7.3 力法的基本体系选择及典型方程

3）各式中最后一项∆iP称为自由项，它是荷载单独作用 ） 称为自由项， 时所引起的沿X 方向的位移，其值可能为正、负或零。 时所引起的沿 i方向的位移，其值可能为正、负或零。 4）根据位移互等定理可知，在主斜线两边处于对称位置 ）根据位移互等定理可知， 是相等的， 的两个副系数δij与δji是相等的，即
∆1=0（表示基本体系在 1处的转角为零） （表示基本体系在X 处的转角为零） ∆2=0（表示基本体系在 2处的水平位移为零） （表示基本体系在X 处的水平位移为零）
据此，可按前述推导方法得到在形式上与式（ ） 据此，可按前述推导方法得到在形式上与式（7-3）完全 相同的力法基本方程。因此， 相同的力法基本方程。因此，式（7-3）也称为两次超静 ） 定结构的力法典型方程。不过须注意， 定结构的力法典型方程。不过须注意，由于不同的基本 体系中基本未知量本身的含义不同，因此变形条件及典 体系中基本未知量本身的含义不同， 型方程中的系数和自由项的实际含义也不相同。 型方程中的系数和自由项的实际含义也不相同。
7.3
力法的基本体系选择及典型方程
7.3.1 关于基本体系的选择
第一，必须满足几何不变的条件。 第一，必须满足几何不变的条件。
q FP FP q FP q
X3 X1 X2 FP q X3 X1 X2 X1 X3 X2 All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院® FP q FP X1
X2
X3
q X1 X2 X3
第二，便于绘制内力图。 第二，便于绘制内力图。
FP A B
M
q C D
FP A X1 B
M
q C X2 D
FP A
X1 B
M
X2 C
q D
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第三，基本结构只能由原结构减少约束而得到， 第三，基本结构只能由原结构减少约束而得到，不能增加 新的约束。 新的约束。
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7.3.2 关于基本方程的建立
对于n次超静定结构，则有 个多余未知力 个多余未知力， 对于 次超静定结构，则有n个多余未知力，而每一个多余未知力都 次超静定结构 对应着一个多余约束，相应地也就有一个已知变形条件， 对应着一个多余约束，相应地也就有一个已知变形条件，故可据此 建立n个方程 从而可解出n个多余未知力 个方程， 个多余未知力。 建立 个方程，从而可解出 个多余未知力。当原结构上各多余未知 力作用处的位移为零时， 力作用处的位移为零时，这n个方程可写为 个方程可写为
δij =δji
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7.3.3 关于系数和自由项的计算
典型方程中的各系数和自由项， 典型方程中的各系数和自由项，都是基本结构在已知力作用下的 位移，完全可以用第6章所述方法求得 章所述方法求得。 位移，完全可以用第 章所述方法求得。对于荷载作用下的平面结 构，这些位移的计算式可写为
µFQ2i d s M i2 d s FN2i d s +∑ ∫ +∑ ∫ δ ii = ∑ ∫ EI EA GA
δ ij = ∑ ∫
MiM j d s EI
+∑ ∫
FNi FNj d s EA
+∑ ∫
µFQi FQj d s
GA
µFQi FQP d s MiMP d s FNi FNP d s ∆i P = ∑ ∫ +∑ ∫ +∑ ∫ EI E
B X1
C
X1
A
D
A
D
A
D
对
X1
错
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7.3.2 关于基本方程的建立
先讨论两次超静定结构。 先讨论两次超静定结构。
q C FP A
∆12 ∆22
q B C FP A B X1 X2
基本体系之一
C FP A
∆11 X1 B ∆21
q C FP A B
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7.3.3 关于系数和自由项的计算
δ11 X 1 + δ12 X 2 + L + δ1n X n + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + L + δ 2 n X n + ∆2 P = 0
M
δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + L + δ nn X n + ∆n P = 0
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结构的最后弯矩图可按叠加法作出， 结构的最后弯矩图可按叠加法作出，即
M = M1X1 + M 2 X 2 + L + M n X n + M P
作出原结构的最后弯矩图后， 作出原结构的最后弯矩图后，可直接应用平衡条 件计算FQ和FN，并作出 Q图和 N图。 并作出F 图和F 件计算 如上所述， 如上所述，力法典型方程中的每个系数都是基本 结构在某单位多余未知力作用下的位移。显然， 结构在某单位多余未知力作用下的位移。显然，结构 的刚度愈小，这些位移的数值愈大，因此，这些系数 的刚度愈小，这些位移的数值愈大，因此， 又称为柔度系数；力法典型方程表示变形条件， 又称为柔度系数；力法典型方程表示变形条件，故又 柔度系数 称为结构的柔度方程；力法又称为柔度法。 称为结构的柔度方程；力法又称为柔度法。 柔度法
(a)
7.3.2 关于基本方程的建立
∆1 = ∆11 + ∆12 + ∆1P = 0 ∆2 = ∆21 + ∆22 + ∆2 P = 0
因为 (a)
∆11=δ11X1、∆21=δ21X1 ∆12=δ12X2、∆22=δ22X2
代入式(a),得 代入式 得
∆1 = δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + ∆1P = 0 ∆2 = δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + ∆2 P = 0
∆22
q C FP A B
∆1P ∆2P
q C X1 B X2
FP
C A
B X2
FP A
基本体系之二
根据叠加原理， 根据叠加原理，上述位移条件可写为 ∆1 = ∆11 + ∆12 + ∆1P = 0 ∆2 = ∆21 + ∆22 + ∆2 P = 0
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7.3.3 关于系数和自由项的计算
δ11 X 1 + δ12 X 2 + L + δ1n X n + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + L + δ 2 n X n + ∆2 P = 0
M
δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + L + δ nn X n + ∆n P = 0
(7-3) 这就是根据变形条件建立的求解两次超静定结构的 多余未知力X 的力法基本方程。 多余未知力 1和X2的力法基本方程。
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7.3.2 关于基本方程的建立
q B FP C A A FP C X1 B q X2
也可以选择其它形式的基本体系。 也可以选择其它形式的基本体系。变形条件仍写为
∆1P ∆2P
q C X1 B X2
FP
C A
B X2
FP A
基本体系之二
变形条件
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∆1 = 0 ∆2 = 0
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7.3.2 关于基本方程的建立
q C FP A
∆12
q B C FP A B X1 X2
基本体系之一
C FP A
∆11 X1 B ∆21
1）主斜线（自左上方的δ11至右下方的δnn）上的系数δii称为主系数 ）主斜线（ 或主位移，它是单位多余未知力X 单独作用时所引起的沿其本身 或主位移，它是单位多余未知力 i=1单独作用时所引起的沿其本身 方向上的位移，其值恒为正，且不会等于零。 方向上的位移，其值恒为正，且不会等于零。 2）其它的系数δij（i≠j）称为副系数或副位移，它是单位多余未知力 ） 副系数或副位移， ）称为副系数或副位移 Xj=1单独作用时所引起的沿 i方向的位移，其值可能为正、负或零。 单独作用时所引起的沿X 单独作用时所引起的沿 方向的位移，其值可能为正、负或零。
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δ11 X 1 + δ12 X 2 + L + δ1n X n + ∆1 P = 0 δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + L + δ 2 n X n + ∆2 P = 0
M
(7-4)
δ n1 X 1 + δ n 2 X 2 + L + δ nn X n + ∆n P = 0
这就是n次超静定结构的力法典型方程。 这就是 次超静定结构的力法典型方程。方程组中每一等式都代表 次超静定结构的力法典型方程 一个变形条件，即表示基本体系沿某一多余未知力方向的位移， 一个变形条件，即表示基本体系沿某一多余未知力方向的位移，应 与原结构相应的位移相等。 与原结构相应的位移相等。