2020高中数学 第2章2.2 圆与方程 2.2.1 第二课时 圆的一般方程课时作业 苏教版必修2

2.2.1 第二课时 圆的一般方程
[学业水平训
练]
1．已知圆C ：x 2
＋y 2
－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．
解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2
＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由
中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋0＝2y 0＋1＝－2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝2
y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．
答案：(2，－3)
2．过点P (1,2)的直线l 平分圆C ：x 2＋y 2
＋4x ＋6y ＋1＝0的周长，则直线l 的斜率为________．
解析：过点P (1,2)的直线l 平分圆C 的周长，则直线l 过圆心(－2，－3)，则直线l 的斜率为k ＝－3－2－2－1＝5
3
.
答案：53
3．点M ，N 在圆x 2＋y 2
＋kx ＋2y －4＝0上，且点M ，N 关于直线x －y ＋1＝0对称，则该圆的面积是________．
解析：将x 2＋y 2
＋kx ＋2y －4＝0化为(x ＋k
2)2＋(y ＋1)2
＝5＋k 24，故圆心坐标是(－k
2
，－1)，由题意知，直线x －
y ＋1＝0过圆心，故－k
2
＋1＋1＝0，解得k ＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.
答案：9π
4．点A (1,0)在圆x 2＋y 2－2ax ＋a 2
＋3a －3＝0上，则a 的值为________． 解析：∵点A 在圆上，∴a 应满足的条件为 ⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋02－2a ＋a 2＋3a －3＝0－2a 2－a 2＋3a －＞0，即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋a －2＝03a －3＜0， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1或a ＝－2a ＜1，∴a ＝－2.
答案：－2
5．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2
＝0，那么当圆面积最大时，圆心的坐标是________．
解析：将x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0化为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2
＝1－34
k 2，可知当k ＝0时，圆的半径最大，即圆面积最
大，此时圆心坐标是(0，－1)． 答案：(0，－1)
6．已知圆的方程为x 2＋y 2
－6x －8y ＝0，设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．
解析：点(3,5)在圆内，最长弦AC 即为该圆直径， ∴AC ＝10，最短弦BD ⊥AC ，∴BD ＝46，
S 四边形ABCD ＝1
2AC ·BD ＝20 6.
答案：20 6
7．试判断A (1,2)，B (0,1)，C (7，－6)，D (4,3)四点是否在同一个圆上．
解：线段AB ，BC 的斜率分别是k AB ＝1，k BC ＝－1，得k AB ≠k BC ，则A ，B ，C 三点不共线，设过A ，B ，C 三点的圆
的方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
因为A ，B ，C 三点在此圆上，所以⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＋2
E ＋
F ＋5＝0E ＋F ＋1＝0
7D －6E ＋F ＋85＝0
，解得⎩⎪⎨⎪
⎧
D ＝－8
E ＝4
F ＝－5
，
所以过A ，B ，C 三点的圆的方程为x 2
＋y 2
－8x ＋4y －5＝0，将D 点坐标(4,3)代入方程，得42
＋32
－8×4＋4×3
－5＝0，即点D 在此圆上，故A ，B ，C ，D 四点在同一个圆上．
8．一圆经过A (4,2)和B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2，求该圆的方程．
解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，令y ＝0，得x 2
＋Dx ＋F ＝0，所以圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D .
同理圆在y 轴上的截距之和为y 1＋y 2＝－E ，由题意知－D －E ＝2. ① 又A ，B 在圆上，所以16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， ② 1＋9－D ＋3E ＋F ＝0， ③
由①②③联立方程组解得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12.所以，所求圆的方程为x 2＋y 2
－2x －12＝0.
[高考水平训练]
1．设A 为圆(x －1)2＋y 2
＝1上的动点，PA 是圆的切线且PA ＝1，则P 点的坐标(x ，y )满足的方程是________． 解析：由题意知，圆心(1,0)到P 点的距离为2，所以点P 在以(1,0)为圆心，以2为半径的圆上，所以点P 的
坐标(x ，y )满足的方程是(x －1)2＋y 2
＝2.
答案：(x －1)2＋y 2
＝2
2．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝PA 2＋PB 2
，则d 的最大值及最小值分别为________、________. 解析：如图，设P 点坐标为(x 0，y 0)，
∴d ＝x 20＋(y 0＋1)2＋x 20＋(y 0－1)2
＝2(x 20＋y 2
0)＋2
＝2PO 2
＋2.
问题转化为求P 点到原点O 距离的最值， ∵O 在圆外，∴OP max ＝CO ＋1＝5＋1＝6， PO min ＝CO －1＝5－1＝4.
∴d max ＝2×62＋2＝74，d min ＝2×42
＋2＝34. 答案：74 34
3．已知曲线C ：(1＋a )x 2＋(1＋a )y 2
－4x ＋8ay ＝0， (1)当a 取何值时，方程表示圆；
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点； (3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．
解：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，表示一条直线；
当a ≠－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －21＋a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 2
＋a 2表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2
＋8y )＝0.
对于a 取任何值，上式成立，则有⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋y 2－4x ＝0，
x 2＋y 2
＋8y ＝0， 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，
y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝16
5，y ＝－8
5，
∴C 过定点A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫16
5
，－85.
(3)由(2)曲线C 过定点A 、B ，在这些圆中，当以AB 为直径时，圆的面积最小(其余不以AB 为直径的圆，AB 为弦，直径大于AB 的长，圆的面积也大)， 从而得以AB 为直径圆的方程： ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －852＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫y ＋452＝165， ∴21＋a ＝85，4a 1＋a ＝45，4＋16a 2
＋a 2＝165
， 解得a ＝1
4
.
4．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2
＋2x ＋b (x ∈R )的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .
(1)求实数b 的取值范围；
(2)求圆C 的方程；
(3)问圆C 是否经过某定点(其坐标与b 无关)？请证明你的结论． 解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )；
令f (x )＝x 2
＋2x ＋b ＝0，由题意知b ≠0且Δ＞0， 解得b ＜1且b ≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，这与x 2
＋2x ＋b ＝0是同一个方程， 故D ＝2，F ＝b .
令x ＝0得y 2
＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入得出E ＝－b －1.
所以圆C 的方程为x 2＋y 2
＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0. (3)圆C 必过定点，证明如下：
假设圆C 过定点(x 0，y 0)(x 0，y 0与b 无关)，将该点代入圆C 的方程，并变形为x 20＋y 2
0＋2x 0－y 0＋b (1－y 0)＝0(*)，
为使(*)式对所有满足b ＜1且b ≠0的b 都成立，只需1－y 0＝0，结合(*)式得x 20＋y 2
0＋2x 0－y 0＝0，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝0y 0＝1或⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 0＝－2
y 0＝1.
经检验知，点(0,1)，(－2,1)均在圆C 上，因此圆C 过定点．。