数理方程与特殊函数1微积分公式复习

0
0
1
t
f ( )sin (t )d
0
➢如果微分方程中涉及单因素(一个自变量）, 相应 的方程称为常微分方程；如果微分方程涉及多因素 (多个自变量),方程中出现的导数是偏导数,相应的
方程称为偏微分方程。
简谐振动 (常微分方程)
u = u( t )
d 2u dt 2
2
u
0
O
2u t 2
a2
2u x 2
莱布尼兹记号
dy du d 2 y dx dt dx2··· ···源自二阶常系数齐次线性常微分方程
y py qy 0
辅助方程 两相异实根 两相等实根 两共轭复根
m2 pm q 0
m1 m2
y C1e m1x C2e m2x
m1 m2 m y (C1 C2 x)emx
m1,2 i
u
弦振动 (偏微分方程) u=u(x, t )
简谐振动(自由无阻尼运动)数学模型
牛顿第二定律: F = m a
a—加速度;F—合外力;m—物体质量
O
虎克定律: F= –k u(t)
F—弹力;k—弹性系数; u(t)—弹簧伸长
u
m a = –k u(t)
d 2u m dt 2 ku(t)
d 2u dt 2
物理量的数学描述——一元(多元)函数、矢量函数 物理量在空间的分布情况其及随时间变化的规律, 常使用基于物理原理的微分方程来描述
物理现象 物理定律 微分方程 求解
代数方程
x2– 3x + 2 = 0 (x– 1)(x– 2) =
微分方程：
0
x1 x2
1 2
含自变量、未知函数以及未知函数的导数的等式
u(t) Asin( t)
格林公式
L p( x, y)dx q( x, y)dy [qx py ]dxdy
D
应用:
D的面积=
1 2
L
xdy
ydx
面积公式
1n S
xj
yj
2 j1 x j1 y j1
顶点按逆时针排列,且
(xn+1，yn+1)=(x1，y1)
高斯公式
S p( x, y, z)dydz q( x, y, z)dzdx r( x, y, z)dxdy
x
( 1 x3 1 x2 )e2x ( 1 x2 x)xe2x ( 1 x 1 )x2e2x
32
2
62
非齐次方程通解
y
C1e 2 x
C2 xe2x
1 ( 6
x
1 ) x 2e 2 x 2
例
求解初值问题
T(t) 2T(t) f (t)
T (0)
0,
T(0) 0
对应的齐次方程通解为:
Ex.1 y 3 y 2 y 0
通解:
y( x) C1e x C2e2x
Ex.2
d 2u dt 2
2u
0
( 为已知常数 )
通解: u(t) C1 cos t C2 sint
定解条件: 初始位移 u(t0) = ? 初始速度 u’(t0) = ?
表示导数——撇记号 u u u ······
2u(t
)
0
由辅助方程 m2 + 2 m = 0, 得
u(t) C1 cos t C2 sint
u(t) C1 cos t C2 sint
令 A C12 C22
C1
sin C1 / A cos C2 / A
C12 C22
C2
u(t) A(sin cost cos sint)
y e x (C1 cos x C2 sinx)
一阶非齐次方程的常数变易法 第一步, 求对应齐次方程通解
dy py q( x) dx
dy py 0
dx
第二步, 常数变易
y Ce px
令 y u( x)e px 代入非齐次方程, 得
u( x)e px q( x)
u( x) e pxq( x)
C1 y1 C2 y2 C1 cos t C2 sint
y1 y2 cost
sint
y1 y2 sint cost
y(t) y1
t y2 f ( ) d 0 ( y1 , y2 )
y2
t y1 f ( ) d 0 ( y1 , y2 )
C1 y1 C2 y2
cos t t sintf ( ) d sint t cos tf ( ) d
0 1 ( x 1)e2x
xe2x x( x 1)e4x (2x 1)e2x
u1
x( x 1)e4x e4x
x( x 1)
u1
( 1 3
x3
1 2
x2)
e2x 2 2e2x
0
( x 1)e4x
( x 1)e2x
u2
( x 1)e4x e4x
x1
非齐次方程特解
u2
1 2
x2
数满足什么条件时,通解中含有正弦函数？ 3.给定两个函数y1和y2,如何构造朗斯基行列式？
4. 谐振动中的参数 有何意义？
5. 不定积分 cos(x)dx 和 cos(x, y)dx
的结果有何区别？
C1 y1 C2 y2
例1 用常数变易法求 y 4 y 4 y ( x 1)e2x 通 解解.: 由辅助方程 m2 – 4 m + 4 = 0, 得齐次方程通解
C1 e2x + C2 xe2x
则 y1 = e2x , y2 = x e2x
e2x
xe 2 x
e4x
2e2x (2x 1)e2x
( px qy rz )dxdydz
V
应用:
V 的体积=13 S xdydz ydzdx zdxdy
1 Ne xki
V
6
k 1
xkj xkm
yki ykj ykm
zki zkj zkm
k
i
ek
j
思考题与练习题
1.微分方程和代数方程的最大区别是什么
2. 二阶常微分方程 y py qy 0 的系
y1
y2 y2
y1 y2
y2 y1
——朗斯基行列式
u
x 0
y2 f ( ) d ( y1 , y2 )
C1
v
x 0
y1 f ( ) ( y1 , y2 )
d
C2
非齐次方程通解为
y( x) y1
x y2 f ( ) d 0 ( y1 , y2 )
y2
x y1 f ( ) d 0 ( y1 , y2 )
u( x) e pxq( x)dx C
y e px e pxq( x)dx Ce px
二阶非齐次方程常数变易法
y py qy f ( x)
设对应的齐次方程通解为: C1 y1(x) + C2 y2(x)
常数变易，设 y(x) = u(x)y1(x) + v(x)y2(x)
y (uy1 vy2 ) (uy1 vy2 )
令 uy1 vy2 0 则有
y uy1 vy2
y (uy1 vy2 ) uy1 vy2 (uy1 vy2)
故 u, v 满足方程组
uuyy11
vy2 vy2
0 f
(x)
求解得
u y2 f ( x)
( y1 , y2 )
v y1 f ( x)
( y1 , y2 )
其中
y1