第47讲 中心极限定理

概率论与数理统计
主讲：四川大学
四川大学第47讲中心极限定理1
§5.2 中心极限定理
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第47讲中心极限定理
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中心极限定理的概念
Central Limit Theorems
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在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量相互独立的随机因素的综合影响所形成，
而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用是微小的。

这种随机变量往往近似地服从正态分布。

这种现象就是中心极限定理的客观背景。

本节将用中心极限定理来说明这种现象。

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中心极限定理是说：在一定条件下，充分多的相互独立的随机变量的算术平均值将服从正态分布，不管这些随机变量本身服从什么分布。

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本节介绍了三个中心极限定理
1. 列维-林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）
2. 李雅普诺夫定理（独立不同分布的中心极限定理）
自学3. 棣莫弗-拉普拉斯定理(二项分布的极限分布)
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列维-林德伯格定理
独立同分布的中心极限定理
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第47讲中心极限定理17Jarl Waldemar Lindeberg 1876–1932
芬兰数学家
Paul Pierre Lévy
1886-1971
法国数学家
Lévy法国数学家。

现代概率论开拓者之一，他在巴黎出生。

第一次世界大战期间，莱维是法国炮兵进行数学分析工作。

1920年，他被任命为在Ecole理工学院，在那里他的学生包括蒙德布罗特分析。

他留在莱
维主要研究概率论和泛函分析。

他引入分布律的莱维距离、散布函数和集结函数、鞅、局部时等概念，对极限理论和随机过程理论作出了重要贡献。

概率论中的莱维过程(Lévy processes)，莱维测度（Lévy measure），莱维分布(Lévy distribution) 等都是以其命名。

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林德伯格的职业生涯主要在赫尔辛基大学。

他早期的兴趣在偏微分方程和积分变换，但是从1920年，他的兴趣开始转向概率和数理统计。

1920年，他发表了他的中心极限定理的第一篇论文。

其结果与早些时候李雅普诺夫所作的工作相似，但他当时并不知情。

况且他们的研究方法并不相同：林德伯格是基于卷积定理，而李亚普诺夫用的是特征函数。

两年后林德伯格用自己的方法又获得更稳定的结果，即所谓的Lindeberg条件。

他在概率方面的工作开始让他参与到应用领域。

他发展了众所周知的肯德尔系数（Kendall's tau）并发现了其抽样分布的两个一阶统计距。

林德伯格还将抽样法用于林业，并在1926年确定了获得足够精确的置信区间的样条数，他似乎重新发现了Student的t分布。

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第47讲中心极限定理20例1 设随机变量X 1, X 2, …, X n 相互独立，
S n = X 1+X 2+…+X n ，则根据列维-林德伯格(Levy -Lindberg)中心极限定理，当n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要X 1, X 2, …, X n (A) 有相同的数学期望(B) 有相同的方差
(C) 服从同一指数分布(D) 服从同一离散型分布2002年数学四第二(5)题解这个定理要求诸X i 有相同的分布，且数学期望和方差都要存在，方差大于零。

(A)和(B)不能保证同分布(D)不能保证分布的数学期望或方差存在指数分布的数学期望和方差(大于0)都存在选(C)四川大学
棣莫弗-拉普拉斯定理
二项分布的极限分布
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Abraham de Moivre 1667~1754
French mathematician
who was a pioneer in the development of analytic trigonometry and in the theory of probability.Pierre-Simon Laplace 1749–1827
French mathematician
was an influential French scholar whose work was important to the development of mathematics,statistics,physics,
and astronomy.
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棣莫弗的工作对数理统计学最大的影响，当
然还在于现今以他的名字命名的中心极限定理。

棣莫弗作出他的发现后约40年，拉普拉斯建立了中心极限定理较一般的形式，独立和中心极限定理最一般的形式到20世纪30年代才最后完成。

嗣后统计学家发现，一系列的重要统计量，
在样本量N->∞时，其极限分布都有正态的形式，这构成了数理统计学中大样该方法的基础。

如今，大样该方法在统计方法中占据了很重要的地位。

饮水思源，棣莫弗的工作可以说是这一重要发展的源头。

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例5 设有400个学生的毕业典礼中，一个学生无家长、有1名家长、有2名家长来参加毕业典礼的概率分别是0.05、0.8、0.15。

设各学生参加毕业典礼的家长人数相互独
立，且服从同一分布。

(1) 求参加毕业典礼的家长人数X 超过450人
的概率；
(2) 求有1名家长来参加毕业典礼的学生人
数不多于340人的概率。

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设有400个学生的毕业典礼中，一个学生无家长、有1
名家长、有2名家长来参加毕业典礼的概率分别是0.05、0.8、0.15。

设各学生参加毕业典礼的家长人数相互独立，且服从同一分布。

(1) 求参加毕业典礼的家长人数X 超过450人的概率；(2) 求有1名家长来参加毕业典礼的学生人数不多于340人的概率。

设Y 是有1名家长参加毕业典礼的学生人数，则Y 服从参数为n =400，p =0.8的二项分布。

3404004000
{340}0.80.2
k k k k P Y C -=≤=⨯⨯∑计算量惊人
下面用正态分布近似计算四川大学四川大学
考研题评讲
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2001年数学三第十一题
一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的。

假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆汽车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977。

(Φ(2)=0.977,其中Φ(x)是标准正态分布函数。

)
详见视频
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1988年数学四
某保险公司多年的统计资料表明：在索赔户中被盗索赔户占20% 。

以X表示在随机抽查的
100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。

(1)写出X的概率分布；
(2)利用德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，求被盗
索赔户不少于14户且不多于30户的概率。

详见视频
四川大学第47讲中心极限定理48。