2019-2020学年江苏省南通市崇川区九年级(上)第一次月考数学试卷解析版

2019-2020学年九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）
A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2＝0 D．＝1 2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）
A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 3．（3分）若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．2或1
4．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（）A．x1+x2＞0 B．x1≠x2C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 5．（3分）某商品房原价12000元/m2，经过连续兩次降价后，现价10800元/m2，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为（）
A．12000（1﹣2x）＝10800 B．12000（1﹣x）2＝10800
C．10800（1﹣2x）＝12000 D．10800（1+x）2＝12000
6．（3分）把二次函数y＝4x2﹣4x+4的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，平移后的二次函数解析式为（）
A．y＝2x2+4 B．y＝4x2+4x+5 C．y＝4x2﹣4x+5 D．y＝4x2+4x+4 7．（3分）抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0）的顶点，当m取不同实数时，其顶点在下列（）上移动．
A．y＝B．y＝2x C．y＝D．y＝﹣
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论错误的是（）
A．3a+b＜0 B．﹣2≤a≤﹣l C．abc＞0 D．9a+3b+2c＞0 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k
是常数且k≠0）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
10．（3分）已知点B（﹣2，3），C（2，3），若抛物线l：y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，则整数n的个数是（）
A．10 B．9 C．8 D．7
二、填空题（每小题3分，共24分）
（3分）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是．11．
12．（3分）有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为．
13．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是．
14．（3分）若二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象的对称轴是经过点（，﹣1）的一条直线，则a的值为．
15．（3分）已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k 的值为．
16．（3分）若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为．17．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1：当x＝x2时，函数值为y2，假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是．
18．（3分）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值．
三、解答题（共96分）
19．（16分）解方程：
（1）（x+1）（x﹣7）＝0
（2）x2﹣4x+3＝0
（3）2x2﹣4x+5＝0
（4）x2﹣3x﹣1＝0
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，求a的值．
21．（10分）二次函数的图象顶点是（﹣1，4），且过（2，﹣3）
（1）求函数的解析式；
（2）求出函数图象与坐标轴的交点．
22．（8分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为多少米？
23．（8分）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多少元？
24．（10分）若实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x 的增大而减小且使关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，求满足条件的所有整数a值的和．
25．（10分）如图，抛物线经过点A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由．
26．（12分）如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
27．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D 是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为；
（4）探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是一元二次方程的是（）
A．2x+1＝0 B．x2+y＝1 C．x2+2＝0 D．＝1 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：A、该方程是一元一次方程，故本选项错误．
B、该方程是二元二次方程，故本选项错误．
C、该方程是一元二次方程，故本选项正确．
D、该方程分式方程，故本选项错误．
故选：C．
2．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）
A．2x2+3＝0 B．x2＝2x C．x2+4x﹣1＝0 D．x2﹣8x+16＝0 【分析】求出各方程根的判别式，判断小于0即为没有实数根．
【解答】解：A、△＝0﹣24＝﹣24＜0，即方程没有实数根，符合题意；
B、△＝4﹣0＝4＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、△＝16+4＝20＞0，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、△＝64﹣64＝0，方程有两个相等的实数根，不符合题意，
故选：A．
3．（3分）若y＝（m﹣1）是关于x的二次函数，则m的值为（）A．﹣2 B．1 C．﹣2或1 D．2或1
【分析】直接利用二次函数的定义分析得出答案．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）x+m是关于x的二次函数，
∴m2+m＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣2．
故选：A．
4．（3分）已知x1，x2是关于x的方程x2﹣mx﹣3＝0的两个根，下面结论一定正确的是（）A．x1+x2＞0 B．x1≠x2C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜0 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝a2+4＞0，进而可得出x1≠x2，此题得解．
【解答】解：∵△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12＞0，
∴方程x2﹣mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴x1≠x2．
故选：B．
5．（3分）某商品房原价12000元/m2，经过连续兩次降价后，现价10800元/m2，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率为x，依题意可列方程为（）
A．12000（1﹣2x）＝10800 B．12000（1﹣x）2＝10800
C．10800（1﹣2x）＝12000 D．10800（1+x）2＝12000
【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1﹣平均每次降价的百分率）＝现在的价格，列方程即可．
【解答】解：由题意可列方程是：12000（1﹣x）2＝10800．
故选：B．
6．（3分）把二次函数y＝4x2﹣4x+4的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，平移后的二次函数解析式为（）
A．y＝2x2+4 B．y＝4x2+4x+5 C．y＝4x2﹣4x+5 D．y＝4x2+4x+4 【分析】先将二次函数化成顶点式，利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．
【解答】解：∵y＝4x2﹣4x+4＝，
∴把二次函数y＝4x2﹣4x+4的图象，先向左平移1个单位，再向上平移1个单位，其解析式为y＝4，
即y＝4x2+4x+5．
故选：B．
7．（3分）抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0）的顶点，当m取不同实数时，其顶点在下列（）上移动．
A．y＝B．y＝2x C．y＝D．y＝﹣
【分析】求得顶点坐标，然后把顶点坐标分别代入即可判定．
【解答】解：由抛物线y＝a（x+2m）2+m（a≠0，a，m为常数）可知：顶点（﹣2m，m），A．当x＝﹣2m时，y＝﹣m≠m，
B．当x＝﹣2m时，y＝﹣4m≠m；
C．当x＝﹣2m时，y＝﹣≠m；
D．当x＝﹣2m时，y＝m，
故选：D．
8．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标是（1，n），与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间（包含端点），则下列结论错误的是（）
A．3a+b＜0 B．﹣2≤a≤﹣l C．abc＞0 D．9a+3b+2c＞0 【分析】根据二次函数图象的性质进行判断即可．
【解答】解：A．根据图示知，抛物线开口方向向下，则a＜0．
∵对称轴x＝＝1，
∴b＝﹣2a，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＜0，即3a+b＜0．
故A正确；
B．抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴直线是x＝1，
∴该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），
∴﹣1×3＝﹣3，
∴＝﹣3，则a＝﹣．
∵抛物线与y轴的交点在（0，3）、（0，6）之间（包含端点），
∴3≤c≤6，
∴﹣2≤﹣≤﹣1，即﹣2≤a≤﹣1．
故B正确；
C．∵抛物线开口方向向下，则a＜0，
∵与y轴的交点在（0，3）和（0，6）之间，则c＞0，
∵对称轴直线是x＝1，则a与b异号，即b＞0，
∴abc＜0，
故C错误；
D．∵则a＝﹣，即c＝﹣3a，b＝﹣2a，
∴9a+3b+2c＝9a+（﹣6a）+（﹣6a）＝﹣3a，、
∵a＜0，
∴9a+3b+2c＝﹣3a＞0
故D正确，
故选：C．
9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx﹣2k和二次函数y＝﹣kx2+2x﹣4（k 是常数且k≠0）的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数与二次函数的图象的性质，求出k的取值范围，再逐项判断即可．【解答】解：A、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴二次函数的图象开口应该向下，故A选项不合题意；
B、由一次函数图象可知，k＞0，∴﹣k＜0，，∴二次函数的图象开口向
下，且对称轴在x轴的正半轴，故B选项不合题意；
C、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向
上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y
＝﹣4k＞0，故C选项符合题意；
D、由一次函数图象可知，k＜0，∴﹣k＞0，，∴二次函数的图象开口向
上，且对称轴在x轴的负半轴，一次函数必经过点（2，0），当x＝2时，二次函数值y ＝﹣4k＞0，故D选项不合题意；
故选：C．
10．（3分）已知点B（﹣2，3），C（2，3），若抛物线l：y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，则整数n的个数是（）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据题意可以将函数解析式化为顶点式，由y＝x2﹣2x﹣3+n与线段BC有且只有一个公共点，可以得到顶点的纵坐标为3或当x＝﹣2时y≥3，当x＝2时y＜3，列不等式组求解可得．
【解答】解：①当抛物线的顶点在直线y＝3上时，△＝（﹣2）2﹣4（n﹣6）＝0，解得：n＝7；
②当抛物线的顶点在BC下方时，根据题意知当x＝﹣2时y≥3，当x＝2时y＜3，
即，
解得：﹣2≤n＜6，
整数n有﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，7共9个，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是．
【分析】通过观察原方程可知，常数项是一未知数，而一次项系数为常数，因此可用两根之和公式进行计算，将2﹣代入计算即可．
【解答】解：设方程的另一根为x1，又∵x＝2﹣，
由根与系数关系，得x1+2﹣＝4，解得x1＝2+．
12．（3分）有一棵月季，它的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是73．设每个支干长出x个小分支，根据题意可列方程为1+x+x2＝73 ．
【分析】关键描述语是“主干、支干、小分支的总数是73”，等量关系为：主干1+支干
数目+小分支数目＝73，把相关数值代入即可．
【解答】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为x×x＝x2，
∴可列方程为1+x+x2＝73．
故答案为1+x+x2＝73．
13．（3分）一元二次方程（x﹣1）（x+5）＝3x+2的根的情况是方程有两个不相等的实数根．
【分析】把方程整理成一元二次方程的一般形式后，计算根的判别式△的符号，即可判断根的情况．
【解答】解：（x﹣1）（x+5）＝3x+2，
原方程可化为x2+x﹣7＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝﹣7，
∴△＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣7）＝29＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：方程有两个不相等的实数根．
14．（3分）若二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象的对称轴是经过点（，﹣1）的一条直线，则a的值为 2 ．
【分析】根据题意确定对称轴，然后根据对称轴方程直接求出a的值．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2x+3的图象的对称轴为直线x＝﹣＝，
∵对称轴是经过点（，﹣1）的一条直线，
∴＝，
∴a＝2，
故答案为2．
15．（3分）已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k 的值为﹣3 ．
【分析】把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值．
【解答】解：把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，
整理得k2+3k＝0，解得k1＝0，k2＝﹣3，
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
16．（3分）若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为21 ．【分析】将a代入方程可得a2﹣3a+1＝0，a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2，可得a3+
＝a（3a﹣1）+＝3a2﹣a+＝3（3a﹣1）﹣a+＝9a﹣3﹣a+24﹣8a，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，a2＝3a﹣1，a2+1＝3a，1＝3a﹣a2，
∴a3+
＝a（3a﹣1）+
＝3a2﹣a+
＝3（3a﹣1）﹣a+
＝9a﹣3﹣a+24﹣8a
＝21．
故答案为：21．
17．（3分）已知二次函数y＝﹣（x﹣2）2+c，当x＝x1时，函数值为y1：当x＝x2时，函数值为y2，假设|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则y1，y2的大小关系是y1＜y2．
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性即可确定出y1与y2的大小关系．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣2）2+c，
∴二次函数图象开口向下，对称轴为直线x＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴y1＜y2．
故答案为y1＜y2．
18．（3分）已知点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，且﹣2≤t≤2，则线段AB长的最大值2．
【分析】由点A、B在抛物线上，可用t表示y1、y2，根据两点间距离公式用t表示AB2，发现AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质和自变量t的取值范围可知：t在对称轴上时取得最小值；观察t本身的取值范围，看t＝﹣2和t＝2哪个离对称轴更远，即对应的函数值最大．
【解答】解：∵点A（t，y1），B（t+2，y2）在抛物线y＝﹣x2的图象上，
∴y1＝﹣t2，y2＝﹣（t+2）2＝﹣t2﹣2t﹣2，
∴AB2＝（t+2﹣t）2+（y2﹣y1）2＝22+（﹣t2﹣2t﹣2+t2）2＝4+（﹣2t﹣2）2＝4（t+1）2+4
∴AB2与t是二次函数的关系，由抛物线性质可知：
当t＝﹣1时，AB2取得最小值，AB2＝4，AB＝2
当t＝2时，AB2取得最大值，AB2＝4×（2+1）2+4＝40，AB＝2，
故答案为2．
三、解答题（共96分）
19．（16分）解方程：
（1）（x+1）（x﹣7）＝0
（2）x2﹣4x+3＝0
（3）2x2﹣4x+5＝0
（4）x2﹣3x﹣1＝0
【分析】（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据因式分解法，可得答案；
（3）根据公式法，可得答案；
（4）根据公式法，可得答案．
【解答】解：（1））（x+1）（x﹣7）＝0
∴x+1＝0或x﹣7＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝7；
（2）x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝1，x2＝3；
（3）2x2﹣4x+5＝0，
a＝2，b＝﹣4，c＝5，
△＝b2﹣4ac＝16﹣4×2×5＝﹣24＜0，
∴原方程无实数解；
（4）x2﹣3x﹣1＝0，
a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，
△＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，
x＝＝，
x1＝，x2＝．
20．（8分）关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，求a的值．
【分析】由两个实数根互为相反数知两根之和等于0，据此列出关于a的方程，解之求出a的值，再检验即可得．
【解答】解：∵方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1＝0的两个实数根互为相反数，
∴﹣a2+2a＝0，
解得a＝0或a＝2．
当a＝2时，方程无实数根，舍去；
故a＝0．
21．（10分）二次函数的图象顶点是（﹣1，4），且过（2，﹣3）
（1）求函数的解析式；
（2）求出函数图象与坐标轴的交点．
【分析】（1）设该函数的顶点式，然后根据该函数过点（2，﹣3），可以求得该函数的解析式；
（2）再令y＝0求出相应的x的值，即可写出该函数与x轴的交点坐标，令x＝0求出相应的y的值，即可写出该函数与y轴的交点坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）设这个二次函数的解析式为y＝a（x+1）2+4，
∵该函数过点（2，﹣3），
∴﹣3＝a（2+1）2+4，
解得a＝﹣，
即该函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4；
（2）当y＝0时，0＝﹣（x+1）2+4，
解得，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
当x＝0时，y＝，
由上可得，该函数的解析式为y＝﹣（x+1）2+4，与x轴的交点坐标为（﹣1+，0），（﹣1﹣，0）；与y轴的交点坐标为（0，）．
22．（8分）如图，某小区有一块长为18米，宽为6米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们面积之和为60平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道，则人行道的宽度为多少米？
【分析】设人行道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积之和为60米2，列出一元二次方程，再进行求解即可得出答案．
【解答】解：设人行道的宽度为x米（0＜x＜3），根据题意得：
（18﹣3x）（6﹣2x）＝60，
整理得，（x﹣1）（x﹣8）＝0．
解得：x1＝1，x2＝8（不合题意，舍去）．
答：人行通道的宽度是1米．
23．（8分）某水果批发商场经营一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要尽量减少库存，那么每千克应涨价多
少元？
【分析】设每千克应涨价x元，根据每千克涨价1元，销售量将减少20千克，每天盈利6000元，列出方程，求解即可．
【解答】解：设每千克应涨价x元，由题意列方程得：
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
解得：x＝5或x＝10，
要尽量减少库存，那么每千克应涨价5元；
答：每千克应涨价5元．
24．（10分）若实数a使关于x的二次函数y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，当x＜﹣1时，y随x 的增大而减小且使关于y的分式方程﹣＝1有非负数解，求满足条件的所有整数a值的和．
【分析】解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．
【解答】解：解分式方程﹣＝1可得y＝，
∵分式方程﹣＝1有非负数解，
∴a≥﹣2，
∵y＝x2+（a﹣1）x﹣a+2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝，
∴当x＜时，y随x的增大而减小，
∵在x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴≥﹣1，解得a≤3，
∴﹣2≤a≤3，
∴a能取的整数为﹣2，﹣1，0，1，2，3；
∴所有整数a值的和为3．
25．（10分）如图，抛物线经过点A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线AC段上是否存在点M，使△ACM的面积为3，求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由．
【分析】（1）设交点式为y＝a（x﹣4）（x+2），然后把（0，﹣4）代入求出a即可；
（2）设M（a，），连接OM，则S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3，可得出关于a的方程，解方程即可求出点M的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x+2），
把（0，﹣4）代入得a×（﹣4）×2＝﹣4，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝
（2）设M（a，），连接OM，
∵S△ACM＝S△OCM+S△OAM﹣S△OAC＝3，
∴﹣＝3，
∴a2﹣4a+3＝0，
解得：a1＝3，a2＝1．
∴M1（1，﹣），M2（3，﹣）．
26．（12分）如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的
点A（1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；
（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），求出三角形ABC的面积，分两种情况画出图形，如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，表示出三角形ABP的面积，列出关于a的方程，求出方程的解得到a 的值，即可确定出满足题意P的坐标．
【解答】解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，
解得m＝﹣4．
所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，
即y＝x2﹣6x+5；
当x＝0时，y＝9﹣4＝5，
所以C点坐标为（0，5），
由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，
所以B点坐标为（6，5），
将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，
，
解得：．
所以一次函数解析式为y＝x﹣1；
（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），
∵S△ABP＝S△ABC，
∵，
如图1，当点P在直线AB的下方时，过点P作PE∥y轴交直线AB于点E，
∴＝15，
∴E（a，a﹣1）
∴PE＝﹣a2+7a﹣6，
∴，
∴a2﹣7a+12＝0
解得：a1＝4，a2＝3，
∴P1（3，﹣4），P2（4，﹣3），
如图2，当点P在直线AB的上方时，过点P作PF∥y轴交直线AB于F，
同理可得＝15，
∴，
解得a＝0（舍去），a＝7，
∴P3（7，12）．
综合以上可得P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．
27．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D 是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P．
（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）求证：BF⊥AB；
（3）当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为4；
（4）探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长．
【分析】（1）根据二次函数与坐标轴的交点的求法求出A、B、C，再求出OA、OB、OC，然后根据等腰直角三角形的判定解答；
（2）根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质求出AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CBF＝∠CAD＝45°，然后求出∠ABF＝90°，再根据垂直的定义证明即可；
（3）过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，求出∠OCD＝∠HDE，然后利用“角角边”证明△OCD和△HDE全等，根据全等三角形对应边相等可得EH＝OD，OC＝DH，然后求出△BEH 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质表示出BE，从而判断出点E走过的路线长为BC的长度，然后求解即可；
（4）根据全等三角形对应边相等可得AD＝BF，利用勾股定理列式求出AC，然后分AD＝CD，AC＝AD，AC＝BC三种情况讨论求解得到AD，即为FB的长．
【解答】（1）解：令x＝0，得y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣x2+4＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣4，
∴A（﹣4，0），B（4，0），
∴OA＝OB＝OC＝4，
∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，
在△ACD和△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（SAS），
∴∠CBF＝∠CAD＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝90°，
∴BF⊥AB；
（3）如图，过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，
∵∠OCD+∠ODC＝∠HDE+∠ODC＝90°，
∴∠OCD＝∠HDE，
在△OCD和△HDE中，
，
∴△OCD≌△HDE（AAS），
∴EH＝OD，OC＝DH，
∵OD+BD＝OB＝OC，
BH+BD＝DH，
∴OD＝BH＝EH，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴BE＝EH，
∵点D从点O沿x轴正方向移动到点B，
∴点E所走过的路线长为为BC的长度，是4；
故答案为：4．
（4）∵△ACD≌△BCF，
∴AD＝BF，
由勾股定理得，AC＝＝＝4，
①若AD＝CD，则点O、D重合，BF＝AO＝4，
②若AC＝AD，则BF＝AD＝4，
③若AC＝BC，则BF＝AD＝AB＝8，
综上所述，BF＝4或4或8．。