七年级初一数学下学期第八章 二元一次方程组单元提高题学能测试试卷

七年级初一数学下学期第八章二元一次方程组单元提高题学能测试试卷一、选择题
1．已知
1,
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
是二元一次方程24
x ay
+=的一组解，则a的值为（）
A．2B．2-C．1D．1-
2．如图，用10块相同的长方形纸板拼成一个矩形，设长方形纸板的长和宽分别为xcm和ycm，则依题意列方程式组正确的是（）
A．
50
4
x y
y x
+=
⎧
⎨
=
⎩
B．
50
4
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
C．
50
4
x y
y x
-=
⎧
⎨
=
⎩
D．
50
4
x y
x y
-=
⎧
⎨
=
⎩
3．小明要用40元钱买A、B两种型号的口罩，两种型号的口罩必须都买
．．．．，40元钱全部用尽，A型每个6元，B型口罩每个4元，则小明的购买方案有（）种．
A．2种B．3种C．4种D．5种
4．如图，将正方形ABCD的一角折叠，折痕为AE，点B落在点B′处，B AD
∠'比BAE
∠大48︒.设BAE
∠和B AD
∠'的度数分别为x︒和y︒，那么x和y满足的方程组是( )
A．
48
90
y x
y x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
48
2
y x
y x
-=
⎧
⎨
=
⎩
C．
48
290
x y
y x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
48
290
y x
y x
-=
⎧
⎨
+=
⎩
5．某校开展社团活动，参加活动的同学要分组活动，若每组7人，则余3人；若每组8人，则少5人；求课外活动小组的人数x和分成的组数y，可列方程组为( )
A．
73
85
y x
y x
=-
⎧
⎨
=+
⎩
B．
73
85
y x
y x
=+
⎧
⎨
+=
⎩
C．
73
85
x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
D．
73
85
y x
y x
=+
⎧
⎨
=+
⎩
6．甲、乙两人同求方程ax-by=7的整数解，甲正确地求出一个解为
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，乙把ax-
by=7看成ax-by=1，求得一个解为
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则a，b的值分别为( )
A．
2
5
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
B．
5
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
C．
3
5
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
D．
5
3
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
7．某瓶中装有1分，2分，5分三种硬币，15枚硬币共3角5分，则有多少种装法( ) A．1. B．2. C．3. D．4.
8．《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y 尺，根据题意列方程组正确的是()
A．
4.5
1
2
x y
y
x
B ．
4.5
1
2
x y
y
x
C ．
4.5
1
2
x y
x
y
D ．
4.5
1
2
x y
y
x
9．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有()
A．1种B．2种C．3种D．4种
10．有若干只鸡和兔关在一个笼子里，从上面数，有30个头，从下面数，有84条腿﹐问笼中各有几只鸡和兔？若设笼中有x只鸡，y只兔，则列出的方程组为（）
A．
30
284
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
B．
30
2484
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
C．
30
4284
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
D．
30
284
x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
二、填空题
11．为了应对疫情对经济的冲击，增加就业岗位，某区在5月份的时候开设了一个夜市，分为餐饮区、百货区和杂项区三个区域，三者摊位数量之比5:4:3，市场管理处对每个摊位收取50元/月的管理费，到了6月份，市场管理处扩大夜市规模，并将新增摊位数量的
1 2用于餐饮，结果餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的
9
20
，同时将餐饮区、百货
区和杂项区每个摊位每月的管理费分别下调了10元、20元和30元，结果市场管理处6月
份收到的管理费比5月份增加了
1
12
，则百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是
______．
12．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为_____．
13．某科技公司推出一款新的电子产品，该产品有三种型号.通过市场调研后，按三种型号受消费者喜爱的程度分别对A型、B型、C型产品在成本的基础上分别加价20%，30%，45%出售(三种型号的成本相同).经过一个季度的经营后，发现C型产品的销量占总销量的3
7
，且三种型号的总利润率为35%.第二个季度，公司决定对A型产品进行升级，升级后A
产品的成本提高了25%，销量提高了20%；B 、C 产品的销量和成本均不变，且三种产品在二季度成本基础上分别加价20%，30%，45%出售，则第二个季度的总利润率为______. 14．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共315元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共420元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需_____元． 15．a 与b 互为相反数，且4a b -=，那么
2
1
1
a a
b a ab -+++=_______． 16．对任意一个三位数n ，如果n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F （n ）．例如n ＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以F （123）＝6． （1）计算：F （241）＝_________，F （635）＝___________ ；
（2）若s ，t 都是“相异数”，其中s ＝100x ＋32，t ＝150＋y （1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y 都是正整数），规定：()
()
F s k F t =
，当F (s )＋F (t )＝18时，则k 的最大值是___． 17．王虎用100元买油菜籽、西红柿种子和萝卜籽共100包.油菜籽每包3元，西红柿种子每包4元，萝卜籽1元钱7包，问王虎油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了_______包. 18．对于有理数，规定新运算：x ※y =ax +by +xy ，其中a 、b 是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算. 已知：2※1=7 ,（-3）※3=3 ,则
1
3
※b =__________. 19．若方程组2313{3530.9a b a b -=+=的解是8.3
{ 1.2,
a b ==则方程组
的解
为________
20．若方程1
23
x y -=
的解中，x 、y 互为相反数，则32x y -=_________ 三、解答题
21．用如图1所示的,A B 两种纸板作侧面或底面制作如图2所示的甲、乙两种长方体形状的无盖纸盒．
（1）现有A 纸板70张，B 型纸板160张，要求恰好用完所有纸板，问可制作甲、乙两种无盖纸盒各多少个？
（2）若现仓库A 型纸板较为充足，B 型纸板只有30张，根据现有的纸板最多可以制作多少个如图2所示的无盖纸盒（甲、乙两种都有，要求B 型纸板用完）
（3）经测量发现B型纸板的长是宽的2倍(即b=2a)，若仓库有6个丙型的无盖大纸盒（长
a a a），现将6个丙型无盖大纸盒经过拆剪制作成甲、乙两种型号的纸宽高分别为2,,2
盒，可以各做多少个（假设没有边角消耗，没有余料）？
22．甲从A地出发步行到B地，乙同时从B地步行出发至A地，2小时后在中途相遇，相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小时．若设甲刚出发时的速度为a千米/小时，乙刚出发的速度为b千米/小时．
（1）A、B两地的距离可以表示为千米（用含a，b的代数式表示）；
（2）甲从A到B所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）；
乙从B到A所用的时间是：小时（用含a，b的代数式表示）．
（3）若当甲到达B地后立刻按原路向A返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行．甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇，请问AB两地的距离为多少？23．每年的6月5日为世界环保日，为提倡低碳环保，某公司决定购买10台节省能源的新机器，现有甲、乙两种型号的机器可选，其中每台的价格、产量如下表：
经调查：购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元．
（1）求a、b的值；
（2）若该公司购买新机器的资金不超过216万元，请问该公司有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，若公司要求每月的产量不低于1890吨，请你为该公司设计一种最省钱的购买方案．
24．已知：平面直角坐标系中，A(a，3)、B(b，6)、C(c，1)，a、b、c都为实数，并且满足3b－5c＝－2a－18，4b－c＝3a＋10
(1) 请直接用含a的代数式表示b和c
(2) 当实数a变化时，判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围
(3) 当实数a变化时，若线段AB与y轴相交，线段OB与线段AC交于点P，且
S△PAB＞S△PBC，求实数a的取值范围.
25．方程组
1
327
x y
x y
+=-
⎧
-=
⎨
⎩
的解满足210(
x ky k
-=是常数)，
()1求k的值．
()2直接写出关于x，y的方程()1213
k x y
-+=的正整数解
26．为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方
540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）请你设计一种方案，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
把x与y的值代入方程计算即可求出a的值．
【详解】
把
1,
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程24
x ay
+=，得224
a
+=，
解得1
a=.故选C.
【点睛】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
2．B
解析：B 【解析】
分析：设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，根据图形可得：大长方形的宽=小长方形的长+小长方形的宽，小长方形的长=小长方形的宽×4，列出方程中即可． 详解：设小长方形的长为xcm ，宽为ycm ，
则可列方程组：50
4x y x y +=⎧⎨
=⎩
. 故选B.
点睛：本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，解答本题关进是弄清题意，看懂图示，找出合适的等量关系，列出方程组，注意弄清小正方形的长与宽的关系.
3．B
解析：B 【分析】
根据题意得出方程，进而得出方程的整数解解答即可． 【详解】
解：设A 型x 个，B 型口罩y 个，由题意得 6x+4y=40， 因为x ，y 取正整数， 解得：44x y =⎧⎨
=⎩，61x y =⎧⎨=⎩，2
7
x y =⎧⎨=⎩， 所以小明的购买方案有三种， 故选：B ． 【点睛】
此题考查二元一次方程的应用，关键是根据题意列出二元一次方程解答．
4．D
解析：D 【分析】
根据由将正方形ABCD 的一角折叠，折痕为AE ，∠B'AD 比∠BAE 大48°的等量关系即可列出方程组. 【详解】
解：.设BAE ∠和B AD ∠'的度数分别为x ︒和y ︒ 由题意可得：48
290y x y x -=⎧⎨+=⎩
故答案为D. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，根据翻折变换的性质以及正方形的四个角都是直角寻找等量关系是解答本题的关键.
5．A
解析：A 【解析】
分析：根据题意确定等量关系为：若每组7人，则余3人；若每组8人，则少5人，列方程组求解即可.
详解：根据题意可得：73
85y x y x =-⎧⎨
=+⎩
. 故选：A.
点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是确定问题的等量关系.
6．B
解析：B 【解析】
把甲的解代入ax -by =7可得a +b =7，把乙的解代入可得a -2b =1，由它们构成方程组可得
721a b a b +=⎧⎨-=⎩，解方程组得5
2a b =⎧⎨
=⎩，故选B ． 7．C
解析：C 【详解】
解:设1分的硬币有x 枚，2分的硬币有y 枚，则5分的硬币有(15-x-y)枚， 可得方程x+2y+5(15-x-y)=35， 整理得4x+3y=40，即x=10-34
y ， 因为x ，y 都是正整数， 所以y=4或8或12， 所以有3种装法， 故选C.
8．A
解析：A 【分析】
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺可知：绳子比木条长4.5尺得： 4.5x y ；绳
子对折再量木条，木条剩余1尺可知：绳子对折后比木条短1尺得：1
2
y x ；组成方程
组即可． 【详解】
解：如果设木条长x 尺，绳子长y 尺，
根据题意得：
4.5
1
2
x y
y
x
．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意，找出等量关系是解题的关键．9．B
解析：B
【分析】
首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解.【详解】
解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：
3x+5y=35，
y=7-3
5 x，
∵x、y都是正整数，
∴x=5时，y=4；
x=10时，y=1；
∴购买方案有2种．
故选B．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.
10．B
解析：B
【分析】
设这个笼中的鸡有x只，兔有y只，根据“从上面数，有30个头；从下面数，有84条腿”列出方程组即可．
【详解】
解：若设笼中有x只鸡，y只兔，
根据题意可得：
30 2484 x y
x y
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
故选：B．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用；根据题意列出方程组是解决问题的关键．
二、填空题
11．【分析】
由题意设月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为，再假设新增摊
位数量为，则餐饮区新增摊位数量为，进而根据条件得出n 和m 的关系，利用市场管理处月份收到的管理费比月份增加了建立关系式， 解析：3:20
【分析】
由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n ，再假设新增摊位数量为m ，则餐饮区新增摊位数量为
1
2
m ，进而根据条件得出n 和m 的关系，利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了1
12
建立关系式，进行代入分析即可得出答案． 【详解】
解：由题意设5月份的餐饮区、百货区和杂项区三者摊位数量分别为5,4,3n n n ， 则5月份的管理费为：(543)50600n n n n ++⨯=（元）， 6月份的管理费为：1
(1)60065012
n n +
⨯=（元）， 再假设新增摊位数量为m ，则餐饮区新增摊位数量为1
2
m ， 由餐饮区的摊位数量占到了夜市总摊位数量的
9
20
，可得： 91
(12)5202
n m n m +⨯
=+，化简后可得：8m n =， 即有新增摊位数量为8n ，餐饮区新增摊位数量为4n ，
且6月份下调后的餐饮区、百货区和杂项区每个摊位每月的管理费分别为：40元、30元、20元，
由此可得百货区和杂项区6月份的管理费为：650(54)40290n n n n -+⨯=（元）， 百货区和杂项区没新增摊位数量时管理费为：430320180n n n ⨯+⨯=（元）， 则百货区和杂项区新增的摊位数量管理费为：290180110n n n -=（元）， 当百货区新增3n ，杂项区新增n 时，满足条件， 所以百货区新增的摊位数量与该夜市总摊位数量之比是
3:(128)3:203:20n n n n n +==．
故答案为：3:20． 【点睛】
本题考查不定方程的应用，注意掌握根据条件得出n 和m 的关系以及利用市场管理处6月份收到的管理费比5月份增加了
1
12
建立关系式，进行代入分析是解答本题的关键． 12．【分析】
先列出方程10x+9y+6z ＝108，再根据x ，y ，z 是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且
解析：【分析】
先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．
【详解】
解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，
∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，
∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，
则10x+9y+6z＝108，
∴x＝10896
10
--
y z
＝
3(3632)
10
--
y z
，
∵0＜x＜10，且为整数，
∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，
即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，
当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝262
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝23
2
（舍）或z＝10或z＝
17
2
（舍）或z＝7或z＝
11
2
（舍）或z＝4或z＝
5
2
（舍）
或z＝1，
当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3
当z＝1时，y＝8，x＝3，
当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝162
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，
∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，
∴z＝13
2
（舍）或z＝5或z＝
7
2
（舍）或z＝2或z＝
1
2
（舍）
当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，
当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝62
3
-z
，
∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，
∴z＝3
2
（舍）
即：满足条件的不同的装法有6种，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程，整除问题，分类讨论时解本题的关键．
13．34%
【分析】
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A 型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，由题意
解析：34%
【分析】
由题意得出A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，设A型、B 型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销
量为z，由题意列出方程组，解得
1
3
x z
y z
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
；第二个季度A产品成本为(1+25%)a＝
5
4
a，
B、C的成本仍为a，A产品销量为(1+20%)x＝6
5
x，B产品销量为y，C产品销量为z，则第
二个季度的总利润率为：
56
20%30%45%
45
56
45
a x ay az
a x ay az
⨯⨯++
⨯++
＝34%.
【详解】
解：由题意得：A型、B型、C型三种型号产品利润率分别为20%，30%，45%，
设A型、B型、C型三种型号产品原来的成本为a，A产品原销量为x，B产品原销量为y，C产品原销量为z，
由题意得：
20%ax30%ay45%az35%a(x y z)
3
(x y z)z
7
++=++
⎧
⎪
⎨
++=
⎪⎩
，
解得：
1
3
x z
y z
⎧
=
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
第二个季度A产品的成本提高了25%，成本为：(1+25%)a＝5
4
a，B、C的成本仍为a，
A产品销量为(1+20%)x＝6
5
x，B产品销量为y，C产品销量为z，
∴第二个季度的总利润率为：5620%30%45%455645
a x ay az a x ay az ⨯⨯++⨯++＝0.30.30.451.5x y z x y z ++++ ＝10.30.30.45311.53
z z z z z z ⨯++⨯++＝34%， 故答案为：34%.
【点睛】
本题考查了利用二元一次方程组解实际问题，正确理解题意，设出未知数列出方程组是解题的关键.
14．105
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设甲每件x 元,乙每件y 元,丙每件z 元,依题意得：
3×（1）-2×（2）得：x+y+z=105
解析：105
【分析】
根据题意进行解设,列出三元一次方程组,再用加减消元的方法即可求解.
【详解】
解：设甲每件x 元,乙每件y 元,丙每件z 元,依题意得：
37315(1)410420(2)x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩
3×（1）-2×（2）得：x+y+z=105,
∴购买甲、乙、丙各1件，共需105元．
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的实际应用,中等难度,正确对方程组进行化简是解题关键. 15．7或3
【解析】
【分析】
解此题可设b=-a ，求出a ，b 的值，然后代入代数式求解即可．
【详解】
由题意得，
解得：或，
当a=2，b=-2时，=7；
当a=-2，b=2时，=3，
故答案为：7或
解析：7或3
【解析】
【分析】
解此题可设b=-a ，求出a ，b 的值，然后代入代数式求解即可．
【详解】 由题意得04a b a b +=⎧⎨-=⎩
， 解得：22a b =⎧⎨=-⎩或22a b =-⎧⎨=⎩
， 当a=2，b=-2时，2
a a
b 1 a ab 1-+++=7； 当a=-2，b=2时，
2a ab 1a ab 1-+++=3， 故答案为：7或3.
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组以及代数式求值，正确求出a 、b 的值是解题的关键. 16．14
【解析】
分析:
（1）根据F （n ）的定义式，分别将n=241和n=635代入F （n ）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y 结合F （s ）+F （t ）=18
解析：14
54 【解析】
分析: （1）根据F （n ）的定义式，分别将n=241和n=635代入F （n ）中，即可求出结论；
（2）由s=100x+32、t=150+y 结合F （s ）+F （t ）=18，即可得出关于x 、y 的二元一次方程，解之即可得出x 、y 的值，再根据“相异数”的定义结合F （n ）的定义式，即可求出F （s ）、F （t ）的值，将其代入k=()()
F s F t 中，找出最大值即可. 详解: ：（1）F （241）=（421+142+214）÷
111=7； F （635）=（365+536+653）÷111=14．
（2）∵s ，t 都是“相异数”，s=100x+32，t=150+y ，
∴F （s ）=（302+10x+230+x+100x+23）÷111=x+5，
F （t ）=（510+y+100y+51+105+10y ）÷111=y+6．
∵F （t ）+F （s ）=18，
∴x+5+y+6=x+y+11=18，
∴x+y=7．
∵1≤x≤9，1≤y≤9，且x ，y 都是正整数，
∴16x y =⎧⎨=⎩或25x y =⎧⎨=⎩或34x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩或61x y =⎧⎨=⎩
． ∵s 是“相异数”，
∴x≠2，x≠3．
∴y≠1，y≠5．
∴16x y =⎧⎨=⎩或43x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩
， ∴()()612F s F t ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()99F s F t ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()108F s F t ⎧=⎪⎨=⎪⎩
， ∴k ＝()()F s F t ＝12或k ＝()()F s F t ＝1或k ＝()()F s F t ＝54
， ∴k 的最大值为
54． 点睛: 本题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）根据F （n ）的定义式，求出F （241）、F （635）的值；（2）根据s=100x+32、t=150+y 结合F （s ）+F （t ）=18，找出关于x 、y 的二元一次方程.
17．3,20,77.
【解析】
先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包
根据题
解析：3,20,77.
【解析】
先设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包，再根据题中的相等关系列出方程组，并根据实际意义找出满足题意的解即可.
解：设油菜籽、西红柿、萝卜籽各买了x 、y 、z 包
根据题意可列方程组，
100341007x y x z x y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩
①② ②－3×①，得
77020
z y =+ 要使x 、y 、z 均为正整数，
则3,20,77x y z ===
故答案为3、20、77
点睛：本题主要考查学生利用方程思想建模解决实际问题的能力.解题的技巧在于要利用题中的相等关系建立方程组，并用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再根据实际情况得出满足题意的解.
18．【解析】
由题意得：，
解得：a=,b=，
则※b=a+b²+=，
故答案为 .
点睛：此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题，解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律，并根据运算顺序结合 解析：
613
【解析】
由题意得：227{3393a b a b ++=-+-=， 解得：a=
13,b=133， 则13※b=13a+b²+13=116913619993
++=， 故答案为
613 . 点睛：此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题，解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律，并根据运算顺序结合已知条件得到方程组，求出a 、b 的值.
19．【解析】试题分析：根据整体思想，可设a=x+2，b=y-
1，可发现两个方程组相同，因此可知x+2=8.3，y-
1=1.2，解得x=6.3，y=2.2，即方程组的解为： .
20．【解析】试题分析：根据x 、y 互为相反数，可得x+y=0，然后和方程构成方程组，解得，所以3x-2y=.
三、解答题
21．（1）制作甲24个，乙22个．（2）最多可以制作甲，乙纸盒24个．（3）制作甲6个，乙4个．
【分析】
（1）设制作甲x 个，乙y 个，则需要A ，B 型号的纸板如下表：
（2）设制作甲m 个，乙k 个，则需要A ，B 型号的纸板如下表：
（3）由1个丙型大纸盒可以拆成7块B 型纸板，所以6个丙型大纸盒可以拆成42块B 型纸板，而制作1个甲纸盒要4块B 型纸板，制作1个乙纸盒要4.5块B 型纸板，通过列方程求方程的正整数解得到答案．
【详解】
解：（1）设制作甲x 个，乙y 个，则
34160270x y x y +=⎧⎨+=⎩
， 解得：2422x y =⎧⎨=⎩
， 即制作甲24个，乙22个．
（2）设制作甲m 个，乙k 个，则
23430m k n m k +=⎧⎨+=⎩
， 消去k 得，465
m n =-， 因为：,m n 为正整数，
所以：10152, 6.63n n m m k k ==⎧⎧⎪⎪==⎨⎨⎪⎪==⎩⎩
综上，最多可以制作甲，乙纸盒24个．
（3）因为1个丙型大纸盒可以拆成7块B 型纸板，
所以6个丙型大纸盒可以拆成42块B 型纸板，
而制作1个甲纸盒要4块B 型纸板，制作1个乙纸盒要4.5块B 型纸板，
设制作甲c 个，乙d 个，则4 4.542c d +=，
因为,c d 为正整数，所以6,4c d ==，
即可以制作甲6个，乙4个．
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用．二元一次方程（组）的正整数解，解题关键是弄清题意，找出题目蕴含的等量关系，列出方程或方程组解决问题．
22．（1）2（a +b ）；（2）（2+
21b a +）；（2+21a b +）；（3）36. 【分析】
（1）根据两地间的距离=两人的速度之和×第一次相遇所需时间，即可得出结论； （2）利用时间=路程÷速度结合2小时后第一次相遇，即可得出结论；
（3）设AB 两地的距离为S 千米，根据路程=速度×时间，即可得出关于（a+b ），S 的二元一次方程组（此处将a+b 当成一个整体），解之即可得出结论．
【详解】
（1）A 、B 两地的距离可以表示为2（a +b ）千米．
故答案为：2（a +b ）．
（2）甲乙相遇时，甲已经走了2a 千米，乙已经走了2b 千米，
根据相遇后他们的速度都提高了1千米/小时，得甲还需
21b a +小时到达B 地，乙还需21a b +小时到达A 地，
所以甲从A 到B 所用的时间为（2+
21b a + ）小时，乙从B 到A 所用的时间为（2+21a b +）小时．
故答案为：（2+21b a +）；（2+21
a b +）． （3）设AB 两地的距离为S 千米，3小时36分钟＝
185小时． 依题意，得： 2()182(11)5S a b S a b =+⎧⎪⎨=+++⎪⎩
， 令x ＝a +b ，则原方程变形为2182(2)5S x S x =⎧⎪⎨=+⎪⎩
， 解得：1836x S =⎧⎨=⎩
． 答：AB 两地的距离为36千米．
【点睛】
本题考查了列代数式以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
23．（1）
30
18
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；（2）有4 种方案：3 台甲种机器，7 台乙种机器；2 台甲种机器，8
台乙种机器；1 台甲种机器，9 台乙种机器；
10 台乙种机器.（3）最省钱的方案是购买2 台甲种机器，8 台乙种机器.
【解析】
【分析】
（1）根据购买一台甲型机器比购买一台乙型机器多12万元，购买2台甲型机器比购买3台乙型机器多6万元这一条件建立一元二次方程组求解即可,（2）设买了x台甲种机器,根据该公司购买新机器的资金不超过216万元，建立一次不等式求解即可,（3）将两种机器生产的产量相加,使总产量不低于1890吨，求出x的取值范围,再分别求出对应的成本即可解题.
【详解】
（1）解：由题意得
12 236 a b
a b
-=
⎧
⎨
-=⎩
,
解得，
30
18
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）解：设买了x台甲种机器
由题意得:30＋18(10－x)≤216
解得：x≤3
∵x为非负整数
∴x＝0、1、2、3
∴有4 种方案：
3 台甲种机器，7 台乙种机器；
2 台甲种机器，8 台乙种机器；
1 台甲种机器，9 台乙种机器；
10 台乙种机器.
（3）解：由题意得：240＋180（10－x）≥1890
解得：x≥1.5
∴1.5≤x≤ 3
∴整数x＝2 或3
当x＝2 时购买费用＝30×2＋18×8＝204(元)
当x＝3 时购买费用＝30×3＋18×7＝216(元)
∴最省钱的方案是购买2 台甲种机器，8 台乙种机器.
【点睛】
本题考查了利润的实际应用,二元一次方程租的实际应用,一元一次不等式的实际应用,难度
较大,认真审题,找到等量关系和不等关系并建立方程组和不等式组是解题关键.
24．（1）
4
6
b a
c a
=+
⎧
⎨
=+
⎩
；（2）S△ABC＝13为定值；（3）
5
4
2
a
-≤<-
【分析】
（1）由4b－c＝3a＋10可知c=4b-3a-10，把c代入3b－5c＝－2a－18可用a 表示出b，同理可表示c；（2）如图构造梯形，根据S△ABC=S梯形ADEC-S△ADB-S△CBE可证明S△ABC是定值，所以△ABC的面积无变化；（3）作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，根据S△PAB＞S△PBC可知AP＞PC，进而可得S△OAP＞S△OPC，所以S△OAB＞S△OBC，利用梯形和三角形的面积差可表示出△OAB和△OBC的面积，即可列出不等式，由AB与y轴相交可得－4≤a≤0，结合前面的不等式求出公共解集即可求出a的取值范围.
【详解】
（1）∵4b-c=3a+10，
∴c=4b-3a-10，
∵3b－5c＝－2a－18，
∴3b-5(4b-3a-10)=-2a-18，
∴b=a+4，
同理可得：c=a+6，
∴
4
6
b a
c a
=+⎧
⎨
=+⎩
(2) 构造如图所示的梯形：
S△ABC＝1
2
⨯（3+5）⨯6-
1
2
⨯3⨯4-
1
2
⨯2⨯5=13为定值，
(3) 线段AB与y轴相交，故
40
a
a
≤
⎧
⎨
+≥
⎩
，
∴－4≤a≤0，
∵S△PAB＞S△PBC，
∴AP＞PC，
∴S△OAP＞S△OPC，
∴S△OAB＞S△OBC，
作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，
S △OAB =
12（3+6）4a a ⎡⎤++⎣⎦ -124a +⨯6-12⨯6a ⨯=6-32a ， S △OBC =
12⨯（1+6）（64a a +-+）+124a +⨯6-126a +=52a+16， ∴6-32a>52
a+16， 解得：a<-52
, ∴54a 2-≤<-
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法可减少未知数的个数，从而实现消元；本题也考查了梯形与三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题关键.
25．（1）4k =；（2）{15x y ==，{32x y ==
【解析】
【分析】
(1)先求出方程组的解，再代入方程210x ky -=，即可求出k 值；(2)把k 的值代入方程(k-
1)x+2y=13，再求出正整数解即可．
【详解】
() 1方程组1327x y x y +=-⎧-=⎨⎩的解为：{
12x y ==-， 将{1
2x y ==-代入210x ky -=得：2210k +=，
解得：4k =； ()2把4k =代入方程()1213k x y -+=得：3213x y +=， 即1332
x y -=， 所以关于x ，y 的方程()1213k x y -+=的正整数解为{15x y ==，{32x y ==．
【点睛】
本题考查了解二元一次方程组、解一元一次方程和解二元一次方程，能求出k 的值是解此
题的关键．
26．（1）甲乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；（2）应选择1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，支付最少为820元
【解析】
分析：（1）设甲种型号的挖掘机需x 台、乙种型号的挖掘机需y 台．等量关系：甲、乙两种型号的挖掘机共8台；每小时挖掘土石方540m 3；
（2）设租用m 辆甲型挖掘机，n 辆乙型挖掘机，根据题意列出二元一次方程，求出其正整数解；然后分别计算支付租金，选择符合要求的租用方案．
详解：（1）设甲种型号的挖掘机需x 台、乙种型号的挖掘机需y 台．依题意得：
86080540x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得： 53
x y =⎧⎨=⎩． 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台；
（2）设租用m 辆甲型挖掘机，n 辆乙型挖掘机．依题意得：
60m +80n =540，化简得：3m +4n =27，∴m =9﹣43n ，∴方程的解为53m n =⎧⎨=⎩或16m n =⎧⎨=⎩
． 当m =5，n =3时，支付租金：100×5+120×3=860元
当m =1，n =6时，支付租金：100×1+120×6=820元．
答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和6辆乙型挖掘机，不仅每小时支付的租金最少，又恰好能完成每小时的挖掘量．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，依题意列出等式（或不等式）进行求解．。