数理方程试题及解答二

数理方程试题二
一、填空：（10×2分=20分）
1.边界条件
2.初始状态
3.定解条件.
4.边值问题
5.拉普拉斯方程的连续解
6.狄利克莱问题
7.牛曼问题
8.()
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω
Γ
Ω
⋅-∂∂=∇dV gradv gradu dS n v
u
dV v u 2 9.()()()0001
1
14M M M M u M u m u M dS n r r n π
Γ⎡⎤
⎛⎫∂∂=--
⎢⎥ ⎪ ⎪∂∂⎢⎥⎝⎭⎣
⎦
⎰⎰
10.()()
()
()01!21220
≥++Γ-=++∞
=∑n m n m x x J m n m
n m
m n
二、选择题：（5×4分,共20分）
1．A; 2. B; 3. C; 4. C; . 5. D ．
三、（7分）解定解问题()()()()()⎪⎩
⎪
⎨⎧==≤≤='=><<=''-''=.0,,0,0;0,,0,;0,0,002t l u t u l x x g u x f x u t l x u c u t t xx tt
解：令()()()()()()
()
2,0X x T t u x t X x T t X x c T t λ''''=≠⇒==-，()()()()20,0T t c T t X x X x λλ''''+=+=
由方程()()()()0
00X x X x X X l λ''+=⎧⎪⎨==⎪⎩解出()()sin 1,2,3,n n n X x B x n l π== 由方程()()20T t c T t λ''+=解出：()()cos sin 1,2,3,.n n
n n ct n ct
T t C D n l l
ππ''=+= -----------4分 从而有：()(),cos sin sin 1,2,3,n n n n ct n ct n x u x t C D n l l l πππ⎛
⎫=+= ⎪
⎝⎭ 叠加起来：()()11,,cos sin sin ,n n n n n n ct n ct n x u x t u x t C D l l l πππ∞
∞
==⎛
⎫==+ ⎪
⎝
⎭∑∑ 代入初始条件确定,n n C D 有：()()002sin 2sin l n l n
n C x xdx l l
n D x xdx n c l πϕπψπ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
⎰⎰ ------------------------------------3分
四、（7分）证明: ()[]()x xJ x xJ x
01d d
= 证明: ()()()()()
,!21!32!22212
22266244220 +-++-+-=k x x x x x J k k k
()()().!
1!21!4!32!3!22!22212127755331 ++-++⋅⋅-⋅⋅+⋅-=++k k x x x x x x J k k k
---------------------4分
将()x J 1乘以x 并求导数，得
()[]()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⋅-=++ !1!21!222d d d d 12223421k k x x x x x xJ x k k k
()()
+-++-=+2
21233!212k x x x k k k
()()()(),!21!32!22212
2226624422⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-++-+-= k x x x x x k k k
即
()[]()x xJ x xJ x
01d d
=---------------------------------------------------------------3分 五、（7分）由定解问题 ()()⎪⎩⎪
⎨⎧+∞
<<-∞='
+∞<<-∞=''=''==x x u x x u u a u t t t xx tt ,,;002ψϕ导出达朗贝尔公式。

解: 作代换⎩
⎨⎧-=+=at x at
x ηξ,利用复合函数微分法则得
222222
22ηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u x u , ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂222222222ηηξξ
u u u a t u 代入原方程得.02=∂∂∂η
ξu
对η积分得
(),ξξ
f u
=∂∂ (()ξf 是ξ的任意可微函数),再将此式对ξ积分得 ()()()()()at x f at x f f d f t x u -++=+=⎰212,ηξξ
其中21,f f 都是任意二次连续可微函数,上式就是方程的通解. ------------------------------4分
代入定解条件得()()()()()()
⎩⎨⎧='-'=+x x f a x f a x x f x f ψϕ2121,
,
解出 ()()()2212101C d a x x f x ++=⎰ξξψϕ, ()()()2
212102
C
d a x x f x --=⎰ξξψϕ 从而得无限长弦自由振动的达朗贝尔公式
()()()()()at x f at x f f d f t x u -++=+=⎰212,ηξξ
=()()[]()ξξψϕϕd a at x at x at
x at
x ⎰+-+
-++2121------------------------------------3分 六、（7分）解柯西问题：⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<∞-='=+∞<<-∞>=''-''+''
==x u x u x y u u u y y y yy xy xx .0,3,,0;03202
解：特征方程 ()()0322
2
=--dx dxdy dy ，两族积分曲线为
2
13C y x C y x =+=-
作特征变换 ⎩⎨⎧+=-=y x y x ηξ3，原方程化成
02=∂∂∂ηξu
，它的通解为 ()()()ηξ21,f f y x u +=，其中21,f f 是两个任意二次连续可微的函数。

原方程的通解为 ()()()y x f y x f y x u ++-=213,-----------------------4分 把这两个函数代入边界条件得
()()()()⎩⎨⎧='+'-=+03332
12
21x f x f x x f x f
解得
()()⎪⎩
⎪⎨
⎧
'+='-=C x x f C x x f 2
22
14
341 从而得所求的解为
()()()222234
3341
,y x y x y x y x u +=++-=
----------------------------------------3分 七、（7分）证明：()⎰≠=l
n m n m dx x x 00sin sin ββ,其中n β满足h l h l n n n ,0sin cos =+βββ为常数.
证明：
xdx x n l
m ββsin sin 0
⎰
=
()()[]dx x x l
n m n m ⎰+--0cos cos 2
1ββββ ()()⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡++---=
n m n m n m n m l l ββββββββs i n s i n
21---------------------------4分 由,0sin cos =+l h l m m m βββ,0sin cos =+l h l n n n βββ可推出
()()
()()
l l h
l l l h
l n m n m n m n m n m n m ββββββββββββcos cos sin ,cos cos sin +-
=+--
=-
即有：xdx x n l
m ββsin sin 0
⎰()()⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++---=
n m n m n m n m l l ββββββββsin sin 21 = 0（证完）-------------3分
八、（7分）一块热的物体，如果体内每一点的温度不全一样，则在温度较高的点处的热量就要向
温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。

试求均匀且各向同性的导热体在传热过程中温度所满足的微分方程。

解: dSdt u kgrad dSdt u grad k dSdt n
u
k dQ n ⋅-=-=∂∂-=)(
⎰⎰⎰⋅=2
1
][1t t S dt dS u grad k Q
()()[]dV t z y x u t z y x u c dt dS u grad k V
t t S
⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=⋅1
2
,,,,,,][2
1
ρ-----------------------------------------------4分
即:=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∇⎰⎰⎰⎰dt udV k t t V 21
2
dt dV t u
c t t V ⎰
⎰⎰⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂2
1
ρ,从而它们的被积函数恒等,即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=∇=∂∂222222222z u y u x
u a u a t u -------------------------------3分 九、（8分）求解定解问题：⎪⎩⎪
⎨⎧≤≤='=>==><<=''-''====.
0,0,
0,,0,0,0,0002l x u u
t B u u t l x A u a u t t t l x x xx tt
解：令()()()x W t x V t x u
+=,,，代入方程得
()A x W x V a t V +⎥⎦
⎤⎢⎣⎡''+∂∂=∂∂22
22
2 选择()x W 满足
()⎪⎩⎪⎨⎧>==<<=+''==0,,0,0,00
2
t B W W l x A x W a l x x 求得 ()x l B a
Al x a A x W ⎪⎭⎫
⎝⎛++-=222
22------------------------4分 由边界条件可知()t x V ,为下列定解问题：
()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂-=>==><<∂∂=∂∂====.
0,0,,0,0,0,0,00022222l x t V x W V t V V t l x x V a t
V t t l x x 的解。

用分离变量法可求得满足齐次边界条件的解为
()x l n t l a n D t l a n C t x V n n n πππs i n s i n c o s ,1∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+= 利用定解条件得0=n D ，ππππn B n a Al n n a Al C n cos 222222
3322⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=
因此原定解问题的解为
()x l n t l a n C x l B a Al x a A t x u n n ππsin cos 22,1222∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=------------4分
十、（10分）解方程 (
)
()01d d 2d d 12
22
=++--y n n x y
x x y x
，其中n 为任意实数。

解：设.0,00
≠=∑∞
=+a x a y k c k k 代入方程得
()()()[]()()011120
=-++++-+++--+∞
=+∞
=∑∑c k k k c
k k k x a c k c k x
a n n c k c k
经过适当的整理可得
()()+++---1
12
011c c x
a c c x
a c c ()(){()()()[]}011120
2=+-+++-+++++∞
=+∑c k k k k x a n n c k c k a c k c k
这是x 的恒等式，所以x 的各次幂的系数必全为零，即
()(),01,0110=+=-a c c a c c
()()()()()[]
,2,1,0,011122==+-+++-+++++k a n n c k c k a c k c k k
k 故 c=0，或c=1，或c=-1（设01≠a ）
()()()()()() ,2,1,021112=+++++-+++=+k a c k c k n n c k c k a k
k 取c=0，得
()()()()() ,2,1,01212=++++-=
+k a k k n k n k a k
k --------------------------------------5分 这时，10,a a 都是任意常数。

令k =0， 2， ．．．，2i ，．．．（i =1，2，．．．）得
()
()()()()()(),!
21231222102a i i n n n i n n n a i
i -++++---=
令k =1， 3， ．．．，2i -1，．．．（i =1，2，．．．）得
()
()()()()()()(),!
12242123111
12a i i n n n i n n n a i
i +++++----=+
从而得
()()()()()()()()()()⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡+++--++--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-++-= 531420!54231!321!4312!211x n n n n x n n x a x n n n n x n n a y 记为21y y y +=，c=1时，所得级数是2y ；c=-1时，所得级数是1y 。

-------------------------------5分。