12 三角学

这就证明了AC、BD相互平分．再用共边定理得 SMAB/SMBC=MA/MC=1，
即SMAB=SMBC．其余可类似证明．
例6 三角形ABC内任取一点P,连结AP、BP、CP并延长, 分别交对边于D、E、F.求证:PD/AD+PE/BE+PF/CF=1. A 证明：由共边定理 PD/AD=SPBC/SABC PE/BE=SPAC/SABC PF/CF=SPAB/SABC C 故：PD/AD+PE/BE+PF/CF=1．
B C
c1
B’
D
c2
另一种证明（面积法）
A
c
A’
SBCB’+SACA’+SBCA’=SBB’A’+SAB’A’
a2sinC/2+b2sinC/2+[absin2(180。-C)]/2 =cc1sin(180。-C)/2+cc2sinC/2 (斜高公式） a2sinC/2+b2sinC/2+[absin2(180。-C)]/2 =c(c1+c2)sinC/2 a2sinC/2+b2sinC/2+[absin2(180。-C)]/2 =c2sinC/2 sin2(180。-C)=2sin(180。-C)cos(180。-C) =-2sinCcosC c2=a2+b2-2abcosC
个建议.数学教学,2006, (10): 0-4,20.
定义
边长为1，有一个角为A的菱形的面积， 叫做角A的正弦，记作sinA. （0°≤A≤ 180°） 用这种办法直接引入正弦三角函数的直观定 义．虽然这种定义有点怪，但比起有点难以捉 摸的“比”，它把正弦规定为一个确定的面积， 更容易理解一些，用起来也更方便．
sin(90°-A)=cosA
cos(90°-A)=sinA （0°≤ A ≤ 90°） cos(180°-A)=-cosA
当0° ≤ A < 90° cos(180°-A)= -sin( (180 °-A) -90°)=-sin(90°-A) =-cosA 当90°≤ A ≤180° cos(180°-A)=sin(90°-(180 °-A))=sin(A-90°) =-cosA
两种三角形面积公式的统一与推广
S=absinA/2 S=ah/2
斜高公式 在三角形ABC中，设BC=a．在直线BC 上任取一点P，设AP=b’，AP与BC所成角为C’，则 有 S=ab’sinC’/2 .
A
B P
SABC=SABP+SACP =AP*BP*sin(180。-C’)/2+AP*PC*sinC’/2 =AP*BC*sinC’/2 C =absinC’/2
三角学
7.2.1 三角学是定量化的几何学
三角函数始于由圆周的弧长求所对应的弦长，这是人
们最容易想到数学问题之一.（单位圆若弧长为x，则 对应的弦长为2Sin(x/2)）. 三角学，原本是几何学的一部分. 三角学起先的目标 是解三角形，即研究三角形的各种边角关系，因此最 初三角学还完全依赖于三角形，无须研究超过180度 的角的三角函数. 几何学把三角学作为组成部分，使得三角形成为可以 计算的、量化了的几何图形。在这个意义上说，三角 学是对欧氏几何的重要补充，三角学是代数和几何学 之间的桥梁.
正弦的基本性质
sin 0°=sin 180°=0 sin 90°=1 sin(180°-A)=sinA （Euler定义） 在直角三角形中，锐角的正弦
等于对边比斜边 (S=bcsinA/2=ab/2) （单调性）当0°≤A≤ 90°时， sinA单调递增； 当90° ≤A≤ 180°时， sinA单调递减 0≤sinA≤1
微积分诞生之后，三角学通过引入单位圆研究
任意角，内容更为丰富，三角学成为研究三角 函数的学科。而三角函数作为和谐周期运动的 数学模型，成为微积分研究的重要对象. 从解三角形衍生出三角函数，是一个数学认识 上的飞跃。
7.2.2 张景中对三角学的处理——一个开门见山 的三角学体系
张景中.重建三角全局皆活——初中数学课程结构性改革的一
B
D
C
=SBCE/SBDE
=CB/DB=2
例5 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于 点M．已知SABC=SADC，SABD=SCBD，求证：M是 AC、BD的中点，且SMAB=SMBC=SMCD=SMDA．
D M A B C 证明：由共边定理及题设，得 MA/MC=SABD/SCBD=1， MB/MD=SABC/SACD=1，
正弦的勾股关系 若A+B=90°，则sin2A+sin2B=1.
勾股定理
在直角三角形ABC中，斜边的平方 等于另两边平方之和，即a2+b2=c2． 定义 一个角A的余角的正弦,叫做A的余弦,记 cosA．
cosA= sin(90。-A) -sin(A-90。) (0。 ≤ A ≤ 90。)， (90。 < A ≤ 180。)．
例8 如图，在三角形ABC的边AB和AC上分别取点D、 E，使AD=AE．又设M是BC的中点，AM与DE交于N 求证：DN/NE=AC/AB． A 证明：由共角定理 SAND/SABM=AN*AD/AB*AM SANE/SACM=AN*AE/AC*AM N E D 由共边定理 C M B S /S =BM/CM=1
sin2A+cos2A=1． （0°≤ A , B≤ 180°）
（单调性）当0°≤A≤ 90°时， cosA单调递减；
当90° ≤A≤ 180°时， cosA单调递增 当0°≤A≤ 90°时， 0≤cosA≤1 ；当90° ≤A≤ 180°时， -1≤cosA≤0 ；
两角和与差公式（0°≤β≤α≤ 90°） sin(α+β) =sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β) =sinαcosβ-cosαsinβ cos(α+β) =cosαcosβ-sinαsinβ cos(α-β) =cosαcosβ+sinαsinβ
AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’． 证明：由内角和定理得C=C’，再用共角定理得
SABC/SA’B’C’=AB*AC/A’B’*A’C’=BA*BC/B’A’*B’C’ =CA*CB/C’A’*C’B’
故： AB/A’B’=BC/B’C’=CA/C’A’．
例3 (角平分线的性质) 设AD是三角形ABC中A的角 平分线，求证： AB/AC=BD/CD．
B
同角
A(A’)
B’
互补角
C’
B’ A(A’)
例1(等腰三角形的性质) 三角形ABC中B=C， 求证：AB=AC． 证明：三角形BAC与三角形CBA是共角三角形，故 1=SBAC/SCAB=BC*BA/CA*CB=BA/CA.
例2 (相似三角形判定定理)
在三角形ABC和三角形
A’B’C’中A=A’，B=B’，求证：
ABM ACM
故：ND/NE=SAND/SANE=AC/AB．
和欧氏基本工具的比较
面积法的基本工具：共边定理与共角定理
欧几里得的基本工具：全等三角形与相似三角形
和欧氏法基本工具的比较
面积法的基本工具：共边定理与共角定理
欧氏法的基本工具：全等三角形与相似三角形 通用性 从统计学观点看，任给几个点连成直 线，出现一对全等三角形或相似三角形的机会 太少了，概率为0．所以利用“全等”或“相 似”来解题，通常要挖空心思作辅助线，凑出 全等三角形或相似三角形．而作辅助线规律不 好掌握，非常困难．但共边三角形和共角三角 形却很常见，因此它们的性质到处都用得上．
欧氏几何主要用定性的方法研究三角形，三角学则是
定量地研究三角形的边角关系。 事实上，欧氏几何学研究三角形的边角关系，只能得 出“大边对大角，小边对小角”、 “三角形两边之和 大于第三边，两边之差小于第三边”之类的定性结论. 勾股定理——“直角边长的平方和等于斜边长的平方” 虽然得到了直角三角形三边之间的关系，但是，对于 一般三角形的三个边长又有怎样的关系呢? 三角学把三角形的边角关系完全定量化了. 正弦定理 刻画了“边长及其对应角的正弦之比”的恒定性质， 余弦定理更是描述了三边之长的关系，把勾股定理作 为一个特例.
B C
D B’ A
SBCB’+SACA’-SBCA’=SBB’A’+SAB’A’
A’ B C
B
B’
D A C B’
D A
A’
A’
有了基本工具－－正弦定理和余弦定理，欧氏
体系可以顺利展开。
全等三角形的判定 (SSS) (SAS) (ASA) (AAS) 用余弦定理证明前两个，正弦定理证后面的．．
两角和与差公式（0°≤β≤α≤ 90°） sin(α+β) =sinαsin(90°-β)+sinβsin(90°-α) sin(α-β) =sinαsin(90°-β)-sinβsin(90°-α) P A
c B
α
h
β
b C
α
β
D
A
B
C
bcsin(α+β)/2=chsinα/2+bhsinβ/2 PA*PBsin(α-β)/2=PA*PCsinα/2-PB*PCsinβ/2
F P
B D
E
例7 三角形ABC内任取一点P，连结AP、BP、CP并 延长，分别交对边于D、E、F，求证： AF/BF*BD/CD*CE/AE=1． A 证明：由共边定理 E AF/BF=SAPC/SBPC F P B
D
C
BD/CD=SAPB/SAPC CE/AE=SBPC/SBPA 三式相乘，即得 AF/BF*BD/CD*CE/AE=1．
各种三角恒等式
附录：
也可以由两角差的余弦公式得到所有三角公
式． 两角差的余弦公式的简便求法： 设OP=(cosα,sin α),OQ=(cos β,sin β), 则OP· OQ＝cosα cos β+sin αsin β OP· OQ＝cos(α- β) 得证
旧教材的 证法
按定义，我们可以导出 平行四边形面积公式 S=absinA 三角形面积公式 S=absinC/2 三角形面积公式在几何体系中占有重要地位． 第一，平面几何里有3个最重要的度量：长度、角 度和面积，这个公式把三者联系起来了； 第二，三角形是平面几何的基本图形，所以这个公 式处处能用；
证明：三角形ADC和三角形ADB既是共边三角形又是 共角三角形，故 BD/CD=SADB/SADC=AD*AB/AD*AC=AB/AC A
B
D
C
Hale Waihona Puke 例4 (重心定理) 三角形ABC的两中线AD、BE交于M ， 求证：AM=2MD． A 证明：由共边定理及题设条件得 E M AM/MD=S /S
ABE BDE
设ABPC是对边互不相交的四边形，对角线BC=a， AP=b’．直线AP与BC的交角及交点都记为C’，则 四边形ABPC的面积 S=ab’sinC’/2．
A B C’ P C P B C’ C A
两个有用的工具
共边三角形 两三角形有一条公共边
与共角三角形 两个三角形有一组对应角相等或互补
共边比例定理
P
若直线PQ和直线AB交于M，则 SPAB/SQAB=PM/QM．
P Q B A
同侧
A
Q M
B
M P
P
异侧
A M
Q
B
A
B
M Q
共角比例定理
若A=A’或A+A’=180。，则
B’ B C’ B C A(A’) C’ B’ B C C’ A(A’) C C
SABC/SA’B’C’=AB*AC/A’B’*A’C’．
A
SABC=SACP-SABP =AP*PC*sinC’/2-AP*PB*sinC’/2
=AP*BC*sinC’/2 =absinC’/2 SABC=SABP-SACP =AP*PB*sinC’/2-AP*PC*sinC’/2 =AP*BC*sinC’/2 =absinC’/2
P B A
C
B
C
P
斜高公式推广到四边形（直线变折线）
正弦定理
余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理的证明
Sin2C=Sin2(A+B)=(SinACosB+CosASinB)2
=Sin2ACos2B+2SinACosBCosASinB+Cos2ASin2B =Sin2A(1-Sin2B)+2SinASinBCosACosB+(1-Sin2A)Sin2B =Sin2A+Sin2B+2SinASinBCosACosB-2Sin2ASin2B =Sin2A+Sin2B+2SinASinB(CosACosB-SinASinB) =Sin2A+Sin2B+2SinASinBCos(A+B) =Sin2A+Sin2B-2SinASinBCosC 利用正弦定理，得证。