欣宜市实验学校二零二一学年度高三数学下册 尖子生辅导卷四 试题

黔西北州欣宜市实验学校二零二一学年度第一中学
高三数学下册尖子生辅导卷〔四〕沪教版
3．.〔本小题总分值是14分〕
飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排三个
救援中心〔记为A ，B ，C 〕，B 在A 的正向，相距6km ，C 在B 的北偏东30°，相距4km ，P 为航天员着陆点，某一时刻A 接到P 的求救信号，由于B 、C 两地比A 距P 远，因此4s 后，B 、C 两个救援中心才同时接收到这一信号，该信号的传播速度为1km/s 。

〔I 〕求A 、C 两个救援中心的间隔； 〔II 〕求在A 处发现P 的方向角；
〔III 〕假设信号从P 点的正上方Q 点处发出，那么A 、B 收到信号的时间是差变大还是变小，说明理
由。

4．〔15分〕
挪动公司开设了两种通迅业务:“全球通〞使用者先缴50元月根底费，然后每通话一分钟，再付费4.0元；“神州行〞不缴月根底费，每通话一分钟，付话费6.0元〔这里均指内通话〕，假设一个月内通话x 分钟，两种通迅方式的费用分别为
1y 元和2y 元。

①写出
1y ，2y 与x 之间的函数关系式
②一个月内通话多少分钟，两种通迅方式的费用一样？
③假设某人预计一个月内使用话费200元，那么应该选择哪种通迅方式比较合算？ 5．〔本小题总分值是12分〕
某公司是一家专做产品A 的国内外销售的企业，每一批产品A 上销售40天内全部售
完。

该公司对第一批产品A 上后的国内外场销售情况进展了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外场的日销售量与上时间是的关系；图二中的抛物线表示国内场的日销售量与上时间是的关系；图三中的折线表示的是每件产品A 的销售利润与上时间是的关系〔国内外场一样〕。

〔Ⅰ〕分别写出国外场的日销售量
()f t 、国内场的日销售量()g t 与第一批产品A 的上时间是t 的关
系式；
〔Ⅱ〕第一批产品A 上后的哪几天，这家公司的日销售利润超过6300万元？
6．某厂消费某种产品的固定本钱〔固定投入〕为2500元，每消费x 件这样的产品需要再增加可变本钱
3
36
1200)(x x x C +
=〔元〕
，假设消费出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应消费
多少件这种产品？最大利润是多少？
7.(此题总分值是14分)某养殖厂需定期购置饲料，该厂每天需要饲料200公斤，每公斤饲料的价格为元，
饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天0.03元，购置饲料每次支付运费300元． 〔Ⅰ〕求该厂多少天购置一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；
〔Ⅱ〕假设提供饲料的公司规定，当一次购置饲料不少5吨时其价格可享受八五折优惠〔即原价的85%〕．问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由． 8、〔此题总分值是14分〕
某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进展了一次模拟试验。

如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段D D CC B B AA 1111,,,关于坐标轴或者原点对称，
线段B B 1的方程为
[]b a x x y ,,∈=，过o 有一条航道。

有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海
湾，在点)0,2
5
(a M -
处测得该船发出的汽笛声的时刻总晚s 1〔设海面上声速为s am /〕。

假设该船沿着当前的航线航行〔不考虑轮船的体积〕
〔I 〕问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？ 〔II 〕这艘船能否由海上平安驶入内陆海湾？请说明理由。

高三文科数学尖子生辅导卷〔四〕参考答案
1．【解析】某公司一年购置某种货物400吨,每次都购置x 吨,
那么需要购置
400
x
次,运费为4万元/次,一年的总存储费 用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为40044x x ⋅+万元,400
44x x
⋅+≥160,当
1600
4x x
=即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小. 2．解：假设模拟函数为y =ax 2
+bx +c
a +
b +
c =1 a =
由得4a +2b +c =解得b 9a +3b +c =1.3 c
那么有y =x 2
x ，……5分
因此当x =4是，y =……6分 假设模拟函数为y =a •b x
+c
ab +c =1 a =
由得ab 2
+c =解得b
ab 3+c =1.3 c
那么有y =
x
，……11分
因此当x =4是，y =5……12分 ∵比更接近 ∴应将y =
x
作为模拟函数．……14分
3.解：〔I 〕以AB 中点为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，那么
那么
()
()
AC km =
++=5323
2192
2
即A 、C 两个救援中心的间隔为219km ………………4分
〔II 〕∵||||PC PB =，所以P 在BC 线段的垂直平分线上
又∵||||PB PA -=
4，所以P 在以A 、B 为焦点的双曲线的左支上，且AB =6
∴双曲线方程为
()x y
x 2
2
45
10-=< BC 的垂直平分线的方程为x y +-=370
联立两方程解得：x =-8
∴∠PAB ＝120°
所以P 点在A 点的北偏西30°处………………9分
〔III 〕如图，设
PQ h PB x PA y ===，，
又∵
x y x h y h
++++<2
2
2
2
1
即A 、B 收到信号的时间是差变小………………14分
4．解：〔1〕
x y 4.0501+=，x y 6.02=
〔2〕250分钟。

〔3〕选择“全球通〞这种通话方式比较合算。

5．解：〔Ⅰ〕
2(030)()6240(3040)t t f t t t ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩
，2
3()620g t t t =-+〔040t ≤≤〕
； 〔Ⅱ〕设每件产品A 的销售利润为()q t ，那么3(020)
()60
(2040)
t
t q t t ≤≤⎧=⎨
<≤⎩，从而这家公司的日销
售利润()Q t 的解析式为
3222
924(020)20()()[()()]9480(2030)914400(3040)
t t t Q t q t f t g t t t
t t t ⎧-+≤≤⎪⎪⎪
=+=-+<≤⎨⎪-+<≤⎪⎪⎩。

①当020t ≤≤时，(272048)
()020
t t Q t -+⨯'=
≥⇒()Q t 在区间[0,20]上单调递增，从而
()(20)60006300Q t Q ≤=<；
②当2030t <≤时，由70
()63003024,25,26,27,28,293
Q t t t >⇒
<<⇒=； ③当3040t <≤时，()(30)6300Q t Q <=。

综上所述，第一批产品A 上后，在第24,25,26,27,28,29天，这家公司的日销售利润超过6300万元。

6．解：设该厂消费x 件这种产品的利润为L 〔x 〕元，那么
令).(60,012
1300)(2
件得==-
='x x x L 又当)(60,0)(,60;0)(,600x L x x L x x L x 是所以时当时=<'>>'<≤
得极大值点.
当x =60时，L(x )=9500元.
因此，要使利润最大，该厂应消费60件这种产品，最大利润为9500元. 7．解：〔Ⅰ〕设该厂应隔()x x N +∈天购置一次饲料，平均每天支付的总费用为
1y …1分
∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6〔元〕， ∴x 天饲料的保管与其它费用一共是
26(1)6(2)633()x x x x -+-+
+=-元
………………4分
从而有
211
(33300)200 1.8y x x x =
-++⨯ …………5分 3003357417x x =++≥ ………………7分
当且仅当300
3x x
=，即10x =时，1y 有最小值………………8分 即每隔10天购置一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.
〔Ⅱ〕假设厂家利用此优惠条件，那么至少25天购置一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(25x ≥)
购置一次饲料，平均每天支付的总费用为
2y ，那么
300
3303(25)x x x =
++≥
……………10分
∵223003y x '=-+ ∴当25x ≥时，
02>'
y ，即函数2y 在[)25+∞，
上是增函数…………12分 ∴当25x =时，
2y 获得最小值为390，而390417<
……………13分 ∴该厂应承受此优惠条件
……………14分
8、解：设轮船所在的位置为P ，由题意可得a PN PM =-||||。

||MN a < ，
故点P 的轨迹是以N M ,为焦点的双曲线的右支。

…………………2分
设点P 的轨迹方程为12222=-n
y m x )0,0(>>n m 那么a m 21
=
∴兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是2224a y x =-〔)0>x ……8分
〔II 〕这艘船能由海上平安驶入内陆海湾。

设直线l 的方程为0y y =。

当a y ≤≤00
时，设l 与双曲线右支、直线a x =分别交于点11,S Q ，
那么),2
1(
022
01y a y Q +，),(01y a S ∴点1Q 在点1S 的左侧，∴船不可能进入暗礁区。

……………………10分
当
a y ≥0时，设l 与双曲线右支、直线x y =分别交于点22,S Q ，
那么),2
1(02
202y a y Q +，),(002y y S 043)(4122
020220<--
=-+a y y a y 022
02
1y a y <+∴
2Q ∴在点2S 的右侧，∴船不可能进入暗礁区。

综上，在x 轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上平安驶入内陆海
湾。

……………………………………………………14分。