【中考】2020中考数学新高分大一轮复习全国版：综合模拟测试2

综合模拟测试二
(时间:120分钟 总分:120分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1.下列计算正确的是( ) A.a 6÷a 2=a 3 B.a 2+a 3=a 5 23=a 6 D.(a+b )2=a 2+b 2
√19的值在( ) A.2和3之间 B.3和4之间 5之间 D.5和6之间
( )
①正八边形的每个内角都是135°;②√27与√1
3是同类二次根式;③长度等于半径的弦所对的圆周角
为30°;④反比例函数y=-2
x
,当x<0时,y 随x 的增大而增大.
B.2个
C.3个
D.4个
4.不等式组{2x +1
2>1
2x -4,
32x -12
≤x 的解集在数轴上表示正确的是( )
答案A
,不是轴对称的是( )
6. 如图,若☉O 的直径AB 与弦AC 的夹角为30°,切线CD 与AB 的延长线交于点D ,且☉O 的半径为2,则CD 的长为( )
A.2√3
B.4√3 D.4
6个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6的小立方体,它任意两对面上所写的两个数字之和为7.将这样相同的几个骰子按照相接触的两个面上的数字的积为6摆成一个几何体,这个几何体的三视图如图所示.已知图中所标注的是部分面上的数字,则“※”所代表的数是( )
B.4
C.5
D.6
8. 如图,菱形ABCD 的周长为8 cm,高AE 的长为√3 cm,则对角线AC 与BD 的长度之比为( )
A.1∶2
B.1∶3 √2 D.1∶√3
,30名学生共种78棵树苗.其中男生每人种3棵,女生每人种2棵,设男生有x 人,女生有y 人,根据题意,所列方程组正确的是( ) A.{x +y =78,3x +2y =30 B.{x +y =78,2x +3y =30 C.{x +y =30,+3y =78 D.{x +y =30,3x +2y =78
y=ax 2+bx+c (a ≠0)与x 轴交于点(x 1,0)与(x 2,0),其中x 1<x 2,方程ax 2+bx+c-a=0的两根为m ,n (m<n ),则下列判断正确的是( ) A.b 2-4ac ≥0 B.x 1+x 2>m+n 1<x 2 D.m<x 1<x 2<n
(每小题3分,共21分)
11. 如图,将直角三角板60°角的顶点放在圆心O 处,斜边和一直角边分别与☉O 相交于A ,B 两点,P
是优弧AB
⏜上任意一点(与A ,B 不重合),则∠APB= .
答案30°
,全班48名学生的平均分为72分,如果不统计第一小组6人的成绩,其余人的平71分,那么第一小组6人的平均分数是 .
分
,已知正方形ABCD 的边长为3,E ,F 分别是AB ,BC 边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°得到△DCM.若AE=1,则FM 的长为 .
14.如图,把一个半径为12 cm 的圆形硬纸片等分成三个扇形,用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠),则圆锥底面半径是 cm .
答案4
C 1:y=-x 2-2x 绕着点M (1,0)旋转180°后,所得到的新抛物线C 2的解析式是 .
2-6x+8
16. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AM 是BC 边上的中线,sin ∠CAM=3
5,则tan B 的值为 .
,已知点O 为坐标原点,四边形OABC 为矩形,A (10,0),C (0,4),点D 是OA 的中点,点P 在BC 上运动,当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时,则点P 的坐标为 .
答案(2,4)或(3,4)或(8,4) (69分)
18.(6分)关于x 的一元二次方程x 2+(2m+1)x+m 2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m 的取值范围;
m 的值,并求此时方程的根.
∵原方程有两个不相等实数根,
∴Δ=(2m+1)2-4(m 2-1)=4m+5>0,
解得m>-5
4.
(2)当m=1时,原方程为x 2+3x=0,
即x (x+3)=0,∴x 1=0,x 2=-3.(m 取其他符合条件的值也可以)
19.(9分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (1
2,2),B (3,n )在反比例函数y=m
x (m 为常数)的图象上,连接AO 并延长与图象的另一支交于点C ,过点A 的直线l 与x 轴的交点为点D (1,0),过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E.
(1)求m 的值,并求直线l 对应的函数表达式; (2)求点E 的坐标;
B 作射线BN ∥x 轴,与AE 交于点M (补全图形),求证:tan ∠ABN=tan ∠CBN.
因为点A (1
2,2)在反比例函数y=m
x (m 为常数)的图象上,所以m=1
2×2=1.
所以反比例函数y=m x (m 为常数)对应的函数表达式是y=1x
. 设直线l 对应的函数表达式为y=kx+b (k ,b 为常数,k ≠0). 因为直线l 经过点A (1
2,2),D (1,0),
所以{12
k
+b =2,
k +b =0,
解得{k =-4,b =4.
所以直线l 对应的函数表达式为y=-4x+4.
(2)由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为(-1
2,-2). 因为CE ∥x 轴并交直线l 于点E ,所以y E =y C . 所以点E 的坐标为(32
,-2).
(3)如图,作AF ⊥BN 于点G ,作CH ⊥BN 于点H ,
因为点B (3,n )在反比例函数图象上,所以n=13.
所以B (3,1
3),G (12,1
3),H (-12,1
3). 在Rt △ABG 中,tan ∠ABH=AG
BG =2-1
33-12=2
3,
在
Rt △BCH 中,tan ∠CBH=
CH
BH
=
13+23+12
=23
,
所以tan ∠ABN=tan ∠CBN.
20.(9分)某学校为了解本校2 400名学生对足球赛的关注程度,以利于做好教育和引导工作,随机抽取了本校内的六、七、八、九四个年级部分学生进行调查,按“各年级被抽取人数”与“关注程度”,分别绘制了条形统计图(图甲-1)、扇形统计图(图甲-2)和折线统计图(图乙).
各年级被抽取人数统计图
图甲-1
图甲-2
被抽取学生足球关注度人数统计图
图乙
(1)本次共随机抽查了 名学生,根据信息补全图甲-1中的条形统计图,图甲-2中八年级所对应扇形的圆心角的度数为 ;
(2)如果把“特别关注”“一般关注”“偶尔关注”都看成关注,那么全校关注足球赛的学生大约有多少名? (3)①根据上面的统计结果,谈谈你对该校学生对足球关注的现状的看法及建议; ,你认为应该如何进行抽样? 解(1)200,补全的图甲-1如图,144°.
(2)方法一:根据题意得:不关注的学生所占的百分比为90
200×100%=45%;
所以全校关注足球赛的学生大约有2 400×(1-45%)=1 320(人).
方法二:根据题意得:关注的学生所占的百分比为20+60+30
200
×100%=55%,所以全校关注足球赛的
学生大约有2 400×55%=1 320(人).
(3)①根据以上所求可得出:只有55%的学生关注足球比赛,有45%的学生不关注,可以看出仍有部分学生忽略了对足球的关注,希望学校做好教育与引导工作,加大对足球进校园的宣传力度,让校园足球得到更多的关注和支持,推动校园足球的发展.
②考虑到样本具有的随机性、代表性、广泛性,如果要了解中小学生对校园足球的关注的情况,抽样时应针对不同的年级、不同性别、不同年龄段的学生进行随机抽样.(只要给出合理看法与建议,即可得分)
21.(10分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1 900本科技类书籍和1 620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来.
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方,最低费用是多少元?
设组建中型图书角x 个,
则组建小型图书角(30-x )个.
由题意,得{80x +30(30-x )≤1 900,
50x +60(30-x )≤1 620,
解这个不等式组,得18≤x ≤20.
由于x 只能取整数,所以x 的取值是18,19,20. 当x=18时,30-x=12; 当x=19时,30-x=11; 当x=20时,30-x=10.
故有三种组建方案.方案一:中型图书角18个,小型图书角12个;方案二:中型图书角19个,小型图书角11个;方案三:中型图书角20个,小型图书角10个.
(2)方案一的费用是860×18+570×12=22 320(元);方案二的费用是860×19+570×11=22 610(元);方案三的费用是860×20+570×10=22 900(元).
故方案一的费用最低,最低费用是22 320元.
22.(10分)如图,图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形.当点O到BC(或DE)的距离大于或等于☉O的半径时(☉O是桶口所在的圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙,A-B-C-D-E-F,C-D是CD
⏜,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF=34 cm,AB=FE=5 cm,∠ABC=∠FED=149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格.
(参考数据:√314≈17.72,tan 73.6°≈3.40,sin 75.4°≈0.97)
解连接OB,过点O作OG⊥BC于点G,如图.
在Rt△ABO中,AB=5,AO=17,
∴tan∠ABO=AO
AB =17
5
=3.4.
∴∠ABO≈73.6°.
∴∠GBO=∠ABC-∠ABO≈149°-73.6°=75.4°.
又OB=√52+172=√314≈17.72,
∴在Rt△OBG中,OG=OB×sin∠GBO≈17.72×0.97≈17.19>17.
故水桶提手合格.
23.(12分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E,点F在AC的延长线上,且∠CBF=1
2
∠CAB.
(1)求证:直线BF是☉O的切线;
(2)若AB=5,sin∠CBF=√5,求BC和BF的长.
(1)证明如图,连接AE.
∵AB是☉O的直径,
∴∠AEB=90°.
∴∠1+∠2=90°.
∵AB=AC,
∴∠1=1
2
∠CAB.
∵∠CBF=1
2∠CAB ,∴∠1=∠CBF. ∴∠CBF+∠2=90°,即∠ABF=90°.
AB 是☉O 的直径,∴直线BF 是☉O 的切线.
,过点C 作CG ⊥AB 于点G ,
∵sin ∠CBF=√55,∠1=∠CBF ,∴sin ∠1=√5
5. ∵∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB ·sin ∠1=√5. ∵AB=AC ,∠AEB=90°,∴BC=2BE=2√5.
在Rt △ABE 中,
由勾股定理得AE=√AB 2-BE 2=2√5,
∴sin ∠2=
2√55,cos ∠2=√5
5
. 在Rt △CBG 中,可求得GC=4,GB=2, ∴AG=3.∵GC ∥BF ,∴△AGC ∽△ABF.
∴GC BF =AG
AB .∴BF=
GC ·AB
AG
=20
3.
故BC 和BF 的长分别为2√5,20
.
24.(13分)在平面直角坐标系xOy 中,正方形A 1B 1C 1O ,A 2B 2C 2C 1,A 3B 3C 3C 2,…,按如图所示的方式放置.点A 1,A 2,A 3,…,A n 和点C 1,C 2,C 3,…,C n 分别落在直线y=x+1和x 轴上.抛物线L 1过点A 1,B 1,且顶点在直线y=x+1上,抛物线L 2过点A 2,B 2,且顶点在直线y=x+1上,……,按此规律,抛物线L n 过点A n ,B n ,且顶点也在直线y=x+1上,其中抛物线L 2交正方形A 1B 1C 1O 的边A 1B 1于点D 1,抛物线L 3交正方形
A 2
B 2
C 2C 1的边A 2B 2于点
D 2,…抛物线L n+1交正方形A n B n C n C n-1的边A n B n 于点D n (其中n ≥1,且n 为正整数).
(1)直接写出下列点的坐标:B 1 ,B 2,B 3 ; (2)写出抛物线L 2,L 3的解析式,并写出其中一个解析式的求解过程,再猜想抛物线L n 的顶点坐标; (3)①设A 1D 1=k 1·D 1B 1,A 2D 2=k 2·D 2B 2,试判断k 1与k 2的数量关系并说明理由;
②点D 1,D 2,…,D n 是否在一条直线上?若是,直接写出这条直线与直线y=x+1的交点坐标;若不是,请说.
B 1(1,1),B 2(3,2),B 3(7,4).
(2)抛物线L 2,L 3的解析式分别为y=-(x-2)2+3,y=-1
2(x-5)2+6. 抛物线L 2的解析式的求解过程:
对于直线y=x+1,设x=0,可得y=1,即A 1(0,1). 因为A 1B 1C 1O 是正方形,所以C 1(1,0). 又点A 2在直线y=x+1上,可得点A 2(1,2).
又点B 2的坐标为(3,2),所以抛物线L 2的对称轴为直线x=2. 所以抛物线L 2的顶点坐标为(2,3).
设抛物线L 2的解析式为y=a (x-2)2+3(a ≠0), 因为L 2过点B 2(3,2),
所以当x=3时,y=2,即2=a×(3-2)2+3,解得a=-1. 所以抛物线L 2的解析式为y=-(x-2)2+3. (或抛物线L 3的解析式的求解过程:
因为B 3的坐标为(7,4),同上可求得点A 3的坐标为(3,4), 所以抛物线L 3的对称轴为直线x=5.
所以抛物线L 3的顶点坐标为(5,6).
设抛物线L 3的解析式为y=a (x-5)2+6(a ≠0), 因为L 3过点B 3(7,4),
所以当x=7时,y=4,即4=a×(7-5)2+6,解得a=-12
. 所以抛物线L 3的解析式为y=-1
(x-5)2+6.) 猜想抛物线L n 的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2); 猜想过程:方法1:可由抛物线L 1,L 2,L 3…的解析式:
y=-2(x -12
)
2
+32,y=-(x-2)2+3,y=-12
(x-5)2+6,……,归纳总结得出.
方法2:可由正方形A n B n C n C n-1顶点A n ,B n 的坐标规律A n (2n-1-1,2n-1)与B n (2n -1,2n-1), 再利用对称性可得抛物线L n 的对称轴为直线
x=2n -1+2n -1-1,即x=2n -2(4+2)-2
=3·2n-2-1, 又顶点在直线y=x+1上,所以可得抛物线L n 的顶点坐标为(3×2n-2-1,3×2n-2).
(3)①k 1与k 2的数量关系为k 1=k 2.
理由如下:由(2)可知L 2的解析式为y=-(x-2)2+3, 当y=1时,1=-(x-2)2+3,解得x 1=2-√2,x 2=2+√2. 因为0<A 1D 1<1,所以x=2-√2. 所以A 1D 1=2-√2=√2(√2-1). 所以D 1B 1=1-(2-√2)=√2-1. 所以A 1D 1=√2·D 1B 1,即k 1=√2.
同理可求得A 2D 2=4-2√2=2√2(√2-1), D 2B 2=2-(4-2√2)=2√2-2=2(√2-1), A 2D 2=√2·D 2B 2,即k 2=√2, 所以k 1=k 2.
②点D 1,D 2,…,D n 是在一条直线上.
这条直线与直线y=x+1的交点坐标为(-1,0).。