高考数学高三模拟试卷试题压轴押题章末综合测评二圆锥曲线与方程2

高考数学高三模拟试卷试题压轴押题章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y ＝－1
8x2的准线方程是( ) A ．x ＝1
32B ．y ＝2 C ．y ＝132
D ．y ＝－2
【解析】将y ＝－1
8x2化为标准形式为x2＝－8y ，故准线方程为y ＝2. 【答案】B
2．(·安徽高考)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x2－y24＝1 B.x2
4－y2＝1 C ．x2－y22＝1 D.x2
2
－y2＝1 【解析】 法一 由渐近线方程为y ＝±2x ，可得y
2＝±x ，所以双曲线的标准方程可以
为x2－y24＝1⎝ ⎛⎭
⎪⎫或y24－x2＝1，舍去. 法二 A 中的渐近线方程为y ＝±2x ；B 中的渐近线方程为y ＝±1
2x ；C 中的渐近线方程
为y ＝±2x ；D 中的渐近线方程为y ＝±
2
2
x.故选A. 【答案】 A
3．(·湖南高考)若双曲线x2a2－y2
b2
＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A.73
B.54
C.43
D.5
3
【解析】 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43， ∴
b2a2＝16
9
.
又b2＝c2－a2，∴
c2－a2a2＝16
9
， 即e2－1＝169，∴e2＝259，∴e ＝5
3. 【答案】 D
4．抛物线y2＝1
4x 关于直线x －y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) 【导学号：
26160065】
A ．(1,0) B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，116 C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫116，0 【解析】∵y2＝14x 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫116，0， ∴关于直线y ＝x 对称后抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，116. 【答案】B
5．设F1，F2是双曲线x2
3－y2＝1的两个焦点，P 在双曲线上，当△F1PF2的面积为2
时，PF1→·PF2→
的值为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
【解析】设P(x0，y0)，又F1(－2,0)，F2(2,0)， ∴PF1→＝(－2－x0，－y0)，PF2→
＝(2－x0，－y0)．|F1F2|＝4. S △PF1F2＝1
2|F1F2|·|y0|＝2， ∴|y0|＝1.又x203
－y20＝1， ∴x20＝3(y20＋1)＝6，∴PF1→·PF2→＝x20＋y20－4＝6＋1－4＝3. 【答案】B
6．(·泰安高二检测)有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2＝2px(p ＞0)上，另一个顶点在原点，则该三角形的边长是( )
A ．23p
B ．43p
C ．63p
D ．83p
【解析】 设A 、B 在y2＝2px 上，另一个顶点为O ，则A 、B 关于x 轴对称，则∠AOx
＝30°，则OA 的方程为y ＝3
3
x.由⎩⎪⎨
⎪⎧
y ＝33x ，y2＝2px ，
得y ＝23p ，∴△AOB 的边长为43p.
【答案】 B
7．已知|AB →|＝3，A ，B 分别在y 轴和x 轴上运动，O 为原点，OP →＝13OA →＋23OB →
，则动点
P 的轨迹方程是( )
A.x2
4
＋y2＝1 B ．x2＋y2
4＝1 C.
x2
9
＋y2＝1 D ．x2＋y29
＝1 【解析】设P(x ，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x ，y)＝13(0，y0)＋2
3(x0,0)，即
x ＝23x0，y ＝13y0，所以x0＝32x ，y0＝3y.因为|AB →|＝3，所以x20＋y20＝9，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2＋(3y)2＝
9，化简整理得动点P 的轨迹方程是x2
4
＋y2＝1. 【答案】A
8．AB 为过椭圆x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的中心的弦F1为一个焦点，则△ABF1的最大面积
是(c 为半焦距)( )
A ．ac
B ．ab
C ．bc
D ．b2
【解析】 △ABF1的面积为c ·|yA|，因此当|yA|最大， 即|yA|＝b 时，面积最大．故选C. 【答案】 C
9．若F1，F2是椭圆x29＋y2
7＝1的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则
△AF1F2的面积为( )
A ．7 B.7
2 C.74D.752
【解析】 |F1F2|＝22，|AF1|＋|AF2|＝6， 则|AF2|＝6－|AF1|，
|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45° ＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
即(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8， 解得|AF1|＝7
2
， 所以S ＝12×72×22
×22＝72. 【答案】 B
10．(·重庆高考)设双曲线
x2a2－y2
b2
＝1(a>0，b>0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A1，A2，过F 作A1A2的垂线与双曲线交于B ，C 两点．若A1B ⊥A2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A ．±12
B ．±
22
C ．±1
D ．±2
【解析】由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b2a . ∵A1B ⊥A2C ，
∴b2a c ＋a ·－b2
a c －a ＝－1，整理得a ＝b. ∵渐近线方程为y ＝±b
a x ，即y ＝±x ， ∴渐近线的斜率为±1. 【答案】C
11．过抛物线y2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB 的面积是( )
A ．3 2
B ．22
C.2
D.322
【解析】 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F 的坐标为(1,0)，又|AF|＝3，由抛物线定义知：点A 到准线x ＝－1的距离为3，
∴点A 的横坐标为2.
将x ＝2代入y2＝4x 得y2＝8，由图知点A 的纵坐标y ＝22， ∴A(2,22)，
∴直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．
联立直线与抛物线的方程⎩⎨
⎧ y ＝22x －1
，
y2＝4x ，
解之得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝12，
y ＝－2
或⎩⎨
⎧ x ＝2，
y ＝2 2.
由图知B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，－2， ∴S △AOB ＝12|OF|·|yA －yB|＝12×1×|22＋2|＝3
2 2. 【答案】 D
12．已知椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C2：x2－y2
4＝1有公共的焦点，C2的
一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C1恰好将线段AB 三等分，则( )
A ．a2＝13
2
B ．a2＝13
C ．b2＝1
2
D ．b2＝2
【解析】 由题意，知a2＝b2＋5，因此椭圆方程为(a2－5)x2＋a2y2＋5a2－a4＝0，双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，联立方程消去y ，得(5a2－5)x2＋5a2－a4＝0，∴直线截椭圆的弦长d ＝5×2
a4－5a25a2－5＝23a ，解得a2＝112，b2＝1
2
，故选C. 【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(·北京高考)已知(2,0)是双曲线x2－y2
b2＝1(b>0)的一个焦点，则b ＝________. 【解析】由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a2＝1.又c2＝a2＋b2，所以b2＝3.又b>0，所以b ＝ 3.
【答案】3
14．设F1，F2为曲线C1：
x26＋y22＝1的焦点，P 是曲线C2：x2
3－y2＝1与C1的一个交点，则△PF1F2的面积为________．
【解析】由题意知|F1F2|＝26－2＝4，设P 点坐标为
(x ，y)． 由⎩⎪⎨⎪⎧
x26＋y22＝1，x23－y2＝1，
得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝±32
2，y ＝±22.
则S △PF1F2＝12|F1F2|·|y|＝12×4×2
2＝ 2. 【答案】2
15.如图1，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆x2a2＋y2
b2＝1的右焦点F ，且两
条曲线的交点连线也经过焦点F ，则该椭圆的离心率为________．
图1
【解析】 由条件知，c ＝p
2， ∴其中一个交点坐标为(c,2c)， ∴
c2a2＋4c2
b2
＝1，∴e4－6e2＋1＝0， 解得e2＝3±22，∴e ＝±(2±1)． 又0<e<1，故e ＝2－1. 【答案】
2－1
16．(·上海高考)已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为x2
4－y2＝1，若C2的一
条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为________．
【解析】 因为C1的方程为x24－y2＝1，所以C1的一条渐近线的斜率k1＝1
2，所以C2
的一条渐近线的斜率k2＝1，因为双曲线C1、C2的顶点重合，即焦点都在x 轴上，
设C2的方程为x2a2－y2
b2＝1(a ＞0，b ＞0)， 所以a ＝b ＝2，所以C2的方程为x24－y2
4＝1. 【答案】
x24－y2
4
＝1
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，点P(3,4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
【解】由共同的焦点F1(0，－5)，F2(0,5)，可设椭圆方程为y2a2＋x2
a2－25
＝1，双曲线方程为y2b2－x225－b2
＝1(b>0)． 点P(3,4)在椭圆上，则16a2＋9
a2－25＝1，得a2＝40， 双曲线过点P(3,4)的渐近线方程为y ＝
b
25－b2x ，即4＝b
25－b2×3，得b2＝16. 所以椭圆方程为y240＋x215＝1，双曲线方程为y216－x2
9
＝1. 18．(本小题满分12分)(·厦门高二检测)已知直线l ：y ＝x ＋m 与抛物线y2＝8x 交于A ，B 两点，
(1)若|AB|＝10，求m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求m 的值． 【解】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
(1)⎩
⎪⎨
⎪⎧
y ＝x ＋m ，y2＝8x ⇒x2＋(2m －8)x ＋m2＝0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
Δ＝2m －82－4m2＞0，x1＋x2＝8－2m ，x1x2＝m2.
|AB|＝2|x1－x2|＝2
x1＋x2
2－4x1x2＝10，
得m ＝716，∵m ＜2，∴m ＝716. (2)∵OA ⊥OB ，∴x1x2＋y1y2＝0. x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0， 2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0， 2m2＋m(8－2m)＋m2＝0， m2＋8m ＝0，m ＝0或m ＝－8. 经检验m ＝－8.
19．(本小题满分12分)已知双曲线过点P ()－32，4，它的渐近线方程为y ＝±43x. (1)求双曲线的标准方程；
(2)设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P 在此双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝41，
求∠F1PF2的余弦值．
【解】(1)由渐近线方程知，双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为－32的点P ′的纵坐标的绝对值为4 2.
∵42>4，∴双曲线的焦点在x 轴上，设方程为x2a2－y2
b2＝1. ∵双曲线过点P(－32，4)， ∴
18a2－16
b2
＝1.① 又b a ＝4
3
，② 由①②，得a2＝9，b2＝16， ∴所求的双曲线方程为x29－y2
16＝1. (2)设|PF1|＝d1，|PF2|＝d2，
则d1·d2＝41.又由双曲线的几何性质知，|d1－d2|＝2a ＝6. 由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝d21＋d22－|F1F2|22d1d2 ＝
d1－d2
2＋2d1d2－|F1F2|22d1d2＝9
41
. 20．(本小题满分12分)(·安徽高考)设椭圆E 的方程为x2a2＋y2
b2＝1(a>b>0)，点O 为坐
标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b)，点M 在线段AB 上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM 的斜率为
510
. (1)求E 的离心率e ；
(2)设点C 的坐标为(0，－b)，N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB. 【导学号：26160066】
【解】 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫23a ，13b ， 又kOM ＝
510，从而b 2a ＝5
10
. 进而a ＝5b ，c ＝a2－b2＝2b ，故e ＝c a ＝25
5
. (2)证明：由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a
2，－b 2，可得NM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 6，5b 6. 又AB →
＝(－a ，b)，
从而有AB →·NM →
＝－16a2＋56b2＝16(5b2－a2)． 由(1)的计算结果可知a2＝5b2， 所以AB →·NM →
＝0，故MN ⊥AB.
21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x2a2＋y2
b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 及点A(0，b)，
原点O 到直线FA 的距离为
22
b. (1)求椭圆C 的离心率e ；
(2)若点F 关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点P 在圆O ：x2＋y2＝4上，求椭圆C 的方程及点P 的坐标．
【解】 (1)由点F(－ae,0)，点A(0，b)，及b ＝1－e2a ，得直线FA 的方程为
x
－ae ＋
y
1－e2a
＝1，即1－e2x －ey ＋ae 1－e2＝0. 因为原点O 到直线FA 的距离为 2
2b ＝ae 1－e2， 所以
2
2
1－e2·a ＝ae 1－e2， 解得e ＝
22
. (2)设椭圆C 的左焦点F ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
－22a ，0关于直线l ：2x ＋y ＝0的对称点为P(x0，y0)，则有
⎩⎪⎨⎪
⎧
y0
x0＋22
a
＝12，2·x0－2
2a
2＋y02＝0，
解得x0＝3210a ，y0＝22
5 a. 因为P 在圆x2＋y2＝4上，所以⎝
⎛⎭⎪⎫3210a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
225a 2＝4. 所以a2＝8，b2＝(1－e2)a2＝4.
故椭圆C 的方程为x28＋y2
4
＝1， 点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫65，85. 22．(本小题满分12分)(·郑州高二检测)已知经过点A(－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x2＝2py(p>0)相交于B ，C ，当直线l 的斜率是12时，AC →＝14
AB →. (1)求抛物线G 的方程；
(2)设线段BC 的垂直平分线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．
【解】(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由已知，当kl ＝12时，l 的方程为y ＝1
2(x ＋4)，
即x ＝2y －4.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x2＝2py ，
x ＝2y －4，
得2y2－(8＋p)y ＋8＝0，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
y1y2＝4，y1＋y2＝8＋p
2，又因为AC →＝14
AB →
， 所以y2＝1
4
y1或y1＝4y2. 由p>0得：y1＝4，y2＝1，p ＝2，即抛物线方程为x2＝4y. (2)设l ：y ＝k(x ＋4)，BC 中点坐标为(x0，y0)，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧ x2＝4y ，y ＝k x ＋4，
得x2－4kx －16k ＝0.①
所以x0＝x1＋x22＝2k ，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k. 所以BC 的中垂线方程为 y －2k2－4k ＝－1
k
(x －2k)， 所以BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ＝2k2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2， 对于方程①由Δ＝16k2＋64k>0得k>0或k<－4.所以b ∈(2，＋∞)．
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题综合测评(四) 框图
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．要描述一工厂某产品的生产工艺，应用( )
A．程序框图B．工序流程图
C．知识结构图D．组织结构图
【解析】这是设计生产过程，应为工序流程图，选B.
【答案】B
2．在下面的图示中，是结构图的是( )
A.Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→得到一个明显成立的条件
C.
D.
【解析】A是流程图；C是图表；D是图示；B是知识结构图．
【答案】B
A．图象变换B．奇偶性
C．对称性D．解析式
【解析】函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等，故选B.
【答案】B
4．阅读如图2所示的知识结构图：
图2
“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【解析】“上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”共3个．
【答案】C
5．(·湖南高考)执行如图3所示的程序框图，如果输入n＝3，则输出的S＝( )
图3
A.67
B.37
C.89
D.49
【解析】第一次循环：S ＝1
1×3，i ＝2；
第二次循环：S ＝11×3＋1
3×5
，i ＝3；
第三次循环：S ＝11×3＋13×5＋1
5×7，i ＝4，满足循环条件，结束循环．
故输出S ＝
11×3＋13×5＋15×7
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋15－17＝3
7，故选B. 【答案】B
6．学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的结构图正确的是( )
【解析】由学校教职工组织结构易知选A. 【答案】A
7．(·重庆高考)执行如图4所示的程序框图，若输出k 的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
图4
A ．s ≤34
B ．s ≤56
C ．s ≤1112
D ．s ≤2524
【解析】 由s ＝0，k ＝0满足条件，则k ＝2，s ＝12，满足条件；k ＝4，s ＝12＋1
4
＝
34，满足条件；k ＝6，s ＝34＋16＝1112，满足条件；k ＝8，s ＝1112＋18＝25
24，不满足条件，输出k ＝8，所以应填s ≤1112
.
【答案】 C
8．(·锦州高二检测)如图5是“向量的线性运算”知识结构图，如果要加入“三角形法则”和“平行四边形法则”，应该放在( )
【导学号：1927】
A ．“向量的加减法”中“运算法则”的下位
B ．“向量的加减法”中“运算律”的下位
C ．“向量的数乘”中“运算法则”的下位
D ．“向量的数乘”中“运算律”的下位
【解析】因为“三角形法则”和“平行四边形法则”是向量的加减法的运算法则，故应该放在“向量的加减法”中“运算法则”的下位．
【答案】A
9．(·湖南高考)执行如图6所示的程序框图，如果输入的t ∈[－2,2]，则输出的S 属于( )
图6
A．[－6，－2] B．[－5，－1]
C．[－4,5] D．[－3,6]
【解析】由程序框图知，当0≤t≤2时，输出S＝t－3，此时S∈[－3，－1]；当－2≤t<0时，执行t＝2t2＋1后1<t≤9，执行1<t≤9时，输出S＝t－3，此时S∈(－2，6]．综上，输出S的值属于[－3,6]．
【答案】D
10．如图7所示的工序流程图中，设备采购的下一道工序是( )
图7
A．设备安装B．土建设计
C．厂房土建D．工程设计
【解析】结合工序流程图可知，设备采购的下一道工序是设备安装．
【答案】A
11．执行如图8所示的程序框图，若输入x ＝9，则输出y ＝( )
图8
A.113
B.49
C.299
D.43
【解析】x ＝9时，y ＝9
3＋2＝5，|y －x|＝|5－9|＝4＜1不成立；
x ＝5，y ＝53＋2＝113，|y －x|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪113－5＝4
3
＜1不成立；
x ＝113，y ＝119＋2＝299，|y －x|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪299－113＝4
9＜1成立，输出y ＝299.
【答案】C
12．阅读下面程序框图，如果输出的函数值在区间内⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12，那么输入实数x 的取值
范围是( )
【导学号：1928】
图9
A ．(－∞，－2]
B ．[－2，－1]
C ．[－1,2]
D ．[2，＋∞)
【解析】若输出f(x)∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤14，12，则x ∈[－2，－1]． 【答案】B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．) 13．在组织结构图中，一般采用________形结构绘制，它直观、容易理解，被应用于很多领域．
【解析】组织结构图一般采用“树”形结构． 【答案】“树”
14．如图10为有关函数的结构图，由图我们可以知道基本初等函数包括________．
图10
【解析】基本初等函数包括指数函数、对数函数、幂函数三种． 【答案】指数函数、对数函数、幂函数
15．某工程由A ，B ，C ，D 四道工序组成，完成它们需用时间依次为2,5，x,4天，四道工序的先后顺序及相互关系是：A ，B 可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B ，C 完成后，D 可以开工．若完成该工程共需9天，则完成工序C 需要的天数最大是________.
【导学号：1929】
【解析】由题意可画出工序流程图如图所示：
∴2＋x＋4≤9，∴x≤3.
【答案】3
16．(·山东高考)执行如图11所示的程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．
图11
【解析】由x2－4x＋3≤0，解得1≤x≤3.
当x＝1时，满足1≤x≤3，所以x＝1＋1＝2，n＝0＋1＝1；
当x＝2时，满足1≤x≤3，所以x＝2＋1＝3，n＝1＋1＝2；
当x＝3时，满足1≤x≤3，所以x＝3＋1＝4，n＝2＋1＝3；
当x＝4时，不满足1≤x≤3，所以输出n＝3.
【答案】3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)
17．(本小题满分10分)画出求平方值小于2 000的最大整数的程序框图．
【解】如图：
18．(本小题满分12分)某公司局域网设置如下：经理室、市场部、销售部、客户服务部、系统管理员通过服务器与外部连接．试画出该公司局域网设置的结构图．【解】该公司局域网设置的结构图如图所示．
19．(本小题满分12分)写出《数学3(必修)》第2章“统计”的知识结构图．
【解】
20．(本小题满分12分)阅读如图12所示的结构图：
图12
试根据此结构图阐述“圆锥曲线与方程”知识的逻辑关系．
【解】先由椭圆的实际背景引出椭圆的定义，用坐标法由定义推导出椭圆的标准方程和简单几何性质，然后是椭圆的简单应用．
再由双曲线的实际背景引出双曲线的定义，用坐标法由定义推导出双曲线的标准方程和简单几何性质，然后是双曲线的简单应用．
最后由抛物线的实际背景引出抛物线的定义，用坐标法由定义推导出抛物线的标准方程和简单几何性质，然后是抛物线的简单应用．
21．(本小题满分12分)在选举过程中常用差额选举(候选人数多于当选人数)，某班选举班长，具体方法是：筹备选举，由班主任提名候选人，同学投票(同意，不同意，弃权)，验票统计．
若有得票多者，则选为班长，若票数相同由班主任决定谁当选，请用流程图表示该选举过程．
【解】选举过程流程图为：
22．(本小题满分12分)某公司组织结构中的部门及关系有：股东大会为一切政策制订和计划实施的最终审批机构，其下有董事会为其负责，监事会为董事会提供顾问和决策建议，董事会下设总经理管理日常工作，总经理直接领导综合办公室的工作，由综合办公室再去管理其他各部门的工作，有职能管理部门，管理人力企划部、计财部、监察审计部，
市场营销部门又下辖市场开拓部、采购部、集团客户部，工程部门负责工程部、后勤部、售后服务部的工作，技术研发部门管理产品开发部、技术支援部．
根据以上信息，绘制出其组织结构图．
【解】该公司组织结构图如下：
高考数学高三模拟试卷试题压轴押题重庆市高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．200 D．240
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是（用数字作答）．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为．
15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则
|AB|=．
16．若关于实数x的不等式|x﹣5|+|x+3|＜a无解，则实数a的取值范围是．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（13分）设f（x）=a（x﹣5）2+6lnx，其中a∈R，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与y轴相交于点（0，6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
18．（13分）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：
奖级摸出红、蓝球个数获奖金额
一等奖3红1蓝200元
二等奖3红0蓝50元
三等奖2红1蓝10元
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额x的分布列与期望E（x）．
19．（13分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC=CD=2，AC=4，∠ACB=∠ACD=，F为PC的中点，AF⊥PB．
（1）求PA的长；
（2）求二面角B﹣AF﹣D的正弦值．
20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2+b2+ab=c2．（1）求C；
（2）设cosAcosB=，=，求tanα的值．
21．（12分）如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A、A′两点，|AA′|=4．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P、P′，过P、P′作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外．若PQ⊥P'Q，求圆Q的标准方程．
22．（12分）对正整数n，记In={1，2，3…，n}，Pn={|m∈In，k∈In}．
（1）求集合P7中元素的个数；
（2）若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并集．
重庆市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
【分析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．
【解答】解：∵A={1，2}，B={2，3}，
∴A∪B={1，2，3}，
∵全集U={1，2，3，4}，
∴∁U（A∪B）={4}．
故选：D．
【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2．（5分）命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为（）
A．对任意x∈R，都有x2＜0 B．不存在x∈R，都有x2＜0
C．存在x0∈R，使得x02≥0D．存在x0∈R，使得x02＜0
【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为．存在x0∈R，使得x02＜0．
故选：D．
【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
3．（5分）（﹣6≤a≤3）的最大值为（）
A．9 B．C．3 D．
【分析】令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，利用二次函数的性质求得函数f（a）的最大值，
即可得到所求式子的最大值．
【解答】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣+，而且﹣6≤a≤3，
由此可得当a=﹣时，函数f（a）取得最大值为，
故（﹣6≤a≤3）的最大值为=，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
4．（5分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．
【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；
∴y=8；
甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，
∴x=5．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和平均数的计算．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫
做中位数．
5．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．200 D．240
【分析】如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到一个四棱柱，据此即可计算出体积．
【解答】解：如图所示，该几何体是棱长分别为4，8，10的长方体砍去两个小三棱柱得到
一个四棱柱，
由图知V==200．
故选：C．
【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．
6．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x ﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
【分析】由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，即可判断出．
【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）=（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）=（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）=（c﹣a）（c﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；
又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
【点评】熟练掌握函数零点存在判定定理及二次函数最多有两个零点的性质是解题的关键．
7．（5分）已知圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2=9，M，N 分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（）
A．﹣1 B．5﹣4 C．6﹣2D．
【分析】求出圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A，以及半径，然后求解圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出|PM|+|PN|的最小值．
【解答】解：如图圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，
圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，
由图象可知当P，M，N，三点共线时，|PM|+|PN|取得最小值，
|PM|+|PN|的最小值为圆C3与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，
即：|AC2|﹣3﹣1=﹣4=﹣4=5﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，
考查转化思想与计算能力．
8．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输出S=3，那么判断框内应填入的条件是（）
A．k≤6B．k≤7C．k≤8D．k≤9
【分析】根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=3，可得判断框内应填入的条件．
【解答】解：根据程序框图，运行结果如下：
S k
第一次循环 log23 3
第二次循环log23•log34 4
第三次循环log23•log34•log45 5
第四次循环log23•log34•log45•log56 6
第五次循环log23•log34•log45•log56•log67 7
第六次循环log23•log34•log45•log56•log67•log78=log28=3 8
故如果输出S=3，那么只能进行六次循环，故判断框内应填入的条件是k≤7．
故选：B．
【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出
内在规律．本题属于基础题．
9．（5分）4cos50°﹣tan40°=（）
A．B．C．D．2﹣1
【分析】原式第一项利用诱导公式化简，第二项利用同角三角函数间的基本关系切化弦，通分后利用同分母分式的减法法则计算，再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，约分即可得到结果．【解答】解：4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°=
==
===．
故选：C．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．（5分）在平面上，⊥，||=||=1，=+．若||＜，则||的取值范围是（）
A．（0，] B．（，] C．（，] D．（，]
【分析】建立坐标系，将向量条件用等式与不等式表示，利用向量模的计算公式，即可得到结论．
【解答】解：根据条件知A，B1，P，B2构成一个矩形AB1PB2，以AB1，AB2所在直线为坐标轴建立直角坐标系，设|AB1|=a，|AB2|=b，点O的坐标为（x，y），则点P的坐标为（a，b），
由=1，得，则
∵||＜，∴
∴
∴
∵（x﹣a）2+y2=1，∴y2=1﹣（x﹣a）2≤1，
∴y2≤1
同理x2≤1
∴x2+y2≤2②
由①②知，
∵||=，∴＜||≤
故选：D．
【点评】本题考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，考查学生的计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共3小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上．
11．（5分）已知复数z=（i是虚数单位），则|z|=．
【分析】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果．
【解答】解：|z|===．
故答案为：．
【点评】本题考查复数的模的求法，考查计算能力．
12．（5分）已知{an}是等差数列，a1=1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8=64．
【分析】依题意，a1=1，=a1•（a1+4d），可解得d，从而利用等差数列的前n
项和公式即可求得答案．
【解答】解：∵{an}是等差数列，a1，a2，a5成等比数列，
∴=a1•（a1+4d），又a1=1，
∴d2﹣2d=0，公差d≠0，
∴d=2．
∴其前8项和S8=8a1+×d=8+56=64．
故答案为：64．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查方程思想与运算能力，属于基础题．
13．（5分）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是590（用数字作答）．
【分析】不同的组队方案：选5名医生组成一个医疗小组，要求其中骨科、脑外科和内科医生都至少有1人，方法共有6类，他们分别是：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生；1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，…，在每一类中都用分步计数原理解答．
【解答】解：直接法：3名骨科、1名脑外科和1名内科医生，有C33C41C51=20种，
1名骨科、3名脑外科和1名内科医生，有C31C43C51=60种，
1名骨科、1名脑外科和3名内科医生，有C31C41C53=120种，
2名骨科、2名脑外科和1名内科医生，有C32C42C51=90种，
1名骨科、2名脑外科和2名内科医生，有C31C42C52=180种，
2名骨科、1名脑外科和2名内科医生，有C32C41C52=120种，
共计20+60+120+90+180+120=590种
间接法：
﹣﹣﹣+1=590
故答案为：590．
【点评】本题主要考查了排列、组合及简单计数问题，解答关键是利用直接法：先分类后分步．
14，15，16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分：
14．（5分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为5．
【分析】利用直角△ABC的边角关系即可得出BC，利用弦切角定理可得∠BCD=∠A=60°．利用直角△BCD的边角关系即可得出CD，BD．再利用切割线定理可得CD2=DE•DB，即可得出DE．
【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．
∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．
在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．
由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．
故答案为5．
【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、弦切角定理、切割线定理是解题的关键．15．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcosθ=4的直线与曲线（t为参数）相交于A，B两点，则|AB|=16．
【分析】先将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程，再代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标，最后利用两点间的距离公式即可得出|AB|．
【解答】解：将直线极坐标方程ρcosθ=4化成直角坐标方程为x=4，代入曲线（t为参数）中得A，B两点的直角坐标为（4，8），（4，﹣8），
则|AB|=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程间的转化，两点间的距离公式，考查转化、计算能力．。