九年级数学上册课件：第二十四章 小结与复习【精品】

2.圆周角定理 (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (2)推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等；相等的圆周角所对弧相等. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”； “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”． (3)推论2：90°的圆周角所对的弦是直径. (4)推论3：圆的内接四边形的对角互补.
AC= AC'2 +CC'2 = 162 +82 =8 5
∴正方形ABCD外接圆的半径为 4 5
∴正方形ABCD的边长为 AB= AC 4 10 2
S阴影=（ 4 5）2 （4 10）2 =80 160
方法总结
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出 直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆
O
O
弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积
4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个 扇形 . (2)如果圆锥母线长为l，底面圆的半径为r，那么这
个扇形的半径为 l ，扇形的弧长为 2r .
(3)圆锥的侧面积为 lr . (4)圆锥的全面积为 lr r2 .
5.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 360
解：∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°，∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上
120创p 12 p
\ S扇形OEF =
360
= 3
针对训练
7.（1）一条弧所对的圆心角为135 ° ，弧长等于半径 为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径4为0cm . （2）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面 积为_2_4__3__.
a
a
c· d
b
O·
例8 如何作圆内接正五边形怎么作？
A B 72O° E
·
C
D
（1）用量角器作72°的中心角， 得圆的五等分点； （2）依次连接各等分点，得圆 的内接正五边形.
课堂小结
圆的概念
圆是中心对称图形
圆的对称性 圆是轴对称图形，任意一 条直径所在直线都是它的
圆的性质
对称轴 圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
3.与切线相关的定理 (1)判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.
(2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3)切线长定理：经过圆外一点所画的圆的两条 切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角.
四、 圆中的计算问题 1.弧长公式
n R
半径为R的圆中，n°圆心角所对的弧长l=__18_0_____. 2.扇形面积公式 半径为R，圆心角为n°的扇形面积S= _n_36_R0_2或____12_l_R__. 3.弓形面积公式
因此有 2 r 2r ，解得 r 2 2 .
A
D
O
BM
C
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作 垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法 是：见切点，连半径，得垂直； （2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
针对训练
5. ☉O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 别是方程x2－6x＋8＝0的两根，则点A与☉O的位置 关系是（ D ） A．点A在☉O内部 B．点A在☉O上 C．点A在☉O外部 D．点A不在☉O上
A
∵四边形ABCD是正方形，点O在AC上. ∴AC是∠BCD的角平分线，
D
O
N
∴ON=OM，
∴ CD与☉O相切.
BM
C
（2）若正方形ABCD的边长为1，求☉O的半径. (2)解: ∵正方形ABCD的边长为1,AC= 2 . 设☉O的半径为r,则OC= 2 r .
又易知△OMC是等腰直角三角形， ∴OC= 2r
n
(2)正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系
R2 r2 (a)2. 2
(3)边长a，边心距r的正n边形的面积为
S

1 nar 2

1 lr. 2
其中l为正n边形的周长.
考点一 圆周角定理
例1 在图中，BC是☉O的直径，AD⊥BC,若∠D=36°, 则∠BAD的度数是（ B ） A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
d=r
点P在圆上； 的距离与半径之间的关
系；反过来，也可以通
d＞r
点P在圆外. 过这种数量关系判断点
与圆的位置关系．
2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离
直线与圆的 位置关系
相离
相切
图形
相交
d与r的关系 d＞r 公共点个数 0个 公共点名称
直线名称
d=r 1个 切点 切线
d＜r 2个 交点 割线
圆
垂径定理
四边形的内接圆、三角形的外接圆
与圆有关的 位置关系
直线与圆的 位置的关系
切线
切线长定理 三角形的内切圆
弧长与扇形面积的计算
正多边形与圆
作图
课后作业
见《学练优》本课时练习
ห้องสมุดไป่ตู้
动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值
是
3
.
C
D
A
PO P B
D’
图b
考点三 与圆有关的位置关系
例3 如图， O为正方形对角线上一点，以点O 为圆心， OA长为半径的☉O与BC相切于点M.
(1)求证：CD与☉O相切；
(1)证明：过点O作ON⊥CD于N.连接OM
∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °,
相等
它们所对应的其余各组量都分别相等.
三、 有关定理及其推论 1.垂径定理 (1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且 平分弦所对的 两条弧 . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论 中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于 这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧； 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
A
B
C
D
针对训练
1.如图a，四边形ABCD为☉O的内接正方形，点P为 劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则∠BPC的 度数是 135° .
A
D
O
B
C
图Pa
2.如图b，线段AB是直径，点D是☉O上一点， ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长 线于点E,则∠E等于 50 .
°
C
AO
第24章 圆
小结与复习
要点梳理
考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连结圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧.
·
6.等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定 大小．(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
·
9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分，依 次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接 正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆.
10.三角形的外接圆 外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形 的外心.
[注意] (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点．(2)一个三角形的外接圆是唯一的.
周角等于90 ”构造出直角三角形，为进一步利
用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
针对训练
9. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙O， 四边形EFGH是正方形． ⑴求正方形EFGH的面积；
解：⑴∵正六边形的边长与其半径相等， ∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形， ∴FG=EF=5， ∴正方形EFGH的面积是25.
⑵连接OF、OG，求∠OGF的度数．
⑵∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE=600.
∴正方形的内角是900，
∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500.
由⑴得OF=FG，
∴∠OGF= 1 2（1800-∠OFG）
=
1 2
（1800-1500）=150.
考点五 与圆有关的作图 例7 如何解决“破镜重圆”的问题：
解析：此题需先计算出一元二次方程x2－6x＋8＝0的 两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A 与 ☉O的关系.
6.（多解题）如图，直线AB,CD相交于点O， ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上，且 与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的 方向移动，那么 4或8 秒钟后☉P与直线CD相切.
B D
AB=8mm.
（
针对训练 3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2, 连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC，垂足分别为 E,F，连接EF，则EF的长度等于 2 .
AE C
F
O 图a
B
4.如图b,AB是⊙O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆
（ （
上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °，
三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，它的任意一条___直__径__所在的直
线都是它的对称轴.
2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中，如果圆心角相等，那么 它们所对的弧相等，所对的弦也相等.
圆心角 相等
(2)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 弧
弦
两条弧和两条弦中有一组量相等，那么 相等
2
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°， ∴∠DOE＝55°.
(2)若PA＝4 cm，求△PDE的周长．
(2)∵⊙O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ∴AD＝CD，BE＝CE. ∴△PDE的周长＝PD＋PE＋DE ＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8(cm)
考点四 圆中的计算问题
例5 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆 心的圆上, OA=1,∠AOC=120°，∠1=∠2，则扇形 OEF的面积？
11.三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的 内心. [注意] (1)三角形的内心是三角形三条角平分线的 交点．(2)一个三角形的内切圆是唯一的.
12.正多边形的相关概念 (1)中心：正多变形外接圆和内切圆有公共的圆 心，称其为正多边形的中心.
(2)半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边 形的边心距.
BE
D 图b
考点二 垂径定理
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 8 mm.
C
解析 设圆心为O，连接AO,作出过
点O的弓形高CD，垂足为D,可知
O
8mm
AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 A 进行计算，AD=4mm，所以
C
AP
P1 E
P2 B
D 解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P在直线AB下面与
直线CD相切；(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切.
例4 已知：如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，
过 AB 上的一点C作⊙O的切线，交PA于D，交PB于E. (1)若∠P＝70°，求∠DOE的度数；
解：(1)连接OA、OB、OC， ∵⊙O分别切PA、PB、DE于点A、B、C， ∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE,AD＝CD,BE＝CE， ∴OD平分∠AOC，OE平分∠BOC. ∴∠DOE＝ 1 ∠AOB.
(4)中心角：正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到． 设☉O的半径是r，点P到圆心的距离为d，则有
d＜r
[注意]点与圆的位置关 点P在圆内； 系可以转化为点到圆心
8.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O
是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分
的面积等于___23_p___．
例6 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其 中AE⊥EF，EF⊥FC，已知AE=6，EF=8，FC=10， 求图中阴影部分的面积.
解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C'的位置.连接AC，如图所示. 根据平移的方法可知，四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中，得