2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测四十一直线平面垂直的判定与性质

课时跟踪检测（四十一）直线、平面垂直的判定与性质1．(2019·厦门期末)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A．若α⊥β，m⊥β，则m∥α
B．若m∥α，n⊥m，则n⊥α
C．若m∥α，n∥α，m⊂β，n⊂β，则α∥β
D．若m∥β，m⊂α，α∩β＝n，则m∥n
解析：选D 选项A中，m与α的关系是m∥α或m⊂α，故A不正确；选项B中，n与α之间的关
系是n⊥α或n与α相交但不垂直或n∥α，故B不正确；选项C中，α与β的关系是α∥β或α与
β相交，故C不正确；选项D中，由线面平行的性质可得命题正确．故选D.
2．(2019·广西五市联考)若α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正
确的是( )
A．若α∩β＝m，n⊂α，m⊥n，则α⊥β
B．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，则m⊥n
C．若m不垂直于平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线
D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
解析：选D 对于选项A，直线n是否垂直于平面β未知，所以α不一定垂直β，选项A错误；对于
选项B，由条件只能推出直线m与n共面，不能推出m⊥n，选项B错误；对于选项C，命题“若m不垂直于
平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线”的逆否命题是“若直线m垂直于平面α内的无数条
直线，则m垂直平面α”，这不符合线面垂直的判定定理，选项C错误；对于选项D，因为n⊥β，m∥n，
所以m⊥β，又m⊥α，所以α∥β，选项D正确．故选D.
3．(2019·南昌调研)如图，四棱锥P­ABCD中，△PAB与
△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不一定成立的是
( )
A．PB⊥AC B．PD⊥平面ABCD
C．AC⊥PD D．平面PBD⊥平面ABCD
解析：选B 对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO.∵在四棱锥P­ABCD中，△PAB与△PBC是正三
角形，∴AO⊥PB，CO⊥PB，∵AO∩CO＝O，∴PB⊥平面AOC，∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；
对于选项B，设AC与BD交于点M，易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D
满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一
定成立，故选项B不正确；对于选项C，∵AC⊥PB，AC⊥BD，PB∩BD＝B，∴AC⊥平面PBD，∵PD⊂平面PBD，
∴AC⊥PD，故选项C正确；对于选项D，∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD，故选项
D正确．故选B.
4．(2019·唐山一模)设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内两条相交直线，则α⊥
β的一个充分不必要条件是( )
A．l1⊥m，l1⊥n B．m⊥l1，m⊥l2
C．m⊥l1，n⊥l2 D．m∥n，l1⊥n
解析：选B 由m ⊥l 1，m ⊥l 2及已知条件可得m ⊥β，又m ⊂α，所以α⊥β；反之，α⊥β时未必有
m ⊥l 1，m ⊥l 2，故“m ⊥l 1，m ⊥l 2”是“α⊥β”的充分不必要条件，其余选项均推不出α⊥β，故选B.
5．(2018·泉州二模)在下列四个正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 均为所在棱的中点，过E ，F ，G 作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD 1与平面EFG 不垂直的是( )
解析：选D 如图，在正方体中，E ，F ，G ，M ，N ，Q 均为所在棱
的中点，易知E ，F ，G ，M ，N ，Q 六个点共面，直线BD 1与平面EFMN Q G 垂直，并且选项A 、
B 、
C 中的平面与这个平面重合，不满足题意，只有选项
D 中的直线BD 1与平面EFG 不垂直，满足题意．故
选D.
6．(2019·赣州模拟)如图，在斜三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，且BC 1
⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在( )
A ．直线AC 上
B ．直线AB 上
C ．直线BC 上
D ．△ABC 内部
解析：选B 如图，连接AC 1.∵∠BAC ＝90°，∴AC ⊥AB ，∵BC 1⊥AC ，BC 1∩AB
＝B ，∴AC ⊥平面ABC 1，又AC 在平面ABC 内，∴根据面面垂直的
判定定理，知平面ABC ⊥平面ABC 1，则根据面面垂直的性质定理知，在平面ABC 1内一
点C 1向平面ABC 作
垂线，垂足必落在交线AB 上．故选B.
7．如图，直三棱柱ABC ­A 1B 1C 1中，侧棱长为2，AC ＝BC ＝1， ∠ACB ＝90°，D 是A 1B 1的中点，F 是BB 1上的动点，AB 1，DF 交于点E .
要使AB 1⊥平面
C 1DF ，则线段B 1F 的长为________．
解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ⊂平面C 1DF ，所以AB 1
⊥DF .由已知可得
A 1
B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝1
2h .又2×2＝h 22
＋
2
2
，所以h ＝233，DE ＝3
3
.
在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭
⎪⎫332
＝66. 由面积相等得
6
6
× x 2＋⎝
⎛⎭⎪⎫222
＝22
x ，得x ＝12. 答案：12
8．如图所示，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为CD 的中点，F 为线段EC 上(端点除外)一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABCF .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．
解析：如图①所示，过点K 作KM ⊥AF 于点M ，连接DM ，易得DM ⊥AF ，与折前的图形对比，可知折前的
图形中D ，M ，K 三点共线且DK ⊥AF (如图②所示)，于是△DAK ∽△FDA ，所以AK AD ＝AD DF ，即t 1＝1DF ，所以t ＝1
DF
，
又DF ∈(1,2)，故t ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，1 9．(2019·唐山五校摸底)如图，在四棱锥P ­ABCD 中，PC ⊥底面
ABCD ，四边形
ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2AD ＝2CD ＝2，E 是PB 的中
点．
(1)求证：平面EAC ⊥平面PBC ； (2)若PC ＝2，求三棱锥C ­PAB 的高．
解：(1)证明：因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥PC . 因为AB ＝2，AD ＝CD ＝1，所以AC ＝BC ＝2， 所以AC 2
＋BC 2
＝AB 2
，故AC ⊥BC . 又BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC .
因为AC ⊂平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面PBC . (2)由PC ＝2，PC ⊥CB ，得S △PBC ＝12×(2)2
＝1.
由(1)知，AC 为三棱锥A ­PBC 的高．
易知Rt △PCA ≌Rt △PCB ≌Rt △ACB ，则PA ＝AB ＝PB ＝2，于是S △PAB ＝12×22
sin 60°＝ 3.
设三棱锥C ­PAB 的高为h ，
则13S △PAB ·h ＝13S △PBC ·AC ，13×3h ＝1
3×1×2， 解得h ＝
63，故三棱锥C ­PAB 的高等于6
3
. 10．(2019·南京模拟)如图，四棱锥P ­ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB .
(1)求证：CD ⊥AP ；
(2)若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB .
证明：(1)因为AD ⊥平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以AD ⊥AP .又AP ⊥AB ，AB ∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，
AD ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD .因为CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥AP .
(2)由(1)知CD ⊥AP ，因为CD ⊥PD ，PD ∩AP ＝P ，PD ⊂平面PAD ，AP ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD .① 因为AD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以AB ⊥AD .
又AP ⊥AB ，AP ∩AD ＝A ，AP ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥平面PAD .② 由①②得CD ∥AB ，因为CD ⊄平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以CD ∥平面PAB . 11．(2019·长郡中学选拔考试)如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中
点，点N 在线段
AC 上．
(1)若AN NC
＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值； (2)在(1)的条件下，求三棱锥B ­DMN 的体积．
解：(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD ＝60°，所以DO ⊥BC ，因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ，因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，又DN ⊥AC ，且DN ∩DO ＝D ，所以AC ⊥平面DON ，因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ，由O 为BC 的中点，AB ＝BC ，可得NC
＝14AC ，所以AN
NC
＝3，即λ＝3. (2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ，由AB ＝2，AN NC
＝3，可得点N 到平面BCDE 的距离h ＝14AB ＝12，由∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ，且DM ＝DE 2－EM 2＝22－12
＝3，所
以△BDM 的面积S ＝12×DM ×BM ＝32，所以三棱锥B ­DMN 的体积V B ­DMN ＝V N ­BDM ＝13Sh ＝13×32×12＝3
12.。