2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高三(上)联考数学试卷(8月份)(含答案)

2024-2025学年湖北省重点高中智学联盟高三（上）8月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|x 2−x−2≤0}，B ={x|y =ln (x−1)}，则A ∩(∁R B)=( )A. [−1,1)
B. [−1,1]
C. (1,2]
D. (1,+∞)
2.若复数z 满足1−z
z−i =1+i,i 为虚数单位，则z 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3.已知向量|a |=3,|a−b |=|a +2b |，则|a +b |=( )
A.
3
B. 2
C.
5 D. 3
4.若(3
x −1x )n 的二项展开式中，当且仅当第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中1x 5的系数为( )
A. 8
B. 28
C. 70
D. 252
5.折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆台的底面半径分别是r 1和r 2，且r 1=5，r 2=10，圆台的侧面积为150π，则该圆台的体积为( )
A.
35 3π3 B.
175 3π3 C.
875 3π3
D. 875
3π
6.已知函数f(x)=2|x +m|(m ∈R)为偶函数，则a =f(log 20.8)，b =f(30.2)，c =f(
3)的大小关系为
( )A. a <b <c
B. c <a <b
C. a <c <b
D. b <c <a
7.已知函数f(x)=2cos 2ωx−(sinωx−cosωx )2(ω>0)的图象关于直线x =π
12轴对称，且f(x)在(0,π
3)上没有最小值，则ω的值为( )
A. 1
2B. 1 C. 3
2
D. 2
8.已知抛物线C：x2=12y和圆M：x2+y2−4x−4y+4=0，点F是抛物线C的焦点，圆M上的两点A，B满足AO=2AF，BO=2BF，其中O是坐标原点，动点P在圆M上运动，则P到直线AB的最大距离为( )
A. 2+2
B. 2
C. 4+2
D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.某公司为保证产品生产质量，连续10天监测某种新产品生产线的次品件数，得到关于每天出现的次品的件数的一组样本数据：3，4，3，1，5，3，2，5，1，3，则关于这组数据的结论正确的是( )
A. 极差是4
B. 众数小于平均数
C. 方差是1.8
D. 数据的80%分位数为4
10.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，在矩形ABCD内(包括边界)的动
点E始终满足D1E与平面ABCD所成的角是π
4
，则下列结论正确的是( )
A. 多面体B1C1D1−ABCD的体积为20
3
B. 动点E运动轨迹的长度为π
C. 不存在点E，使得平面AB1D1//平面DEC1
D. 在正四面体D1−AB1C的内部有一个可以任意转动的正四面体，则此四面体的棱长可以是0.93
11.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，其导函数为g(x)，f(x+2)和g(x+1)都是奇函数，
f(1)=1，则下列说法正确的是( )
A. g(x)关于点(1,0)对称
B. f(x)+f(−x)=0
C. g(2025)=1
D. ∑2024
k=0
f(k)=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△ABC中，cosA=−1
7
，AB=7，BC=8，则△ABC的面积是______．
13.数列{a n}是等差数列，且满足a n=4n+2−S n+1+S n，则a1=______．
14.已知双曲线x2
a2−y2
b2
=1(a,b>0)的左焦点为F，过坐标原点O作直线与双曲线的左右两支分别交于A，B
两点，且|FB|=4|FA|，∠AFB=2π
3
，则双曲线的渐近线方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题15分)
已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是直角梯形，PB=PD，AD//BC，AB⊥BC，AB=3，BC=2AD=2，平面PBD⊥平面ABCD，点Q在AB上，PB⊥CQ．
(1)求AQ：QB的值；
(2)若四棱锥P−ABCD的体积是33
2
，求二面角P−CD−A的余弦值．
16.(本小题15分)
已知函数y=f(x)=e ax+1，x∈R．
(1)若a=1
2
，求过原点且与y=f(x)相切的切线方程；
(2)若关于x的不等式f(x)>2x+e对所有x∈(0,+∞)成立，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
某品牌专卖店统计历史消费数据发现：进店消费的顾客的消费额X(单位：元)服从正态分布N(330,252).为回馈广大顾客，专卖店对消费达一定金额的顾客开展了品牌知识有奖答题活动，顾客需要依次回答两类试题，若顾客答对第一类题，则回答第二类题，若顾客没有答对第一类题，则不再答第二类题，直接结束有奖答题活动.对于每一类题，答错得0分，答对得10分，两类题总分20分，答题结束后可减免与得分相同数额的现金(单位：元).每类试题均有两次答题机会，在任意一类试题中，若第一次回答正确，则认为答对该类试题，就不再进行第二次答题.若第一次回答错误，则进行第二次答题，若第二次答题正确，则也认为答对该类试题；若第二次回答错误，则认为答错该类试题．
(1)若某天有200位进店消费的顾客，请估计该天消费额X在(305,+∞)内的人数(结果保留整数)；
附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545．
(2)某顾客消费达到指定金额后可参与答题活动，A类题中的两次答题机会答对的概率都是3
4
，B类题中的两
次答题机会答对的概率都是2
3
且每次答题相互独立.若答题结束后可减免的现金数额为X元，求X的分布列和数学期望．
18.(本小题15分)
椭圆E：x2
a2+y2
b2
=1(a>b>0)的上顶点到右顶点的距离为7，椭圆上的点到焦点的最短距离是1，点A为
椭圆的左顶点，过点P(4,0)且斜率为k(k≠0)的直线交椭圆于B，C两点．
(1)求E的方程；
(2)直线AB，AC分别交直线x=4于M，N两点，且|MN|=35，求直线的斜率k．19.(本小题17分)
若项数为m(m≥3)的数列{a n}满足两个性质：①a1=1，a i∈N∗(i=2,3,…,m)；②存在
n∈{2,3,…,m−1}，使得a k+1
a k
∈{{1,2},1≤k≤n−1
{1,1
2
},n≤k≤m−1，并记M=max{i|a i是{a k}的最大项，1≤k≤n}.则称
数列{a n}具有性质Ω．
(1)若m=4，a4=2，写出所有具有性质Ω的数列{a n}；
(2)若m=2025，a2025=16，求{a n}的最大项的最大值；
(3)若a M=22025，a m=1，且{a n}满足以下两条性质：(i)对于满足1≤s<t≤M的项a s和a t，在{a n}的余下的项中，总存在满足1≤p<q≤M的项a p和a q，使得a n⋅a i=a p⋅a q；(ⅱ)对于满足M≤s<t≤m的项a s和a t，在{a n}的余下的项中，总存在满足M≤p<q≤m的项a p和a q，使得a s⋅a t=a p⋅a q.求满足上述性质的m的最小值．
参考答案
1.B
2.A
3.D
4.D
5.C
6.A
7.C
8.A
9.AC
10.ABD
11.ABD
12.63
13.2
14.y=±2
3
x
15.解：(1)证明：过点P作直线PO⊥BD于点O，
因为平面PBD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD，
CQ⊂平面ABCD，所以PO⊥CQ，PB⊥CQ，
所以CQ⊥BD，
由四边形ABCD是直角梯形，且AB=3，BC=2AD=2，AB⊥BC，
在直角△ABD中，BD=AB2+AD2=2，可得DC=2,∠BCD=π
3
，
从而△BCD是等边三角形，CQ⊥BD，∠CBD=π
3
，
所以∠BCQ=π
6
，
从而BQ=BC⋅tan∠BCQ=2tanπ
6=23
3
，AQ=AB−BQ=3
3
，
所以AQ：QB=1：2；
(2)因为PB=PD，所以O是BD的中点，连接OC，
因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD=BD，
所以PO ⊥平面ABCD ，
所以V P−ABCD =1
3
S ABCD ⋅PO
=13⋅3 32
，PO =3 3
2
，
所以PO =3．
以O 为原点，以OB ，OC ，OP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，在等边△BCD 中，OC = 3，如图，
B(1,0,0)，C(0, 3,0)，D(−1,0.,0)P(0,0,3)，可得PD =(−1,0,−3),PC =(0, 3,−3)，设平面PCD 的一个法向量为n 1=(x,y,z)，则{
n 1⊥PD
n 1⊥PC ，则{
n 1⋅PD =−x−3z =0n 1⋅PC = 3y−3z =0，
解得x =−3z,y = 3z ，y = 3z ，则n 1=z(−3, 3,1)，令z =1得，n 1=(−3, 3,1)，
而n 2=(0,0,1)是平面ABCD 的一个法向量，
所以二面角P−CD−A 的余弦值cosθn 1n 2
|n 1|⋅|n 2|=1
13⋅1=
13
13
． 16.解：(1)若a =1
2，则f(x)=e 1
2x +1，f′(x)=1
2e 1
2x +1，
设过原点的切线与曲线的切点横坐标是t ，则切线斜率k =f′(t)=12e t 2+1，
切线方程是y−e
t
2
+1=12e t 2+1
(x−t)，
因为切线过原点，所以0−e t
2
+1
=1
2e t
2
+1
(0−t)，
解得t =2，所以切线方程是y =e 2
2x ．
(2)首先注意到f(0)=e ，g(x)=e ax +1−2x +e ，x >0，g′(x)=ae ax +1−2，
①若a ≤0，则g′(x)<0在x >0时恒成立，故g(x)单调递减，则对所有x >0，g(x)<g(0)=0，不满足题意，故舍去；②若a >0，则g′(x)=a(e ax +1−2
a )，
令g′(x)<0得，x <1
a (ln 2
a −1)，令g′(x)>0得．x >1
a (ln 2
a −1)，所以g(x)在(−∞,1
a (ln 2
a −1))上单调递减，在(1
a (ln 2
a −1),+∞)上单调递增．(i)若0<a <2
e ，则ln 2
a ≥1，即1
a (ln 2
a −1)>0，
所以g(x)在(0,1
a (ln 2
a −1))上单调递减，在(1
a (ln 2
a −1),+∞)上单调递增，则g(x )min =f(1
a (ln 2a −1))<f(0)=0不满足题意，故舍去；(ii)若a ≥2
e ，则ln 2
a ≤1，即1
a (ln 2
a −1)≤0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，则对所有x >0，g(x)>f(0)=0，符合题意．综上所述，a 的取值范围是[2
e ,+∞)．
17.解：(1)由题意P(X >305)=1−P(X ≤μ−σ)≈1−1
2(1−0.6827)≈0.84135，
若某天该商场有200位顾客，
则估计该天消费额X 在(305,+∞)内的人数为0.84135×200=168.27≈168；(2)由题意可知，X 的取值为0，10，20，
则P(X =0)=(1−3
4)×(1−3
4)=1
16，P(X =10)=3
4×1
3×1
3+1
4×3
4×1
3×1
3=5
48，P(X =2)=1−P(X =0)−P(X =1)=5
6，
所以X 的分布列为： X 0 10 20
P
1
16
5
48
56
数学期望E(X)=0×1
16+10×5
48+20×5
6=425
24．
18.解：(1)由题意可得 a 2+b 2= 7，即a 2+b 2=7，
又a−c =1，a 2−b 2=c 2，解得a =2，b =
3，c =1，
则椭圆E 的方程为x 2
4+
y 2
3
=1；(2)设过点P(4,0)且斜率为k(k ≠0)的直线为y =k(x−4)，
与椭圆方程3x2+4y2=12联立，可得(3+4k2)x2−32k2x+64k2−12=0，Δ=(−32k2)2−4(3+4k2)(64k2−12)>0，
设B(x1,y1)，C(x2,y2)，可得x1+x2=32k2
3+4k2，x1x2=64k2−12
3+4k2
，
由A，B，M三点共线，可得
y1
x1+2
=
y M
4+2
，可得y M=6y1
x1+2
=6k(x1−4)
x1+2
=6k−36k
x1+2
，
同理可得y N=6y2
x2+2=6k−36k
x2+2
，
由|MN|=35，可得|MN|2=(36k)2⋅(x1+x2)2−4x1x2
[x1x2+4+2(x1+x2)]2
=(36k)2⋅(32k2)2−4(3+4k2)(64k2−12)
(64k2−12+12+16k2+64k2)2
=45，
化为−4(144k2−36)
16k2=45，解得k=±1
3
(满足Δ>0)．
19.解：(1){a n}有三种结果：1，1，2，2或1，2，2，2或1，2，4，2；
(2)当m=2025时，n∈{2,3,⋯,2024}.由a1=1,1≤a2
a1
≤2,⋯,1≤
a n−1
a n−2
≤2,1≤
a n
a n−1
≤2，
累乘得1≤a n≤2n−1①；
又由1≤
a n
a n+1
≤2，1≤
a n+1
a n+2
≤2， (1)
a2021
a2024
≤2，1≤
a2024
a2025
≤2，1≤a2025≤a2025，
累乘得1≤a n≤22025−n⋅a2025②；
将①②相乘得1≤a2n≤22024a2025，又a n∈N∗，a2025=16，所以1≤a n≤21014，所以数列{a n}的最大项的最大值为21014，满足条件的数列为：
a n={2n−1(n=1,2,⋯,1015)
22029−n(n=1016,1017,⋯,2025)；
(3)①讨论项数满足1≤k≤M的情况：
因为数列{a n}满足：当1≤n≤M−1时，1≤a n+1
a n
≤2，a1=1，所以0≤a2≤2，
又因为当1≤i≤M−1，都有a i∈N∗，所以a2=1或a2=2，
当a2=2时，a4≥a3≥2，此时a1⋅a2=2<a3⋅a4，这与在剩下的项中总存在满足1≤p<q≤M的项a p 和a q，
使得a s⋅a i=a p⋅a q矛盾，所以a2=1，类似的，必有a3=1，a4=1，a5=2，a6=2；
由a3⋅a1=a p⋅a q，得前6项任意两项之积小于等于4时，均符合，要使得m值要尽量小，则需要每项尽可能大，
且则a5⋅a6=4=a1⋅a7，a7=22，
同理，a8=23，a9=24，…，a M−6=22023，由对称性得最后6项为a M=a M−1=a M−2=a M−3=22025，
a M−4=a M−5=22024，
当{a n}中间各项为公比为2的等比数列时，可使得M值最小，且M的最小值为M min=6+2022+6=2034满足已知条件．
②讨论项数满足M≤k≤m的情况：
类比①可知a M=a M+1=a M+2=a M+3=22025，a M+4=a M+5=22024，a M+6=22023，a M+7=22022，…，a m−7=23，
a m−6=22，a m−5=2，a m−4=2，a m−3=a m−2=a m−1=a m=20=1，
综上所述，m的最小值为m min=2034×2−1=4067．。