高三数学文科总复习质量调查一试题

卜人入州八九几市潮王学校河西区2021年上
学期高三数学文科总复习质量调查一
第I 卷〔选择题一共50分〕
一.选择题：〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请将所选答案的标号字母填在题后的括号内。

〕 1.集合}2|{>=x x M
，}03|{2≤+=x x x N ，那么=⋂N M 〔〕
A.φ
B.}32|{≤<x x
C.}23|{-<≤-x x
D.0|{≤x x 或者}2>x
2.“2>+b
a 且1>a
b 〞是“1>a ，1>b 〞成立的〔〕
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
3.假设函数2)(2++=ax ax x f 的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是〔〕
A.8≥a
B.80<<a
C.80≤<a
D.80≤≤a
4.要得到函数))(32sin(3R x x y ∈-=π的图象，只需将函数x y 2
1
sin 3=〔R x ∈〕的图象上所有
的点的〔〕
A.横坐标缩短到原来的
41倍〔纵坐标不变〕，再向右平移6π个单位长度 B.横坐标缩短到原来的41倍〔纵坐标不变〕，再向左平移6
π
个单位长度
C.横坐标扩大到原来的4倍〔纵坐标不变〕，再向左平移32π
个单位长度
D.横坐标扩大到原来的4倍〔纵坐标不变〕，再向右平移3
π
个单位长度
5.椭圆经过点M 〔2，0〕，且焦点为F 1〔0,1-〕，F 2〔1，0〕，那么这个椭圆的离心率为(〕 A.
41B.21C.32D.4
3 6.在以下条件中，可判断两个平面α与β平行的是〔〕 A.α、β都垂直于平面γ
B.α内存在不一共线的三点到β的间隔相等
C.m 、n 是α内两条直线，且β//m 、β//n
D.m 、n 是两条异面直线，且α//m 、β//m 、α//n 、β//n
7.假设方程
1122
2-=-+-k
y k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围为〔〕 A.〔0，1〕B.〔1，+∞〕C.〔1，2〕D.〔2，+∞〕 8.0>a
且1≠a ，x a x x f -=2)(，当)1,1(-∈x 时，恒有2
1
)(<
x f ，那么实数a 的取值范围是〔〕 A.]2,1()1,21
[⋃ B.),2(]2
1
,
0(+∞⋃ C.),4[]4
1
,0(+∞⋃
D.]4,1()1,4
1
[
⋃ 9.设函数x x f 2log )(=，当c b a <<<0时，有)()()(c f b f a f >>，那么以下各式中正确的选
项是〔〕 A.1>ac
B.1=ac
C.1<ac
D.0)1)(1(>--c a
10.假设购置一辆汽车时费用为20万元，每年交保险费、养路费合计8000元，汽车的油费及维修费用平均第一年为4000元，第二年为8000元，第三年为12000元，依等差数列递增，那么这辆汽车使用到报废最合算的年数〔即使用多少年平均费用最少〕是〔〕
A.8年
B.10年
C.12年
D.15年
第II 卷〔非选择题，一共100分〕
二.填空题：〔本大题一一共6小题，每一小题4分，一共24分，请把答案直接填在题中横线上。

〕 11.抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在04
32=-+y x 上，那么这条抛物线的方程是。

12.一个与球心间隔为1的平面截球所得的圆面面积为π，那么这个球的体积为。

13.函数
⎩
⎨⎧<+≥+-=)0(1)
0(13)(2x x x x x f 的反函数=-)(1
x f。

14.设n n x a x a x a a x x ++++=-+
221076)21()1(，那么=+++n a a a 21。

15.向量)2,1(),1,3(-==OB OA ，向量OA BC OB OC //,⊥，那么向量=OC 。

16.
)(x f y =是以2为周期的偶函数，且它的最大值为5，最小值为3-，那么这个函数的解析式是。

三.解答题：〔本大题一一共6小题，一共76分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

〕 17.〔本小题总分值是12分〕
)47,43(,54)4
cos(πππ
∈=
+
x x ，求
x
x
tan 1tan 1+-及x 2sin 的值。

一个袋子里装有大小一样的标号为k 的球k 个，〔=k 1，2，3，……n 〕
，从袋中摸出1个球，标号恰好为2的概率为
5
1。

〔1〕求n 及袋子里原有球的总数；
〔2〕从原袋中任意摸出2个球，求恰好2个球的标号之和为6的概率及2个球的标号之和大于4的概率。

19.〔本小题总分值是12分〕
如图，三棱锥P —ABC 中，PB ⊥底面ABC ，D 是PC 中点，︒=∠90BCA ，PB=BC=CA 。

〔1〕求证：侧面PAC ⊥侧面PBC ； 〔2〕求异面直线PA 与BD 所成角的大小； 〔3〕求二面角B —PA —C 的大小。

20.〔本小题总分值是12分〕
函数
d cx bx x x f +++=23)(的图象过
P 〔0，1〕点，且在点M 〔1，
)1(f 〕处的切线方程为
029=-+y x 。

〔1〕求函数)(x f y =的解析式； 〔2〕求函数
)(x f y =的单调区间。

等比数列}{n x 的各项为不等于1的正数，数列}{n y 满足
n a n x y log 2=〔0>a 且1≠a 〕，设
193=y ，136=y 。

〔1〕求证：数列}{n y 是等差数列；
〔2〕数列}{n y 的前多少项之和为最大，最大值为多少？ 〔3〕试判断，是否存在正整数M ，使得当M n >时，1>n x 恒成立，假设存在，求出相应的M 值；假
设不存在，请说明理由。

22.〔本小题总分值是14分〕
两点O 〔0，0〕，A 〔34
,4--〕，点B 在x 轴负半轴上挪动，P 为第三象限内的动点，假设0=⋅BO PB ，
且AP AO PB PA ⋅⋅2
1
,成等差数列。

〔1〕点P 的轨迹C 是什么曲线？ 〔2〕直线l 的斜率为2
1
，假设直线l 与曲线C 有两个不同的交点M 、N ，设线段MN 的中点为Q ，求点Q 的横坐标的取值范围。

参考答案及评分HY
一.选择题：〔每一小题5分，一共50分〕 1.C2.B3.D4.A5.B6.D7.B8.A9.C10.B 二.填空题：〔每一小题4分，一共24分〕
1x y 82
=328π⎪
⎩⎪⎨⎧>--≤-)
1(1)1(3
1x x x x
65- 5.〔14，7〕 16.1cos 4+=x y π，
〔或者))](12,12[(3)2(82
Z k k k x k x y ∈+-∈--=等〕 三.
17.解：∵)4
7,43(
ππ∈x ∴)2,(4πππ
∈+x
∴)4
sin(π
+
x 5
3
)4
(cos 12-
=+
--=π
x 〔2分〕 ∴4
3)
4
cos()
4sin()4tan(-=++
=+ππ
π
x x x 〔4分〕
∴4
3
)4
tan(tan 4
tan
1tan 4
tan
tan 1tan 1-
=+=-+=-+π
π
π
x x x
x
x 〔6分〕 ∴
3
4
)
4
tan(1
tan 1tan 1-=+
=
+-π
x x
x
〔7分〕 又)2
2cos(2sin π
+
-=x x 〔8分〕=]1)4
(cos 2[)]4
(2cos[2-+
-=+
-π
π
x x 〔10分〕
25
7
)12532(
-=--=〔12分〕 解法2：53
)4sin(-=+πx 〔2分〕
由54)sin (cos 22)4
cos(=-=
+
x x x π
，5
3
)cos (sin 22)4sin(-=+=+x x x π〔4分〕 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=+=-523sin cos 52
4sin cos x x x x 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=102cos 102
7sin x x 〔6分〕
∴7cos sin tan -==
x x x 〔7分〕∴3
4
7171tan 1tan 1-=-+=+-x x 〔8分〕
x x x cos sin 22sin =〔10分〕25
7
102)1027(2-=⋅-
⨯=〔12分〕
18.解：
〔1〕袋中一共有球1+2+3+…+2
)
1(+=
n n n
个〔1分〕 由题意知摸出1个标号恰为2的球的概率51
2
)1(2=+n n 〔3分〕
即0202
=-+n n
，解得4=n 或者5-=n 〔舍〕
〔4分〕 袋子里球的总数为
10542
1
=⨯⨯〔个〕
〔5分〕 〔2〕摸出两个球标号之和为6，分1个2号1个4号与2个3号两种情况
其概率为2
10
2
314121C C C C P +=〔7分〕=
45
11
〔8分〕 摸出两个球标号之和小于或者等于4的概率为2
10
221311
2101
211C C C C C C C ++〔9分〕
15
2
454452=+=
〔10分〕 所以摸出两个球标号之和大于4的概率15
13
15212=-
=P 〔12分〕 19.解：
〔1〕证明：∵PB ⊥面ABC ，AC ⊂面ABC ∴PB ⊥AC 〔1分〕，又AC ⊥BC ，PB ⋂BC=B
∴AC ⊥面PBC 〔3分〕又⊂AC 面PAC ∴面PAC ⊥面PBC 〔4分〕 〔2〕由〔1〕知AC ⊥面PBC ，又BD ⊂面PAC ∴AC ⊥BD 〔5分〕 又∵PB=BC ，︒=∠90PBC ，D 是PC 中点
∴BD ⊥PC 〔6分〕C AC PC =⋂∴BD ⊥面PAC 〔7分〕
⊂PA 面PAC ∴BD ⊥PA 即PA 与BD 成︒90角〔8分〕
〔3〕作BE ⊥PA 于E ，连DE ，由〔2〕知BD ⊥PA ∴PA ⊥面BDE
∴PA ⊥DE ，故BED ∠为二面角C PA B --的平面角〔10分〕 在PBA Rt ∆中，设a PB =
，那么a AB 2=，a PA 3=
∴a PA BA PB BE 3
2
=⋅=
，又DE BD ⊥
∴23
2232sin =
⋅==
a
a BE BD BED ∴︒=∠60BED 即二面角C PA B --的大小是︒60〔12分〕 20.解：〔1〕由函数图象过点〔0，1〕，得1=d 〔1分〕故1)(23+++=cx bx x x f
由函数图象在点M 〔1，)1(f 〕处的切线方程为029=-+y x ，知02)1(9=-+f
即
7)1(-=f ，且9)1(-='f 〔3分〕
c bx x x f ++='23)(2
〔5分〕由⎩⎨⎧-=++-=+++923711c b c b 解得⎩
⎨⎧-=-=63c b
∴
163)(23+--=x x x x f 〔7分〕
〔2〕663)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，即06632=--x x ，解得31±=x 〔8分〕
故
所以函数
)(x f 的单调增区间是〔31,-∞-〕与〔+∞+,31〕
单调减区间是)31,31(+-
〔12分〕
21.解：〔1〕设数列}{n x 的公比为q ，那么11-=n n
q x x 〔1分〕，
于是11log 2log 2-==n a n a n q x x y q n x a a log )1(2log 21-+=〔2分〕
故
q q n x q n x y y a a a a a n n log 2]log )1(2log 2[log 2log 2111=-+-+=-+，为常数
∴}{n y 是等差数列〔4分〕
〔2〕设等差数列}{n y 的首项为
1y ，公差为d ，故有⎩⎨
⎧=+=+13
519
211d y d y 解得
2,231-==d y ∴n n y n 225)2()1(23-=-⋅-+=〔6分〕
设}{n y 的前n 项和为n T ，那么n n n n T n
242
)
22523(2+-=-+=
〔7分〕
144)12(2+--=n ∴当12=n 时，前12项和最大。

最大值为144〔9分〕
〔3〕∵n a n x y log 2=∴2
n y n a
x =又∵
n y n 225-=
∴12>n
时，0<n y 恒成立〔11分〕 当10<<
a 时，n y a a
n -=5.122
，
在R 上是增函数，为此当12>n 时，105.122
=>==-a a a
x n y n n
当1>a
时，n y a a
n -=5.122
在R 上是减函数，
为此当12>n 时，105.122
=<==-a a a
x n y n n 〔13分〕
∴当10<<a 时，
存在M=12，使得当M n >时，1>n x 恒成立；当1>a 时，不存在M ，使得当M n >时，1>n
x 恒成立〔14分〕
22.解：〔1〕设P 〔y x ,〕，〔0,0<<y x 〕
， 由0=⋅BO
PB ，知BO PB ⊥，故B 坐标为〔0,x 〕〔1分〕
于是)34,4(y x PA ----=，),0(y PB -=，
)34,4(=AO ，)34,4(y x AP ++=，)34,4(+=x AB
∴y y PB PA 342+=
⋅，643443448416++=+++=⋅y x y x AP AO
48)4(2++=x 〔4分〕
由AP AO PB PA ⋅⋅2
1
,成等差数列，故AP AO PB PA ⋅=+⋅〔5分〕
即
6434448)4(3422++=++++y x x y y ，化简得0422=++x y x 〔6分〕
即4)
2(22
=++y x
∴轨迹C 为此〔0,2-〕为圆心，2为半径的x 轴下方的半圆〔不含x 轴上的点〕〔7分〕
〔2〕设直线l ：x y 21=
b +〔0<b 〕代入圆方程得04)2
1
(22=+++x b x x 即
0)4(4
522
=+++b x b x 〔8分〕 由05)4(2>-+=∆
b b ，即0422<--b b 。

又0<b ，解得051<<-b 〔10分〕
设Q 〔00,y x 〕∴2
210
x x x +=
5)
4(224
54+-
=⋅+-=b b 〔12分〕 ∴4455<+<-b ，于是5)55(25)4(258--<+-<-
b 即点Q 的横坐标0x 的取值范围是〔5
5
210,58---
〕〔14分〕。