln 1,1x x f x x x e +-≤≤⎧=⎨
-<≤⎩
，若关于x 的方程()f x m =恰有两个不同解
()1212,x x x x <，则
()212)x x f x -（的取值可能是（ ） A ．3- B ．1-
C ．0
D ．2
【答案】BC 【分析】
利用函数的单调性以及已知条件得到1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-，代入()212)x x f x -（，令12
1(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-
+∈-，求导，利用导函数的单调性分
析原函数的单调性，即可求出取值范围. 【详解】
因为()f x m =的两根为()1212,x x x x <， 所以1122
,e ,(1,0]2
m m x x m +-=
=∈-， 从而()()2
11
212222m m m m x x f x e m me m ++-⎛⎫-=-=-+ ⎪
⎝
⎭． 令1
21
(),(1,0]2
x g x xe
x x x +=-+∈-， 则1
()(1)1x g x x e x +'=+-+，(1,0]x ∈-．
因为(1,0]x ∈-，
所以1010,1,10x x e e x ++>>=-+>， 所以()0g x '>在(1,0]-上恒成立， 从而()g x 在(1,0]-上单调递增． 又5(0)0,(1)2
g g =-=-， 所以5(),02g x ⎛⎤
∈-
⎥⎝⎦
， 即()()212x x f x -⋅的取值范围是5,02⎛⎤
- ⎥⎝⎦
， 故选：BC ． 【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数
121
(),(1,0]2
x g x xe x x x +=-+∈-，利用导数求取值范围是解决本题的关键.
10．若()f x 满足对任意的实数a ，b 都有()()()f a b f a f b +=且()12f =，则下列判断正确的有（ ） A ．()f x 是奇函数
B ．()f x 在定义域上单调递增
C ．当()0,x ∈+∞时，函数()1f x >
D ．
()()()()()()()()()()()
()
2462016201820202020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++= 【答案】BCD 【分析】
利用新定义结合函数的性质进行判断．计算出(1)f 判断A ；先利用(1)21f =>证明所有有理数p ，有()1f p >，然后用任意无理数q 都可以看作是一个有理数列的极限，由极限的性质得()1f q >，这样可判断C ，由此再根据单调性定义判断B ，根据定义计算
(2)
(21)
f n f n -（n N ∈），然后求得D 中的和，从而判断D ．
【详解】
令0,1a b ==，则(1)(10)(1)(0)f f f f =+=，即22(0)f =，∴(0)1f =，()f x 不可能是奇函数，A 错；
对于任意x ∈R ，()0f x ≠，若存在0x R ∈，使得0()0f x =，则
0000(0)(())()()0f f x x f x f x =+-=-=，与(0)1f =矛盾，故对于任意x ∈R ，()0f x ≠，
∴对于任意x ∈R ，2
()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=
=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， ∵(1)21f =>，∴对任意正整数n ，
11111111121n
n n f n n f f f f f n n n n n n n ⎛⎫ ⎪
⎝⎭
⎛⎫ ⎪⎡⎤⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪+++===> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ⎪ ⎪⎝⎭
个
个，∴11f n ⎛⎫> ⎪⎝⎭
， 同理()(111)(1)(1)
(1)21n f n f f f f =++
+==>，
对任意正有理数p ，显然有m p n
=
（,m n
是互质的正整数），则1()1m
m f p f f
n n ⎡
⎤
⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， 对任意正无理数q ，可得看作是某个有理数列123,,,
p p p 的极限，而()1i f p >，
i N ∈，∴()f q 与()i f p 的极限，∴()1f q >， 综上对所有正实数x ，有()1f x >，C 正确，
设12x x <，则210x x ->，∴21()1f x x ->，则
21211211()(())()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅->，∴()f x 是增函数，B 正确；
由已知(2)(211)(21)(1)2(21)f n f n f n f f n =-+=-=-，∴(2)
2(21)
f n f n =-，
∴
()()()()()()()()()()()
()10102246201620182020222210102020135201520172019f f f f f f f f f f f f +++⋅⋅⋅++=+++=⨯=个，D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
本题考查新定义函数，考查学生分析问题，解决问题的能力，逻辑思维能力，运算求解能力，对学生要求较高，本题属于难题．
11．已知()()()52
log 1,1
22,1
x x f x x x ⎧-<⎪=⎨--+≥⎪⎩，则关于x 的方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
()1a <的实根
个数可能为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】ABC 【分析】
画出()f x 的图像，由1a <，可分类讨论01a <<，0a =，0a <三种情况，令
1
2t x x =+
-，并画出图像，结合两个函数图像以及12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
，判断出实根个数
构成的集合. 【详解】
画出()f x 的图像如图所示，令1
2t x x
=+
-，画出图像如图所示. 由()5log 11t -=，解得：4544,5
t t =-=
，由()2
221t --+=，解得671,3t t ==.. 由()5log 10t -=，解得：80t =，由()()2
2201t t --+=≥
，解得92t = （1）当01a <<时，()f t a =，有3解，且40t -<<或4
05
t <<
或32t <<+合12t x x =+
-的图像可知，40t -<<时没有x 与其对应，4
05
t <<
或32t <<每个t 都有2个x 与其对应，故此时12f x a x ⎛
⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有4个实数根. （2）当0a =时，()f t a =，有2解，且0t =
或2t =+0t =有一个1x =与其对
应，2t =x 与其对应，故此时12f x a x ⎛⎫
+
-= ⎪⎝
⎭
有3个实数根. （3）当0a <时，()f t a =，有1
解，且2t >1
2t x x
=+
-的图像可知，每个t 有两个x 与其对应，故此时1
2f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
有2个实数根.
综上所述，关于x 的方程12f x a x ⎛⎫
+-= ⎪⎝
⎭
的实根个数构成的集合为{2,3,4}. 故选：ABC
【点睛】
方法点睛：本题考查分类讨论参数，求函数零点个数问题，讨论函数零点个数常用方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解，考查学生的数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.
12．设[]
x 表示不超过x 的最大整数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]
y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（ ） A ．x R ∀∈，[][]22x x =
B ．,x y R ∀∈，若[][]x y =，则1x y ->-
C ．x R ∀∈，[][]122x x x ⎡⎤
++
=⎢⎥⎣⎦
D ．不等式[][]2
230x x --≥的解集为{|0x x <或}2x ≥ 【答案】BCD 【分析】
通过反例可得A 错误，根据取整函数的定义可证明BC 成立，求出不等式2230t t --≥的解后可得不等式[][]2
230x x --≥的解集，从而可判断D 正确与否. 【详解】
对于A ， 1.5x =-，则[][][]()233,2224x x =-=⨯--==-，故[][]
22x x ≠，故A 不成立.
对于B ，[][]
x y m ==，则1,1m x m m y m ≤<+≤<+， 故1m y m --<-≤-，所以1x y ->-，故B 成立. 对于C ，设x m r =+，其中[
),0,1m Z r ∈∈， 则[]11222x x m r ⎡
⎤⎡⎤++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，[][]222x m r =+， 若102r ≤<
，则102r ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦，[]20r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣
⎦； 若
112r <<，则112r ⎡⎤
+=⎢⎥⎣⎦，[]21r =，故[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣
⎦，故C 成立.
对于D ，由不等式[][]2
230x x --≥可得[]
1x ≤-或[]3
2
x ≥， 故0x <或2x ≥，故D 正确. 故选：BCD 【点睛】
本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注意把等式的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难题.
13．设s,t 0>，若满足关于x s =恰有三个不同的实数解
123,x x x s <<=则下列选项中，一定正确的是（ ）
A ．1230x x x ++>
B ．6425s t ⋅=
C ．
45
t s = D ．144
25
s t +=
【答案】CD 【分析】
设()f x ()f x 为偶函数，从而有1230x x x ++=，因此方程
()=f x s 必有一解为0
，代入得s =，分0x t ≤≤和x t >两种情况得出函数()f x 的单调性和最值，从而求得s t ，，可得选项. 【详解】 设(
)f x ()f x 为偶函数，所以1230x x x ++=，
所以()=f x s ，其中必有一解为0，则(
)0 f s s ==∴=，
①当0x t ≤≤时，(
)f x ≤当且仅当0x =时取等号； ②当x t >时，(
)f x =(),t +∞上递增， (
)f x s ==
，
54454
x t x t t x t x t =-++=⇒=⇒=
， 又
()f x 在(),t +∞上递增，35 4
x t
∴=，即3564516=,4
2545
x s t t s t ===
==， 6454144
, 2516525
t s t s ∴=⨯=+=. 故选：CD. 【点睛】
本题考查函数与方程的综合知识，关键构造合适的函数，判断函数的奇偶性，单调性，最值，属于较难题.
14．已知函数()()
2
2
14sin 2
x x
e x
f x e -=
+，则下列说法正确的是（ ）
A ．函数()y f x =是偶函数，且在(),-∞+∞上不单调
B ．函数()y f x '=是奇函数，且在(),-∞+∞上不单调递增
C ．函数()y f x =在π,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
上单调递增 D ．对任意m ∈R ，都有()()f m f m =，且()0f m ≥
【答案】AD 【分析】
由函数的奇偶性以及函数的单调性即可判断A 、B 、C 、D. 【详解】 解：对A ，
()()
2
22
11
4sin =2cos 2x x x
x e x e f x x e e
-+=
+-，
定义域为R ，关于原点对称，
()2211
=2cos()2cos()()x x x x
e e
f x x x f x e e
--++---=-=，
()y f x ∴=是偶函数，其图像关于y 轴对称，
()f x ∴在(),-∞+∞上不单调，故A 正确；
对B ，1
()2sin x
x
f x e x e '=-
+， 11()2sin()=(2sin )()x x
x x f x e x e x f x e e
--''-=-
+---+=-， ()f x '∴是奇函数，
令1
()2sin x
x g x e x e
=-+， 则1
()+
2cos 2+2cos 0x x g x e x x e
'=+≥≥， ()f x '∴在(),-∞+∞上单调递增，故B 错误；
对C ，1()2sin x x f x e x e
'=-
+，且()'
f x 在(),-∞+∞上单调递增， 又
(0)0f '=，
π,02x ⎛⎫
∴∈- ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，
()y f x ∴=在π,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
上单调递减，故C 错误；
对D ，
()y f x =是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，
()()f m f m ∴=，且()(0)0f m f ≥=，故D 正确.
故选：AD. 【点睛】
用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； (2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
15．已知函数()()(
)2
2
2
24x x f x x x m m e
e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1 B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论.
【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2
()42()0t
t
f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
16．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2a
b +=
C ．223a b +>
D ．01ab <<
【答案】ABD 【分析】
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函
数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫
<
⎪⎝⎭
，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】
由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-，
函数2x
y =与2log y x =互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数2x
y =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，
则(
),2
a
A a ，()2
,log B b b .
由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，
则2a b +=，22log 2a
b +=.因为0a >，0b >，且a
b ，
所以2
012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭
，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫
=< ⎪⎝⎭
，(1)10f =>， 所以
1
12
a <<. 因为22222
1(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<
⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫
+∈ ⎪⎝⎭
，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】
方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
17．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x π
π⎧<<⎪
=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩
，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（ ） A ．1ab = B ．26c d π+=
C ．abcd 的取值范围是()153,165
D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛
⎫
⎪⎝⎭
【答案】ACD
【分析】
作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误. 【详解】
由3
log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得1
99
x ≤≤. 作出函数()f x 的图象如下图所示：
由图象可得
1
191115179
a b c d <<<<<<<<<， 由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得
1ab =，A 选项正确； 令
()442
x k k Z πππ
π+=+∈，解得()41x k k Z =+∈， 当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于k Z ∈，3k ∴=， 所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫
=+∈
⎪⎝⎭
的图象关于直线13x =对称， 则点()(
),c f c 、()()
,d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；
()()()2
2613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确； 126a b c d a a
+++=+
+，下面证明函数1
y x x =+在()0,1上为减函数，
任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则
()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()121221121212
1x x x x x x x x x x x x ---=-+=， 1201x x <<<，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，
所以，函数1
y x x
=+
在()0,1上为减函数， 119a <<，则13162628,9a b c d a a ⎛
⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭
，D 选项正确.
故选：ACD. 【点睛】
方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
18．已知函数()sin sin x
x
f x e e
=+，以下结论正确的是（ ）
A ．()f x 是偶函数
B ．()f x 最小值为2
C ．()f x 在区间,2ππ⎛
⎫
-- ⎪⎝
⎭
上单调递减
D ．()()2
g x f x x π
=-
的零点个数为5
【答案】ABD 【分析】
去掉绝对值，由函数的奇偶性及周期性，对函数分段研究，利用导数再得到函数的单调性，再对选项进行判断. 【详解】
∵x ∈R ，()()f x f x -=，∴()f x 是偶函数，A 正确；
因为()()2f x f x π+=，由函数的奇偶性与周期性，只须研究()f x 在[]0,2π上图像变
化情况.()sin sin sin 2,01
,2x x x e x f x e x e πππ⎧≤≤⎪
=⎨+<≤⎪⎩
， 当0x π≤≤，()sin 2cos x
f x xe '=，则()f x 在0,
2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,2ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()[]
2,2f x e ∈； 当2x ππ≤≤时，()(
)sin sin cos x
x f x x e
e -'=-，则()
f x 在3,2x ππ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
上单调递增，在
3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
上单调递减，此时()12,f x e e ⎡
⎤∈+⎢⎥⎣⎦，故当02x π≤≤时，()min 2f x =，
B 正确.
因()f x 在,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭上单调递减，又()f x 是偶函数，故()f x 在,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭上单调递
增，故C 错误. 对于D ，转化为()2
f x x π=根的个数问题.因()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在,2ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，在3,
2
ππ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在3,22ππ⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减.当(),x π∈-∞时，()2f x ≥，2
2x π
<，()2
f x x π=
无实根.()3,x π∈+∞时，
()max 2
62x e f x π
>>=，()2
f x x
π
=
无实根，3,
2x ππ⎡
⎤
∈⎢⎥⎣
⎦
，显然x π=为方程之根.()sin sin x
x f x e
e -=+，
()()sin sin cos 0x x f x x e e -'=->，3123322f e e π
ππ⎛⎫=+>⨯=
⎪
⎝⎭
，单独就这段图象，()302
f f π
π⎛⎫'='=
⎪⎝⎭，()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上变化趋势为先快扣慢，故()g x 在3,2ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭内有1个零点，由图像知()g x 在3,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
内有3个零点，又5252
f e π
⎛⎫
=> ⎪⎝⎭
，结合图象，知D 正确.
故选：ABD. 【点睛】
方法点睛：研究函数性质往往从以下方面入手： （1）分析单调性、奇偶性、周期性以及对称性；
（2）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个容易画出图象的函数，将两个函数的图象画在同一个平面直角坐标系中，利用数形结合的方法求解.
19．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()001
12
f x f x =+=-
，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）
A ．0112f x ⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭
B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
C ．()f x 的最小正周期为3
D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为
1346个
【答案】AC 【分析】
根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得
052,6
x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6
x k k Z π
ωϕπ++=-
∈，两式相减可求出ω，进而求得
周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】
解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值，
即0112f x ⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，所以A 正确； 因为()()001
12
f x f x =+=-
， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令05
2,6
k k Z ωϕππ+=-
∈， ()012,6
x k k Z π
ωϕπ++=-∈，
两式相减得，23
πω=， 所以23T π
ω
=
=，即B 错误，C 正确；
因为3T =，
所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，
()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.
故选:AC . 【点睛】
本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．
20．已知函数()221,0log 1,0
x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数
可能为（ ） A ．2 B ．6
C ．5
D ．4
【答案】ACD 【分析】
先画出()f x 的图象，再讨论方程()()22
210f x f x a -+-=的根，求得()f x 的范围，再
数形结合，得到答案. 【详解】
画出()f x 的图象如图所示：
令()t f x =，则22210t t a -+-=，则2
4(2)a ∆=-，
当0∆=，即22a =时，1t =，此时()1f x =，由图1y =与()y f x =的图象有两个交点，
即方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为2个，A 正确；
当>0∆时，即22a <时，212t a =-，则2022a <-≤
故211212a <+-≤212121a ≤-<，
当212t a =-2()12f x a =--(1,1)∈-，则x 有2解， 当212t a =-t (1,2]∈，则x 有3解；若t (2,12]∈+
，则x 有2解，
故方程()()22
210f x f x a -+-=的根的个数为5个或4个，CD 正确；
故选：ACD 【点睛】
本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.。